拉格朗日中值定理教育教学设计

拉格朗日中值定理教学设计

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教学段计

第六章微分中值定理及其应用

§1拉格朗日定理和函数的单调性

题目：罗尔定理与拉格朗日定理

一、教学目的：

1.知识目标：分别掌握罗尔定理和拉格朗日定理及对应的几何意义，掌握三个推论。

2?能力目标：首先让同学们知道微分中值定理包括四大定理（罗尔定理、拉格朗F1定理、柯西定理、泰勒定理），然后通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格朗H定理，培养

学生分析、抽象、概括和迁移的学习能力。

3. 情感目标：在教学过程中，让学生发现数学知识的融会贯通，培养敎形结合的思想，以及

严密的思维方法，从而亲近数学，爱上数学。

二、教学重点与难点：

1.重点：罗尔定理和拉格朗日定理，定理是基石，只有基石牢周，大厦才能建的高。

2.难点：罗尔定理和拉格朗F）定理的应用与推广，以及这两个定理之间的区别与联

系。

三、教学方法：教师启发讲授和学生探究学习的教学方法

四、教学手段：板书与课件相结合

五、教学基本流程：

知识回顾引出定理，探究案例——> 类比学习，理解定理

____ ?升华、理解新知______ ?课堂小结作业

六、教学情境设计(1学对)：

1v知识回顾

费马定理：设函数/(X)在心的某领域内有定义，且在兀可导。若兀为/ 的极值点，则必有/(x0y = Oo它的几何意义在于：若函数/(M在J=x o可导，那么在该点的切线平行于X轴。

2、引出定理，探究案例

微分中值定理是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁作用，它包括四大定理，分别是罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒定理，先学习拉格朗日定理的预备定理——罗尔定理。

定理6.1 (罗尔(心川小中值定理) 若函数f满足如下条件：

(i)/在闭区间［“上］上连续；

(ii)/在开区间仏方)内可导；

(ii !)/(?)=/(/.),

则在(a,Z?)内至少存在一点使得

厂(沪0 ?(1)

罗尔定理的几何意狡是说：在每一点都可字的一段连续曲线上，如呆曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线(图6—1).

证因为/在［“上］上连续，所以有最大值与最小值，分别用M与加表示，现分两种情况来讨论：

⑴若m = M ,则，/在［“,闰上必为常数，从而结论显然成立.

(2)若m < M ,则因/(")=/(”)，使得最大值M与最小值川至少有一个在("")内

某点纟处取得，从而§是/的极值点.由条件(ii), /在点§处可导，故由费马定理推知

/W=o-

注定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立(图6—2)o

ffl 6 — 2

设/为R上可导函数，证明：若方程广(0 = 0没有实根，则方程

/W=o至多有一个实根.

证这可反证如下：倘若f（x）= 0有两个实根旺和勺（设Al < X2）,则函数/在［坷,七］上满足罗尔定理三个条件,从而存在

3、类比学习，理解定理

定理6. 2 （拉格朗日（Sgwge）中值定理）若函数满足如下条件：

（彷在闭区间［（"］上连续；

（〃”在开区间仏b）内可导，

则在（sb）内至少存在一点纟，使得

显然，特别当f（a）= f（b）时，本定理的结论（2）即为罗尔定理的结论（1）.这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形.

证作辅助函数

F(x) = f(x)~/ ⑷一少匕儿"(X -a).

显然，F（a）= /0X= 0）,且F在［d,b］上满足罗尔定理的另两个条件.故存在§ e @,b）,使

化）=广（纟）一/气）7⑺）=o

b-a

移项后即得到所要证明的（2）式。

拉格郎日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线y = /（x）上至少存在一点该曲线在该点出的切线平行于曲线两端点的连线AB,（如图6—3所示）o

定理的结论称为拉格朗日公式。

4、升华、理解新知

?注解

Note 1.定理的几何意义：在y = f(x)±至少存在一点，该曲线在该点出的切线平行于曲线两端点的连线AB。

Note 2.定理只论证了§的存在性，不知道纟的准确数值，但并不妨碍它的应用.

Note 3.拉格朗日公式还有下而几种等价表示形式：

/0)= -a\a<^

f ⑹ _ f (a) = f\a + 0{b - a))(b -a),o<0 < 1; (4)

f(a + /?) - f(a) = f\a + 6T?)/?,0 < & v 1; (5)

值得注意的是，拉格朗日公式无论对于ab都成立，而纟则是介于a与b之间的某一定数，而(4)、(5)两式的特点，在于把中值点§表示成了“ + &(b-“)，使得不论为何值，&总可为小于1的某一正数。

?例题讲解

例2证明对一切〃 >-1 ,力h0成立不等式

----- < ln(l + /?) < h o

1 + /1

证设f(x) = ln(l + x),则

ln(l + /?) = ln(l + /?) - In 1 = —-— .0 < ^ < 1.

1 +品

当力>0时，由0<6><1可推知

1<1+/7<1+/L—<—^—

1+力1+创

当一1

1 > 1 + 0? > 1 + 力 > 0, —^― < —-— < h?

l + /i 1 +处从而得到所要证明的结论。?推论

推论1若函数/在区间/上可导，且广(x)H0,xeZ,则/为/上一个常量

函数.

证任取两点X,, x2 e I (设Xj < x2),在区间[Xj,x2] X应用拉格朗日定理，存在

^e(x p x2)c /,使得

f(x2) - /(%))=化)匕2 -^) = 0.

这就证得/在区间/上任何两点之值相等.

由推论1又可进一步得到如下结论：

推论2 若函数/和g均在区间/上可导，且广(X)三g，(x),, xw/,则在区间

/上/(X)与g(x)只相差某一常数，即

f(x) = g(x) + C(C 为某一常数).

推论3 (导数极限定理)设函数/在点筍的某邻域UC")内连续，在

U°(x0)内可导，且极限lim /\A)存在，则/在点％可导，且

广（勺）=lim f\x ）. XT”

■i 正 分别按左右导数来证明（6）式成立.

（1）任取xeU ；（x 0） , /心）在［心‘］上满足拉格朗日定理条件，则存在

^e （x 0,x ）,使得

由于人V 《vx,因此当XTX ；时，随之有 对（7）式两边取极限，得到

（2）同理可得 /工5）=广（兀。_0）?

因为Um f\x ） = k 存在,所以广（心+0）=广（兀0-0）=匕 从而 f ：g = f ：M = k,即f （X 。） = k.

导数极限定理适合于用来求分段函数的导数

?例题讲解

例3求分段函数

的导数。

解首先易得

1 + 2xcosx

2 x < 0,

进一步考虑/在x = 0处的导数?在此之前，我们只能依赖导数定义来处理，现在则可 以利用导数极限定理?由于

lim / (x) = lim ln(l + x) = 0 = /(0), lim /⑴7凤)

?f “ X _ 心

= iim^r?)=r (x o +o ) XfY 。

fM = <

x + sinx 2,x< 0,

/V )=

1 .TT7 > 0.

lim f(xO = lim (x + sin x2 ) = 0= f (0),

因此/在％= 0处连续，又因

厂(0-0) = lim (1 + 2xcosx2 ) = 1, X-MJ"

广(0 + 0)= lim 丄=1,

?K)T + x

所以lim广0) = 1.依据导数极限定理推知/在x = 0处可导，且770) = 1. .V-M)

5、课堂小结与作业

K罗尔中值定理的条件及几何意艾。

2、拉格朗日中值定理的条件及几何意义。

3、加深定理理解的几个注解。

4、三个推论。

5、预习函数的单调性。

作业：习题2, 4