【中考数学】类型四探究菱形的存在性问题(学生)

类型四探究菱形的存在性问题

1. （2015?甘南州第28题

12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c，经过A（0，﹣4），B（x1，0），C（x2，0）三点，且|x2﹣x1|=5．

（1）求b，c的值；

（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；

（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．

2．（2014?四川广安,第26题10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣4，0），B（﹣1，0）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在第三象限的抛物线上有一动点D．

①如图（1），若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当平行四边形ODAE的面积为6时，请判断平行四边形ODAE是否为菱形？说明理由．

②如图（2），直线y=x+3与抛物线交于点Q、C两点，过点D作直线DF⊥x轴于点H，交QC于点F．请问是否存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为：2？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

3.（2014?遵义27．（14分））如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．

（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；

（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．

4.（2014?娄底27．（10分））如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：

（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？

（2）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；′

（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？

5. （2014?福建泉州，第25题12分）如图，在锐角三角形纸片ABC中，AC＞BC，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上．

（1）已知：DE∥AC，DF∥BC．

①判断

四边形DECF一定是什么形状？

②裁剪

当AC=24cm，BC=20cm，∠ACB=45°时，请你探索：如何剪四边形DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论；

（2）折叠

请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由．

平行四边形的存在性问题

平行四边形的存在性问题【真题典藏】 1.（2008年青浦区第24题）如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，正比例函数kx y =（x 为自变量）的图像与双曲线x y 2 - =交于点A ，且点A 的横坐标为2-．（1）求k 的值．（2）将直线kx y =（x 为自变量）向上平移4个单位得到直线BC ，直线BC 分别交x 轴、y 轴于B 、 C ，如点 D 在直线BC 上，在平面直角坐标系中求一点P ，使以O 、B 、D 、P 为顶点的四边形是菱形．图1 图2 2.（2009年普陀区第25题）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，O 为原点，点A 、C 的坐标分别为（2， 0）、（1，33）. 将△AOC 绕AC 的中点旋转180°，点O 落到点B 的位置，抛物线x ax y 322 -=经过点A ，点D 是该抛物线的顶点. （1）求证：四边形ABCO 是平行四边形；（2）求a 的值并说明点B 在抛物线上；（3）若点P 是线段OA 上一点，且∠APD ＝∠OAB ，求点P 的坐标；（4）若点P 是x 轴上一点，以P 、A 、D 为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y 轴上，写出点P 的坐标． 3．（2010年上海市第24题）参见《考典40 几何计算说理与说理计算问题》第3题． 4．（2011年上海市第24题）已知平面直角坐标系xOy （如图3），一次函数3 34 y x =+的图像与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数3 2 y x = 的图像上，且MO ＝MA ．二次函数 y ＝x 2＋bx ＋c 的图像经过点A 、M ．（1）求线段AM 的长；（2）求这个二次函数的解析式；

中考数学压轴题专题复习——旋转的综合含详细答案

一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图1，在□ABCD中，AB=6，∠B= (60°<≤90°). 点E在BC上，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B与AD上的点F重合，连接EF. (1)求证：四边形ABEF是菱形； (2)如图2，点M是BC上的动点，连接AM，把线段AM绕点M顺时针旋转得到线段MN，连接FN，求FN的最小值(用含的代数式表示). 【答案】（1）详见解析；（2）FE·sin(－90°) 【解析】【分析】 (1)由四边形ABCD是平行四边形得AF∥BE，所以∠FAE=∠BEA，由折叠的性质得 ∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA,所以∠BAE=∠FEA，故有AB∥FE，因此四边形ABEF是平行四边形，又BE=EF,因此可得结论； (2)根据点M在线段BE上和EC上两种情况证明∠ENG＝90°－，利用菱形的性质得到∠FEN＝－90°，再根据垂线段最短，求出FN的最小值即可. 【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠FAE=∠BEA，由折叠的性质得∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA, BE=EF， ∴∠BAE=∠FEA， ∴AB∥FE， ∴四边形ABEF是平行四边形，又BE=EF， ∴四边形ABEF是菱形；（2）①如图1，当点M在线段BE上时，在射线MC上取点G，使MG＝AB，连接GN、EN.

∵∠AMN＝∠B＝，∠AMN+∠2＝∠1+∠B ∴∠1＝∠2 又AM＝NM，AB＝MG ∴△ABM≌△MGN ∴∠B＝∠3，NG＝BM ∵MG＝AB＝BE ∴EG＝AB＝NG ∴∠4=∠ENG= (180°－)＝90°－又在菱形ABEF中，AB∥EF ∴∠FEC＝∠B= ∴∠FEN＝∠FEC－∠4=－ (90°－)＝－90° ②如图2，当点M在线段EC上时，在BC延长线上截取MG＝AB，连接GN、EN. 同理可得：∠FEN＝∠FEC－∠4=－ (90°－)＝－90° 综上所述，∠FEN＝－90° ∴当点M在BC上运动时，点N在射线EH上运动(如图3) 当FN⊥EH时，FN最小，其最小值为FE·sin(－90°) 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质以及求最短距离的问题，解题的关键是分类讨论得出∠FEN ＝－90°，再运用垂线段最短求出FN的最小值. 2．在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(4，4)，点M，N是射线OC上两动点(OM＜

(全国通用)中考数学专题拔高系列：菱形存在性问题解决方法汇总

01问题与方法作为一种特殊的平行四边形，我们已经知道可以从以下几种方式得到菱形：（1）有一组邻边相等的平行四边形菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边都相等的四边形是菱形．坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法．和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直”或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形ABCD是菱形，则其4个点坐标需满足：考虑到互相垂直的两条直线斜率之积为1在初中并不适合直接用，故取两邻边相等．即根据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式，故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量，与矩形相同．因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题型：题型如下：（1）2 个定点+1 个半动点+1 个全动点（2）1 个定点+3 个半动点思路1：先平四，再菱形设点坐标，根据平四存在性要求列出“A+C=B+D”（AC、BD 为对角线），再结合一组邻边相等，得到方程组．思路2：先等腰，再菱形在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，再确定第4个点． 02典型例题如图，在坐标系中，A点坐标（1,1），B点坐标为（5,4），点C 在x 轴上，点D 在平面中，求D点坐标，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形

以上只是两种简单的处理方法，对于一些较复杂的题目，还需具体问题具体分析，或许有更为简便的方法． 03中考真题 2019齐齐哈尔中考删减【两定两动：坐标轴+平面】如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=2，OC=6，连接AC和BC．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

二次函数中特殊四边形的存在性问题

网课：二次函数中特殊四边形的存在性问题学习目标： 1、通过二次函数中的特殊四边形存在性问题的探究、学习，获取解决这类问题的基本方法；经历解决二次函数中的特殊四边形存在性问题的探索过程，培养学生的理解能力，抽象能力，能正确认识问题的本质，提高知识迁移能力，积累解决问题的经验，感受数学知识对解决问题的价值； 2、通过函数中的特殊四边形存在性问题的解决，渗透“转化”、“分类”、“方程”、“数形结合”等数学思想，并在问题解决中体验成功的快乐，感受数学的魅力. 学习重点：利用“特殊四边形的性质”，或者“点在函数上”来建立等量关系，解决“点是否存在的问题”. 学习难点：从复杂的函数背景中提炼问题的本质，利用“特殊四边形的性质”，或者“点在函数上”来建立等量关系，解决“点是否存在的问题”. 背景问题：如图，抛物线中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上， OC=3，点D是直线AC与抛物线的交点。问题一：在平面内是否存在一点B，使得以A、B、O、D为顶点的四边形是平行四边形? 若存在，请直接写出B点的坐标；若不存在，请说明理由。归纳：_________________________________________________ 问题二：若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由; （备图1）（备图2）归纳： _____________________________________________________________________________

问题三：若点E（2,3）在抛物线上，点F、P在直线AC上，当EF所在直线与x轴垂直时，平面内是否存在一点Q，使得以点E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由; （备图1）（备图2）归纳： ______________________________________________________________________________ 问题四：点是直线AC上一点，若点N是平面内一点，M是抛物线对称轴上的一点，是否存在一点M使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若能，求出点M的坐标；若不能，请说明理由．归纳： _______________________________________________________________________

一次函数与四边形存在性问题

一次函数与四边形综合专题 1．如图，将一个正方形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，其中A（1，0），C（0，1），P为AB边上一个动点，折叠该纸片，使O点与P点重合，折痕l与OP交于点M，与对角线AC交于Q点（Ⅰ）若点P的坐标为（1，），求点M的坐标；（Ⅱ）若点P的坐标为（1，t） ①求点M的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案） ②求点Q的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案）（Ⅲ）当点P在边AB上移动时，∠QOP的度数是否发生变化？如果你认为不发生变化，写出它的角度的大小．并说明理由；如果你认为发生变化，也说明理由． 2．如图，△OAB的一边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6，8），OA=OB，点P在线段OB上，点Q在y轴的正半轴上，OP=2OQ，过点Q作x轴的平行线分别交OA，AB于点E，F．（1）求直线AB的解析式；（2）若四边形POEF是平行四边形，求点P的坐标；（3）是否存在点P，使△PEF为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；

若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的两个顶点A、B 的坐标分别A （，0）、B（，2），∠CAO=30°．（1）求对角线AC所在的直线的函数表达式；（2）把矩形OABC以AC所在的直线为对称轴翻折，点O落在平面上的点D处，求点D的坐标；（3）在平面是否存在点P，使得以A、O、D、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，直线l与坐标轴分别交于A、B两点，∠BAO=45°，点A坐标为（8，0）．动点P从点O出发，沿折线段OBA运动，到点A停止；同时动点Q也从点O出发，沿线段OA运动，到点A停止；它们的运动速度均为每秒1个单位长度．（1）求直线AB的函数关系式；（2）若点A、B、O与平面点E组成的图形是平行四边形，请直接写出点E的坐标；（3）在运动过程中，当P、Q的距离为2时，求点P的坐标． 5．在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒．（1）当点P移动到点D时，t=秒；

中考数学压轴题专题旋转的经典综合题含详细答案

一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α（?<

（3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴DCE 1506090∠=?-?=?。又∵∠DEC=45°，∴△DCE 为等腰直角三角形。 ∴DC=CE=BC 。 ∵∠BCE=150°，∴(180150) EBC 152 ?-?∠= =?。而1 EBC 30152 α∠=?-=?。∴30α=?。（1）∵AB=AC ，∠BAC=α，∴180ABC 2 α ?-∠= 。 ∵将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD ，∴DBC 60∠=?。 ∴180ABD ABC DBC 603022 αα ?-∠=∠-∠= -?=?-。（2）由SSS 证明△ABD ≌△ACD ，由AAS 证明△ABD ≌△EBC ，即可根据有一个角等于60?的等腰三角形是等边三角形的判定得出结论。（3）通过证明△DCE 为等腰直角三角形得出(180150) EBC 152 ?-?∠==?，由（1） 1 EBC 302α∠=?-，从而1 30152 α?-=?，解之即可。 2．已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）请问EG 与CG 存在怎样的数量关系，并证明你的结论；（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（请直接写出结果，不必写出理由）【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）结论仍然成立【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG =EG ．（2）结论仍然成立，连接AG ，过G 点作MN ⊥AD 于M ，与EF 的延长线交于N 点；再证

二次函数专题训练(菱形的存在性)含解答

1．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12，点C的坐标为（﹣18，0）．（1）求点B的坐标；（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y正半轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式；（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐

标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．（1）求抛物线解析式；（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】 3．如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C

（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标． 4．如图1，抛物线y=ax2+bx+4的图象过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC，动

二次函数的存在性问题之菱形(含答案)

二次函数的存在性问题之菱形 1. 如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．（1）求抛物线解析式；（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE 的面积；（3）在（2）的条件下，若点M 为直线BC 上一点，点N 为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M 和点N ，使得以点B ，D ，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在上，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2. 如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为，连接．（1）求抛物线的解析式及点的坐标；（2）点在抛物线上，连接，当时，求点的坐标；（3）点从点出发，沿线段由向运动，同时点从点出发，沿线段由向运动，、的运动速度都是每秒个单位长度，当点到达点时，、同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点，使、运动过程中的某一时刻，以、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．第1页共30页

3. 如图所示，顶点为（，﹣）的抛物线y=ax2+bx+c过点M（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点A是抛物线与x轴的交点（不与点M重合），点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），点D是反比例函数y= （k ＞0）图象上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值．4. 综合与探究如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，C．（1）求抛物线的解析式（2）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N 若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．注：二次函数y=ax2+bx +c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）第2页共30页

平行四边形之存在性问题

中考数学压轴题解题策略综合题之平行四边形存在性问题专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便．根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．例题解析例1、如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，如果以点P、A、C、D 为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．图1-1 【解析】P、A、C三点是确定的，过△PAC的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点D（如图1-2）．由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得A(－3,0)，C(0, 3)，P(－1, 4)．由于A(－3,0)33 右，上D1(2, 7)．右，上C(0, 3)，所以P(－1, 4)33 由于C(0, 3)33 下，左A(－3,0)，所以P(－1, 4)33 下，左D2(－4, 1)．由于P(－1, 4)11 右，下D 3(－2, －1)．右，下C(0, 3)，所以A(－3,0)11 我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了．图1-2

四边形之存在性问题(讲义及答案)

四边形之存在性问题（讲义）课前预习一般悄况下我们如何处理存在性问题？（1）研究背景图形坐标系背景下研究 ____________ 、 ______ 究 ___________ 、 ____________ 、 ______ （2）根据不变特征，确定分类标准研究定点，动点，定线段，确定分类标准不变特征举例： ① 等腰三角形（两定一动）以定线段作为 ________ 或者— _______________ 确定点的位 ② 置.等腰直角三角形（两定一动）以知识点睛存在性问题处理框架： ① 研究背景图形. ② 根据不变特征，确定分类标准. ③ 分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解. ④ 结果验证. 平行四边形存在性问题特征举例：分析定点、动点. ① 三定一动，连接定点出现三条定线段.定线段分别作为平行四边形的 _________ ,利用 _____________ 确定点坐标. ② 两定两动，连接定线段，若定线段作为平行四边形的 ________ ,则通过 ___________ 确定点的坐标；若定线段作为平行四边形的 ___________ ，则定线段绕 __________ 旋转，利用 _______________ 确定点的坐标. 结合图形进行验证. ;儿何图形研或者来分类，利用来分类，然后借助确定点的位置. （3）分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解（4）结果验证 2. (1) (2)

3.特殊平行四边形存在性问题不变特征举例： ①菱形存在性问题（两定两动）转化为等腰三角形存在性问题；以定线段作为底边或者腰确定分类标准，利用两圆一线确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标. ②正方形存在性问题（两定两动）转化为等腰直角三角形存在性问题；根据直角顶点确定分类标准，利用两腰相等或者45。角确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标. 2如图，在平面直角坐标系中，直线y = -?x + 3与X轴、＞' 4 轴分别交于点A, 点C的坐标为（0, -2 ）.若点D在直线 AB上运动，点E在直线AC±运动，当以0, 4, D, E为顶点的四边形是平行四边形时，求点D的坐标.

一次函数和特殊四边形的存在性问题(培优拓展)

一次函数与特殊四边形的存在性问题（培优专题） 1．（2015春?通州区校级期中）如图，在直角坐标系中，A（0，1），B（0，3），P是x轴上一动点，在直线y=x上是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，画出所有满足情况的平行四边形，并求出对应的P、Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2015春?校级期中）已知直线y=x+3分别交x轴、y轴于点A、B．（1）求∠BAO的平分线的函数关系式；（写出自变量x的取值围）

（2）点M在已知直线上，点N在坐标平面，是否存在以点M、N、A、O 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 3．（2010秋?吴江市校级期中）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在AD 边上，AE＞DE，BE=BC，点O是线段CE的中点．（1）试说明CE平分∠BED；（2）在直线AD上是否存在点F，使得以B、C、F、E为顶点的四边形是菱形？如果存在，试画出点F的位置，并作适当说明；如果不存在，请说明理由．

4．如图，在平面直角坐标系xOy，直线y=x+1与y=﹣2x+4交于点A，两直线与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上的一个动点，直线AB上是否存在点E，使得以E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，点A的坐标是（2，1），点B的坐标是（5，1），过点A的直线l 的表达式为y=2x+b，点C在直线l上运动，在直线OA上是否存在一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

2013年及以前探究菱形的存在性问题汇编

35、（2013?咸宁压轴题）如图，已知直线y=x+1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°后得到△COD ．（1）点C 的坐标是（0，3）线段AD 的长等于 4 ；（2）点M 在CD 上，且CM=OM ，抛物线y=x 2 +bx+c 经过点G ，M ，求抛物线的解析式；（3）如果点E 在y 轴上，且位于点C 的下方，点F 在直线AC 上，那么在（2）中的抛物线上是否存在点P ，使得以C ，E ，F ，P 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长l ；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）首先求出图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B 的坐标，进而得出C 点坐标以及线段AD 的长；（2）首先得出点M 是CD 的中点，即可得出M 点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；（3）分别根据当点F 在点C 的左边时以及当点F 在点C 的右边时，分析四边形CFPE 为菱形得出即可．解答：（1）点C 的坐标是（0,3），线段AD 的长等于4； ······················································ 3分（说明：前一个空为1分，后一个空为2分）（2）∵OM CM =, ∴COM OCM ∠=∠. ∵?=∠+∠=∠+∠90MOD COM ODM OCM , ∴MOD ODM ∠=∠, ∴CM MD OM ==, ∴点M 是CD 的中点， ·············································································· 4分∴点M 的坐标为)2 3 ,21(. ············································································ 5分（说明：由CM ＝OM 得到点M 在OC 在垂直平分线上，所以点M 的纵坐标为 2 3 ，再求出直线CD 的解析式，进而求出点M 的坐标也可.） ∵抛物线c bx x y ++=2经过点C ，M ，

云南中考数学《专项三压轴题》精讲教学案类型⑦ 平行四边形及矩形、菱形、正方形存在性问题探究

类型⑦平行四边形及矩形、菱形、正方形存在性问题探究 ,备考攻略) 在平行四边形有关存在性问题中，常会遇到这样两类探究性的问题： 1．已知三点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找一动点，使这四点构成平行四边形(简称“三定一动”)． 2．已知两个点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找两个动点，使这四点构成平行四边形(简称“两定两动”)．平行四边形的这四个点有可能是定序的，也有可能没有定序．

1．确定动点位置时出现遗漏． 2．在具体计算动点坐标时出现方法不当或错解． 1．分清题型(属于三定一动还是两定两动，因为这两种题型的分类标准有所不同)．2．分类讨论且作图(利用分类讨论不重不漏的寻找动点具体位置)． 3．利用几何特征计算(不同的几何存在性要用不同的解题技巧)．可以把存在性问题的基本思路叫做“三步曲”：一“分”二“作”三“算”．

1．如果为“三定一动”，要找出平行四边形第四个顶点，则符合条件的有3个点；这三个点的找法是以三个定点为顶点画三角形，过每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生所要求的3个点． 2．如果为“两定两动”，要找出平行四边形第三、四个顶点，将两个定点连成定线段，将此线段按照作为平行四边形的边或对角线两种分类讨论． 1．若平行四边形的四个顶点都能用坐标来表示，则直接利用坐标系中平行四边形的基本特征：即对边平行且相等或对边水平距离相等和竖直距离相等列方程求解．2．若平行四边形的四个顶点中某些点不能用坐标表示，则利用列方程组解图形交点的方法解决． 3．灵活运用平行四边形的中心对称的性质，也可使问题变得简单． 4．平移坐标法．先由题目条件探索三点的坐标(若只有两个定点，可设一个动点的坐标). 再画出以三点为顶点的平行四边形，根据坐标平移的性质写出第四个顶点的坐标．最后根据

四边形之存在性问题(二)(讲义及答案)

四边形之存在性问题（二）（讲义）课前预习 1.一般情况下我们如何处理存在性问题？（1）研究背景图形坐标系背景下研究、；几何图形研究、、．（2）根据不变特征，确定分类标准研究定点，动点，定线段，确定分类标准不变特征举例： ①等腰三角形（两定一动）以定线段作为或者来分类，利用确定点的位置． ②等腰直角三角形（两定一动）以来分类，然后借助或者确定点的位置．（3）分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解（4）结果验证 2.用铅笔做讲义第1，2 题，并将计算、演草保留在讲义上，先看知识点睛，再做题，思路受阻时（某个点做了2~3 分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听．知识点睛 1.存在性问题处理框架： ①研究背景图形． ②根据不变特征，确定分类标准． ③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解． ④结果验证． 2.特殊平行四边形存在性问题不变特征举例： ①菱形存在性问题（两定两动）转化为等腰三角形存在性问题；以定线段作为底边或者腰确定分类标准，利用两圆一线确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标． ②正方形存在性问题（两定两动）转化为等腰直角三角形存在性问题；根据直角顶点确定分类标准，利用两腰相等或者45°角确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标．

精讲精练 1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l：y = 2x - 4 与x 轴交于点A，与y 轴交于点B．（1）求点A，B 的坐标．（2）若P 是直线x =-2 上的一动点，则在坐标平面内是否存在点Q，使得以A，B，P，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

四边形存在性问题解析

四边形存在性问题解析 1.如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的边OC 、OA 分别与x 轴、y 轴重合，AB ∥OC ，∠AOC=90°，∠BCO=45°，，点C 的坐标为（－18，0）。（1）求点B 的坐标；（2）若直线DE 交梯形对角线BO 于点D ，交y 轴于点E ，且OE=4，OD=2BD ，求直线 DE 的解析式；（3）若点P 是（2）中直线DE 上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q ，使以O 、E 、P 、 Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。【考点】一次函数综合题，等腰直角三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，菱形的判定和性质。【分析】（1）构造等腰直角三角形BCF ，求出BF 、CF 的长度，即可求出B 点坐标。（2）已知E 点坐标，欲求直线DE 的解析式，需要求出D 点的坐标．构造△ODG ∽△OBA ，由线段比例关系求出D 点坐标，从而可以求出直线DE 的解析式。（3）如图所示，符合题意的点Q 有4个：设直线y=－x+4分别与x 轴、y 轴交于点E 、点F ，则E （0，4），F （4，0），OE=OF=4，。 ①菱形OEP 1Q 1，此时OE 为菱形一边。则有P 1E=P 1Q 1=OE=4，P 1F=EF －P 1－4。易知△P 1NF 为等腰直角三角形， ∴P 12 1F=4－设P 1Q 1交x 轴于点N ，则NQ 1=P 1Q 1－P 1N=4－（4－）。

又ON=OF－，∴Q1（，－）。 ②菱形OEP2Q2，此时OE为菱形一边。此时Q2与Q1关于原点对称，∴Q2（－ 2）。 ③菱形OEQ3P3，此时OE为菱形一边。此时P3与点F重合，菱形OEQ3P3为正方形，∴Q3（4，4）。 ④菱形OP4EQ4，此时OE为菱形对角线。由菱形性质可知，P4Q4为OE的垂直平分线，由OE=4，得P4纵坐标为2，代入直线解析式y=－x+4得横坐标为2，则P4（2，2）。由菱形性质可知，P4、Q4关于OE或y轴对称，∴Q4（－2，2）。综上所述，存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形，点Q的坐标为： Q1（），Q2（－），Q3（4，4），Q4（－2，2）。 2.如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）．（1）求G点坐标；（2）求直线EF解析式；（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】一次函数综合题，矩形的性质，折叠性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。

二次函数专题训练(菱形的存在性)含答案

1如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边0C、OA分别与x轴、y轴重合，AB II OC,/ AOC= 90° / BCO=45 , BC=12迈，点C的坐标为(—18, 0). (1)求点B的坐标； (2)若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y正半轴于点E,且OE=4 , OD=2BD，求直线DE的解析式； (3)若点卩是(2)中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q,使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 2 2.如图，抛物线y=ax+bx - 2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A , B两点，与y轴交于点C,点A的坐标为

(-2, 0),点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD丄x轴于点D,交直线BC于点E. (1)求抛物线解析式； (2)若点P在第一象限内，当0D=4PE时，求四边形POBE的面积； (3)在(2)的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 3.如图，抛物线y=ax2-2x+c ( a和)与x轴、y轴分别交于点A , B, C三点，已知点A (- 2, 0),点C ( 0,- 8),点D是抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)如图1,抛物线的对称轴与x轴交于点E,第四象限的抛物线上有一点卩，将厶EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标； (3)如图2,设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标. 【温馨提示：考生可以根据题

菱形存在性问题

菱形存在性问题 1．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的边OC 、OA 分别与x 轴、y 轴重合，AB ∥OC ，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=122，点C 的坐标为（-18，0）．（1）求点B 的坐标；（2）若直线DE 交梯形对角线BO 于点D ，交y 轴于点E ，且OE=4，OD=2BD ，求直线DE 的解析式；（3）若点P 是（2）中直线DE 上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q ，使以O 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知抛物线y= 4 1x 2 + 1 (如图所示)． (1)填空：抛物线的顶点坐标是(__ __，_ _)，对称轴是__ __； (2)已知y 轴上一点A(0，2)，点P 在抛物线上，过点P 作PB ⊥x 轴，垂足为B ．若△PAB 是等边三角形，求点P 的坐标； (3)在(2)的条件下，点M 在直线．．AP 上．在平面内是否存在点N ，使四边形OAMN 为菱形?若存在，直接写出所有．．满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．

3.如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D.直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（-2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F. （1）求m的值及该抛物线对应的解析式；（2）P(x,y)是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC,求出所有符合条件的点P的坐标；（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形.若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由. 4．如图，二次函数y=x2﹣x+c的图象与x轴分别交于A、B两点，顶点M关于x轴的对称点是M′．（1）若A（﹣4，0），求二次函数的关系式；（2）在（1）的条件下，求四边形AMBM′的面积；（3）是否存在抛物线y=x2﹣x+c，使得四边形AMBM′为正方形？若存在，请求出此抛物线的函数关系式；若不存在，请说明理由．

四边形存在性问题

一、平行四边形存在性问题姓名： 1．（4月8日作业）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（a，2），B（b，0），且a，b满足+b2﹣8b+16＝0．（1）求a，b的值；（2）在坐标轴上是否存在点C，使△ABC是以线段AB为底的等腰三角形？若存在，试求出点C的坐标：若不存在，试说明理由．（3）点A关于点（0，﹣1）对称的点D坐标为；是否存在点P、Q，满足点P在x轴上，点Q在y轴上，且以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，试求出点P、Q的坐标；若不存在，试说明理由．

2．（4月9日作业）如图，已知正比例函数y＝2x和反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A、B两点，若A点的纵坐标为﹣2．（1）求反比例函数的解析式和点B坐标；（2）根据图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；（3）若C是双曲线上的动点，D是x轴上的动点，是否存在这样的点C和点D，使以A、B、CD为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出C、D坐标；若不存在，请说明理由．

3．（4月9日作业）如图，把矩形纸片AOCD置于直角坐标系中，O为坐标原点，，把矩形纸片沿直线AF折叠，使得点D与OC上的点E重合，这时AE平分∠OAF．（1）填空：∠DAF∠EAF（填“＞”、“＜”或“＝”）；（2）求出直线AE的解析式及点F的坐标；（3）设点M是直线AE上的一个动点，过点M作AD的平行线，交y轴于点N，是否存在点M，使得以M、N、D、A为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

4．（4月9日作业）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+8分别交两轴于点A、B，点C为线段AB 的中点，点D在线段OA上，且CD的长是方程的根．（1）求点D的坐标；（2）求直线CD的解析式；（3）在平面内是否存在这样的点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，不必说明理由．

类型四探究菱形的存在性问题(教师)

类型四探究菱形的存在性问题 1. （2015?甘南州第28题 12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c，经过A（0，﹣4），B（x1，0），C（x2，0）三点，且|x2﹣x1|=5．（1）求b，c的值；（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）把A（0，﹣4）代入可求c，运用两根关系及|x2﹣x1|=5，对式子合理变形，求b；（2）因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足条件的D点，就是抛物线的顶点；（3）由四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中点坐标，代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段OB的长度关系，判断是否为正方形即可．解答：解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c，经过点A（0，﹣4）， ∴c=﹣4 又∵由题意可知，x1、x2是方程﹣x2+bx﹣4=0的两个根， ∴x1+x2=b，x1x2=6

由已知得（x2﹣x1）2=25 又∵（x2﹣x1）2=（x2+x1）2﹣4x1x2=b2﹣24 ∴b2﹣24=25 解得b=±，当b=时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去． ∴b=﹣．（2）∵ 四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上，又∵y=﹣x2﹣x﹣4=﹣（x+）2+， ∴抛物线的顶点（﹣，）即为所求的点D．（3）∵ 四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（﹣6，0），根据菱形的性质，点P必是直线x=﹣3与抛物线y=﹣x2﹣x﹣4的交点， ∴当x=﹣3时，y=﹣×（﹣3）2﹣×（﹣3）﹣4=4， ∴在抛物线上存在一点P（﹣3，4），使得四边形BPOH为菱形．四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（﹣3，3），但这一点不在抛物线上点评：本题考查了抛物线解析式的求法，根据菱形，正 2．（2014?四川广安,第26题10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣4，0），B（﹣1，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限的抛物线上有一动点D． ①如图（1），若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当平行四边形ODAE的面积为6时，请判断平行四边形ODAE是否为菱形？说明理由．

【中考数学】类型四 探究菱形的存在性问题(学生)