微分中值定理教案

微分中值定理

【教学内容】拉格朗日中值定理【教学目的】

1、熟练掌握中值定理，特别是拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义；

2、能应用拉格朗日中值定理证明不等式。

3、了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2 【教学重点与难点】

1、拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用

2、拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。

3、利用导数证明不等式的技巧。【教学过程】

一、背景及回顾

在前面，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。

另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，需要在导数及函数间建立起联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。

由此我们学习了极值点的概念、费马定理、特别是罗尔定理，我们简单回忆一下罗尔定理的内容：若

函数)(x f 满足下列条件： ①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导

③)()(b f a f =

则在()b a ,内至少存在一点c ，使得0)('

=c f

二、新课讲解

1797年，法国著名的数学家拉格朗日又给出一个微分中值定理，史称拉格朗日中值定理或微分中值定理，

但未证明.拉格朗日中值定理具有根本的重要性，在分析中是许多定理赖以证明的工具，是导数若干个应用的理论基础，我们首先看一下拉格朗日中值定理的内容：

2.1拉格朗日定理

若函数)(x f 满足下列条件： ①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导

则在开区间()b a ,内至少存在一点c ，使 ()()a

b a f b f

c f --=

)('

注：a 、深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。

b 、若加上)()(b f a f =，则()()00

)('

=-=--=

b a b a f b f

c f 即：0)('=c f ，拉格朗日定理变为罗尔

定理，换句话说罗尔定理是拉格朗日定理的特例。

c 、形象认识（几何意义），易知()()a

b a f b f --为过A 、B

斜率，)('c f 为曲线)(x f 上过c 点的切线的斜率；若()()a

b a f b f

c f --=

)('

即是说割线的斜率等于切线的斜率。几何意义：若在闭区间[]b a ,上有一条连续的曲线，曲线上每一点都存在切线，则曲线上至少有一点

))(,(c f c C ，使得过点C 的切线平行于割线AB 。它表明“一个可微函数的曲线段，必有一点的切线平行于曲

线端点的弦。”

2.2 拉格朗日定理的证明

下面我们证明一下该定理。

分析：如何来证明该定理呢？由于罗尔定理为拉格朗日定理的特例，我们考虑是否可将拉格朗日定理的证明转化到罗尔定理上来，为此需要构造一个辅助函数)(x ?，使他满足罗尔定理的条件。注意罗尔定理的

结果是0)('=c f ，对应拉格朗日定理的结果是()()a b a f b f c f --=

)('

，即()()0)('

=---

b a f b f

c f ，实际上就是0)('=c ?，即是说()()a b a f b f c f c ---=)()('

'?，两边积分得()()()C x a

b a f b f x f x +---

=)(?，注意)(x ?要满足罗尔定理的三个条件，故取()()()()()][)(a x a

b a f b f a f x f x ---+

-=?

证明：作辅助函数()()()()()][)(a x a

b a f b f a f x f x ---+

-=?，易知)(x ?在闭区间[]b a ,连续，在开区间()b a ,可导，又)()(b a ??=，根据罗尔定理，)(x ?在()b a ,内至少存在一点c ，使得0)('=c ?，而

()()a b a f b f x f x ---=)()(''?，于是()()0)()('

'=---

b a f b f

c f c ?，即 ()()a

b a f b f

c f --=)('，命题得证。注：a 、本定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范；同时通过巧妙地数学变换，将一

般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现，其中构造函数()()()()()][)(a x a b a f b f a f x f x ---+

-=?中的()()()()a x a

b a f b f a f ---+其实就是过两点A 、B 两点的割线方程。

b 、拉格朗日中值定理的中值点

c 是开区间（a,b ）内的某一点，而非区间内的任意点或指定一点。换言之，这个中值定理都仅“定性“地指出了中值点c 的存在性，而非”定量“地指明c 的具体数值。

c 、拉格朗日中值定理的其他表达形式：

（1）.).)(()()(时也成立当b a a b f a f b f >-'=-ξ （2）x f x f x x f ?'=-?+)()()(ξ 之间和在x x x +?ξ

2.3 拉格朗日定理的应用

例1: 验证函数()f x =3

x -3x 在区间[0，2]上是否满足拉格朗日中值定理的条件，若满足，求使定理成立的ξ的值.

解:因 3

() =3f x x x -，在[]0,2上连续，在(0,2)内可导，满足定理的条件。

而2

()=33f x x '-

由()()()02)(02'

-=-ξf f f 得

231ξ-=3，ξ=

注在验证拉格朗日中值定理时，必须注意：（1）该函数是否满足定理的两个条件。

（2）是否存在一点ξ∈（a,b ）,使))(()()(a b f a f b f -'=-ξ成立.

例2 .)1ln(1,

0x x x

x <+<+>时证明当分析：此题难以下手，由此考虑到使用拉格朗日中值定理。证明：设()()x x f +=1ln

易知()x f 在],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件故，()()()()()x x f f x f <<-=-ξξ0,00'

又，()()x

x f f +=

=11

,00'

，有上式得： ()ξ

+11ln x x 又，111111110<+<+?+<+

ξξx x x 则，

x x

x x <+<+ξ

11 ，即

x x x x <+<+)1ln(1，命题得证。小结：用拉格朗日中值定理证明不等式，关键是选取适当的函数，并且该函数满足中值定理的条件。便

得到)( ))(()()(b a a b f a f b f <<-'=-ξξ，再根据b a <<ξ放大或缩小)(ξf '，证出不等式。

推论1 如果()f x 在区间(,)a b 内的导数恒等于零，那么()f x 在(,)a b 内恒等于一个常数.（证明作为课外作业）

证：在区间(,)a b 内任意取两点1x ，2x （设12x x <），则()f x 在[]12,x x 上满足拉格朗日中值定理条件.故有

()2121()()()f x f x x x f c '-=-? 12()x c x <<，

由于()0f c '=，所以21()()0f x f x -=，即

21()()f x f x =.

由于1x ，2x 是在(,)a b 内任意取的两点，因此()f x 在区间(,)a b 内函数值总是相等的，这表明()f x 在区间

(,)a b 内恒为一个常数.

推论2 若(,)x a b ?∈有()()f x g x ''=，则(,)x a b ?∈有()()f x g x c =+.（证明作为课外作业）证：(,)x a b ?∈，

[]()()()()0f x g x f x g x '''-=-=，根据推论

1知()()f x g x c -=，即

()()f x g x c

=+.

三、小结

1、拉格朗日定理的内容

2、拉格朗日定理的几何意义

3、拉格朗日定理的证明过程——构造函数法

4、拉格朗日定理的应用

微分学基本定理

1、极值点的概念

定义：设函数)(x f 在区间I 上有定义。若I x ∈0，且存在0x 的某邻域,)(0I x U ?)(0x U x ∈?，有 ()()0x f x f ≤ （()()0x f x f ≥）

则称0x 是函数)(x f 的极大点（极小点），()0x f 是函数)(x f 的极大值（极小值）。

2、费马定理

设函数)(x f 在区间I 上有定义。若函数)(x f 在0x 点可导，且0x 是函数)(x f 的极值点，则 0)(0'=x f

3、罗尔定理

若函数)(x f 满足下列条件： ①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导

③)()(b f a f =

则在()b a ,内至少存在一点c ，使得0)('=c f

4、拉格朗日定理

若函数)(x f 满足下列条件： ①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导

则在开区间()b a ,内至少存在一点c ，使 ()()a

b a f b f

c f --=

)('

5、柯西中值定理

若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件： ①在闭区间[]b a ,连续

②在开区间()b a ,可导，且),(b a x ∈?，有0)('

≠x g ，则在()b a ,内至少存在一点c ，使得

()()()()()()

a g

b g a f b f

c g c f --=

(完整版)利用微分中值定理证明不等式

微分中值定理证明不等式微分中值定理主要有下面几种： 1、费马定理：设函数()f x 在点0x 的某邻域内有定义,且在点0x 可导,若点0x 为()f x 的极值点,则必有 0()0f x '=. 2、罗尔中值定理：若函数()f x 满足如下条件：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；（3）()()f a f b =, 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()0f ξ'=. 3、拉格朗日中值定理：若函数()f x 满足如下条件：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()()()f b f a f b a ξ-'=-. 4、柯西中值定理：若函数()f x ,()g x 满足如下条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续；（2）在开区间(,)a b 内可导；（3）()f x ',()g x '不同时为零；（4）()()g a g b ≠；则在开区间(),a b 内存在一点ξ,使得 ()()()()()() f f b f a g g b g a ξξ'-='-. 微分中值定理在证明不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入点,灵活运用相关微分中值定理,进行系统的分析,从而得以巧妙解决. 例1、设 ⑴(),()f x f x '在[,]a b 上连续； ⑵()f x ''在(,)a b 内存在； ⑶()()0;f a f b == ⑷在(,)a b 内存在点c ,使得()0;f c > 求证在(,)a b 内存在ξ,使()0f ξ''<. 证明由题设知存在1(,)x a b ∈,使()f x 在1x x =处取得最大值,且由⑷知1()0f x >,1x x =也是极大值点,所以 1()0f x '=. 由泰勒公式：211111()()()()()(),(,)2! f f a f x f x a x a x a x ξξ'''-=-+-∈. 所以()0f ξ''<. 例2 、设0b a <≤,证明ln a b a a b a b b --≤≤.

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用的习题库

第三章微分中值定理与导数的应用一、判断题 1. 若()f x 定义在[,]a b 上，在(a,b)内可导，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 2. 若()f x 在[,]a b 上连续且()()f a f b =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 3. 若函数()f x 在[,]a b 内可导且lim ()lim ()x a x b f x f x →+→- =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 4. 若()f x 在[,]a b 内可导，则必存在(a,b)ξ∈，使'()(a)()()f b f f b a ξ-=-。（） 5. 因为函数()f x x =在[1,1]-上连续，且(1)(1)f f -=，所以至少存在一点()1,1ξ∈-使 '()0f ξ=。（） 6. 若对任意(,)x a b ∈，都有'()0f x =，则在(,)a b 内()f x 恒为常数。（） 7. 若对任意(,)x a b ∈，都有''()()f x g x =，则在(,)a b 内()()f x g x =。（） 8. arcsin arccos ,[1,1]2 x x x π +=∈-。（） 9. arctan arctan ,(,)2 x x x π += ∈-∞+∞。（） 10. 若()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则导函数'()f x 有3个不同的实根。（） 11. 若22()(1)(4)f x x x =--，则导函数'()f x 有3个不同的实根。（） 12. ' ' 222(2)lim lim 21(21)x x x x x x →→=-- （） 13. 22' 0011lim lim()sin sin x x x x e e x x →→--= （） 14. 若'()0f x >则()0f x >。（） 15. 若在(,)a b 内()f x ，()g x 都可导，且''()()f x g x >，则在(,)a b 内必有()()f x g x >。（） 16. 函数()arctan f x x x =-在R 上是严格单调递减函数。（） 17. 因为函数()f x x =在0x =处不可导，所以0x =不是()f x 的极值点。（） 18. 函数()f x x =在0x =的领域内有()(0)f x f ≥，所以()f x 在0x =处取得极小值。（） 19. 函数sin y x x =-在[0,2]π严格单调增加。（） 20. 函数1x y e x =+-在(,0]-∞严格单调增加。（） 21. 方程32210x x x ++-=在()0,1内只有一个实数根。（） 22. 函数y [0,)+∞严格单调增加。（） 23. 函数y (,0]-∞严格单调减少。（） 24. 若'0()0f x =则0x 必为'0()f x 的极值点。（） 25. 若0x 为()f x 极值点则必有'(0)0f =。（）

微分中值定理与导数的应用总结

1基础知识详解先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理：条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理：条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论：闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。第三章微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 '()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，

拉格朗日中值定理教学设计

教学设计第六章微分中值定理及其应用 §1 拉格朗日定理和函数的单调性题目：罗尔定理与拉格朗日定理一、教学目的： 1.知识目标：分别掌握罗尔定理和拉格朗日定理及对应的几何意义，掌握三个推论。 2.能力目标：首先让同学们知道微分中值定理包括四大定理（罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理），然后通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格朗日定理，培养学生分析、抽象、概括和迁移的学习能力。 3.情感目标：在教学过程中，让学生发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的思想，以及严密的思维方法，从而亲近数学，爱上数学。二、教学重点与难点： 1.重点：罗尔定理和拉格朗日定理，定理是基石，只有基石牢固，大厦才能建的高。 2.难点：罗尔定理和拉格朗日定理的应用与推广，以及这两个定理之间的区别与联系。三、教学方法：教师启发讲授和学生探究学习的教学方法四、教学手段：板书与课件相结合五、教学基本流程：

六、教学情境设计（1学时）： 1、知识回顾费马定理：设函数)(x f 在0x 的某领域内有定义，且在0x 可导。若0x 为f 的极值点，则必有0)(0='x f 。它的几何意义在于：若函数)('x f 在=x 0x 可导，那么在该点的切线平行于x 轴。 2、引出定理，探究案例微分中值定理是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁作用，它包括四大定理，分别是罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒定理，先学习拉格朗日定理的预备定理——罗尔定理。定理 6.1 (罗尔(Rolle )中值定理) 若函数f 满足如下条件： (i)f 在闭区间[]b a ,上连续； (ii)f 在开区间()b a ,内可导； (iii)()()b f a f =，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得 ()0='ξf . ()1 罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线(图6—1)．

微分中值定理例题

理工大学微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理

()()1.()0,(0)0,f x f f f ?ξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２１２１２１２１２２１１１２１１１２１１２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）．解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０）＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζ?''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。 12n 12n 12n 11221122n 001 1 000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n n n i i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >???∈<<1++?+=++?+≤?=<=>α. '''=+-+ ∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 00 1 1 1 1 0000111() ()()()().x 2! ()()()()()(()()().) n n n i i i i i i i n n i n n i i i i i i i i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======?? ''-'-≥+-<<'≥+-===- ??? ∑∑∑∑∑∑∑注：x ()3.)tan . 2 F ,F 2 (0)0,(0)0,((cos 2 F f x f F F f ππξ ξπξξπππ πππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈Q 设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续，在（，）内可导，且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cos sin F cos sin 0222222 cos 0)tan 2 2 x x x f f f πξξξ ξξξξ ξ ξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。

微分中值定理教案

微分中值定理【教学内容】拉格朗日中值定理【教学目的】 1、熟练掌握中值定理，特别是拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义； 2、能应用拉格朗日中值定理证明不等式。 3、了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2 【教学重点与难点】 1、拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用 2、拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。 3、利用导数证明不等式的技巧。【教学过程】一、背景及回顾在前面，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，需要在导数及函数间建立起联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。由此我们学习了极值点的概念、费马定理、特别是罗尔定理，我们简单回忆一下罗尔定理的内容：若函数)(x f 满足下列条件： ①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导 ③)()(b f a f = 则在()b a ,内至少存在一点c ，使得0)(' =c f 二、新课讲解 1797年，法国著名的数学家拉格朗日又给出一个微分中值定理，史称拉格朗日中值定理或微分中值定理，但未证明.拉格朗日中值定理具有根本的重要性，在分析中是许多定理赖以证明的工具，是导数若干个应用的理论基础，我们首先看一下拉格朗日中值定理的内容： 2.1拉格朗日定理若函数)(x f 满足下列条件： ①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导则在开区间()b a ,内至少存在一点c ，使 ()()a b a f b f c f --= )(' 注：a 、深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。 b 、若加上)()(b f a f =，则()()00 )(' =-=--= a b a b a f b f c f 即：0)('=c f ，拉格朗日定理变为罗尔定理，换句话说罗尔定理是拉格朗日定理的特例。 c 、形象认识（几何意义），易知()()a b a f b f --为过A 、B

微分中值定理的证明题(题目)

微分中值定理的证明题 1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0f f ξλξ'+=。。 2. 设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。。 3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1) 内至少存在一点ξ，使得：()0F ξ''=。证 4. 设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)0(=f ，1)1(=f .证明： (1)在(0,1)内存在ξ，使得ξξ-=1)(f ． (2) 在(0,1)内存在两个不同的点ζ，1)()(//=ηζηf f 使得 5. 设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+. 6. 若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0<

9. 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导(0),a b ≤<()(),f a f b ≠ 证明: ,(,)a b ξη?∈使得 ()().2a b f f ξηη +''= (1) 10. 已知函数)(x f 在[0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导，b a <<0，证明存在),(,b a ∈ηξ，使)()()(3/22/2ηξηf b ab a f ++= 略） 11. 设)(x f 在a x ≥时连续，0)(时，0)(/>>k x f ，则在))(,(k a f a a -内0)(=x f 有唯一的实根根 12. 试问如下推论过程是否正确。对函数21sin 0()0 0t t f t t t ?≠?=??=?在[0,]x 上应用拉格朗日中值定理得： 21s i n 0()(0)111s i n ()2s i n c o s 00x f x f x x f x x x ξξξξ --'====--- (0)x ξ<< 即：1 1 1cos 2sin sin x x ξξξ=- (0)x ξ<< 因0x ξ<<，故当0x →时，0ξ→，由01l i m 2s i n 0ξξξ+→= 01lim sin 0x x x +→= 得：0lim x +→1cos 0ξ=，即01lim cos 0ξξ+→= 出 13. 证明：02x π?<<成立2cos x x tgx x <<。