高考.三角函数题型分析
高考.三角函数题型分
析
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
数学.试题分析
专题.三角函数 一、题型分析
一、单调性问题
此类问题主要考查三角函数的增减性，各象限中各个三角函数值的符号等．很多情况下，需要通过三角恒等变换将已知函数式化为一个角的一个三角函数式的形式来求解．
例1 写出函数24sin cos cos y x x x x =+-在[]0π，上的单调递增区间．
解：()()2222sin cos sin cos cos y x x x x x x =+-+
π
2cos 22sin 26x x x ?
?=-=- ??
?．
由已知可得πππ
2π22π262
k x k -+-+≤≤，
则ππ
ππ63k x k -++≤≤，k ∈Z ．
又[]0πx ∈，，
所以其单调递增区间是π03??????，，5ππ6??
????
，．
点评：① 在求单调区间时，要注意给定的定义域，根据题意取不同的k 值；② 在求sin()y A x ω?=+的单调区间时还应注意ω的正、负，同学们可以自己求一下
π2sin 26y x ??
=- ???
的单调递减区间，并与本例所求得的区间对比一下．
二、图象变换问题
三角函数的图象变换是一个重点内容．解这类问题，先通过三角恒等变换将函数化为sin()y A x ω?=+(00)A ω>>，的形式，然后再探索其图象是由正弦曲线经过怎样的平移变换、伸缩变换或振幅变换得到的．特别需要注意的是：在图象变换中，无论是“先平移后伸缩”，还是“先伸缩后平移”，须记清每次变换均对“x ”而言，尤其是左右平移在由形变换向数的问题转化的的时候，也是用“x + k ”代替“x ”，其它做法都是多余的。尤其是要弄清楚“变换谁得到谁”，这个问题不搞清楚，就不要做题。
例2 已知函数22sin 2sin cos 3cos 1y x x x x =++-，x ∈R ．该函数的图象可由sin y x =，x ∈R 的图象经过怎样的变换而得到？
解：22sin 2sin cos 3cos 1y x x x x =++-2sin 22cos sin 2cos 21x x x x =+=++
π
214x ?
?=++ ??
?． 将函数sin y x =依次作如下变换：
（1）把函数sin y x =的图象向左平移π4，得到函数πsin 4y x ?
?=+ ??
?的图象；
（2）把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的1
2
倍（纵坐标不变），得到函数
πsin 24y x ?
?=+ ??
?的图象；
（3倍（横坐标不变），得到函数
π
24y x ?
?=+ ??
?的图象；
（4）把得到的函数图象向上平移1个单位长度，得到函数π214y x ?
?=++ ??
?的图象．
综上得到函数22sin 2sin cos 3cos 1y x x x x =++-的图象．
点评：由sin y x =的图象变换得到sin()y A x ω?=+的图象，一般先作平移变换，后作伸缩变换，即sin sin()sin()sin()y x y x y x y A x ?ω?ω?=→=+→=+→=+．如果先作伸缩变换，后
作平移变换，则左（右）平移时不是?个单位，而是?
ω
个单位，即
sin()sin()y x y x ωω?=→=+是左（右）平移?
ω
个单位长度．
三、最小正周期问题
这类问题一般要通过恒等变换，然后得出我们所熟悉的三角函数---------也就是
sin()y A x ω?=+形式三角函数问题，从而求得其周期．最小正周期问题常与三角函数的奇偶性、单调性、对称性及最值交汇出现．应掌握几个常用三角函数的最小正周期，会求sin()y A x ω?=+的周期．
例3 函数42sin cos y x x =+的最小正周期为（ ）．
（Ａ）π4 （Ｂ）π
2
（Ｃ）π （Ｄ）2π
解析：4
222sin 1sin 1sin (1sin )y x x x x =+-=--
22211cos 47cos 41sin cos 1sin 214888
x x
x x x -=-=-=-=+
， 2ππ42
T ∴==．故选（Ｂ）．
点评：本题是通过平方关系、倍角公式、降次将函数化为单一且次数为一次的函数求解的．
四、求值与证明问题
此类题是高考中出现较多的题型，要求同学们掌握从题设条件入手、以题目结论或要求为目标，正确运用各类三角公式，消除角的差异，实现函数名称的转化，达到解（证）题的目的．
深刻理解三角函数的概念，熟练掌握各类三角公式，熟悉三角恒等变换的常用思想方法和变换技巧，是解决问题的关键．
例4 已知π1
tan 42
α??+= ???．（1）求tan α的值；（2）求2sin 2cos 1cos 2ααα-+的值．
解：（1）由题意知π1tan 1
tan 41tan 2ααα+??+=
= ?-??，解得1tan 3α=-； （2）222
sin 2cos 2sin cos cos 2sin cos 1cos 22cos 2cos ααααααα
ααα---==+ 1115
tan 2326
α=-=--=-．
点评：本题在解答过程中用到了两角和的正切公式、二倍角公式及正、余弦公式的关系，熟练掌握和灵活应用各类三角公式显得尤为重要，在此前提下，解决该类问题，必须先弄清楚“角”在哪里？否则容易求错题目，弄清楚“角”在哪也就是“求值角先行！”；另外，三角函数问题围绕“角和名”两大问题来思考，尽量寻求角之间的联系，尽量减少函数名，是解决这类问题的基本法则。
五、最值或值域问题
这是在考试中出现频率很高的一类题型，要求掌握基本的三角公式和正弦、余弦等基本三角函数的值域．解题时，常常进行降次处理，尽量将异名三角函数化为同名三角函数，将不同的角化为相同的角．
例5若函数21cos 2π()sin sin π42sin 2x f x x a x x +?
?=
+++ ?????- ?
??
3，试确定常数a 的值． 解：222cos π()sin sin 2cos 4x f x x a x x ??=
+++ ???2πcos sin sin 4x x a x ?
?=+++ ???
2ππsin 44x a x ????=+++ ? ????
?)
2πsin 4a x ?
?=+ ??
?．
因为()f x
3
23a =，即23a =
，a =
点评：本题先进行三角恒等变换，化为sin()y A x ω?=+的形式，再求a 的值．求一个复杂三角函数的最小正周期、最值、单调区间等，一般是将这个复杂的三角函数通过三角恒等变换化简为sin()y A x ω?=+的形式后再求解．另外，在求最值问题还有一类题型就是：把所给的函数运用换元的办法转化为一元二次函数的问题来解决，这里就不再举例。换元的时候要注意“引进新元要立刻根据旧元求出新元的取值范围”，当然，还有可能把三角函数问题跟导数简单结合，这样只能扩大知识点的覆盖，但不会增加试题的难度，要想正确解答这类问题，必须对三角函数的求导熟悉，否则在求导这一知识环节出问题，题目也就没办法进行了。
二、题型特点：（条件给出的变化、难度等）
在这部分考题中，选择题，解答题多是基本题目，概念性比较强；这里就不再论述；
在大题中，在条件的给出过程中，多与平面向量结合，这是近年来变化比较大的地方，多是利用平面向量的坐标运算以及平面向量数量积最终转化为三角函数的问题；在上面的分析中，我们给出了六类三角函数题型，其中估计在三角函数的应用部分2008年不会设置大题，三角函数图象变换出大题的可能性也不大，肯定要在三角函数图象和性质的利用上做文章，这点也是三角函数部分的重点之重点，大家除了要对三角函数的图象和性质非常熟练之外，还要对三角恒等变换以及诱导公式和两角和与差的公式非常熟悉。因此必须引起大家的高度重视。但历年来三角函数问题难度的设置上不会太多，多是中、低档题，因此，这部分不能丢分。更不能会而不对，对而不全。
三、强化训练
一、选择题
1、（海南、宁夏理3）函数πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2??
-????
，的简图是（ A ）
2、（海南宁夏理9）若
cos 22
π2sin 4αα=-
?
?- ?
?
?，则cos sin αα+的值为（ C ） Ａ．72
-
Ｂ．12- Ｃ．1
2
Ｄ．
72
3、将π
2cos 36x
y ??=+ ??
?
的图象按向量π
24
??
=-- ??
?
，
a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ A ）
Ａ．π
2cos 234
x
y ??
=+- ??
? Ｂπ2cos 23
4x y ??=-+ ???
．C 、π2cos 2312x y ??=-
- ??? Ｄ．π2cos 2312x y ??
=++ ???
4、（江西理5）若π
02
x <<，则下列命题中正确的是（ D ） Ａ．3
sin π
x x <
Ｂ．3sin πx x > Ｃ．224
sin π
x x <
Ｄ．2
2
4sin πx x >
5、（全国卷1理1）α是第四象限角，5
tan 12
α=-
，则sin α=（ D ） A ．15
B ．15
-
C ．
513
D ．513
-
6、全国卷1理（12）函数22
()cos 2cos 2
x
f x x =-的一个单调增区间是（ A ） A ．233ππ?? ???， B ．62ππ?? ???， C ．03π?? ???， D ．66ππ??- ???，
7、（全国卷2理2）函数sin y x =的一个单调增区间是（ C ） A ．ππ??- ?44??， B ．3ππ?? ?44??
， C ．3π??π ?2??， D ．32π??
π ?2??，
8、函数sin 2cos 263y x x ππ???
?=+-+ ? ????
?的最小正周期和最大值分别为（ A ）
A ．π，1
B ．π2
C ．2π，1
D ．2π2
9、“2π3θ=”是“πtan 2cos 2θθ??
=+ ???
”的（ A ）
Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件
10、若函数()2sin()f x x ω?=+，x ∈R （其中0ω>，2
?π
<）的最小正周期是π，且
(0)f =， 则（D ）
A ．126ω?π==，
B ．123ω?π==，
C ．26
ω?π
==，
D ．23
ω?π
==，
二、填空题
4、（江苏11）若1cos()5αβ+=，3cos()5αβ-=，则tan tan αβ=___1
2
__．
11、（上海理6）函数??? ??+??? ?
?
+=2πsin 3πsin x x y 的最小正周期=T π ．
15、（浙江理12）已知1sin cos 5θθ+=，且324θππ≤≤，则cos2θ的值是 7
25
-
12、（四川理16）下面有五个命题：
①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π.②终边在y 轴上的角的集合是{a |a =Z k k ∈π
,2
|.
③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点.
④把函数.2sin 36)32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =π
π+=
⑤函数.0)2
sin(〕上是减函数，在〔ππ
-=x y 其中真命题的序号是 ① ④
三、解答题
16、（安徽理16）已知0αβπ<<4，为()cos 2f x x π?
?=+ ?8?
?的最小正周期，
1tan 14αβ??
??=+- ? ?????
，，
a (cos 2)α=，
b ，且a b m =．求22cos sin 2()cos sin ααβαα++-的值． 主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力．
解：因为β为π()cos 28f x x ?
?=+ ??
?的最小正周期，故πβ=．
因m =·a b ，又1cos tan 24ααβ??=+- ???a
b ··． 故1cos tan 24m ααβ?
?+=+ ??
?·． 由于π
04
α<<，所以
222cos sin 2()2cos sin(22π)cos sin cos sin ααβαααααα++++=--22cos sin 22cos (cos sin )
cos sin cos sin ααααααααα
++==--
1tan π2cos 2cos tan 2(2)1tan 4m αα
ααα+?
?==+=+ ?-?
?·
18、（福建理17）在ABC △中，1tan 4A =，3
tan 5
B =．
（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC △
，求最小边的边长．
考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力
解：（Ⅰ）π()C A B =-+，1345tan tan()113145
C A B +∴=-+=-
=--?．又0πC <<，3
π4
C ∴=．
（Ⅱ）34C =π，AB ∴
边最大，即AB =tan tan 0A B A B π??
<∈ ?2??
，，，，
∴角A 最小，BC 边为最小边．由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ?
==???+=?
，，
且π02A ??
∈ ???，，
得sin 17A =
sin sin AB BC C A =得：sin 2sin A BC AB C
=
=BC = 19、（广东理16）已知ABC △顶点的直角坐标分别为(34)A ，，(00)B ，，(0)C c ，．
（1）若5c =，求sin A ∠的值； （2）若A ∠是钝角，求c 的取值范围． 解析： （1）(3,4)AB =--，(3,4)AC c =--，若c=5， 则(2,4)
AC =-
，∴
cos cos ,A AC AB ∠=<>=
=
sin ∠A ； 2）若∠A 为钝角，则391600c c -++
解
得253c >
，∴c 的取值范围是25
(,)3
+∞； 21、（湖南理16）已知函数2π()cos 12f x x ?
?=+ ??
?，1()1sin 22g x x =+．
（I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值． （II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．
解：（I ）由题设知1π
()[1cos(2)]26
f x x =++．
因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以0π
26
x +πk =， 即0 π
2π6
x k =-
（k ∈Z ）． 所以0011π
()1sin 21sin(π)226
g x x k =+=+-．
当k 为偶数时，01π13()1sin 12644
g x ??
=+-=-= ???，
当k 为奇数时，01π15
()1sin 12644g x =+=+=．
（II ）1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ????=+=
++++ ????
???
1π3113cos 2sin 2sin 2262222x x x x ?????=+++=++? ??????????
1π3sin 2232x ?
?=++ ???． 当πππ2π22π232k x k -++≤≤，即5ππ
ππ1212
k x k -+≤≤（k ∈Z ）时，
函数1π3()sin 2232h x x ??=++ ???是增函数，故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ?
?-+??
?
?，（k ∈Z ）． 22、（江西理18）
如图，函数π
2cos()(0)2y x x ωθθ=+∈R ，≤≤的图象与y
轴交于点
(0，且在该点处切线的斜率为2-．（1）求θ和ω的值；
（2）已知点π02A ??
???
，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA
的中点，当0y =
0ππ2x ??
∈????
，时，求0x 的值． 解：（1）将0x =
，y =2cos()y x ωθ=+
得cos θ=
因为02θπ≤≤，所以6θπ
=．又因为2sin()y x ωωθ'=-+，0
2x y ='
=-，6
θπ
=
，所以2ω=， 因此2cos 26y x π?
?=+ ??
?．
（2）因为点02A π??
???
，，00()Q x y ，是PA
的中点，0y =
所以点P
的坐标为022x π?- ?．
又因为点P 在2cos 26y x π??=+ ???
的图象上，所以05cos 46x π?
?-= ??
?．
因为02x ππ≤≤，所以075194666
x πππ-≤≤，
从而得0511466x ππ-
=或0513466x ππ-=
．即023x π=或034
x π
=． 23、（全国卷1理17）设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，
2sin a b A =．
（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．
解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1
sin 2
B =， 由AB
C △为锐角三角形得π6
B =
． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π??
+=+π-- ?6??
cos sin 6A A π??=++ ??
?1cos cos 22A A A =+
+
3A π?
?=+ ??
?． 由ABC △为锐角三角形知，
22A B ππ->-， 2263B ππππ-=-=． 2336
A πππ<+<，
所以1sin 23A π??+< ???
3A π?
?<+< ???
所以，cos sin A C +
的取值范围为322?? ? ???
，． 24、（全国卷2理17）在ABC △中，已知内角A π
=
3
，边BC =．设内角B x =，周长为y ．
（1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．
解：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π
<<3
．
应用正弦定理，知sin sin 4sin sin sin BC AC B x x A =
==π3
，
2sin 4sin sin BC AB C x A π??
=
=- ?3??
．
因为y AB BC AC =++
，所以224sin 4sin 03y x x x ππ???=+-+<< ??3???
，
（2）因为1
4sin sin 2y x x x ??=+++ ? ?2??
5
x x ππ
ππ???=++<+< ??66
66???，
所以，当x ππ+
=62，即x π
=3
时，y 取得最大值 5、（陕西理17）设函数()f x =·a b ，其中向量(cos2)m x =，a ，(1sin 21)x =+，
b ，x ∈R ，且()y f x =的图象经过点π24
?? ???
，
．（Ⅰ）求实数m 的值 （Ⅱ）求函数()f x 的最小值及此时x 值的集合．
解：（Ⅰ）()(1sin 2)cos 2f x a b m x x ==++，
由已知πππ1sin cos 2422f m ???
?=++= ? ????
?，得1m =．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()1sin 2cos 2124f x x x x ?
?=++=++ ??
?，
∴ 当πsin 214x ?
?+=- ??
?时，()f x 的最小值为1
∴ 由πsin 214x ?
?+=- ???，得x 值的集合为3ππ8x x k k ??=-∈????
Z ，．
26、已知0,14
13
)cos(,7
1cos 且=
β-α=α<β<α<2π,(Ⅰ)求α2tan 的值. （Ⅱ）求β.
本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。
解：（Ⅰ）由1cos ,072παα=<<，得sin α===
∴sin 7
tan cos 1
ααα
===2
2tan tan 21tan
1ααα
===--（Ⅱ）由02
π
αβ<<<
，得02
π
αβ<-<
又∵()13cos 14αβ-=，∴()sin αβ-= ()βααβ=--得：
()cos cos βααβ=--????()()cos cos sin sin ααβααβ=-+-11317142
=
?=
所以3
π
β=
27、（天津理17）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，．
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84??
????
，上的最小值和最大值．
本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数
sin()y A x ω?=+的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．
（Ⅰ）解：π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ?
?=-+=-=- ??
?．
因此，函数()f x 的最小正周期为π．
（Ⅱ）解法一：因为π()24f x x ??=- ???在区间π3π88??????，上为增函数，在区间3π3π84??
????，上为
减函数，又π08f ??
= ???
，
3π8f ??
= ???
3π3πππ14244f ????
=-==- ? ?????
，
故函数()f x 在区间π3π84??
????
，，最小值为1-．
28、（重庆理17）设2()6cos 2f x x x =．
（Ⅰ）求()f x 的最大值及最小正周期；（Ⅱ）若锐角α满足()3f α=-4
tan 5α的
值．
解1cos 2()6
22x
f x x +=3cos 223x x =+12sin 232x x ?=-+???
236x π?
?=++ ???． 故()f x 的最大值为3；最小正周期22T π==π．
（Ⅱ）由()3f α=-2336απ??++=- ???cos 216απ?
?+=- ??
?．
又由02απ<<
得2666απππ<+<π+，故26απ+=π，解得5
12
α=π．
从而4tan tan 53
απ
==．
高中数学必修三角函数常考题型同角三角函数的基本关系
高中数学必修三角函数常考题型同角三角函数 的基本关系 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-
同角三角函数的基本关系 【知识梳理】 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.即sin 2 α＋cos 2 α＝1. (2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即 sin α cos α＝tan_α ? ?? ??其中α≠k π＋π2?k ∈Z ?. 【常考题型】 题型一、已知一个三角函数值求另两个三角函数值 【例1】 (1)已知sin α＝12 13 ，并且α是第二象限角，求cos α和tan α. (2)已知cos α＝－4 5 ，求sin α和tan α. [解] (1)cos 2 α＝1－sin 2 α＝1－? ????12132＝? ?? ??5132 ，又α是第二象限角， 所以cos α<0，cos α＝－ 513，tan α＝sin αcos α＝－125 . (2)sin 2 α＝1－cos 2 α＝1－? ????－452＝? ?? ??352 ， 因为cos α＝－4 5 <0，所以α是第二或第三象限角， 当α是第二象限角时，sin α＝35，tan α＝sin αcos α＝－3 4；当α是第 三象限角时，sin α＝－35，tan α＝sin αcos α＝3 4 .
【类题通法】 已知三角函数值求其他三角函数值的方法 (1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cos α＝±1－sin2α，求得 cos α的值，再由公式tan α＝sin α cos α 求得tan α的值． (2)若已知cos α＝m，可以先应用公式sin α＝±1－cos2α，求得 sin α的值，再由公式tan α＝sin α cos α 求得tan α的值． (3)若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝sin α cos α ＝m?sin α＝ m cos α及sin2α＋cos2α＝1，求得cos α＝± 1 1＋m2 ，sin α＝ ± m 1＋m2 的值． 【对点训练】 已知tan α＝ 4 3 ，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．解：由tan α＝ sin α cos α ＝ 4 3 ，得sin α＝ 4 3 cos α，① 又sin2α＋cos2α＝1，② 由①②得 16 9 cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝ 9 25 . 又α是第三象限角，故cos α＝－ 3 5 ，sin α＝ 4 3 cos α＝－ 4 5 . 题型二、化切求值 【例2】已知tan α＝3，求下列各式的值．
高二数学 三角函数高考解答题常考题型
( )() 2 2 2αβ β ααβ+=- -- 等）， 如（1）已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____ （答：3 22）； （2）已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，2 23 sin()αβ-=，求cos()αβ+的值 （答：490729 ）； （3）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3 cos()5 αβ+=- ，则y 与x 的函数关系为______（答：2343 1(1)555 y x x x =- -+<<） 三、解三角形 Ⅰ．正、余弦定理⑴正弦定理 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 2是AB C ?外接圆直径） 注：①C B A c b a sin :sin :sin ::=；②C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；③ C B A c b a C c B b A a sin sin sin sin sin sin ++++===。 ⑵余弦定理：A bc c b a cos 22 2 2 -+=等三个；注：bc a c b A 2cos 2 22-+=等三个。 Ⅱ。几个公式: ⑴三角形面积公式：))(2 1 (,))()((sin 2 1 21c b a p c p b p a p p C ab ah S ABC ++= ---=== ?； ⑵内切圆半径r= c b a S ABC ++?2；外接圆直径2R= ;sin sin sin C c B b A a == ⑶在使用正弦定理时判断一解或二解的方法：⊿ABC 中，sin A B A >?Ⅲ．已知A b a ,,时三角形解的个数的判定： 其中h=bsinA, ⑴A 为锐角时： ①a 【模拟演练】 1、[2014·江西卷16] 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2 x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ? ?? ?? π4＝0， 其中a ∈R ，θ∈(0，π)． (1)求a ，θ的值； (2)若f ? ????α4＝－2 5，α∈? ????π2，π，求sin ? ?? ??α＋π3的值． 2、[2014·北京卷16] 函数f (x )＝3sin ? ???? ?2x ＋π6的部分图像如图所示． (1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间??????? ?－π2，－π12上的最大值和最小值． 3、[2014·福建卷18] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ? ???? ? 5π4的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 4、( 06湖南）如图,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β. （1）证明 sin cos 20αβ+=; （2）若 求β的值 . 5、（07福建）在ABC △中，1tan 4A = ，3tan 5 B =． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若ABC △，求最小边的边长． 6、（07浙江）已知ABC △1，且sin sin A B C +=． （I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1 sin 6 C ，求角C 的度数． 7、（07山东）如图,甲船以每小时 方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A 处时, 乙船位于甲船的北偏西105? 的方向1B 处,此时两船相距20 海里.当甲船航行20分钟到达2A 处时,乙船航行到甲船的 三角函数的题型和方法 一、思想方法 1、三角函数恒等变形的基本策略。 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2 θ+sin 2 θ=tanx ·cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2 x+2cos 2 x=(sin 2 x+cos 2 x)+cos 2 x=1+cos 2 x ；配凑角：α=（α+β）－β，β= 2 β α+－ 2 β α-等。 （3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。 （4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。 （5）引入辅助角。asin θ+bcos θ=2 2 b a +sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?= a b 确定。 （6）万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成tan 2 θ 的有理式。 2、证明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3、证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 4、解答三角高考题的策略。 （1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。 二、注意事项 对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面： 1、三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值。 2、三角变换的一般思维与常用方法。 注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如 αα ββαββαα22 1 2 2)()(?= ? =+-=-+=．也要注意题目中所给的各角之间的关系。 注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等。 三角函数高考常见题型 三角函数题是高考数学试卷的第一道解答题，试题难度一般不大，但其战略意义重大，所以稳拿该题14分对文理科学生都至关重要。分析近年高考试卷，可以发现，三角解答题多数喜欢和平面向量综合在一起，且向量为辅，三角为主，主要有以下五类： 一、运用同角三角函数关系、诱导公式、和、差、倍、半等公式进行化简求值类。 例题1.（2012全国卷大纲7）已知α为第二象限角，sin cos αα+= ，则cos2α= （A ）3- （B ）9- （C ）9 （D ）3 【答案】A . 例题2.【2012高考真题山东理7】若42ππθ?? ∈????，，sin 2θ，则sin θ= （A ） 35 （B ）45 （C ）4 （D ）34 【答案】D 例题 3.（2011浙江）（6）若02 π α＜＜ ，02π β- ＜＜，1 cos()43 πα+=， cos()423 πβ-= cos()2βα+= （A ） 3 （B ）3- （C ）9 （D ）9 - 【答案】C 例4. 已知向量33(cos ,sin ),(cos ,sin ),[,]22222 x x x x x π π==-∈且a b 。 （1）若||+>a b x 的取值范围； （2）函数()||f x =?++a b a b ，若对任意12,[ ,]2 x x π π∈，恒有12|()()|f x f x t -<, 求t 的取值范围。 解：（1）||||1,cos 2,||22cos 22cos 3x x x ==?=∴ +=+=->Q a b a b a b ， 即35cos .[,],26 x x x ππ ππ<- ∈∴<≤Q 。 （2）2 1 3()||cos 22cos 2(cos )2 2 f x x x x =?++=-=-- a b a b 。 max min 1cos 0,()3,()1x f x f x -≤≤∴==-Q ， 又12max min |()()|()()4,4f x f x f x f x t -≤-=∴>Q 【习题1】 1.【2012高考真题辽宁理7】已知sin cos 2αα-=，α∈(0，π)，则tan α= (A) -1 (B) 22- (C) 22 (D) 1 【答案】A 2.【2012高考真题江西理4】若tan θ+1 tan θ =4,则sin2θ= A ． 15 B. 14 C. 13 D. 1 2 【答案】D 3.【2012高考重庆文5】sin 47sin17cos30cos17 -o o o o （A ）32- （B ）12-（C ）12 （D ）3 2 【答案】C 4.【2012高考真题四川4】如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =， 连接EC 、ED 则sin CED ∠=（ ） A 、 31010 B 、1010 C 、510 D 、5 15 【答案】B 5.（2012考江苏11）α为锐角，若4cos 65απ? ?+= ?? ?，则)122sin(π+a 的值为 ▲ ； 第12讲 三角函数 高考试题中的三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前，重点突出。因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。 一、知识整合 1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题． 2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数sin()y A x ω?=+的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化． 二、高考考点分析 2004年各地高考中本部分所占分值在17～22分，主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次： 第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。 第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。 第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。 三、方法技巧 1.三角函数恒等变形的基本策略。 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2 θ=tanx ·cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2 x ；配凑角：α=（α+β）－β，β= 2 β α+－ 2 β α-等。 （3）降次与升次。（4）化弦（切）法。 （4）引入辅助角。asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?= a b 确定。 2.证明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 （1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。 四、例题分析 三角函数的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值），三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值），三角函数模型的应用，正余弦定理及其应用，平面向量的基本问题及其应用． 题型1 三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余 ） ． 分析：待定系数求a ，b ；然后用倍角公式和降幂公式转化问题． 解析：函数)(x f 可化为()sin 2cos 2f x a x b x b =++． （1）由(0)8f = ，()126f π=可得(0)28f b == ，3 ()126 22 f a b π = += ，所以4b = ，a = （2 ）()24cos 24 f x x x π =++=故当226 2 x k π π π+ =+ 即(6 x k k π π=+ 点评： 结论sin cos a b θθ+= 解决三角函数的图象、单调性、最值、点内容． 题型2 三角函数的图象：三角函数图象从重点考查的问题之一． 例3．（2009只需将函数sin 2y x =的图象 B ．向右平移 5π 12个长度单位 D ．向右平移5π 6 个长度单位 552sin 2sin 232612x x x ππππ????? ?++=+=+ ? ? ??????? ， 5π 12 个长度单位，选择答案A ． 例4 （2008 图象是 分析解析：函数tan y x =点评题型3 用三角恒等变换求值：其主要方法是通过和与差的，二倍角的三角变换公式解决． 已知πcos sin 6αα? ?-+= ?? ?7πsin 6α??+ ?? ?的值C ．45 - D ． 45 )6 π α+，将已知条件分拆整合后解决． 34sin sin 6522565πααα? ??+=?+= ?? ?? ?，所以74sin sin 6 65ππαα??? ?+ =-+=- ? ? ? ?? ?． A 三角函数常见题型 三角函数常见题型 二、高考要求： 了解三角函数的图象与性质，理解同角关系；掌握三角函数的两角和（差）的正弦、余弦和正切；理解正余弦定理并会应用．煤焦油泵 【典型例题】 I、三角函数的图象与性质煤焦油泵 三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来．本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用． 例1、函数的图象为，如下结论中正确的是（写出所有正确结论的编号）．KCB齿轮油泵 ①图象关于直线对称；可调压渣油泵 ②图象关于点对称； ③函数在区间内是增函数；高压渣油泵 ④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象． 答案：①②③ 例2、下面有五个命题：KCB-300 ①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是． ②终边在y轴上的角的集合是{a|a=|．齿轮油泵kcb 55 ③在同一坐标系中，函数y=sin x的图象和函数y=x的图象有三个公共点． ④把函数高压渣油 泵 ⑤函数 其中真命题的序号是①④（写出所有真命题的编号）KCB齿轮油泵解析：①，正确；②错误；③ ，和在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．故选①④． 2CY齿轮油泵 例3、设z1=m+（2－m2）i，z2=cosθ+（λ+sinθ）i，其中m，λ，θ∈R，已知z1=2z2，求λ的取值范围． 命题意图：本题主要考查三角函数的性质，考查考生的综合分析问题的能力和等价转化思想的运用．螺杆油泵 知识依托：主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值问题来解决． 错解分析：考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题．螺杆油泵 技巧与方法：对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题． 解法一：∵z1=2z2，渣油泵 ∴m+（2－m2）i=2cosθ+（2λ+2sinθ）i，∴ ∴λ=1－2cos2θ－sinθ=2sin2θ－sinθ－1=2（sinθ－）2－． 当sinθ=时，λ取最小值－，当sinθ=－1时，λ取最大值2． 解法二：∵z1=2z2∴YHB卧式齿轮润滑油泵 【一】知识要点详解 1.要点： （1）三角函数的化简、求值与证明； （2）三角函数的图像与性质：图像的变换和作图；周期性、奇偶性，单调性； （3）三角函数的最值问题； （4）解三角形:在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理； （5）解三角函数的实际应用. 2.方法： （1）使用三角函数公式进行解题时应考虑使用诱导公式进行化简；使用两角和与差的三角函数公式合并三角函数；使用二倍角的三角函数公式降幂扩角、升幂缩角；使用同角三角函数关系式，结合已知条件，化弦为切或化切为弦，化到最简后，带入已知的三角函数值，求得结果. （2）三角函数最值的三个方面： 化成“三个一”：化成一个角的一种三角函数的一次方形式；如； 化成“两个一”：化成一个角的一种三角函数的二次方结构； “合二为一”：辅助角的使用； （3）解三角形方法：一法化边；二法化角；注意要考虑三角形内角的范围. 【二】例题详解 题型一：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 【例1】（2007年高考安徽卷）已知，为的最小正周期，，求的值．【解答】因为为的最小正周期，故．因为，又，故． 由于，所以 ． 【评析】合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数中的和、 差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入 求值或化简。 题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题 【例2】（2006年高考浙江卷）如图，函数（其中）的图像与轴交于点（0，1）。 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设是图像上的最高点，M、N是图像与轴的交点，求与的 夹角。 【解答】（I）因为函数图像过点， 所以即 因为，所以. （II）由函数及其图像，得 所以从而 ，故. 【评析】此类问题的一般步骤是：先利用向量的夹角公式：求出被求角的三角函数值，再限定所求角的范围，最后根据反三角函数的基本运算，确定角的大小；或者利用同角三角函数关系构造正切的方程进行求解。 题型三：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算 【例3】（山东卷）在中，角的对边分别为，．（1）求； （2）若，且，求． 【解答】（1），, 2016高考三角函数题型归纳 知识点梳理 1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 1-1y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π 2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2ππ -π o y x 1-1y=cosx -3π 2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π-2π4π 3π 2π π -π o y x y=tanx 3π2 π π2 - 3π2 -π - π2 o y x y=cotx 3π2 π π2 2π -π - π2 o y x 2、三角函数的单调区间： x y sin =的递增区间是????? ? +-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是 ????? ? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22， -)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是??? ?? +-22ππππk k ，)(Z k ∈， 3、三角函数的诱导公式 sin （2kπ+α）=sinα sin （π+α）=－sinα sin （－α）=－sinα cos （2kπ+α）=cosα cos （π+α）=－cosα cos （－α）=cosα tan （2kπ+α）=tanα tan （π+α）=tanα tan （－α）=－tanα sin （π－α）=sinα sin （π/2+α）=cosα sin （π/2－α）=cosα cos （π－α）=－cosα cos （π/2+α）=－sinα cos （π/2－α）=sinα tan （π－α）=－tanα tan （π/2+α）=－cotα tan （π/2－α）=cotα sin 2(α)+cos 2(α)=1 4、两角和差公式 5、 二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin （α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin2α=2sinαcosα sin （α－β）=sinαcosβ－cosαsinβ cos2α=cos 2(α)－sin 2(α)=2cos 2(α)－1=1－2sin 2(α) cos （α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ tan2α=2tanα/(1－tan 2(α)) cos （α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ tan （α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα ·tanβ) tan （α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα ·tanβ) 6、半角公式： 2cos 12 sin αα -± =； 2 cos 12cos α α+±=； α αααααα sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-± = 7、函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ；其图象的对称轴是直线 )( 2 Z k k x ∈+ =+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心 8、由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋?)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。 高考六大题型初探----------三角函数 一、 考纲要求： （1）任意角的概念、弧度制 ① 了解任意角的概念。 ② 了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化。 （2）三角函数 ① 理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义 ② 能利用单位圆中三角函数线推导出 απαπ ±±,2 的正弦、余弦、正切的诱导公式，能 画出x y x y x y tan ,cos ,sin ===的图象，了解三角函数的周期性。 ③ 理解正弦函数、余弦函数在区间]2,0[π上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴的交点等），理解正切函数在区间)2 ,2(π π-内的单调性。 ④ 理解同角三角函数的基本关系式： .tan cos sin ,1cos sin 2 2 x x x x x ==+ ⑤ 了解函数sin()y A x ω?=+的物理意义；能画出sin()y A x ω?=+的图象，了解参 数A ，?ω,对函数变化的影响。 ⑥ 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际 问题。 二、 知识整合： 1、 基本知识： 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。要注意把握角概念的中心词“旋转”！旋转就有两个要素：旋转量与旋转方向，一个角是否确定关键是看这两个要素确定了没有，有一个要素不确定，这个角就不是确定的角。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。注意：象限角只给出角的终边位置，跟角的大小无关。 3. 终边相同的角的表示： （1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等. 如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 （2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . （6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为： ,2 k k Z π απ=+ ∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α= ∈. 如α的终边与 6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 4、α与2 α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定. 如若α是第二象限角，则 2 α 是第_____象限角 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：2 11||2 2 S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈ . 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点） ，它与原点的距离是0r = >，那么sin ,cos y x r r αα= =，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α= (0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关，而 与终边上点P 的位置无关。 如（1）已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的值为＿＿。 （2）设α是第三、四象限角，m m --=43 2sin α，则m 的取值范围是_______. （3）若 0| cos |cos sin |sin |=+αα αα，试判断)tan(cos )cot(sin αα?的符号 7.三角函数线的特征是：正弦线MP “站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM “躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT “站在点(1,0)A 处(起点是A )”.三角 函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。 如（1）若08 π θ- <<，则sin ,cos ,tan θθθ的大小关系为_____ （2）若α为锐角，则,sin ,tan ααα的大小关系为_______ , （3）函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是_______, 8. 同角三角函数的基本关系式： y T A x α B S O M P 三角函数的诱导公式(一) 【知识梳理】 1．诱导公式二 (1)角π＋α与角α的终边关于原点对称． 如图所示． (2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α. cos(π＋α)＝－cos_α. tan(π＋α)＝tan_α. 2．诱导公式三 (1)角－α与角α的终边关于x轴对称． 如图所示． (2)公式：sin(－α)＝－sin_α. cos(－α)＝cos_α. tan(－α)＝－tan_α. 3．诱导公式四 (1)角π－α与角α的终边关于y轴对称． 如图所示． (2)公式：sin(π－α)＝sin_α. cos(π－α)＝－cos_α. tan(π－α)＝－tan_α. 【常考题型】 题型一、给角求值问题 【例1】 求下列三角函数值： (1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°；(3)cos 119π 6 . [解] (1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120°＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－ 3 2 ； (2)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1； (3)cos 119π6＝cos ????20π－π6＝cos ????－π6＝cos π6＝3 2. 【类题通法】 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 【对点训练】 求sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°的值． 解：sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°＝sin(360°＋225°)cos(3×360°＋210)＋cos 30°sin 210°＋tan(180°－45°)＝sin 225°cos 210°＋cos 30°sin 210°－tan 45°＝sin(180°＋45°)cos(180°＋30°)＋cos 30°·sin(180°＋30°)－tan 45°＝sin 45°cos 30°－cos 30°sin 30°－tan 45°＝22×32－32×1 2－1＝6－3－44 . 题型二、化简求值问题 【例2】 (1)化简：cos?－α?tan?7π＋α? sin?π－α?＝________； (2)化简sin?1 440°＋α?·cos?α－1 080°? cos?－180°－α?·sin?－α－180°?. (1)[解析] cos?－α?tan?7π＋α?sin?π－α? ＝cos αtan?π＋α?sin α＝cos α·tan αsin α＝sin α sin α＝1. [答案] 1 (2)[解] 原式＝sin?4×360°＋α?·cos?3×360°－α?cos?180°＋α?·[－sin?180°＋α?]＝sin α·cos?－α??－cos α?·sin α＝cos α －cos α＝－1. 【类题通法】 高考数学-.三角函数高考常见题型 三角函数题是高考数学试卷的第一道解答题，试题难度一般不大，但其战略意义重大，所以稳拿该题12分对文理科学生都至关重要。分析近年高考试卷，可以发现，三角解答题多数喜欢和平面向量综合在一起，且向量为辅，三角为主，主要有以下几类： 一、运用同角三角函数关系、诱导公式、和、差、倍、半等公式进行化简求值类。 例1 已知向量33(cos ,sin ),(cos ,sin ),[,]22222x x x x x ππ==-∈且a b 。 （1 ）若||+>a b x 的取值范围； （2）函数()||f x =?++a b a b ，若对任意12,[,]2x x π π∈，恒有12|()()|f x f x t -<,求t 的取值范围。 二、运用三角函数性质解题，通常考查正弦、余弦函数的单调性、周期性、最值、对称轴及对称中心。 例2 若,0),(cos ,sin ),0x x x ωωωω==->m n ，在函数()()f x t =?++m m n 的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为4π，且当 [0,]3x π∈时，()f x 的最大值为1。 （1）求函数()f x 的解析式； （2 ）若 ()[0,]f x x π=∈，求实数x 的值。 例3 已知向量α(sin =, )21-，1(=, )cos 2α， 51=?，)2,0(πα∈ （1）求ααsin 2sin 及的值； （2）设函数x x x f 2cos 2)22sin(5)(+++-=απ])2,24[(ππ∈x ，求x 为何值时，)(x f 取得最大值，最大 值是多少，并求)(x f 的单调增区间。 三角函数的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值），三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值），三角函数模型的应用，正余弦定理及其应用，平面向量的基本问题及其应用． 题型1 三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题． 例1 若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值是（ ） A ．1- B C ．1 2 - D ． 1 2 +分析：三角形的最小内角是不大于 3 π的，而()2 sin cos 12sin cos x x x x +=+，换元解决．点评：涉及到sin cos x x ±与sin cos x x 的问题时，通常用换元解决． 例2．已知函数2 ()2sin cos 2cos f x a x x b x =+．，且(0)8,()126 f f π==． （1）求实数a ，b 的值；（2）求函数)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值． 分析：待定系数求a ，b ；然后用倍角公式和降幂公式转化问题． 点评：结论()sin cos a b θθθ?+= +是三角函数中的一个重要公式，它在 解决三角函数的图象、单调性、最值、周期以及化简求值恒等式的证明中有着广泛应用， 是实现转化的工具，是联系三角函数问题间的一条纽带，是三角函数部分高考命题的重点内容． 题型2 三角函数的图象：三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质，一直是高考所重点考查的问题之一． 例3．（2009年福建省理科数学高考样卷第8题）为得到函数πcos 23y x ? ? =+ ?? ? 的图象，只需将函数sin 2y x =的图象 A ．向左平移5π 12个长度单位 B ．向右平移 5π 12个长度单位 C ．向左平移5π 6 个长度单位 D ．向右平移5π 6 个长度单位 分析：先统一函数名称，在根据平移的法则解决． 历年三角函数高考真题赏析 （2013年17题）ABC ?在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin a b C c B =+。 （Ⅰ）求B ； （Ⅱ）若2b =，求ABC ?面积的最大值。 （2012年17题）ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知c o s ()c o s 1,2A C B a c -+= =，求角C 。 （2011年17题）ABC ?在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，.己知A —C =90°，a+c=2b ， 求角C. （2010年17题） ABC ?中，D 为边BC 上的一点，33BD =5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=，求AD ． （2009年17题）设ABC ?的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，3cos()cos 2 A C B -+= ，2b ac =，求角B 。 （2008年17题）在ABC △中，5cos 13B =- ，4cos 5C =． （Ⅰ）求sin A 的值； （Ⅱ）设ABC △的面积332 ABC S = △，求BC 的长． （2007年17题）在ABC △中，已知内角A π=3 ，边23BC =．设内角B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值． 2013年.【解析】 2012年.【解析】由()A B C B A C ππ++=?=-+， 由正弦定理及2a c =可得sin 2sin A C = 所以cos()cos cos()cos(())cos()cos()A C B A C A C A C A C π-+=-+-+=--+ cos cos sin sin cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C A C A C =+-+=[来源:Z&xx&https://www.360docs.net/doc/b3724240.html,] 故由cos()cos 1A C B -+=与sin 2sin A C =可得22sin sin 14sin 1A C C =?= 而C 为三角形的内角且2a c c =>，故02C π <<，所以1sin 2 C =，故6C π=。 2011年.【解析】：由正弦定理得2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===， 由22sin 2sin 22sin a c b R A R C R B +=+=?得，即sin sin 2sin A C B += A+B+C=1800 ，0 [180()]B A C ∴=-+，0sin sin 2sin[180()]A C A C ∴+=-+ 即sin sin 2sin()A C A C ∴+=+，由A-C=900 得A=900+C 00sin(90)sin 2sin(902) c c c ∴++=+即00cos sin 22sin(45)cos(45)c c c c +=++ 00022sin(45)22sin(45)cos(45)c c c +=++ 01cos(45)2 c ∴+= 000456015c c ∴+=∴= 高考题历年三角函数题型总结 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+= 高考三角函数重点题型解析及常见试题(附参考答案) 三角函数的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值），三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值），三角函数模型的应用，正余弦定理及其应用，平面向量的基本问题及其应用． 题型1 三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题． 例 1 若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值是（ ） A ．1- B C ．1 2 - D ． 1 2 +分析：三角形的最小内角是不大于3 π的，而()2 sin cos 12sin cos x x x x +=+，换元解决． 解析：由 03 x π <≤ ，令 s i n c s 2s i n ( 4 t x x π =+ +而7 4 4 12 x π π π<+ ≤ ，得1t <≤． 又2 12sin cos t x x =+，得21 sin cos 2 t x x -=， 得22 11(1)122 t y t t -=+ =+-，有2111022y -+<≤=．选择答案D ． 点评：涉及到sin cos x x ±与sin cos x x 的问题时，通常用换元解决． 解法二：1sin cos sin cos sin 242y x x x x x x π? ?=++= ++ ?? ?， 当4 x π = 时，max 1 2 y = ，选D 。 例2．已知函数2 ()2sin cos 2cos f x a x x b x =+．，且(0)8,()126 f f π ==． （1）求实数a ，b 的值；（2）求函数)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值． 分析：待定系数求a ，b ；然后用倍角公式和降幂公式转化问题．高考大题_三角函数题型汇总精华(含答案解释)
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