二次函数和菱形存在性问题通用解法
我们已经知道菱形是特殊的平行四边形，它的判定方法一共有五种，分别是
①四边都相等的四边形是菱形；②两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③邻边相等的平行四边形是菱形；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形；⑤一条对角线平分一个顶角的平行四边形是菱形.
在做几何证明题的时候我们常用的判定方法主要是前三种.
二次函数和菱形存在性问题作为压轴题目，结合了“分类讨论思想”，“方程思想”“菱形的判定方法”，势必要比单纯的菱形判定思考难度要大的多，因此我在研究了近些年中考真题之后尝试性的总结一下菱形存在性问题的通用解法，以供大家参考.
纵观历年中考真题，菱形存在性问题主要是以“两定两动”为设问方式，其中两定指的是四边形四个顶点其中有两个顶点的坐标是确定的或者是可求解的；两动指的是其中一个动点在一条直线或者抛物线上，另外一个动点是平面内任意一点或者该动点也在一条直线或者抛物线上.
一解题模型
铺垫1：等腰三角形的构造方法
点A和点B为平面内的两个定点，点C为水平直线上的一个动点，要使△ABC为等腰三角形，请利用尺规作图的方法作出点C的位置.
图1是以AB为底边（AC和BC为腰），作出线段AB的垂直平分线交直线于点C1；
图2是以AB为腰，以点A为圆心，以AB长度为半径作圆，交直线于点C2；
图3是以AB为腰，以点B为圆心，以AB长度为半径作圆，交直线于点C3、C4；
我们把上述作图方法简称为“两圆一中垂”.
铺垫2：平行四边形顶点坐标公式
根据平行四边形的性质对角线互相平分，可以知道点O为线段AC 和线段BD的中点。
①两定点确定的线段为边作菱形
如图所示，点A和点B为平面内两个定点，点C是直线l上一个动点，点D是平面内的一个动点.
以AB为菱形的边，请作出符合题意的菱形.
作图方法：由于点D是平面内的任意一个动点，意味着该点需要借助其它的点才能确定下来，因此，我们第一步先确定动点C的位置.要想使以AB为边的四边形是菱形，根据菱形的判定方法3我们可以确定△ABC是以AB为腰的等腰三角形，因此我们可以借助等腰三角形存在性知识，来确定点C的位置.确定方法具体如下：
以点A为圆心，以AB长度为半径画圆，交直线l于点C1和C2.
接下来需要确定点D的位置.以BC为对称轴作点A关于BC的对称点D，由于点C有两个点，确定下来的点D有两个.
再以点B为圆心，BA长度为半径画圆，交直线l于点C3和C4，利用同样的方法作出点D3和D4.
解题策略：
第一步：确定点C的坐标
设出点C坐标，利用两点间距离坐标公式，表示出AB、AC、BC 的长度.
当AB=AC时，列出方程，求出点C的坐标；
当BA=BC时，列出方程，求出点C的坐标.
第二步：确定点D的坐标
根据平行四边形顶点坐标公式
可求出点D的坐标.
②两定点确定的线段为对角线作菱形
如图所示，点A和点B为平面内两个定点，点C是抛物线上一个动点，点D是平面内的一个动点.
点C关于AB的对称点为点D，请作出所有符合题意的图形.
作图方法：第一步：作出AB的垂直平分线；第二步：作点C关于AB 对称点D.
解题策略：
第一步：求出AB的中点坐标和AB的斜率k，利用两直线垂直，斜率乘积为﹣1这个结论，设直线CD的解析式为y=﹣1/k+b，再把AB中点坐标代入上式，解出b的值.求出CD解析式.
第二步：联立直线CD和抛物线，可以解得点C的坐标；
第三步：确定点D的坐标
根据平行四边形顶点坐标公式
可求出点D的坐标.
二例题精讲
题型一确定对角线
【例1】（难度等级☆）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB解析式为y=﹣2x﹣1，与y轴交于点A，与直线y=﹣x交于点B，点B关于原点的对称点为点C．且过A，B，C三点的抛物线
的解析式为y=x2﹣x﹣1，P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q，当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标．
【例2】（2016?陕西一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2﹣3x﹣4的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点左侧，B点的坐标为（4，0），与y轴交于C （0，﹣4）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点
P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【例3】（2016?黔西南州）如图，二次函数y=﹣x2+3x+4的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴相交于C（0，4），P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q，当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；
题型三边和对角线均不确定
【例5】（2018?齐齐哈尔）如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2﹣3x+4经过点A，C．如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x 轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N．若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(全国通用)中考数学专题拔高系列：菱形存在性问题解决方法汇总
01问题与方法 作为一种特殊的平行四边形，我们已经知道可以从以下几种方式得到菱形：（1）有一组邻边相等的平行四边形菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边都相等的四边形是菱形． 坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法．和平行四边形相比，菱形 多一个“对角线互相垂直”或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形ABCD是菱形，则其4个点坐标需满足： 考虑到互相垂直的两条直线斜率之积为1在初中并不适合直接用，故取两邻边相等． 即根据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式， 故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量，与矩形相同． 因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题型： 题型如下： （1）2 个定点+1 个半动点+1 个全动点 （2）1 个定点+3 个半动点 思路1：先平四，再菱形 设点坐标，根据平四存在性要求列出“A+C=B+D”（AC、BD 为对角线），再结合一组邻边相等，得到方程组． 思路2：先等腰，再菱形 在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，再确定第4个点． 02典型例题 如图，在坐标系中，A点坐标（1,1），B点坐标为（5,4），点C 在x 轴上，点D 在平面中，求D点坐标，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形
以上只是两种简单的处理方法，对于一些较复杂的题目，还需具体问题具体分析，或许有更为简便的方法． 03中考真题 2019齐齐哈尔中考删减 【两定两动：坐标轴+平面】 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=2，OC=6，连接AC和BC． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
二次函数专题训练(菱形的存在性)含解答
1．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12，点C的坐标为（﹣18，0）． （1）求点B的坐标； （2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y正半轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式； （3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐
标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E． （1）求抛物线解析式； （2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积； （3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】 3．如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C
（0，﹣8），点D是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标； （3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标． 4．如图1，抛物线y=ax2+bx+4的图象过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC，动
二次函数的存在性问题之菱形(含答案)
二次函数的存在性问题之菱形 1. 如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E． （1）求抛物线解析式； （2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE 的面积； （3）在（2）的条件下，若点M 为直线BC 上一点，点N 为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M 和点N ，使得以点B ，D ，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在上，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2. 如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线 经过、两点，与轴的另一个交点为，连接． （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）点在抛物线上，连接，当时，求点的坐标； （3）点从点出发，沿线段由向运动，同时点从点出发，沿线段由向运动，、的运动速度都是每秒个单位长度，当点到达点时，、同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点 ，使、运动过程中的某一时刻，以、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页共30页
3. 如图所示，顶点为（，﹣）的抛物线y=ax2+bx+c过点M（2，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）点A是抛物线与x轴的交点（不与点M重合），点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），点D是反比例函数y= （k ＞0）图象上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值．4. 综合与探究 如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，C． （1）求抛物线的解析式 （2）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N 若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 注：二次函数y=ax2+bx +c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，） 第2页共30页
四边形之存在性问题(讲义及答案)
四边形之存在性问题（讲义） 课前预习 一般悄况下我们如何处理存在性问题？ （1） 研究背景图形 坐标系背景下研究 ____________ 、 ______ 究 ___________ 、 ____________ 、 ______ （2） 根据不变特征，确定分类标准 研究定点，动点，定线段，确定分类标准 不变特征举例： ① 等腰三角形（两定一动） 以定线段作为 ________ 或者— _______________ 确定点的位 ② 置.等腰直角三角形（两定 一动） 以 知识点睛 存在性问题处理框架： ① 研究背景图形. ② 根据不变特征，确定分类标准. ③ 分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解. ④ 结果验证. 平行四边形存在性问题特征举例： 分析定点、动点. ① 三定一动，连接定点出现三条定线段.定线段分别作 为平行四边形的 _________ ,利用 _____________ 确定 点坐标. ② 两定两动，连接定线段，若定线段作为平行四边形的 ________ ,则通过 ___________ 确定点的坐标；若定线 段作为平行四边形的 ___________ ，则定线段绕 __________ 旋转，利用 _______________ 确定点的坐标. 结合图形进行验证. ;儿何图形研 或者 来分类，利用 来分类，然后借助 确定点的位置. （3） 分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解 （4） 结果验证 2. (1) (2)
3.特殊平行四边形存在性问题不变特征举例： ①菱形存在性问题（两定两动） 转化为等腰三角形存在性问题； 以定线段作为底边或者腰确定分类标准，利用两圆一线确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标. ②正方形存在性问题（两定两动） 转化为等腰直角三角形存在性问题； 根据直角顶点确定分类标准，利用两腰相等或者45。角确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标. 2如图，在平面直角坐标系中，直线y = -?x + 3与X轴、＞' 4 轴分别交于点A, 点C的坐标为（0, -2 ）.若点D在直线 AB上运动，点E在直线AC±运动，当以0, 4, D, E为顶点的四边形是平行四边形时，求点D的坐标.
2013年及以前 探究菱形的存在性问题汇编
35、（2013?咸宁压轴题）如图，已知直线y=x+1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°后得到△COD ． （1）点C 的坐标是 （0，3） 线段AD 的长等于 4 ； （2）点M 在CD 上，且CM=OM ，抛物线y=x 2 +bx+c 经过点G ，M ，求抛物线的解析式； （3）如果点E 在y 轴上，且位于点C 的下方，点F 在直线AC 上，那么在（2）中的抛物线上是否存在点P ，使得以C ，E ，F ，P 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长l ；若不存在，请说明理由． 考点： 二次函数综合题． 分析： （1）首先求出图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B 的坐标，进而得出C 点坐标以 及线段AD 的长； （2）首先得出点M 是CD 的中点，即可得出M 点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式； （3）分别根据当点F 在点C 的左边时以及当点F 在点C 的右边时，分析四边形CFPE 为菱形得出即可． 解答： （1）点C 的坐标是（0,3），线段AD 的长等于4； ······················································ 3分 （说明：前一个空为1分，后一个空为2分） （2）∵OM CM =, ∴COM OCM ∠=∠. ∵?=∠+∠=∠+∠90MOD COM ODM OCM , ∴MOD ODM ∠=∠, ∴CM MD OM ==, ∴点M 是CD 的中点， ·············································································· 4分∴点M 的坐标为)2 3 ,21(. ············································································ 5分 （说明：由CM ＝OM 得到点M 在OC 在垂直平分线上，所以点M 的纵坐标为 2 3 ，再求出直线CD 的解析式，进而求出点M 的坐标也可.） ∵抛物线c bx x y ++=2经过点C ，M ，
云南中考数学《专项三压轴题》精讲教学案类型⑦ 平行四边形及矩形、菱形、正方形存在性问题探究
类型⑦平行四边形及矩形、菱形、正方形存在性问题探究 ,备考攻略) 在平行四边形有关存在性问题中，常会遇到这样两类探究性的问题： 1．已知三点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找一动点，使这四点构成平行四边形(简称“三定一动”)． 2．已知两个点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找两个动点，使这四点构成平行四边形(简称“两定两动”)． 平行四边形的这四个点有可能是定序的，也有可能没有定序．
1．确定动点位置时出现遗漏． 2．在具体计算动点坐标时出现方法不当或错解． 1．分清题型(属于三定一动还是两定两动，因为这两种题型的分类标准有所不同)．2．分类讨论且作图(利用分类讨论不重不漏的寻找动点具体位置)． 3．利用几何特征计算(不同的几何存在性要用不同的解题技巧)． 可以把存在性问题的基本思路叫做“三步曲”：一“分”二“作”三“算”．
1．如果为“三定一动”，要找出平行四边形第四个顶点，则符合条件的有3个点；这三个点的找法是以三个定点为顶点画三角形，过每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生所要求的3个点． 2．如果为“两定两动”，要找出平行四边形第三、四个顶点，将两个定点连成定线段，将此线段按照作为平行四边形的边或对角线两种分类讨论． 1．若平行四边形的四个顶点都能用坐标来表示，则直接利用坐标系中平行四边形的基本特征：即对边平行且相等或对边水平距离相等和竖直距离相等列方程求解．2．若平行四边形的四个顶点中某些点不能用坐标表示，则利用列方程组解图形交点的方法解决． 3．灵活运用平行四边形的中心对称的性质，也可使问题变得简单． 4．平移坐标法．先由题目条件探索三点的坐标(若只有两个定点，可设一个动点的坐标). 再画出以三点为顶点的平行四边形，根据坐标平移的性质写出第四个顶点的坐标．最后根据
二次函数专题训练(菱形的存在性)含答案
1如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边0C、OA分别与x轴、y轴重合，AB II OC,/ AOC= 90° / BCO=45 , BC=12迈，点C的坐标为(—18, 0). (1)求点B的坐标； (2)若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y正半轴于点E,且OE=4 , OD=2BD，求直线DE的解析式； (3)若点卩是(2)中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q,使以O、E、P、Q为顶点的四 边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 2 2.如图，抛物线y=ax+bx - 2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A , B两点，与y轴交于点C,点A的坐标为
(-2, 0),点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD丄x轴于点D,交直线BC于点E. (1)求抛物线解析式； (2)若点P在第一象限内，当0D=4PE时，求四边形POBE的面积； (3)在(2)的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和 点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明 理由. 3.如图，抛物线y=ax2-2x+c ( a和)与x轴、y轴分别交于点A , B, C三点，已知点A (- 2, 0),点C ( 0,- 8),点D是抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)如图1,抛物线的对称轴与x轴交于点E,第四象限的抛物线上有一点卩，将厶EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标； (3)如图2,设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点， 当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标. 【温馨提示：考生可以根据题
菱形存在性问题
菱形存在性问题 1．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的边OC 、OA 分别与x 轴、y 轴重合，AB ∥OC ，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=122，点C 的坐标为（-18，0）． （1）求点B 的坐标； （2）若直线DE 交梯形对角线BO 于点D ，交y 轴于点E ，且OE=4，OD=2BD ，求直线DE 的解析式； （3）若点P 是（2）中直线DE 上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q ，使以O 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知抛物线y= 4 1x 2 + 1 (如图所示)． (1)填空：抛物线的顶点坐标是(__ __，_ _)，对称轴是__ __； (2)已知y 轴上一点A(0，2)，点P 在抛物线上，过点P 作PB ⊥x 轴，垂足为B ．若△PAB 是等边三角形，求点P 的坐标； (3)在(2)的条件下，点M 在直线．．AP 上．在平面内是否存在点N ，使四边形OAMN 为菱形?若存在，直接写出所有．．满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
3.如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D.直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（-2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F. （1）求m的值及该抛物线对应的解析式； （2）P(x,y)是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC,求出所有符合条件的点P的坐标；（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形.若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由. 4．如图，二次函数y=x2﹣x+c的图象与x轴分别交于A、B两点，顶点M关于x轴的对称 点是M′． （1）若A（﹣4，0），求二次函数的关系式； （2）在（1）的条件下，求四边形AMBM′的面积； （3）是否存在抛物线y=x2﹣x+c，使得四边形AMBM′为正方形？若存在，请求出此抛 物线的函数关系式；若不存在，请说明理由．
类型四 探究菱形的存在性问题(教师)
类型四探究菱形的存在性问题 1. （2015?甘南州第28题 12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c，经过A（0，﹣4），B（x1，0），C（x2，0）三点，且|x2﹣x1|=5． （1）求b，c的值； （2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形； （3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由． 考点：二次函数综合题． 分析： （1）把A（0，﹣4）代入可求c，运用两根关系及|x2﹣x1|=5，对式子合理变形，求b；（2）因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足条件的D点，就是抛物线的顶点； （3）由四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中点坐标，代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段OB的长度关系，判断是否为正方形即可． 解答：解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c，经过点A（0，﹣4）， ∴c=﹣4 又∵由题意可知，x1、x2是方程﹣x2+bx﹣4=0的两个根， ∴x1+x2=b，x1x2=6
由已知得（x2﹣x1）2=25 又∵（x2﹣x1）2=（x2+x1）2﹣4x1x2=b2﹣24 ∴b2﹣24=25 解得b=±，当b=时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去． ∴b=﹣． （2）∵ 四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上， 又∵y=﹣x2﹣x﹣4=﹣（x+）2+， ∴抛物线的顶点（﹣，）即为所求的点D． （3）∵ 四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（﹣6，0），根据菱形的性质，点P必是直线x=﹣3与 抛物线y=﹣x2﹣x﹣4的交点， ∴当x=﹣3时，y=﹣×（﹣3）2﹣×（﹣3）﹣4=4， ∴在抛物线上存在一点P（﹣3，4），使得四边形BPOH为菱形． 四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（﹣3，3），但这一点不在抛物线上 点评：本题考查了抛物线解析式的求法，根据菱形，正 2．（2014?四川广安,第26题10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣4，0），B（﹣1，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）在第三象限的抛物线上有一动点D． ①如图（1），若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当平行四边形ODAE的面积为6时，请判断平行四边形ODAE是否为菱形？说明理由．
二次函数专题训练(菱形的存在性)含标准答案
二次函数专题训练(菱形的存在性)含答案
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1．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12，点C的坐标为（﹣18，0）． （1）求点B的坐标； （2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y正半轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式； （3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E． （1）求抛物线解析式； （2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积； （3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】
3．如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C （0，﹣8），点D是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标； （3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标．
四边形之存在性问题(讲义及答案)
2四边形之存在性问题（讲义） ?课前预习 1.一般情况下我们如何处理存在性问题？ （1）研究背景图形 坐标系背景下研究、；几何图形研究、、． （2）根据不变特征，确定分类标准 研究定点，动点，定线段，确定分类标准 不变特征举例： 等腰三角形（两定一动） 以定线段作为或者来分类，利用 确定点的位 置．等腰直角三角形（两定 一动） 以来分类，然后借助或者 确定点的位置． （3）分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解（4）结果验证 ?知识点睛 1.存在性问题处理框架： ①研究背景图形． ②根据不变特征，确定分类标准． ③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解． ④结果验证． 2.平行四边形存在性问题特征举例： （1）分析定点、动点． （2）①三定一动，连接定点出现三条定线段．定线段分别作为平行四边形的，利用确定 点坐标． ②两定两动，连接定线段，若定线段作为平行四边形的 ，则通过确定点的坐标；若定线段作为平行四边形的，则定线段绕 旋转，利用确定点的坐标．1
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3.特殊平行四边形存在性问题不变特征举例： ①菱形存在性问题（两定两动） 转化为等腰三角形存在性问题； 以定线段作为底边或者腰确定分类标准，利用两圆一线确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标． ②正方形存在性问题（两定两动） 转化为等腰直角三角形存在性问题； 根据直角顶点确定分类标准，利用两腰相等或者45°角确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标． ?精讲精练 1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =-3 x + 3 与x 轴、y 4 轴分别交于点A，B，点C 的坐标为(0，-2 )．若点D 在直线AB 上运动，点E 在直线AC 上运动，当以O，A，D，E 为顶点的四边形是平行四边形时，求点D 的坐标．
二次函数压轴题之菱形存在性问题
菱形存在性问题 作为一种特殊的平行四边形，我们已经知道可以从以下几种方式得到菱形： （1）有一组邻边相等的平行四边形菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边都相等的四边形是菱形． 坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法．和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直”或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形ABCD 是菱形，则其4个点坐标需满足： A C B D A C B D x x x x y y y y ? +=+?? +=+?= 考虑到互相垂直的两条直线斜率之积为1在初中并不适合直接用，故取两邻边相等． 即根据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式， 故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量，与矩形相同． 因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题型： （1）2个定点+1个半动点+1个全动点 （2）1个定点+3个半动点 解决问题的方法也可有如下两种： 思路1：先平四，再菱形 设点坐标，根据平四存在性要求列出“A +C =B +D ”（AC 、BD 为对角线），再结合一组邻边相等，得到方程组． 思路2：先等腰，再菱形 在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，再确定第4个点．
1．看个例子： 如图，在坐标系中，A 点坐标（1,1），B 点坐标为（5,4），点C 在x 轴上，点D 在平面中，求D 点坐标，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是菱形． 思路1：先平四，再菱形 设C 点坐标为（m ，0），D 点坐标为（p ，q ）． （1）当AB 为对角线时，由题意得：（AB 和CD 互相平分及AC =BC ） ()()()() 222215*********m p q m m ?+=+?? +=+??-+-=-+-??，解得：398985m p q ? =?? ? =?? ?=?? （2）当AC 为对角线时，由题意得：（AC 和BD 互相平分及BA =BC ） ()()()()2222 151041514504m p q m ?+=+?? +=+??-+-=-+-?? ，解得：223m p q =??=-??=-?或843m p q =??=??=-? （3）当AD 为对角线时，由题意得： ()()()()2222 151401514110p m q m ?+=+??+=+? ?-+-=-+ -?? ，解得：153m p q ?=+??=+?? =?? 153m p q ?=-??=-??=??
冲刺中考数学几何压轴题专项复习专题21菱形存在性问题巩固练习(基础)
菱形存在性问题巩固练习（基础） 1．如图，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝6，E、F分别是AB、CD的中点 （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）是否存在a的值使得四边形AECF为菱形，若存在求出a的值，若不存在说明理由； 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，A 点在原点的左侧，抛物线的对称轴x＝1，与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的解析式及A、B点的坐标． （2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A为二次函数y＝﹣x2＋4x﹣1图象的顶点，图象与y 轴交于点C，过点A并与AC垂直的直线记为BD，点B、D分别为直线与y轴和x轴的交点，点E是二次函数图象上与点C关于对称轴对称的点，将一块三角板的直角顶点放在A 点，绕点A旋转，三角板的两直角边分别与线段OD和线段OB相交于点P、Q两点． （1）点A的坐标为，点C的坐标为． （2）求直线BD的表达式． （3）在三角板旋转过程中，平面上是否存在点R，使得以D、E、P、R为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出P、Q、R的坐标；若不存在请说明理由． 4．如图1，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，B点坐标是（8，4），将△AOC 沿对角线AC翻折得△ADC，AD与BC相交于点E． （1）求证：△CDE≌△ABE； （2）求E点坐标； （3）如图2，若将△ADC沿直线AC平移得△A′D′C′（边A′C′始终在直线AC上），是否存在四边形DD′C′C为菱形的情况？若存在，请直接写出点C′的坐标；若不存在，请说明理由．
平行四边形,矩形,菱形的存在性问题(有答案)
平行四边形，矩形，菱形的存在性问题 一、平行四边形存在性问题 1．在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是A（﹣1，3），B（﹣5，﹣3），C（1，﹣3），在平面内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标是．2．已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于平面直角坐标系中的原点O，点A（﹣1，3），B（1，2），则点C，D的坐标分别为． 3．在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，2），点M在x轴上，点N 在y轴上．如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，那么符合条件的点M 有个． 4．如图，在平面直角坐标系中，AD∥BC，AD＝5，B（﹣3，0），C（9，0），E是BC的中点，P是线段BC上一动点，当PB＝时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形． 第4题第5题第6题 5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y 的正半轴上，且OB＝2OC，在直角坐标平面内确定点D，使得以点D、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请写出点D的坐标为． 6．如图，已知A（1，0）、C（0，1）、B（m，0）且m＞1，在平面内求一点P，使得以A、 B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为．7．已知点A（4，0），B（0，﹣2），C（a，a）及点D是一个平行四边形的四个顶点，则线段CD长的最小值为． 8．（1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图），图1，2，3中的顶点C的坐标分别是，，； （2）在图4中，若平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别为（4，1）、（3，4）、（6，4），则顶点C的坐标为； （3）在图4中，平行四边形ABCD顶点坐标分别为A（a，b）、B（c，d）、C（m，n）、D（e，f），则其横坐标a，c，m，e之间的等量关系为；纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为．
二次函数中菱形存在性问题
1.【2019·齐齐哈尔】如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC． （1）求抛物线的解析式； （2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为． （3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标； （4）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【2019·辽阳】如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在x轴上，∠ABC＝90°，以A为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（3，0），交y轴于点E（0，3），动点P在对称轴上． （1）求抛物线解析式； （2）若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PD⊥AB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？ （3）若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由．
【2019·烟台一模】如图1，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．直线y＝2经过抛物线上两点D，E．已知点D，E的横坐标分别为x1，x2且满足x1+x2＝3，直线BC的表达式为y＝﹣x+n． （1）求n的值及抛物线的表达式； （2）设点Q是直线DE上一动点，问：点Q在什么位置上时，△QOB的周长最小？求出点Q的坐标及△QOB周长的最小值； （3）如图2，M是线段OB上的一个动点，过点M作垂直于x轴的直线与直线BC和抛物线分别交于点P，N．若点F是直线BC上一个动点，当点P恰好是线段MN的中点时，在坐标平面内是否存在点G，使以点G，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
二次函数和菱形存在性问题通用解法
我们已经知道菱形是特殊的平行四边形，它的判定方法一共有五种，分别是 ①四边都相等的四边形是菱形；②两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③邻边相等的平行四边形是菱形；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形；⑤一条对角线平分一个顶角的平行四边形是菱形. 在做几何证明题的时候我们常用的判定方法主要是前三种. 二次函数和菱形存在性问题作为压轴题目，结合了“分类讨论思想”，“方程思想”“菱形的判定方法”，势必要比单纯的菱形判定思考难度要大的多，因此我在研究了近些年中考真题之后尝试性的总结一下菱形存在性问题的通用解法，以供大家参考. 纵观历年中考真题，菱形存在性问题主要是以“两定两动”为设问方式，其中两定指的是四边形四个顶点其中有两个顶点的坐标是确定的或者是可求解的；两动指的是其中一个动点在一条直线或者抛物线上，另外一个动点是平面内任意一点或者该动点也在一条直线或者抛物线上. 一解题模型 铺垫1：等腰三角形的构造方法 点A和点B为平面内的两个定点，点C为水平直线上的一个动点，要使△ABC为等腰三角形，请利用尺规作图的方法作出点C的位置.
图1是以AB为底边（AC和BC为腰），作出线段AB的垂直平分线交直线于点C1； 图2是以AB为腰，以点A为圆心，以AB长度为半径作圆，交直线于点C2； 图3是以AB为腰，以点B为圆心，以AB长度为半径作圆，交直线于点C3、C4； 我们把上述作图方法简称为“两圆一中垂”. 铺垫2：平行四边形顶点坐标公式 根据平行四边形的性质对角线互相平分，可以知道点O为线段AC 和线段BD的中点。
①两定点确定的线段为边作菱形 如图所示，点A和点B为平面内两个定点，点C是直线l上一个动点，点D是平面内的一个动点. 以AB为菱形的边，请作出符合题意的菱形. 作图方法：由于点D是平面内的任意一个动点，意味着该点需要借助其它的点才能确定下来，因此，我们第一步先确定动点C的位置.要想使以AB为边的四边形是菱形，根据菱形的判定方法3我们可以确定△ABC是以AB为腰的等腰三角形，因此我们可以借助等腰三角形存在性知识，来确定点C的位置.确定方法具体如下： 以点A为圆心，以AB长度为半径画圆，交直线l于点C1和C2.
中考数学专题复习——存在性问题
中考数学专题复习——存在性问题 一、二次函数中相似三角形的存在性问题 1. 如图，把抛物线y = x 2向左平移1 个单位，再向下平移4 个单位，得到抛物线y =（x -h ）2 +k . 点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C ，顶点为 D. 2. 如图，抛物线经过 A （﹣2，0）， B （﹣3，3）及原点 O ，顶点为 C ． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，且 A 、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形， 求点 D 的坐标； （3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点 P ， 使得以 P 、M 、A 为顶点的三角形△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 所得抛物线与x 轴交于 A ，B 两点 1）写出h 、k 的值； 2） 判断△ACD 的形状，并说明理由； 3）在线段 AC 上是否存在点 M ， 使△AOM∽△ABC？若存在，
二、二次函数中面积的存在性问题 3.如图，抛物线y = ax2+ bx（a >0）与双曲线y = k相交于点A，B．已知点B的坐标为（－2，－2），点 A 在第一象限内，且tan ∠ AOX ＝ 4 ．过点 A 作直线AC ∥ x轴，交抛物线于另一点 C ．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC 的面积； （3）在抛物线上是否存在点 D，使△ABD的面积等于△ABC 的面积．若存在，写出点D 的坐标；若不存在，说明理由． 4.如图，抛物线y＝ax2＋c（a>0）经过梯形ABCD的四个顶 点， A（－2,0），B（－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；（3 分） （2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（2 分） （3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．（4 分） （4）在抛物线的BD 段上是否存在点Q 使三角形BDQ 的面积最大，若有，求出点Q 的坐标，若没有，说
二次函数中菱形存在性问题
1.【2019·齐齐哈尔】如图，抛物线y＝x 2 +bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点， OA＝2，OC＝6，连接AC和BC． （1）求抛物线的解析式； （2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为．（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标； （4）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【2019·辽阳】如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在x轴上，∠ABC＝90°，以A为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（3，0），交y轴于点E（0，3），动点P在对称轴上． （1）求抛物线解析式； （2）若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PD⊥AB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？ （3）若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由．
【2019·烟台一模】如图1，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．直线y＝2经过抛物线上两点D，E．已知点D，E的横坐标分别为x1，x2且满足x1+x2＝3，直线BC的表达式为y＝﹣x+n． （1）求n的值及抛物线的表达式； （2）设点Q是直线DE上一动点，问：点Q在什么位置上时，△QOB的周长最小？求出点Q的坐标及△QOB周长的最小值； （3）如图2，M是线段OB上的一个动点，过点M作垂直于x轴的直线与直线BC和抛物线分别交于点P，N．若点F是直线BC上一个动点，当点P恰好是线段MN的中点时，在坐标平面内是否存在点G，使以点G，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
冲刺中考数学几何压轴题专项复习专题21菱形存在性问题巩固练习(提优)
菱形存在性问题巩固练习（提优） 1．如图，平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动． （1）当四边形PODB是平行四边形时，求t的值； （2）在线段PB上是否存在一点Q，使得四边形ODQP为菱形？若存在，求处当四边形ODQP 为菱形时t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； 2．如图，抛物线y＝ax2＋x＋c的图象与x轴交于点A和点B（4，0），与y交于点C（0，4），连结AC，作直线BC，点M，N分别是y轴与直线BC上的动点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）当点M在y轴负半轴时，若∠OMA＋∠OCA＝∠CBA，求CM的长； （3）点P为抛物线上的一动点，当点P在y轴右侧时，是否存在点P，使以点C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，若存在，求CM的长；若不存在，请说明理由；
3．如图，矩形OABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标是（6，8），矩形OABC 沿直线BD折叠，使得点C落在对角线OB上的点E处，折痕与OC交于点D． （1）求直线OB的解析式及线段OE的长； （2）求直线BD的解析式及点E的坐标； （3）若点P是平面内任意一点，点M是直线BD上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，在点M的运动过程中是否存在以P、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC在x轴上，OA在y轴上，∠BOC＝ 30°，OC，两动点P、Q分别从O、B两点同时出发，点P以每秒个单位长度的速度沿线段OC向点C运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿着线段BO向点O运动，当点P运动到点C时，P、Q同时停止，设这两个点运动时间为t（s）． （1）求出点A、B的坐标； （2）当△OPQ的面积为时，求出t的值及此时点Q的坐标； （3）在运动过程中，是否存在P、Q两点，使得△PQC沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
八年级数学菱形的存在性(人教版)(专题)(含答案)
菱形的存在性（人教版）（专题） 一、单选题(共3道，每道30分) 1.如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC，OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，，点C的坐标为(18，0)．若直线DE交梯形对角线BO 于点D，交y轴于点E(0，4)，点M是直线DE上的一个动点，点N是坐标平面内一点，且四边形OEMN为顶点的四边形是菱形．若点D的横坐标为4，则点N的坐标为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 1．解题要点 若以OEMN为顶点的四边形是菱形，菱形的位置相对固定， 有下面两种情况： 根据菱形的对称性，只需使△OEM为等腰三角形且OE为腰， 点E为顶角顶点即可，然后通过作两条平行线（或沿等腰三角 形底边翻折）找到点N． 2．解题过程
如图，过点B作BF⊥x轴于点F， 由题意得，点C(18，0)，OE=4， 在Rt△BCF中，∠BCO=45°，， ∴BF=CF=12，OF=6 ∴B(6，12)，A(0，12)． ∴， 点D在直线OB上，且点D的横坐标为4， ∴D(4，8)， 又E(0，4) ∴． 如图，以点E为圆心，OE长为半径作圆，与直线DE交于点，，过点作，过点O作，交于点； 同理，可作出点，过点作于点G． 由题意可得，，， ∴， ∴，
即， 同理，， ∴符合题意的点N的坐标为． 故选B 试题难度：三颗星知识点：略 2.如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A，B两点且OA=1，．点 P是y轴上的点，点Q是坐标平面内一点，若以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，则点Q的坐标是( ) A. B.(1，2)，(1，-2)或(-1，0) C.(1，2)，(1，-2)，(-1，0)或 D.(1，2)，(1，-2)，(-1，0)或 答案：D 解题思路：
四边形之存在性问题(二)(讲义及答案)
四边形之存在性问题（二）（讲义） ?课前预习 1.一般情况下我们如何处理存在性问题？ （1）研究背景图形 坐标系背景下研究____________、____________；几何图形研究____________、____________、____________． （2）根据不变特征，确定分类标准 研究定点，动点，定线段，确定分类标准 不变特征举例： ①等腰三角形（两定一动） 以定线段作为_________或者___________来分类，利用 _______________确定点的位置． ②等腰直角三角形（两定一动） 以________________来分类，然后借助_________或者 ___________确定点的位置． （3）分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解 （4）结果验证 2.用铅笔做讲义第1，2题，并将计算、演草保留在讲义上，先看知识点睛，再做 题，思路受阻时（某个点做了2~3分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听． ?知识点睛 1.存在性问题处理框架： ①研究背景图形； ②根据不变特征，确定分类标准； ③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解； ④结果验证． 2.特殊平行四边形存在性问题不变特征举例： ①菱形存在性问题（两定两动） 转化为等腰三角形存在性问题； 以定线段作为底边或者腰确定分类标准，利用两圆一线确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标． ②正方形存在性问题（两定两动） 转化为等腰直角三角形存在性问题； 根据直角顶点确定分类标准，利用两腰相等或者45°角确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标．