正弦定理教学设计
《正弦定理》教学设计
设计教师:廖仪君
思南县第六中学一、教材分析
《正弦定理》是人教版教材必修五第一章《解三角形》的第一节内容,也是三角形理论中的一个重要内容,与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系。在此之前,学生已经学习过了直角三角形的边角的量化关系,正弦函数和余弦函数,知识储备已足够。它是后续课程中解三角形的理论依据,也是解决实际生活中许多测量问题的工具。因此熟练掌握正弦定理能为接下来学习解三角形打下坚实基础,并能在实际应用中灵活变通。
二、教学目标
知识目标:理解并掌握正弦定理及其推导过程,运用正弦定理解三角形。
能力目标:探索正弦定理的推导过程,用归纳法得出结论,并能掌握多种推导方法。
情感目标:通过多种推导方法得出正弦定理,让学生感受数学公式的准确性和整洁对称美以及数学的实际应用价值。
三、教学重难点
教学重点:正弦定理的内容和变型与延伸,正弦定理的多种推导方法及基本应用。教学难点:正弦定理的探索及推导。
1、已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
2、已知两角和任意一边解三角形。
四、教法-----启发式教育教学法。
本节知识遵循以教师为主导,以学生为主体的指导思想,采用与学生共同探索的教学方法,命题教学的发生型模式,以问题实际为参照对象,激发学生学习数学的好奇心和求知欲,让学生的思维由问题开始,到猜想的得出,猜想的探究,定理的推导,并逐步得到深化,且运用例题和习题来强化内容的掌握,突破重难点。即指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法。学生采用自主式、合作式、探讨式的学习方法,这样能使学生积极参与数学学习活动,培养学生的合作意识和探究精神。
五、教学过程
(一)、引入。
提问:在中学的初中阶段我们学习了直角三角形的边角之间有一定的准确量化关系:(1)正弦,余弦,正切;(2)勾股定理两锐角互余;可以解直角三角形。
同时我们知道,在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系。那我们能不能得到关于任意三角形边、角准确量化的关系表达式从而解三角形呢?
(二)、归纳命题
1、特殊的三角形直角三角形中来探讨边与角的数量关系:
在如图Rt 三角形ABC
sin .b B c = 所以,.sin sin a b c A B
==
又sin 1,C =所以 然成立呢?
2、命题证明
首先考虑锐角三角形,要找到边与角正弦之间的关系,就要找到桥梁,那就是构造出直角三角形——作高线。
作AB 上的高CD ,根据三角函数的定义,
所以,sin sin .a B b A =
同理,在ABC ?中,
.sin sin b c B C
= 于是在锐角三角形中,sin sin sin a b c A B C
==也成立。 当ABC ?是钝角三角形时,以上等式仍然成立吗?
由学生类比锐角三角形的证明方法,同样可以得出。
于是,从以上的讨论和探究,得出定理:
正弦定理(lawsofsines )在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 sin sin sin a b c A B C
===2R (其中R 为三角形外接圆半径) 分析此关系式的形式和结构,一方面便于学生理解和识记,另一方面,让学生去感受数学的间接美和对称美。 注意:(1)关系式的形式和结构。
(2)正弦定理的变型式:asinB=bsinA,asinC=csinA,bsinC=csinB ;
① b a B A =sin sin ,b c B C =sin sin ,c
a C A =sin sin ; ② ,sin 2sin sin sin sin .A R C A c B A
b a ===
B R C
B c A B a b sin 2sin sin sin sin ===;sin 2sin sin .sin sin .
C R A C a B C b c ===
③ R a c C a b B a A 2sin .sin .sin ===
R
b c C b a A b B 2sin .sin .sin ===R c b B c a A c C 2sin .sin .sin ===; ④ SinA:sinB:sinC=a:b:c
(3)方程观点:正弦定理其实是已知三个量解一个量。
正弦定理描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。我们把三角形的三边和三个角叫做三角形的元素,已知几个元素求其他元素的过程叫解三角形。
分析正弦定理的应用范围,定理形式可知,(1)如果已知三角形的两角和一边;(2)已知两边和其中一边所对的角,都可以解出这个三角形。
3、命题应用.
(1)讲解书本上两个例题:
例1 在△ABC 中,已知A=32°,B=81.8°,a=42.9cm.解三角形。
例2 在△ABC 中,已知a=20cm ,b=28cm ,A=40°,解三角形(角精确到10,
边长精确到1cm )。
例1简单,结果为唯一解;例2较难。
总结:如果已知三角形两角和一边(边是任意),以及已知两角和其中一角的对边,都可利用正弦定理来解三角形;使学生明确,利用正弦定理求角有两种可能。 要求学生熟悉掌握已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形。 接着回到课堂引入未解决的实际问题。
在△ABC 中,已知AC=1500m ,∠C=450,∠B=300。求AB=?
在已经学习过正弦定理和例1例2的运用之后,此题就显得非常简单。
(2)课堂练习课本P4,让学生自己运用正弦定理解题。
1.在△ABC 中,已知下列条件,解三角形(角度精确到10,边长精确到1cm ):
(1)A=45°,C=30°,c=10cm
(2)A=60°,B=45°,c=20cm
2.在△ABC 中,已知下列条件,解三角形(角度精确到10,边长精确到1cm ):
(1)a=20cm ,b=11cm ,B=30°
(2)c=54cm ,b=39cm ,C=115°
学生板演,老师巡视,及时发现问题,并解答。
(3)综合题例练习与讲解。
1.在△ABC 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,若a =2,sincos =,sinBsinC =cos2,求A 、B 及b 、c.
解:由sincos =,得sinC =,
又C ∈(0,π),所以C =或C =.
由sinBsinC =cos2,得
sinBsinC =[1-cos(B +C)],
即2sinBsinC =1-cos(B +C),
即2sinBsinC +cos(B +C)=1,变形得
cosBcosC +sinBsinC =1,
即cos(B -C)=1,所以B =C =,B =C =(舍去),
A =π-(
B +C)=.
由正弦定理==,得
b =
c =a =2×=2.
故A =,B =,b =c =2.
2.在△ABC 中,A 、B 为锐角,角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ,且cos2A =,sinB =.(1)求A +B 的值;(2)若a -b =-1,求a ,b ,c 的值.
解:(1)∵A 、B 为锐角,sinB =,
∴cosB ==.
又cos2A =1-2sin2A =,∴sinA =,cosA =,
∴cos(A +B)=cosAcosB -sinAsinB =×-×=.
又0<A +B <π,∴A +B =.
(2)由(1)知,C =,∴sinC =.
由正弦定理:==得:
a =
b =
c ,即a =b ,c =b.
∵a -b =-1,∴b -b =-1,∴b =1.
∴a =,c =.
4、形成命题域、命题系完成课本探究(课本P3)
开始我们运用分类讨论平面几何三角形的情况证明了正弦定理。那么正弦定理的证明还有没有其他的证法?学生可以自主思考,也可以合作探究。
学生思考出来就更好,如果没有思考出来,提示两种方法
(1)几何法,作三角形的外接圆;(2)向量法。
先让学生思考。结束后,重点和学生一起讨论几何法,作外接圆的证法。一方面是让学生体会到证明方法的多样,进行发散性思维,但更主要的是为了得出2sin sin sin a b c R A B C ===。即得正弦定理中这一比值等于外接圆半径的2倍的结论,让学生能更深刻地理解到这一定理的,也方便以后的解题。而提到的向量法,则让学生课后自己思考,可以查阅资料证明。
(1).外接圆证明正弦定理。 在△ABC 中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC 的外接圆,O 为圆心,
连结BO 并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到
∠BAB′=90°,∠C =∠B′,∴sin C =sin B′=R c B C 2sin sin ='=.∴R C
c 2sin =. 同理,可得R B b R A a 2sin ,2sin ==.∴R C
c B b A a 2sin sin sin ===. 这就是说,对于任意的三角形,我们得到等式
(2)向量法证明正弦定理。
(1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于,则j 与的夹角为
90°-A ,j 与CB 的夹角为90°-C .由向量的加法原则可得AB CB AC =+, 为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,得到AB j CB AC j ?=+?)(
由分配律可得AB j CB j AC ?=?+. B ∴|j |AC Co s90°+|j |CB Co s(90°-C )=|j |AB Co s(90°-A ).j
∴asinC=csinA.∴C c A a sin sin =. A 另外,过点C 作与CB 垂直的单位向量j ,则j 与AC 的夹角为90°+C ,j 与AB 的夹角为90°+B ,可得B
b C
c sin sin =. (此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j 与
AC 的夹角为90°-C ,j 与AB 的夹角为90°-B )∴C c B b A a sin sin sin ==.
(2)△ABC 为钝角三角形,不妨设A >90°,过点A 作与
AC 垂直的单位向量j ,则j 与AB 的夹角为A -90°,j 与CB 的夹角为90°-C .
由AB CB AC =+,得j ·AC +j ·
CB =j ·AB ,j 即a·Cos(90°-C)=c·Cos(A-90°),∴asinC=csinA.∴C
c A a sin sin = 另外,过点C 作与CB 垂直的单位向量j ,则j 与
AC 的夹角为90°+C ,j 与AB 夹角为90°+B .同理,可得C c B b sin sin =.∴C
c B b simA a sin sin == 六、课堂小结与反思
这节课我们学到了什么?(正弦定理的形式?正弦定理的适应范围?正弦定理的证明方法?)
1、我们从直角、锐角、钝角三类三角形出发,运用分类的方法通过猜想、
证明得到了正弦定理sin sin sin a b c A B C
==,它揭示了任意三角形边和其所对的角的正弦值的关系。
2、运用正弦定理解决了我们所要解决的实际问题。在解三角形中,若已知两角和一边,或者已知两边和其中一边所对的角可以用正弦定理来解决。但在第二种情况下,运用正弦定理需要考虑多解的情况。
A C
C B A
3、正弦定理的证明还可以运用向量法和作三角形的外接圆来证明。其中通过作外接圆可以得到2.sin sin sin a b c R A B C
===这是对正弦定理的补充。 七、作业布置
教材第10页,习题1.1,A 组第一题、第二题。
苏教版高中数学必修五正弦定理教案
第 1 课时: §1.1 正弦定理(1) 【三维目标】: 一、知识与技能 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容和推导过程; 2.能解决一些简单的三角形度量问题(会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题);能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题; 3.通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 4.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力. 二、过程与方法 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 三、情感、态度与价值观 1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力; 2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力,通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 【教学重点与难点】: 重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 【学法与教学用具】: 1. 学法:引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系: sin sin sin a b c A B C == ,接着就一般斜三角形进行探索,发现也有这一关系;分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导,让学生发现向量知识的简捷,新颖。 2. 教学用具:多媒体、实物投影仪、直尺、计算器 【授课类型】:新授课 【课时安排】:1课时 【教学思路】: 一、创设情景,揭示课题 1.在直角三角形中的边角关系是怎样的? 2.这种关系在任意三角形中也成立吗? 3.介绍其它的证明方法 二、研探新知 1.正弦定理的推导 (1)在直角三角形中:c a A = sin ,1sin ,sin ==C C B B , 即 =c A a sin ,=c B b sin ,=c C c sin ∴A a sin =B b sin =C c sin 能否推广到斜三角形? (2)斜三角形中 证明一:(等积法,利用三角形的面积转换)在任意斜△ABC 中,先作出三边上的高AD 、BE 、CF ,则sin AD c B =,sin BE a C =,sin CF b A =.所以111 sin sin sin 222 ABC S ab C ac B bc A ?= ==,每项
高中数学《正弦定理》公开课优秀教学设计
2016年全国高中青年数学教师优秀课教学设计 2016年10月 正弦定理 第一课时
一、教学内容解析 本节课《正弦定理》第一课时,出自新人教A版必修5第一章第一节《正弦定理和余弦定理》。课程安排在“三角、向量”知识之后,是三角函数知识在三角形中的具体运用,更是初中“三角形边角关系”和“解直角三角形”内容的直接延续和拓展,同时也是处理可转化为三角形计算的其他数学问题及生产生活实际问题的重要工具。 本节课的内容共分为三个层次:第一,从实际问题导入,在解直角三角形的边角关系的基础上,触碰解斜三角形的思维困惑点,自然生成疑问,激发学生探究欲望,从熟悉的解直角三角形顺利过渡到即将要面对的解任意三角形,实现知识的螺旋式上升,符合学生的认知思维;第二,带着疑问,在探究得到直角三角形边角量化关系的基础上,以此作为启发点,首先对特殊的斜三角形边角量化关实验验证。其次是严密的数学推导证明,得到正弦定理,以解直角三角形为知识基础,验证和证明,教学过程中充分体现了转化化归的数学思想;第三,解决引例,首尾呼应,并学以致用。 正弦定理其实是把“大边对大角、小边对小角”这一几何关系的解析化。从三角学的历史发展来看,三角函数其实就是有关三角形、圆的性质的解析表达。这样在悄无声息中,渗透了学科发展中研究观点和研究方法的嬗变。这其实是一个推陈出新的过程。 通过这三个层次:探索发现——推导证明——实际应用。从实际中来,到实际中去。课堂上,引导学生充分体验、直观感知、大胆猜想、实验探究、理论验证以及实际应用。 二、教学目标设置 《数学课程标准》中关于本节课的课程目标要求是:“在本章中,学生将在已有知识的基础上,通过对任意三角形边角关系的探究,发现并掌握三角形中的边长和角度之间的数量关系,并认识运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。” 根据课程目标,依据教材内容和学生情况,确定本节课的学习目标为: 1、通过观察、实验、验证、猜想、证明,从特殊到一般得到正弦定理;
《正弦定理》教学设计方案
探寻提出特例猜想:回顾直角三角形中边角关系.如图: 引导学生寻求联系,发现规律深化学生对直角三角形边角关系的理解. 小组交流,在教师引导 下得出:利用c边相同, 寻求形式的和谐统一,即: 在Rt△ABC中 引导 学生 经历 经历 由特 殊到 一般 的发 现过 程 提问: 思考:在斜三角中,上式关系是否成立1、小组交流合作 2、小组长上黑板展示:正 弦定理及其推导 在锐角三角形中 作CD AB于D,有 在钝角三角形中 引导 学生 通过 自主 探 究、 合作 交流 寻求 问题 结论 和解 决办 法
作CD AB于D,有 综上: (1)正弦定理展现了三角形边角关系的 和谐美和对称美; (2)解三角形:一般地,我们把三角形 的三个角和它的对边分别叫做三角形的元 素.已知三角形的几个元素求其他元素的过 程叫做解三角形. (3)思考:直接应用正弦定理至少需要已 知三角形中的几个元素才能解三角形? 学生在教师引导下充 分理解正弦定理,掌握正 弦定理的结构特征,启发 学生思考正弦定理可以那 些解决解三角问题. 引 导学 生体 会正 弦定 理所 体现 的美 学价 值, 挖掘 正弦 定理 的应 用(1)正弦定理可以用于解决已知两角和 任意一边求另两边和一角的问题. 例1: 例1由学生给出条件 结合两道例题,引导学生 总结:(1)已知两角一边, 进一
(2)正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角,求其他边和角的问题.. 例2:解三角形,解的情况唯一;步深 化对 正弦 定理 的认 识和 理解 变式训练: 利用作图法总结已知两边及一边对角解三 角形时解的情况 讨论完成变式训练 六、教学评价设计 这堂课由实际问题出发,引导学生探索研究三角形中边角关系,展示了一个完整的数学探究过程。提出问题、发现规律、推到证明,定理应用,让学生经历了知识再发现的过程,促进了个性化学习。在教学过程中,使学生体会认识事物由特殊到一般,再由一般到特殊的规律,体会分类讨论、数形结合的数学思想方法,并提高运用所学知识解决实际问题的能力。 七、教学板书 正玄定理 教学重点:1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用 教学难点:1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用.
2016年全国高中数学优质课:1.1正弦定理教学设计(人教A版必修5)
正 弦 定理教 学 设 计
《正弦定理》教学设计 一、教学内容分析 本节课《正弦定理》第一课时,出自新人教 A 版必修 5 第一章第一节《正弦定理和余弦定理》。课程安排在“三角、向量”知识之后,是三角函数知识在三角形中的具体运用, 更是初中“三角形边角关系”和“解直角三角形”内容的直接延续和拓展,同时更是处理可 转化为三角形计算的其他数学问题及生产生活实际问题的重要工具。 本节课的内容共分为三个层次:第一,从实际问题导入,在解直角三角形的边角关系的 基础上,触碰解斜三角形的思维困惑点,形成疑问,激发学生探究欲望,提出斜三角形的边 角关系的猜想;第二,带着疑问,对猜想进行验证,首先对特殊的斜三角形边角关系进行验 证和实验探究验证,其次是严密的数学推导证明;第三,得到正弦定理,解决引例,首尾呼 应,并学以致用,简单应用。 正弦定理其实是把“大边对大角、小边对小角”这一几何关系的解析化,从三角学的历史发展来看,三角函数其实就是有关三角形、圆的性质的解析表达。这样在悄无声息中,渗 透了学科发展中研究观点和研究方法的嬗变。这其实是一个推陈出新的过程。 通过这三个层次,探索——发现——证明,从实际中来,到实际中去。通过课堂,体会直观感知、大胆猜想、实验探究、理论验证、实际应用的学习过程。 二、教学目标设置 1、从已有三角形知识出发,通过观察、实验、猜想、验证、证明,从特殊到一般得到 正弦定理,掌握正弦定理,了解正弦定理的一些推导方法,并学会应用正弦定理解决斜三角 形的两类基本问题; 2、通过对实际问题的探索,培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能 力,增强学生的协作能力和交流能力,发展学生的创新意识,培养学生的缜密思维;
正弦定理教案
课题:§2.1.1正弦定理 教学目标: 1.知识目标:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 2. 能力目标:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 3.情感目标:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力 教学重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。 教学难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 教材版本:北师大必修5 教学课时:1 教学过程: 一、新课引入: 如左图,在ABC Rt ?中,有 s i n ,s i n ,s i n 1 a b A B C c c ===。 经过变形有,,sin sin sin a b c c c c A B C ===, 所以在ABC Rt ?中有:c C c B b A a ===sin sin sin 思考:在其他任意三角形中是否也有 s i n s i n s i n a b c A B C ==等式成立呢,这个时候 ?sin sin sin ===C c B b A a 观察下图,无论怎么移动B ’,都会有角B ’=B,所以在C AB '?中,c B b B b ==sin sin ', c