2021-2022年高考数学一轮复习专题7.4基本不等式及其应用讲

2021年高考数学一轮复习专题7.4基本不等式及其应用讲

题组一 常识题

1．函数y ＝x ＋4

x

(x ＞0)的最小值为________．

【解析】∵x ＞0，∴y ＝x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取等号，故函数y ＝x ＋4

x

(x ＞0)的最小

值为4.

2．一段长为40 m 的篱笆围成一个矩形菜园，则菜园的最大面积是________．

【解析】设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则2(x ＋y )＝40，即x ＋y ＝20，∴ 矩形的面积S ＝

xy ≤? ??

?

?x ＋y 22

＝100，当且仅当x ＝y ＝10时，等号成立，此时菜园的面积最大，最大的面积是100 m 2. 3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m 2

、形状为直角三角形的框架，选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为________m.

【解析】设两直角边长分别为a m ，b m ，直角三角形的框架的周长为l ，则1

2ab ＝2，即ab ＝4，∴ l

＝a ＋b ＋a 2

＋b 2

≥2ab ＋2ab ＝4＋22，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为(4＋22)m.

4．建造一个容积为8 m 3

，深为2 m 的长方体无盖水池，若池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，则这个水池的最低造价为______元．

【解析】设水池的总造价为y 元，池底长为x m ，则宽为4x

m ，由题意可得y ＝4×120＋2? ??

??2x ＋8x ×80

＝480＋320?

??

??x ＋4x ≥480＋320×2

x ·4x ＝480＋320×24＝1760，当且仅当x ＝4

x

，即x ＝2时，y min ＝

1760.

故当池底长为2 m 时，这个水池的造价最低，最低造价为1760元． 题组二 常错题

5．若x ＞－1，则x ＋

4

x ＋1

的最小值为________． 【解析】x ＋4x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1－1≥4－1＝3，当且仅当x ＋1＝4

x ＋1，即x ＝1时等号成立．

6．已知0

lg x

的最大值是________．

【解析】∵00. ∴－y ＝－lg x ＋4

－lg x

≥2

（－lg x ）×4

－lg x

＝4，

当且仅当－lg x ＝4－lg x ，即x ＝1

100时，等号成立，

∴y max ＝－4.

7. 函数y ＝sin x ＋

4sin x ，x ∈?

????0，π2的最小值为 _________________________.

【解析】当sin x ＝4

sin x 时，sin x ＝±2，显然等号取不到，事实上，设t ＝sin x ，则t ∈(0，1]，

y ＝t ＋4

t

在(0，1]上为减函数，故当t ＝1时，y 取最小值5.

题组三 常考题

8． 设a ＞0，b ＞0.若关于x ，y 的方程组?

????ax ＋y ＝1，

x ＋by ＝1无解，则a ＋b 的取值范围是__________．

【解析】将方程组中的第一个方程化为y ＝1－ax ，代入第二个方程整理得(1－ab )x ＝1－b ，由方程组无解得1－ab ＝0且1－b ≠0，所以ab ＝1且b ≠1.由基本不等式得a ＋b >2ab ＝2，故a ＋b 的取值范围是(2，＋∞)．

9．若直线x a ＋y b

＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于________． 【解析】依题意有1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )·1a ＋1b ＝1＋a b ＋b

a

＋1≥2＋2

a b ·b

a

＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．10．已知a >0，b >0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大

值

．

【知识清单】考点1利用基本不等式证明不等式

如果，那么（当且仅当时取等号“=”）

如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.

考点2 利用基本不等式求最值

常见结论：

1、如果，那么（当且仅当时取等号“=”）

推论：（）

2、如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.

推论：（，）；

3、

22

2

(0,0) 1122

a b a b

ab a b

a b

++

≤≤>> +

考点3 基本不等式的实际应用

利用基本不等式求解实际应用题的方法

(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．

(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．

【考点深度剖析】

江苏新高考对不等式知识的考查要求较高，整个高中共有8个C能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、数列、平面解析几何知识结合考查.

基本不等式及其应用在高考中是一个必考的知识点，在处理最值时是一种非常行之有效的工具，在使用时一定多观察所给代数式的形式，和基本不等式成立的条件.

【重点难点突破】

考点1利用基本不等式证明不等式

【1-1】不已知、、都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥ 【答案】∵a ＞0，b ＞0，c ＞0， ∴， ， . ∴.

【1-2】已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：. 【1-3】已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：. 【解析】∵，，，

∴.同理，.∴111122b a a b a b ?

???????

+

+=++ ??? ???????????

＝，当且仅当，即时取“＝”． ∴，当且仅当时等号成立． 【思想方法】

利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等． 【温馨提醒】

1. 在运用时，注意条件、均为正数，结合不等式的性质，进行变形.

2. 三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号.

3. 在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．

考点2 利用基本不等式求最值

【2-1】若log 2x ＋1og 2y ＝1，则x ＋2y 的最小值是________． 【答案】4

【解析】因为log 2x ＋log 2y ＝1，即log 2xy ＝1，所以xy ＝2且x ＞0，y ＞0，于是x ＋2y ≥2x ·2y ＝4，当且仅当x ＝2y ，即x ＝2，y ＝1时取等号，所以x ＋2y 的最小值为4. 【2-2】设，函数的最小值为 ． 【答案】 9

【2-3】已知0,0,lg 2lg8lg 2x

y

x y >>+=，则的最小值是 ． 【答案】

【解析】由，得，即，亦即,且，从而

()1111332333y x

x y x y x y x y

??+=+?+=++

???，当且仅当，又，即，时，取得最小值，注意乘“1”法技巧的使用.

【2-4】若a>0，b>0，且a ＋b ＝2，则ab ＋的最小值为 ． 【答案】2

【解析】由2＝a ＋b≥2得0

【2-5】设x>0，y>0，且x ＋4y ＝40，则lgx ＋lgy 的最大值是 ． 【答案】2

【思想方法】

基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．

注意：形如y ＝x ＋a

x

(a >0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解． 【温馨提醒】

在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；

② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.

若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值.

考点3 基本不等式的实际应用

【3-1】要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）. 【答案】88

【解析】假设底面长方形的长宽分别为, . 则该容器的最低总造价是.当且仅当的时区到最小值. 【3-2】如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝3，PB ＝2，PC ＝1.设M 是底面ABC 内一点，定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是三棱锥M -PAB ，三棱锥M -PBC ，三棱锥M -PCA 的体积．若

f (M )＝? ??

??12，x ，y ，且1x ＋a y ≥8恒成立，则正实数a 的最小值为________．

【答案】1

【3-3】如图，有一块等腰直角三角形的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形的绿地，已知,，绿地面积最大值为 ．

【答案】

【解析】设，，由条件可知和为等直角三角形，所以，．＝≥＝，即≤4，所以，所以绿地面积最大值为4． 【3-4】某汽车运输公司，购买了一批豪华大巴投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润（万元）与营运年数满足，则每辆客车营运多少年使其营运年平均利润最大？ 【答案】5年

【解析】年平均利润为212252525

()122122,x x f x x x x N x x x

*-+-=

=--+≤-?=∈, 当x=5时，f(x)取得最大值，最大值为2万元． 【思想方法】

用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

(4)正确写出答案. 【温馨提醒】

对于应用题要通过阅读、理解所给定的材料寻找量与量之间的内在联系建立起数学模型，然后利用不等式的知识解决题目所提出的问题．

【易错试题常警惕】

忽视最值取得的条件致误

典例 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2

y

＝1，则x ＋y 的最小值是________．

(2)函数y ＝1－2x －3

x

(x <0)的最小值为________．

易错分析 (1)多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件．如：1＝1x ＋2

y ≥2

2

xy

，∴xy ≥22，∴x

＋y ≥2xy ≥42，得(x ＋y )min ＝4 2.

(2)没有注意到x <0这个条件误用基本不等式得2x ＋3

x

≥2 6.

【答案】(1)3＋2 2 (2)1＋2 6 【解析】(1)∵x >0，y >0，

温馨提醒 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；

(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致． [失误与防范]

1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 2．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．