2018高考数学专题复习 三角换元法

三角换元法

摘要：本文归纳总结了三角换元法的基本用法，以常见例题的形式讲述了三角换元法在解题过程中的具体应用。

大家知道，换元法的实质是通过换元将原来比较复杂的、非标准的形式转化为简单的、标准的形式，以利于揭示问题的本质、题目的分析和解决。三角换元法是众多换元法中的一种，它以三角函数为“元”，将代数问题转化为易于应用三角函数性质求解的问题，三角换元法在求解方程、不等式、解析几何和函数最值等方面都有着广泛的应用。一般情况下，在运用三角换元的题目中，往往在表达式的形式或字母的取值范围等方面明显反映出三角函数式的特征，这一点给三角换元法的应用提供了线索。具体表现在该方法对于含有被开方式为二次式的二次根式问题能起到除去二次根式的作用，因为二次根式c bx ax ++2总是可以转化为22t k -、t k +2或22k t -的形式，其中t 为变量，k 为非负常量。现对于此类问题归纳如下：

1．形如),(22x a x f y -=的形式，其中f 是x 和

22x a -的代数函数。令

)2

2

,0(,sin π

π

≤

≤-

>=t a t a x 此时，[]a a x ,-∈或令),0,0(,cos π≤≤>=t a t a x

同理[]a a x ,-∈，

2．形如),(22a x x f y +=的形式，其中f 是x 和22x a +的代数函数。令

),2

2

,0(,tan π

π

<

<-

>=t a t a x 此时，),(+∞-∞∈x 或令),0,0(cot π<<>=t a t a x

),(+∞-∞∈x 。

3．形如),(22a x x f y -=的形式，其中f 是x 和

22a x -的代数函数。令

),2

3

,2

0,0(,sec πππ

<

≤<≤>=t t a t a x 此时，),,[],(+∞?--∞∈a a x 或令t a x csc = ),2

0,02

,0(π

π

≤

<<≤-

>t t a 其中),[],(+∞?--∞∈a a x 。

注：上面替换中应注意，t 的范围应满足：

1°根式中变量的取值要求。 2°二次根式的化简唯一。

以上是常见的用法，其具体应用现分类介绍如下：

一、三角换元法在解方程及解不等式中的应用。

例1． 解方程：12

351

2=

-+

x x x 解：该方程的根必然为正（否则左负右正），所以设)2

0(,sec π

≤

≤=t t x ，则方程变为

12

35

tan sec sec =+

t t t 变形整理得：05762sin 5762sin 12252

=--t t ∴ 25242sin =t 或49

242sin -=t ∵ 2

0π

<

≤t

∴ π<≤t 20

故 49242sin -=t 应舍去，由25242sin =t 得25

7

2cos ±=t

当2572cos +=t 时，得54cos =t ，∴ 45

=x

当2572cos -=t 时，得53cos =t ，∴ 35

=x

故原方程的根为 45=x 或 3

5

=x

说明：此题关键是去掉根式，易联想到αα2

2

tan 1sec =-的形式，换元也就水到渠成了。

例2． 解方程组?????=+=+2

39

22y x y x 。

解：由题意知,0,0>>y x 则设,sin 3α=x 其中,2,0??

?

???∈πα那么αsin 3=y 此时 ααcos 3sin 3+=+y x )4

sin(23π

α+=

23= 即 1)4

sin(=+

π

α

∴4πα= 从而 ??????

?==22

3223y x

所以方程组的解为???

???

?==22322

3y x

说明：题目的实质是在圆上找一点，使其纵坐标之和为定值，注意到半径与定值的大小关系，设参数时角的范围可适当缩小。 例3． 实数y x ,满足1,1x y ≥≥，且

2222(log )(log )log ()log ()a a a a x y ax ay +=+

当1a >时，求log ()a xy 的取值范围。

解：此题直接求解较难，若令log ,log ,a a u x v y ==由1,1x y ≥≥可得0,0u v ≥≥，于是问题转化为：“已知0,0u v ≥≥，且22(1)(1)4,u v -+-=求u v +的取值范围”，再做三角变换，令[]12cos ,12sin ,0,2u v θθθπ=+=+∈，

则 22cos 2sin u v θθ+=++

2)4

π

θ=++

由0,0u v ≥≥得11

cos ,sin 22

θθ≥-

≥- ∴ 211

,6312412

ππππθθπ-≤≤

≤+≤

∴当sin()14

π

θ+

=时，max ()2u v +=+

当sin()sin

4

12

π

π

θ+

=或11

sin

12

π时，min ()1u v +=

∴ 12u v +≤+

故 log ()a xy 的取值范围是12?++?。

说明：本题条件较为复杂，解题方向不明确，所以通过有理代换，三角代换揭示了问题的几何意义。

二、三角换元法在证明中的应用

例4． 若*222

,,,,3,,a b c R a b c n n N ∈+=≥∈则n

n

n

a b c +<。

证明：设

sin ,cos ,(0,)2

a b c c πααα==∈ ∵0sin 1,0cos 1αα<<<< ∴22sin

sin ,cos cos n

n αααα<<

∴ sin cos n

n

n

n

n

n

a b c c αα+=+ (cos

sin )n

n

n c αα=+

22(cos sin )n n c c αα<+=

故 n

n

n

a b c +<

说明：题目综合难度较大，但通过换元后利用单调性巧证，题目的关键在于放缩之后利用 2

2

sin cos 1αα+=，为解题带来了便利。

例5． 已知0,0,21x y x y >>+=，求证：

11

3x y

+≥+ 证明：由于0,0,21x y x y >>+=，可设

221sin ,cos ,(0,)22

x y πααα=

=∈ 则

221121sin cos x y αα

+=+ 222(1cot )1tan αα=+++ 223(2cot tan )αα=++

3≥+

其中等号在 112

x y =-

= 时成立。

故

11

3x y

+≥+ 说明：含有条件不等式的证明因题而异，此题换元思想的来源在于2

2

sin cos 1αα+=和

21x y +=的类比联想。当然此题也可以采用整体换元。

例6． 设x y z xyz ++=，求证：

2

2

2

2

2

2

(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y z y z x z x y xyz --+--+--≥。 证明： ∵x y z xyz ++=，

故可设 t a n ,t a n ,t a n ,(x y z αβγαβγπ===++=

∵ cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 21αββγγα++=

∴ 2222221tan 1tan 1tan 1tan 1tan 1tan 12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan αββγγα

αββγγα

------++=

即 222222

1111111222222x y y z z x x y y z z x

------++=

两边同乘以4,xyz 就得所证之式。

说明：此题换元思想在于：在非直角三角形中，其中三个内角,,αβγ的正切之间有关系式tan tan tan tan tan tan αβγαβγ++=，它虽然没有正式提出来，但相当重要。 三．三角换元法在解析几何中的应用。

例7．一条直线过点P （3，2）与 ,x y 轴的正半轴交于A 、B 两点，若ABC 的面积最小（O 为原点），求此时直线的方程。 解：设BAO θ∠=(0)2

π

θ<<

,则32cot OA

=+32tan OB θ=+，那么

1

2ABC

S

OA OB =

1

(32cot )(23cot )2θθ=++

1

6(9tan 4cot )2

θθ=++

6612≥+=

当且仅当9tan 4cot θθ=时，即2

tan ,3

ABC

S θ=取最小值12。

∴ 2tan()tan 3

AB k πθθ=-=-=-

故 直线方程为23120x y +-=。

说明：此题已知直线上的点坐标，求其方程，在于求出其斜率，即tan θ。因此三角思想由此而生，换元也顺理成章。

例7． 在椭圆2244x y x +=上求点(,)P x y 使22

d x y =-取最小。 解：设(22cos ,sin ),P θθ+则 22

d x y =-

22

(22cos )sin

θθ=+-

2

5cos 8cos 3θθ=++

2

415cos 55θ?

?=+- ??

?

当4cos 5θ=-

时，，点P 坐标为23(,)55或23(,)55-时，min 15

d =-。 当cos 1θ=时，点P 坐标为(4,0)时，max 16d =。

说明：此题若直接求解显得生硬，而且很繁，联想椭圆的参数方程，运用三角函数性质来解

就简单了许多。

例8。已知点P 在圆A ：2

2

1

(2)4

x y +-=上运动，Q 点在椭圆2244x y +=上运动，求 PQ 的最大值及此时P 、Q 点的坐标。

解：在椭圆上任取一点记为Q ，连接QA （A 为圆心）并延长交圆于P ，在圆A 上取异于点P 的任一点P ，易知

11

PQ PA AQ PA AQ PQ =+=+> 于是问题转化为求定点(0,2)A 到椭圆上动点Q 的最大值问题，设(2cos ,sin )Q θθ则

[)0,2θπ∈，

2

224cos (sin 2)AQ θθ=+-

2

3s i n 4s i n 8θθ=--

+ 2

228

3(s i n )

3

3

θ

=-++

当2sin 3θ=-

时，1326

PQ ==最大。此时，cos 3θ=±，

∴Q 点的坐标为（2

)3

-。 下面求此时P 点的坐标

∵ AQ k =

∴直线AQ 方程为2,y x -=与已知圆A 方程联立易求出P 点的坐标为

(。 说明：此题同例8一样，运用参数方程回避了大量复杂运算。 四．三角换元法在求函数最值中的应用

例10．求函数y =的值域。

解：所给函数可化为

2y x ++令 2

210sin (0)2

x π

αα+=≤≤

，则

y αα

)α?=+ 其中1

cos 2

??=

=， 所以6π?=， 因此1sin sin()1

2?α?=≤

+≤，

y ≤≤。

说明：此题目有两个根式，平方去根号需两次，很繁，而采用换元法去根号使得题目变

得简单易做。

例11．已知0,0,1

a b a b >

>+=，求(,)f a b = 解：设22112sin ,2cos ,(0,)222

a b π

ααα+

=+=∈，则

(,)f a b =

)4

π

α=+

∵ 02

π

α<<

∴

s i n ()124

π

α<+≤ 故 max (,)2f a b =

说明：题目中1a b +=与去根号暗示了三角换元法和利用2

2

sin cos

1αα+=来解题。 例12．求函数1

()3

f x x =-+[)4,+∞上的最小值。 解：令2sec (

)3

2

x π

π

θθ=≤<

，则

()2tan 3sec f x θθ=-1sin 32

cos θθ

-

=

此时()f x 的最小值即归结为求1

sin 3cos θθ-

在 ,32ππ??????

上的最小值，易知 cos θ在此区间上为减函数，而sin θ为增函数。故在3πθ=时，

1sin 3cos θθ

-

23。 ∴

min 4

()3

f x =。

说明：去根号采用三角换元。 例13

．求函数()f x =

在[)1,+∞上的最大值。 解：令1tan ,(arctan 2)2

x π

θθ+=≤<

，则

()f x =

22

21tan 1tan θθ

=

++

=

=

∵ 4arctan 242θπ≤<且34arctan 22

π< ∴ 1sin 40θ-≤< ∴ max 1()2

f x =

说明：此题同样式为去根号而换元，但在题目的处理中则显示了对三角知识的灵活运用，不仅有万能公式，而且用到二倍角公式，三角函数有界性等知识，因此需仔细观察然后用代换。

例14．设

0,0x y >>

的最大值。

解： ∵22

2

+=

∴

sin cos ,(0)2π

ααα==<<

所以sin cos αα=+

sin()4

π

α=+≤当4

π

α=

时，等号成立，此时（即x y =）有

max = 说明：此题抓住题目结构的内在特点，构造直角三角形，设元代换。

通过上面的例题可以看出，三角换元法的使用是有一定范围的，它只适用于具有某些特点的式子，如前文所提及的式子时，可以考虑使用此法，但应用此法是否能够解决问题，还必须进一步考虑能否引进三角函数，例如要设sec x α=时，x 必须满足1x ≥，否则就不能引进。进行三角换元以后，如果能利用三角知识解决问题，此法可行，否则还得另觅新路。

参考资料：

1．?数学问题化归理论与方法? 喻平 广西师范大学出版社 1999。8 2．?解题与证题指导? 中学数学教学文摘 浙江人民出版社 1982。5

3．“函数0)y ac <值域又一求法” 卢剑春 ?数学教学通讯? 2000。1