坡度与坡角教案
24.4解直角三角形
-----坡度坡角问题
教学目标知识与技能：巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题。
过程与方法：掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题。
情感、态度与价值观：培养学生用数学的意识，渗透数形结合的数学思想和方法。
教学重点理解坡度和坡角的概念。
教学难点利用坡度和坡角等条件，解决有关的实际问题。对于坡度i表示成1∶m的形式学生易疏忽，教学中应着重强调，引起学生的重视。
教学过程一．引入
通过回顾之前几节课对解直角三角形的学习，直接引入。
二、出示学习目标。
1、理解坡角、坡度的概念；
2、运用解直角三角形有关知识解决与坡角、坡度有关的实际问题；
3、注意数形结合的数学思想和方法。
三、自学指导。
1．坡度的概念，坡度与坡角的关系。
（1）、h：铅垂高度。
（2）、l：水平长度。
（3）、坡角α：坡面与水平面的夹角。
（4）、坡度（坡比）:坡面的铅垂高度h和水平长度l的比。
记作：i。即：α
tan
=
=
l
h
i
注意：
α
tan
1
1
=
=
=
=
m
h
l
l
h
i
显然，坡度i越大，坡角α就越大，坡面就越陡。
练习：
1、斜坡的坡度是 ，则坡角α=______度。
2、斜坡的坡角是o
45，则坡比是 _______。
3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______。
2．例题讲解。
例1.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i=1∶3，斜坡CD 的坡度i=1∶2.5，求：
（1）坝底AD 与斜坡AB 的长度。（精确到0.1m ）
（2） 斜坡CD 的坡角α。（精确到0.1m ）
四、巩固练习
课件练习题
五、总结与扩展
引导学生回忆前述例题，进行总结，以培养学生的概括能力。
1．弄清坡度、坡角、水平距离、垂直距离、等概念的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问题。
2．认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题。
3．选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，且不易出错。
4． 按照题中的精确度进行计算，注明单位。
六、布置作业
Ｐ116页 练习
3:1
九年级数学上册-解直角三角形及其应用第3课时方位角与方向角坡度与坡角2坡度与斜率问题教案沪科版
23.2 解直角三角形及其应用 第3课时方位角与方向角、坡度与坡角 2.坡度与斜率问题 【知识与技能】 1.了解测量中坡度、坡角的概念； 2.掌握坡度与坡角的关系,能利用解直角三角形的知识,解决与坡度有关的实际问题. 【过程与方法】 通过对例题的学习,使学生能够利用所学知识解决实际问题. 【情感态度】 进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 【教学重点】 能利用解直角三角形的知识,解决与坡度、与弧长有关的实际问题. 【教学难点】 能利用解直角三角形的知识,解决与坡度的有关的实际问题. 一、情景导入,初步认知 在本章第一节的内容中,我们对坡度的有关知识有了一定的了解.本节课我们继续学习与坡度有关的计算. 【教学说明】 引入新课,告诉学生本节课所学习的内容. 二、思考探究,获取新知 如图:铁路路基的横断面是四边形ABCD,AD∥BC,路基顶宽BC=9.8m,路基高BE=5.8m,斜坡AB的坡度i=1∶1.6,斜坡CD的坡度i=1∶2.5,求铁路路基下底宽AD的值（精确到0.1m)与斜坡的坡角α和β（精确到1°）的值. 解:过点C作CF⊥AD于点F,得 CF=BE,EF=BC,∠A=α,∠D=β
∴AE=1.6×5.8=9.28m, DF=2.5×5.8=14.5m, ∴AD=AE+EF+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6m. 由tanα=1/1.6, tanβ=1/2.5,得 α≈32°,β=22° 答:铁路路基下底宽33.6m,斜坡的坡角分别为32°和22°. 【教学说明】 教师引导学生分析题目中的已知条件分别代表的是什么,将图形中的信息转化为图形中的已知条件,再分析图形求出问题. 三、运用新知,深化理解 1.教材P130例7. 2.如图,在山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m,测得斜坡的倾斜角是24°,求斜坡上相邻两树的坡面距离(精确到0.1m). 【分析】 引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形.已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5.5米,∠A=24°,求AB. 答:斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米. 3.同学们,如果你是修建三峡大坝的工程师,现在有这样一个问题请你解决:如图水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,斜坡AB的坡度i=1∶3,斜坡CD的坡度i=1∶2.5,求斜坡AB的坡面角α,坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m).
坡度和方位角问题(第课时)
第2课时坡度和方位角问题 【知识与技能】 1.了解测量中坡度、坡角的概念； 2.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题. 【过程与方法】 通过对例题的学习，使学生能够利用所学知识解决实际问题. 【情感态度】 进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 【教学重点】 能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长有关的实际问题. 【教学难点】 能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题. 一、情景导入，初步认知 如图所示，斜坡AB和斜坡A1B1，哪一个倾斜程度比较大?显然，斜坡A1B1 ＞∠A. 的倾斜程度比较大，说明∠A 1
＞tanA. 即tanA 1 【教学说明】通过实际问题的引入，提高学生学习的兴趣. 二、思考探究，获取新知 1．坡度的概念，坡度与坡角的关系. 如上图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平前进的距离的比叫作坡度(或坡比)，记作i，即i＝AC/BC，坡度通常用l∶m的形式，例如上图中的1∶2的形式.坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α.从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡. 2.如图，一山坡的坡度为i＝1∶2,小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240米到达点C，这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？（角度精确到0.01°，长度精确到0.1米）
3.如图，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的四周30km内有暗礁.问这艘船继续向东航行是否安全？ 【教学说明】教师引导学生分析题目中的已知条件分别代表的是什么，将图形中的信息转化为图形中的已知条件，再分析图形求出问题.学生独立完成. 三、运用新知，深化理解 1.如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)． 分析：引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形． 解：已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB． 在Rt△ABC中，cosA=AC/AB, ∴AB=AC/cosA=5.5/0.9135≈6.0（米） 答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．
解直角三角形(坡度、坡角)
解直角三角形（坡度、坡角）第七-九课时 ◆随堂检测 1、某斜坡的坡度为i=1：3，则该斜坡的坡角为______度． 2、以下对坡度的描述正确的是（）． A．坡度是指斜坡与水平线夹角的度数; B．坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度的比; C．坡度是指斜坡的水平宽度与铅直高度的比; D．坡度是指倾斜角的度数 3、某人沿坡度为i=1： 3 3 的山路行了20m，则该人升高了（）． A．203m B．20340 .103. 3 m C m D3m 4、斜坡长为100m，它的垂直高度为60m，则坡度i等于（）． A．3 5 B． 4 5 C．1： 4 3 D．1：0.75 5、在坡度为1：1.5的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为6m，?则斜坡上相邻两树间的坡面距离为（）． A．4m B．213m C．3m D．413m ◆典例分析 水库拦水坝的横断面为梯形ABCD，背水坡CD的坡比i=1：3，?已知背水坡的坡 长CD=24m，求背水坡的坡角α及拦水坝的高度． 解：过D作DE⊥BC于E． ∵该斜边的坡度为1：3， 则tanα= 3 ，∴α=30°， 在Rt△DCE中，DE⊥BC，DC=24m． ∴∠DCE=30°，∴DE=12（m）． 故背水坡的坡角为30°，拦水坝的高度为12m． 点评：本题的关键是弄清坡度、坡角的概念，坡度和坡角的关系：坡度就是坡角的正切值，通过做高构造直角三角形，再利用三角函数值求出坡角即可. ◆课下作业
●拓展提高 1、如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，?要求相邻两棵树间的水平距离 AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为_______m（精确到0．1m）． （?可能用到的数据2≈1.41，3≈1.73） 1题图 2如图，防洪大堤的横断面是梯形， 坝高AC=6米，背水坡AB的坡度i=1：2， 2题图 则斜坡AB的长为_______米． 3、如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地砖，?地毯的长度至少需________米（精确到0.1米）． 3题图 4题图 4、如图，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i=1：3，坡高BC为2米，则斜坡AB的长是（） A．25米 B．210米 C．45米 D．6米 5、为了灌溉农田，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1.2m，下底宽为2m，坡度为1：0.6的渠道（其横断面为等腰梯形），并把挖出的土堆在两旁，使土堤的高度比原来增加了0.6m，如图所示，求：（1）渠面宽EF；（2）修400m长的渠道需挖的土方数． 6、一勘测人员从A点出发，沿坡角为30°的坡面以5km/h的速度行到点D，?用了10min，然后沿坡角为45°的坡面以2.5km/h的速度到达山顶C，用了12min，?求山高及A，B两点间的距离（精确到0.1km）． 7、某村计划开挖一条长为1600m的水渠，渠道的横断面为等腰梯形，渠道深0.8m，下底宽1.2m，坡度为1：1．实际开挖渠道时，每天比原计划多挖土方20m3，结果比原计划提前4天完工，求原计划每天挖土多少立方米．（精确到0.1m3）
坡度、坡角
h L α课题： 解直角三角形的应用三 学习目标： 1、 知道坡角、坡比（坡度）的意义. 2、能将有关实际问题转化为解直角三角形的问题 自学自探： 认真看课本第115页到第116页，注意理解坡角、坡度的意义及它们的关系，例题的解题格式。 自学检测： 1、坡面的铅垂高度（h ）与水平宽度（L ）的比叫做 （或 ），记作,i 即L h i =. 坡度通常写成 的形式. 2、坡面与水平面的夹角叫做 ,记作α. 3、坡度与坡角的关系： 根据定义，你能用坡度来刻画斜坡的倾斜、即陡的程度吗？ 答： 4、斜坡的坡度是 ，则坡角α=______度 5、斜坡的坡角是450 ，则坡度是 _______ 6、斜坡长是12米，坡高6米，则坡度是_______ 7、某人沿坡度为i=120m ，则该人升高了 8、水库拦水坝的横断面为梯形ABCD ，背水坡CD 的坡比i=1，?已知背水坡的坡长CD=24m ，求背水坡的坡角α及拦水坝的高度． 教师点拨： 理解坡度坡角的概念，在复杂图形中求解时要结合图形，理解题意，运用所学知识通过构造直角三角形求解。 3:1
当堂检测 1、如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，?要求相邻两棵树间的水平距离AC为2m，那么 相邻两棵树的斜坡距离AB约为_______m（?≈1.73）2、如图，防洪大堤的横断面是梯形，坝高AC=6米，背水坡AB的坡度i=1：2，则斜坡 AB的长为_______米． 3.如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB=2000米，则他实际上升了米． 4.（2015?四川广安）数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB的高度，如图，老师测得升旗台前斜坡FC的坡比为i FC=1：10（即EF：CE=1：10），学生小明站在离升旗台水平距离为35m（即CE=35m）处的C点，测得旗杆顶端B的仰角为α，已知tanα=，升旗台高AF=1m，小明身高CD=1.6m，请帮小明计算出旗杆AB的高度．
坡比坡角
2.5解直角三角形的应用——坡度与坡角 主备人：林新涛备课组长：林新涛教研组长：王学军 【学习目标】 1、知道坡角、坡比（坡度）的意义。 2、能将h、L、c、i各量的计算问题转化为解直角三角形的问题，这些量中若已知两个量，可求其他量. 3、在有些实际问题中没有直角三角形，学会添加辅助线构造直角三角形. 【学习过程】 一．自主学习: 自学课本118页，完成以下问题： 1、坡度（或坡比）：坡面的和的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即i=----, 坡度通常写成1∶m的形式. 2、坡度与坡角的关系（公式）： 二．合作交流：例题： 自学课本P115例4，交流思路、方法。 三．交流展示： 如图，某地计划在河流的上游修建一条拦水大坝。 大坝的横断面ABCD是梯形，坝顶宽BC=6米，坝高20m， 迎水坡AB的坡度 i=1：2，背水坡CD的坡度i=1:1.2 求（1）求拦水大坝的底面AD的宽。 （2）若修筑2000米长的大坝，需要多少立方米 的土石？
如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD,坝顶宽为6米，坝高24米，斜坡AB 的坡度为 i 1=1：3，斜坡CD 的坡度i 2=1：2.5. （1）求坝底AD 的长度. (2)斜坡CD 的坡角α（精确到1o ，tan26o ≈0.4） 四．当堂达标： 1、如果一斜坡高h=4米，水平距离L=34米，则斜坡的坡比i= ，坡角 = 。 2、斜坡的坡比i=1:1 ，则坡角α=__ __。 3、一段斜坡公路的坡度为i=1∶3,这段公路长AB=100m ，求从坡底到坡顶这段公路的垂直高度。（即BC 的高度） 4、如图，一段河坝的横断面为梯形ABCD,根据图中数据，求出坝底宽AD （结果保留根号）和坡角α.
方向角与方位角问题
年级：九年级下册科目：数学主备: 审核： 课题：28.2 方位角与方向角问题 学习目标： 能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题． 重点与难点 1．重点：直角三角形的解法． 2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用。 一、用一用 用解直角三角形知识解决测量中的方位角问题． 方位角与方向角 1．方向角 指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．如图（1）中的目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如图（1）的目标方向线OD与正南方向成45°角，通常称为西南方向． （1）（2） 2．方位角 从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．?如图（2）中，目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°． 用解直角三角形的方法解决实际问题方法要点 在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）?之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解．
解题时一般有以下三个步骤： 1．审题．按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知． 2．将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题．如果没有现成是直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形． 3．根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、?角）之间关系解有关的直角三角形． 例1、如图所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，?距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，?到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.01海里） 分析：因为△APB不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形，△ACP与△PCB．PC?是东西走向的一条直线．AB是南北走向的一直线，所以AB与PC是相互垂直的，即∠ACP与∠BDP?均为直角．再通过65度角与∠APC互余的关系求∠APC；通过34度角与∠BPC?互余的关系求∠BPC． 解：如图，在Rt△APC中， ∵ cos（90°-65°）=___________________ ∴ PC=_____________________________ = 在Rt△BPC中，∠B=34°， ∵sinB=__________________， ∴PB=____________________________________≈_______ 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．
解直角三角形的应用-坡度坡角问题.
利用三角函数测高导学案 姓名: 一、相关定义 二、典型题型 1、如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）． 2、某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（1）求新坡面的坡角a；（2）原天桥底部正前方8米处（PB的长）的文化墙PM是否需要拆桥请说明理由． 3、如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少
4、5、
6、同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽12m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=3 1：，斜坡CD的坡度i=1∶3，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到参考数据：3≈） 7、如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：2． （1）求加固后坝底增加的宽度AF的长； （2）求完成这项工程需要土石多少立方米
人教初中数学九下 28.2《方位角、坡度、坡角》教案
方位角、坡度、坡角 1.掌握方位角的定义及表示方法指或指方向线与目标方向线 所成的小于90°的水平角,叫方位角,如图,目标方向线OA、OB、OC、OD的方位角分 别表示, , , . 2.理解坡度、坡比等相关概念在实际问题中的含义 (1)坡度、坡比 ①如图,我们把坡面的高度h和宽度l的比叫做坡 度(或叫做坡比),用字母i表示,即i=.坡度一般写成1∶m的形式. ②坡面与的夹角α叫做坡角,坡角与坡度之间的关系为i==tan α. (2)水平距离、垂直距离(铅直高度)、坡面距离 如图, 代表水平距离, 代表铅直高度, 代表坡面距离. 重点一:与方位角有关的实际问题 解答与方位角有关的实际问题的方法 (1)弄清航行中方位角的含义,根据题意画出图形,画图时要先确定方向标,把实际问题转化为数学问题是解题的关键所在. ) 1. (2013河北)如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以每小时40 海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N处与 灯塔P的距离为( ) (A)40海里(B)60海里 (C)70海里(D)80海里 2.(2013荆门)A、B两市相距150千米,分别从A、B处测得国家级风景区中心C处 的方位角如图所示,风景区区域是以C为圆心,45千米为半径的圆,tan α =1.627,tan β=1.373.为了开发旅游,有关部门设计修建连接AB两市的高速公路. 问连接AB的高速公路是否穿过风景区,请说明理由. 3. 如图,A、B、C分别是三个岛上的点,点C在点A的北偏东47°方向,点B在点A的南偏东79°方向,且A、B两点的距离约为5.5 km;同时,点B在点C的南偏西36°方向.若一艘渔
[初中数学]方位角与方向角问题教案 人教版
《方位角与方向角问题》教案 复习引入 本节课将应用解直角三角形知识解决测量中的方位角问题． 探究新知 （一）方位角与方向角 1．方向角 教师讲解：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．如课本图28．2-1中的目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如图28．2-1的目标方向线OD与正南方向成45°角，通常称为西南方向． 图28．2-1 图28．2-2 2．方位角 教师讲解：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．?如课本图28．2-2中，目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°．（二）用解直角三角形的方法解决实际问题方法要点 教师讲解：在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）?之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解． 解题时一般有以下三个步骤： 1．审题．按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知． 2．将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题．如果没有现成是直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形． 3．根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、?角）之间关系解有关的直角三角形． （三）例题讲解
教师解释题意：如课本图28．2-8所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，?距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，?到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.01海里） 教师提示：这道题的解题思路与上一节课的例4相似．因为△APB不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形，△ACP与△PCB．PC?是东西走向的一条直线．AB 是南北走向的一直线，所以AB与PC是相互垂直的，即∠ACP与∠BDP?均为直角．再通过65度角与∠APC互余的关系求∠APC；通过34度角与∠BPC?互余的关系求∠BPC．教师分析后要求学生自行做完这道题．学生做完后教师再加以总结并板书． 解：如课本图28．2-8，在Rt△APC中， PC=PA·cos（90°-65°） =80×cos25°≈80×0.91=72.8． 在Rt△BPC中，∠B=34°， ∵sinB=PC PB ， ∴PB= 72.872.8 sin sin340.559 PC B =≈ ? ≈130.23． 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．教师讲解：解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，?要根据实际情况灵活运用相关知识．例如，当我们要测量如课本图28．2-9所示大坝的高度h时，只要测出仰角α和大坝的坡面长度L，就能算出h=Lsinα．但是，当我们要测量如课本图28．2-10所示的山高h时，问题就不那么简单了．这是由于不能很方便地得到仰角α和山坡长度L． 图28．2-9 图28．2-10 与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的．怎样解决这样的问题呢？
湘教版九上数学：与方位角、坡度有关的应用问题教案
课题：与方位角、坡度有关的应用问题 【学习目标】 1．了解坡度、坡角、方位角的概念，学会解决相关问题． 2．经历用解直角三角形解决实际问题的过程，体验用数学知识解决实际问题． 3．渗透数学来源于实践又服务于实践的观点，培养应用数学的意识，渗透数形结合的思想方法． 【学习重点】 与坡度、方位角有关的解直角三角形的实际应用． 【学习难点】 建立直角三角形的模型． 一、情景导入 生成问题 情景导入： 1．如图，从山坡脚下点P 上坡走到点N 时，升高的高度是h(即线段MN 的长)，水平前进的距离是l(即线段PM 的长度)． 2．在茫茫大海上，我国缉私艇正在执行任务，当行驶到某处时，发现有一只可疑船只，这时测得可疑船只在我船的北偏东40°的方向．在航行、测绘等工作以及生活中，我们经常会碰到如何描述一个物体的方位．若可疑船的位置不停移动，同学们能否描述缉私艇的航线，探求其规律呢？ 二、自学互研 生成能力 知识模块一 坡度、坡角的概念及应用 阅读教材P 127，完成下面的内容： 在情景导入的图中，从山坡脚下点P 上坡走到点N 时，升高的高度h(即线段MN 的长)与水平前进的距离l(即 线段PM 的长)的比叫作坡度，用字母i 表示，即i ＝h l ． 其中∠MPN 叫作坡角(即PM 与PN 的夹角)，记作α． 【例1】 同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶3，斜坡CD 的坡度i ＝1∶2.5，求斜坡AB 的坡面角α，坝底宽AD 和斜坡AB 的长(精确到0.1m )． 解：作BE ⊥AD ，CF ⊥AD ， 在Rt △ABE 和Rt △CDF 中，BE AE ＝13，CF FD ＝12.5 ， ∴AE ＝3BE ＝3×23＝69(m )． FD ＝2.5CF ＝2.5×23＝57.5(m )． ∴AD ＝AE ＋EF ＋FD ＝69＋6＋57.5＝132.5(m )．
2019年秋九年级数学上册4.4解直角三角形的应用第2课时与坡度、方位角有关的应用问题分层作业
第2课时与坡度、方位角有关的应用问题 1．[2018·苏州]如图4-4-15，某海监船以20海里/h的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1 h到达B 处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2 h到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为( ) A．40海里B．60海里 C．203海里D．403海里 图4-4-15 2．[2017·德阳]如图4-4-16所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝6 2 m，背水坡CD的坡度i＝1∶3，则背水坡的坡长为________m. 图4-4-16 3．某地一人行天桥如图4-4-17所示，天桥高6 m，坡面BC的坡度为1∶1，为了方便行人过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC的坡度为1∶ 3. (1)求新坡面的坡角α. (2)原天桥底部正前方8 m处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由． 图4-4-17 4．[2018·泰州]日照间距系数反映了房屋日照情况，如图4-4-18(1)，当前后房屋都
朝向正南时，日照间距系数＝L ∶()H －H 1，其中L 为楼间水平距离，H 为南侧楼房高度，H 1为北侧楼房底层窗台至地面高度．如图4-4-18(2)，山坡EF 朝北，EF 长15 m ，坡度为i ＝1∶0.75，山坡顶部平地EM 上有一高为22.5 m 的楼房AB ，底部A 到E 点的距离为4 m. (1)求山坡EF 的水平宽度FH . (2)欲在AB 楼正北侧山脚的平地FN 上建一楼房CD ，已知该楼底层窗台P 处至地面C 处的高度为0.9 m ，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C 距F 处至少多远？ (1) (2) 图4-4-18 参考答案 1．D 2.12 3．(1)∠α＝30° (2)文化墙PM 不需要拆除，理由略． 4．(1)9 m (2)29 m
第2课时 与方向角、坡角有关的应用问题(教案)
第2课时与方向角、坡角有关的应用问题 【知识与技能】 进一步掌握用解直角三角形的知识解决实际问题的方法，体会方位角、仰角、俯角、坡度（坡比）的含义及其所代表的实际意义，能用它们进行有关的计算. 【过程与方法】 通过实际问题的求解，总结出用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程，增强分析问题和解决问题的能力. 【情感态度】 渗透数形结合的思想方法，增强学生的数学应用意识和能力. 【教学重点】 用三角函数有关知识解决方位角问题. 【教学难点】 学会准确分析问题，并将实际问题转化为数学模型. 一、复习回顾，新知导引 1.仰角、俯角概念； 2.方位角的意义. 【教学说明】教师提出问题顾，为后继学习作好准备. 二、典例精析，掌握新知 例1 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远 (结果取整数）？ 分析与解易知P点正东方向与AC具有垂直关系，即图中
PC 丄AB ，若记垂足为C ，则图中出现了两个直角三角形APC 和直角三角形BPC.而在Rt △APC 中，知AP=80，∠APC=90°-65°=25°，故可求出线段PC 的长，即由AP PC = ∠APC cos ,得PC=AP · cos25°=80·cos25°≈72.505，因此在Rt △BPC 中，由PB PC PB =∠C cos ，得，13056cos 505.7256cos ≈?=?=PC PB 从而可得知海轮在B 处时距离灯塔P 约130海里. 【教学说明】本例的设计较上节课所学过的应用问题不同之处在于用其中一个直角三角形中所获得的结论来作为另一个直角三角形的条件而获得问题的解答，这正是学生感到困难的地方，因而教师应作为引导，帮助学生进行观察思考. 例2 如图，拦水坝的横断面是梯形ABCD (图中i=1:3是指坡面的铅直高度DE 与水平宽度CE 的比，也称为坡度、坡比），根据图中数据求： （1）坡角α和β； （2）斜坡AB 的长（结果保留小数点后一位）. 【教学说明】本例可由学生独立完成，教师巡视指导，让学生在自主探究中体会用解直角三角形的知识来解决史记问题的方法，在完成上述例题后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.
坡度与坡角教案
24.4解直角三角形 -----坡度坡角问题 教学目标知识与技能：巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题。 过程与方法：掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题。 情感、态度与价值观：培养学生用数学的意识，渗透数形结合的数学思想和方法。 教学重点理解坡度和坡角的概念。 教学难点利用坡度和坡角等条件，解决有关的实际问题。对于坡度i表示成1∶m的形式学生易疏忽，教学中应着重强调，引起学生的重视。 教学过程一．引入 通过回顾之前几节课对解直角三角形的学习，直接引入。 二、出示学习目标。 1、理解坡角、坡度的概念； 2、运用解直角三角形有关知识解决与坡角、坡度有关的实际问题； 3、注意数形结合的数学思想和方法。 三、自学指导。 1．坡度的概念，坡度与坡角的关系。 （1）、h：铅垂高度。 （2）、l：水平长度。 （3）、坡角α：坡面与水平面的夹角。 （4）、坡度（坡比）:坡面的铅垂高度h和水平长度l的比。 记作：i。即：α tan = = l h i 注意： α tan 1 1 = = = = m h l l h i 显然，坡度i越大，坡角α就越大，坡面就越陡。
练习： 1、斜坡的坡度是 ，则坡角α=______度。 2、斜坡的坡角是o 45，则坡比是 _______。 3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______。 2．例题讲解。 例1.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i=1∶3，斜坡CD 的坡度i=1∶2.5，求： （1）坝底AD 与斜坡AB 的长度。（精确到0.1m ） （2） 斜坡CD 的坡角α。（精确到0.1m ） 四、巩固练习 课件练习题 五、总结与扩展 引导学生回忆前述例题，进行总结，以培养学生的概括能力。 1．弄清坡度、坡角、水平距离、垂直距离、等概念的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问题。 2．认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题。 3．选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，且不易出错。 4． 按照题中的精确度进行计算，注明单位。 六、布置作业 Ｐ116页 练习 3:1
坡度与坡角
坡度与解直角三角形的应用 课堂夯基班级：________ 姓名：_______ 知识点1：坡度和坡角 1．坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的_______(或坡比)，记作i，即i＝____．坡度一般写成1∶m的形式．坡面与水平面的夹角叫做______， 记作α，有i＝h l ＝_______，坡度越大，坡角α就_______，坡面就______． 练习1.斜坡的坡度是则坡角α=______度. 2.斜坡的坡角是45°，则坡比是 _______. 3.斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______. 4．某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i＝1∶3，坝外斜坡的 坡度i＝1∶ 3 3 ，则两个坡角的和为_______. 知识整合 5．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2 5 米，则这个坡面的坡度为________． 6．如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要 求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上 的距离AB为( ) A．5cosα B. 5 cosα C．5sinα D. 5 sinα 7．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度 为12米，斜面坡度为1∶2，则是斜坡AB的长为( ) A．4 3 米B．6 5 米C．12 5 米 D．24米 8．一山坡的坡度为i＝1∶3，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200 米到达点B，则小辰上升了______米． 9．如图，斜坡AC的坡度(坡比)为1∶3，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A 点有一条彩带AB 相连， 3 :1
AB＝14米．则旗杆BC的高度是____米． 10．(例题变式)如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度 i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．(精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732) 11．某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1∶ 3.且坡面底部与文化墙之间至少有2米的通道。 (1)求新坡面的坡角α； (2)原天桥底部正前方8米处 (PB的长)的文化墙PM是否需要拆 除？请说明理由． 名师培优 12．如图，某防洪指挥部发现长江边一处长600米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后背水坡EF的坡比 i＝1∶ 3. (1)求加固后坝底增加的宽度AF；(结果保留根号) (2)求完成这项工程需要土石多少立方米？(结果取3≈1.732)
初中数学九年级下册利用方位角、坡度解直角三角形(教案)教学设计
28.2.2 应用举例 第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形 教学目标： 1．知道测量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度与坡角的关系；(重点) 2．能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题．(难点) 教学过程： 一、情境导入 在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度(h )和水平长度(l )的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝h l . 坡度通常写成1∶m 的形式，如i ＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i ＝h l ＝tan α.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．我们这节课就解决这方面的问题． 二、合作探究 探究点一：利用方位角解直角三角形 【类型一】 利用方位角求垂直距离 如图所示，A 、B 两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高 速公路(即线段AB )，经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，100km 为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)． 解析：过点P 作PC ⊥AB ，C 是垂足．AC 与BC 都可以根据三角函数用PC 表
示出来．根据AB 的长得到一个关于PC 的方程，求出PC 的长．从而可判断出这条高速公路会不会穿越保护区． 解：过点P 作PC ⊥AB ，C 是垂足．则∠APC ＝30°，∠BPC ＝45°，AC ＝PC ·tan30°，BC ＝PC ·tan45°.∵AC ＋BC ＝AB ，∴PC ·tan30°＋PC ·tan45°＝200，即33 PC ＋PC ＝200，解得PC ≈126.8km ＞100km. 答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区． 方法总结：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 【类型二】 利用方位角求水平距离 “村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步 伐．如图所示，C 村村民欲修建一条水泥公路，将C 村与区级公路相连．在公路A 处测得C 村在北偏东60°方向，沿区级公路前进500m ，在B 处测得C 村在北偏东30°方向．为节约资源，要求所修公路长度最短．画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度．(结果保留整数) 解析：作CD ⊥AB 于D ，在Rt △ACD 中，据题意有∠CAD ＝30°，求得AD .在Rt △CBD 中，据题意有∠CBD ＝60°，求得BD .又由AD －BD ＝500，从而解得CD . 解：如图，过点C 作CD ⊥AB ，垂足落在AB 的延长线上，CD 即为所修公路，CD 的长度即为公路长度．在Rt △ACD 中，据题意有∠CAD ＝30°，∵tan ∠CAD ＝
人教版第2套人教初中数学九下 28.2《方位角、坡度、坡角》教案
方位角、坡度、坡角 掌握方位角的定义及表示方法 教学 目标： 重点：理解坡度、坡比等相关概念在实际问题中的含义 难点：与方位角有关的实际问题 1.掌握方位角的定义及表示方法指或指方向线与目标方向线 所成的小于90°的水平角,叫方位角,如图,目标方向线OA、OB、OC、OD的方位角分 别表示, , , . 2.理解坡度、坡比等相关概念在实际问题中的含义 (1)坡度、坡比 ①如图,我们把坡面的高度h和宽度l的比叫做坡 度(或叫做坡比),用字母i表示,即i=.坡度一般写成1∶m的形式. ②坡面与的夹角α叫做坡角,坡角与坡度之间的关系为i==tan α. (2)水平距离、垂直距离(铅直高度)、坡面距离 如图, 代表水平距离, 代表铅直高度, 代表坡面距离. 重点一:与方位角有关的实际问题 解答与方位角有关的实际问题的方法 (1)弄清航行中方位角的含义,根据题意画出图形,画图时要先确定方向标,把实际问题转化为数学问题是解题的关键所在. (2)船在海上航行,在平面上标出船的位置、灯塔或岸上某目标的位置,关键在于确定 基准点.当船在航行时,基准点在转移,画图时要特别注意. 1. (2013河北)如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以每小时40 海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N处与 灯塔P的距离为( ) (A)40海里(B)60海里 (C)70海里(D)80海里 2.(2013荆门)A、B两市相距150千米,分别从A、B处测得国家级风景区中心C处 的方位角如图所示,风景区区域是以C为圆心,45千米为半径的圆,tan α =1.627,tan β=1.373.为了开发旅游,有关部门设计修建连接AB两市的高速公路. 问连接AB的高速公路是否穿过风景区,请说明理由. 3. 如图,A、B、C分别是三个岛上的点,点C在点A的北偏东47°方向,点B在点A的南偏东79°方向,且A、B两点的距离约为5.5 km;同时,点B在点C的南偏西36°方向.若一艘渔