专题六--几何综合探究题

专题六几何综合探究题

命题预测

几何综合探究题型连续5年作为安徽中考压轴题.主要涉及利用三角形相似或全等的判定及性质进行相关的探究与证明、三角形和四边形的综合探究与证明(常涉及线段的数量和位置关系、求线段长、特殊图形的判定等),这是安徽中考对几何推理与证明能力考查的必然体现.把观察、操作、证明融于一体,展示了数学探究的过程和方法,体现了对数学活动经验的关注,也体现了对培养学生发现和提出问题、分析和解决问题能力的关注.预计2018年仍会考查与全等或相似三角形有关的探究.

几何综合探究题灵活多变,一般并无固定的解题模式或套路.解决这类问题的方法:

一是根据条件,结合已学的知识、数学思想方法,通过分析、归纳逐步得出结论,或通过观察、实验、猜想、论证的方法求解;

二是关注前面几个小题在求解过程的解题思路和方法,会对最后一小题的求解有一定的借鉴作用,还可以把前面几个小题的结论作为已知条件,为最后一问的求解提供帮助.

类型一类比拓展探究题

例1(2017·安徽)已知正方形ABCD,点M为边AB的中点.

(1)如图1,点G为线段CM上的一点,且∠AGB=90°,延长AG,BG分别与边BC,CD交于点E,F.

①证明:BE=CF;

②求证:BE2=BC·CE.

(2)如图2,在边BC上取一点E,满足BE2=BC·CE,连接AE交CM于点G,连接BG并延长交CD于点F,求tan ∠CBF的值.

类型二图形变换探究题

例2(2011·安徽)在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,将△ABC绕顶点C顺时针旋转,旋转角为θ(0°<θ<180°),得到△A1B1C.

(1)如图1,当AB∥CB1时,设A1B1与BC相交于D,证明:△A1CD是等边三角形;

(2)如图2,连接AA1,BB1,设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1,S2.求证:S1∶S2=1∶3;

(3)如图3,设AC中点为E,A1B1中点为P,AC=a,连接EP,当θ=°时,EP长度最大,最大值为___________.

类型三几何图形与函数相结合探究题

例3(2017·山东潍坊)如图1,抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A(0,3),B(-1,0),D(2,3),抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分,与抛物线交于另一点F.点P为直线l上方抛物线上一动点,设点P的横坐标为t.

(1)求抛物线的解析式;

(2)当t何值时,△PFE的面积最大?并求最大值的立方根;

(3)是否存在点P使△PAE为直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.

图1 备用图

随堂练习 1. (2017·山东威海)如图,△ABC 为等边三角形,AB=2.若P 为△ABC 内的一动点,且满足∠PAB=∠

ACP .则线段PB 长度的最小

值为____________ .

2. (2017·广东深圳)如图,在Rt △ABC 中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,Rt △MPN,∠MPN=90°,点P 在AC 上,PM 交AB 于点E,PN 交BC 于点F,当PE=2PF 时,AP=____________.

3.(2017·四川成都)如图1,把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD,再沿∠ADC 的平分线DE 折叠,如图2,点C 落在点C'处,最后按图3所示方式折叠,使点A 落在DE 的中点A'处,折痕是FG.若原正方形纸片的边长为6 cm,则FG=___________cm.

4.(2016·安徽安庆一模)如图①,平行四边形ABCD 中,AB=AC,CE ⊥AB 于点E,CF ⊥AC 交AD 的延长线于点F.

(1)求证:△BCE ∽△AFC;

(2)连接BF,分别交CE,CD 于G,H(如图②),求证:EG=CG;

(3)在图②中,若∠ABC=60°,求GF

BG .

5.(2017·山东枣庄)已知正方形ABCD,P为射线AB上的一点,以BP为边作正方形BPEF,使点F在线段CB的延长线上,连接EA,EC.

(1)如图1,若点P在线段AB的延长线上,求证:EA=EC;

(2)如图2,若点P为线段AB的中点时,连接AC,判断△ACE的形状,并说明理由;

(3)如图3,若点P在线段AB上,连接AC,当EP平分∠AEC时,设AB=a,BP=b,求a∶b及∠AEC 的度数.

6.(2016·安徽)如图1,A,B 分别在射线OM,ON 上,且∠MON 为钝角.现以线段OA,OB 为斜边向∠MON 的外侧作等腰直角三角形,分别是△OAP ,△OBQ,点C,D,E 分别是OA,OB,AB 的中点.

(1)求证:△PCE ≌△EDQ.

(2)延长PC,QD 交于点R.

①如图2,若∠MON=150°,求证:△ABR 是等边三角形;

②如图3,若△ARB ∽△PEQ,求∠MON 的大小和PQ

AB 的值.