图论模型

第七部分图论方法

第十六章图论模型

图论是应用数学的一个分支，它的概念和结果来源非常广泛，最早起源于一些数学游戏的难题研究，如欧拉所解决的哥尼斯堡七桥问题，以及在民间广泛流传的一些游戏难题，如迷宫问题、博弈问题、棋盘上马的行走路线问题等．这些古老的难题，当时吸引了很多学者的注意．在这些问题研究的基础上又继续提出了著名的四色猜想和汉米尔顿（环游世界）数学难题．

1847年，图论应用于分析电路网络，这是它最早应用于工程科学，以后随着科学的发展，图论在解决运筹学，网络理论，信息论，控制论，博弈论以及计算机科学等各个领域的问题时，发挥出越来越大的作用．在实践中，图论已成为解决自然科学、工程技术、社会科学、军事等领域中许多问题的有力工具之一，

图论模型属于离散类数学模型，是数学模型中比较容易为学生接受的一类模型，具有直观性、趣味性和简洁性，深得大学生的青睐。另外，图论模型属于较为近代的前沿性数学知识，又具有强烈的，易于为学生接受的数学建模味道，对于培养学生通过建模解决实际问题的能力与学习兴趣都是不可多得的知识内容，因此越来越受到数学家和建模工作者的喜爱．我们所学的这一章只是介绍一些基本概念、原理以及一些典型的应用实例，目的是在今后的学习研究时，可以把图论的基本知识、方法作为工具．

本章先介绍图论的基本概念，然后通过哥尼斯堡七桥问题、最短路径问题、中国邮递员问题、人员分派问题、稳定匹配问题、竞赛图等例子介绍图论的具体应用。

16.1 图的基本概念

图是一个有序对，V是结点集，E是边集，以表示结点数目，表示边的数目，则当∣V∣和∣E∣有限时，称为有限图；否则称无限图.

无向边, 与无序结点对(v, u)相关联的边；

有向边，与有序结点对相关联的边；

无向图，每条边都是无向边的图，记作G＝; 有向图，每条边都是有向边的图，记作D＝.

混合图，既有有向边，也有无向边的图.

平凡图，仅有一个结点的图；零图，边集为空集的图，即仅有结点的图.

自回路(环)，关联于同一个结点的边.

无向平行边，联结相同两个结点的多于1条的无向边；有向平行边，联结两个结点之间的多于1条且方向相同的有向边.

简单图，不含平行边和自回路的图.

在有向图D＝中，以v(∈V)为起点的边之条数为出度deg＋(v)；以v(∈V)为终点的边之条数为入度deg－(v).

在无向图G＝中，与结点v(∈V)关联的边数，即为结点度数deg(v)或d(v).；在有向图中，结点v的出度和入度之和为度数.

最大度数，?(G)＝max{deg(v)∣v∈V}；最小度数，δ(G)=min{deg(v)∣v∈V}

有n个结点的且每对结点都有边相连的无向简单图，称为无向完全图.此时有

)1(21-=n n E ；有n 个结点的且每对结点之间都有两条方向相反的边相连的有向简单图为

有向完全图. 此时有

)1(-=n n E 。 设G ＝, V ，E 的子集V ',E '构成的图G '=是图G 的子图；若G '?G 且G '≠G ，(V '?V 或E '?E)，G '是G 的真子图.

生成子图，设图G ＝, 若E '?E, 则图是图的生成子图，即结点与原图G 相同的子图.

16.2 哥尼斯堡七桥问题

十八世纪东普鲁士城（今俄罗斯加里宁格勒）的普莱格尔河，它有两个支流，在城市中心汇成大河，中间是岛区，河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。由于岛上有古老的哥尼斯堡大学，有教堂，还有哲学家康德的墓地和塑像，因此城中的居民，尤其是大学生们经常沿河过桥散步。渐渐地，爱动脑筋的人们提出了一个问题：一个散步者能否一次走遍7座桥，而且每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。这就是七桥问题，一个著名的图论问题。

图1 图2

当时的人们请教了数学家欧拉。欧拉认为，既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成A 、B 、C 、D4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示。于是“七桥问题”就等价于图2中所画图形的一笔画问题了。欧拉注意到，每个点如果有进去的边就必须有出来的边，从而每个点连接的边数必须是偶数个才能完成一笔画。于是，为了解决这个问题，欧拉提出了奇点和偶点的概念，与奇数条边相连的点称为奇点，与偶数条边相连的点称为偶点，从而产生了著名的“一笔画定理”，即一笔画中的奇点数目为0或2个。图2中的每个点都连接着奇数条边，即奇点数为4，因此不可能一笔画出，这就说明不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次的走法。1736年，欧拉以此发表了图论的首篇论文“哥尼斯堡七桥问题”。

由此可引出欧拉图的概念如下：

(1) 通过图中所有边一次且仅一次行遍所有顶点的通路称为欧拉通路；

(2) 通过图中所有边一次且仅一次行遍所有顶点的回路称为欧拉回路；

(3) 具有欧拉回路的图称为欧拉图；

(4) 具有欧拉通路但无欧拉回路的图称为半欧拉图。

欧拉图和半欧拉图都有简单的判别方法，定理如下：

定理1

（1）无向连通图是欧拉图当且仅当其所有顶点的度数都是偶数；

（2）无向连通图是半欧拉图当且仅当其奇点数为2；

寻找欧拉回路的算法如下：

（1）任取()0v V G ∈，令00P v =；

（2）设0112i i i P v e v e e v =已经行遍，按下面方法从(){}12,,,i E G e e e -中选取1i e +： （a ）1i e +与i v 相关联；

（b ）除非无别的边可供行遍，否则1i e +不应该为{}12,,

,i i G G e e e =-中的桥（所谓

桥是一条删除后使连通图不再连通的边）；

（c ）当（b ）不能再进行时，算法停止。

此算法称为Fleury 算法。

例1 图3是否为欧拉图，并求出一条欧拉回路。

图3

解：图中奇点数量为零，由定理1得，该图为欧拉图。由Fleury 算法，AFEDCBAFECFBA 就是该图的一条欧拉回路。

16.3最短路径问题

假设要在计算机上建立一个交通咨询系统，则可以采用图的结构来表示实际的交通网络。用顶点表示城市，边表示城市间的交通联系。这个咨询系统可以回答旅客提出的各种问题。如，给定连接若干城市的铁路网，找一条给定两城市间的最短线路，此即所谓最短线路问题。有时，对于旅客来说，可能更关心的是节省交通费用；而对于司机来说，里程和速度则是他们感兴趣的信息。为了在图上表示有关年，可对边赋以权，权值表示两地之间的距离，或途中所需时间，或交通费用等等，此时的最短路径就可能是时间最少的路径或最省钱的路径。

我们讨论单源点的最短路径问题：给定带权有向图G 和源点v ，求从v 到G 中其余各

顶点的最短路径。

图4

例如，图41所示。

从图中可见，从A 到D 有两条不同的路径：（A ，C ，D ）和（A ，E ，D ），前者长度为60，而后者的长度为50。因此，后者是从A 到D 的最短路径，而从A 到B 没有路径。

如何求得这些路径呢？Dijkstra 提出了一个按路径长度递增的次序产生最短路径的算法。

首先，引进一个辅助向量D ，它的每个分量D[i]表示当前所找到的从始点v 到每个终点vi 的最短路径的长度。它的初值为：若从v 到vi 有弧，则D[i]为弧上的权值；否则置为

∞。

显然，长度为[][]{}i D j Min D i v V =∈的路径就是从v 出发的长度最短的一条最短路径。此路径为(),j v v 。

那么，下一条长度次短的路径的最短路径在哪里呢？假设该次短路径的终点是vk ，则可想而知，这条路径或者是(),k v v ，或者是()

,,j k v v v 。它的长度或者是从v 到vk 的弧上的权值，或者是D[j]和从vj 到vk 的弧上的权值之和。

一般情况下，假设S 为已求得最短路径的终点的集合，则可证明：下一条最短路径（设其终点为x ）或者是弧（v ，x ），或者是中间只经过S 中的顶点而最后到达顶点x 的路径。这可用反证法来证明。假设此路径上有一个顶点不在S 中，则说明存在一条终点不在S 而长度比此路径短的路径。但是，这是不可能的。因为我们是按路径长度递增的次序来产生最短路径的，故长度比此路径短的所有路径均已产生，它们的终点必在S 中，即假设不成立。

因此，在一般情况下，下一条长度次短的最短路径的长度必是 [][]{}

i i D j Min D i v V S =∈-

其中，D[i]或者是弧（v ，v i ）上的权值，或者是D[k]（k v S ∈）和弧（v k ，v i ）上的权值之和。

根据以上分析，可以得到如下描述的算法：

(1) 假设用带权的邻接矩阵A 来表示带权有向图，A[i][j]表示弧上的权值。若不存在，则置A[i][j]为∞。S 为已找到从v 出发的最短路径的终点的集合，它的初始状态为空集。设D[i]从v 出发到图上其余各顶点（终点）v i 可能达到的最短路径长度的初值.

(2) 选择结点，使得

[][]{}

i i D j Min D i v V S =∈- vj 就是当前求得的这条从v 出发的最短路径的终点。令

{}j

S S v = （3） 修改从v 出发到集合V －S 上任一顶点v k 可达的最短路径长度。如果

[][][][]D j A j k D k +<

则修改D[k]为[][][][]D k D j A j k =+

（3） 重复操作（2）（3）共n-1次。由此求得从v 到图上其余各顶点的最短路径是依路径长度递增的序列。

例如，图7.34所示有向网G6的带权邻接矩阵为

1030100550102060∞∞∞

????∞∞∞∞∞????∞∞∞∞∞??∞

∞∞∞∞????∞∞∞∞??∞∞∞∞∞∞???? 若对G6施行Dijkstra 算法，则所得从A 到其余各顶点的最短路径，以及运算过程中

题和求源点到其他所有顶点的最短路径从计算上讲具有一样复杂度。

对于无向图，上述方法依然适用。

16.4中国邮递员问题

一个邮递员从邮局出发投递信件，他必须在他所管辖范围内的所有街道至少走一次，最后回到邮局，他自然希望一条最短的路线完成投递任务，那么如何选择这样的路线呢？这个问题是中国数学家管梅谷先生首先提出的，因而被称作中国邮递员问题。

要解这个问题，首先应该将该问题用图来描述。构造无向带权图G=，E 为街道集合，V 中元素为街道的交叉点。街道的长度为该街道对应的边的权，显然所有权大于0。邮递员问题就变成了求G 中一条经过每条边至少一次的回路，使该回路所带权最小的问题。满足以上条件的回路是最优投递路线或最优回路。

显然，若G 是欧拉图，则最优投递路线为G 中的任意一条欧拉回路。若G 不是欧拉图，则最优投递路线必须要有重复边出现，而要求重复边权之和达到最小，具体说来是这样的。若G 不是欧拉图，则G 必有奇点，必须加若干条重复边，使重复边的权与原边的权相同，设所得图为*G ，于是求G 的最优投递路线就等价于求*G 的一条欧拉回路，使得重复边权之和()e F

w e ∈∑最小，其中()()*

F E

G E G =-。 设C 是G 中一条最优投递路线，*G 为对应的欧拉图，*G 中的添加重复边应满足什么条件呢？请见下面定理。

定理14.4 C 是带正权无向连通图,,G V E W =中的最优投递路线当且仅当对应的欧拉图*G 应满足：

（1）G 的每条边在*G 中至多重复出现一次；

（2）G 的每个圈上在*G 中重复出现的边的权之和不超过该圈权的一半。

由定理14.4不难证明下面定理

定理14.5 设带正权无向连通图,,G V E W =，V '为G 中奇点集，设

()20V k k '=≥，

F={e|e E ∈且在求G 的最优回路时加了重复边}，则F 的导出子图G[F]可以表示为以V '中顶点为起点与终点的k 条不交的最短路径之并。

基于上述定理，J.Edmonds 和E.L.Johnson 于70年代给出了求解邮递员问题的有效算法。

算法步骤如下：

1、若G 中无奇点，令*G G =，转2，否则转3；

2、求*G 中的欧拉回路，结束；

3、求G 中所有奇点对之间的最短路径；

4、以G 中奇点集V '为顶点集，,i j v v V '?∈，边(),i j v v 的权为,i j v v 之间最短路径的权，得完全带权图()

22k K k V '=；

5、求2k K 中最小权完美匹配M ；

6、将M 中边对应的各最短路径中的边均在G 中加重复边，得欧拉图*G ，转2。 例2 求图5所示带权图中的最优投递路线。

图5 图6

解：图中只有两个奇度顶点，即{},V B E '=，容易求出B 到E 的最短路径BAFE ，其权为13。完全带权图K2为图6所示，相应的欧拉图*G 为图3所示。若邮局在A ，从A

出发的任意一条回路都是最优投递路线，其权为()

*W G ，如AFEDCBAFECFBA 就是其中一条欧拉回路，其权为77。

16.5人员分配问题

设某企业有n 个员工12,,,n x x x 及n 个工作12,,,n y y y ，已知每个员工各胜任一些工作。能否使每个员工都分派到一件他胜任的工作？

这是很多生产实践及理论问题都涉及到的匹配问题。如果下面先介绍相关的基本概念与性质：

定义 1 设X ，Y 都是非空有限集，且X Y =?，{},E xy x X y Y ?∈∈，称

(),,G X Y E =为二部图。

如果X 中的每个点都与Y 中的每个点邻接，则称(),,G X Y E =为完备二部图。若:F E R +

→，则称(),,,G X Y E F =为二部赋权图。 二部赋权图的权矩阵一般记做()ij X Y A a ?=，其中()

ij i j a F x y =。 定义2 设图(),G V E =，M E ?。若M 中任意两条边在G 中均不邻接，则称M 是G

的一个匹配。

定义3 若匹配是M 的某条边与点v 关联，则称M 饱和点v ，并且称v 是M 的饱和点，否则称v 是M 的非饱和点。

由定义1 和定义3知，一个完备的二部图(),,G X Y E =，若X Y ≤，则存在饱和X 的每个点的匹配。

定义4 设M 是图G 的一个匹配，如果G 的每一个点都是M 的饱和点，则称M 是完美匹配；如果G 中没有另外的匹配0M ，使0M M >，则称M 是最大匹配。

由定义4知，饱和X 的每个点的匹配M 是二部图G 的最大匹配。显然，每个完美匹配都是最大匹配，反之不一定成立。

定义5 设M 是图G 的一个匹配，其边在E/M 和M 中交错出现的路，称为G 的一条M －交错路。起点和终点都不是M 的饱和点的M －交错路，称为M －增广路。

定理1 G 的一个匹配M 是最大匹配的充要条件是G 不包含M －增广路。

由此对于人员分配问题，我们可以构造一个二部图(),,G X Y E =，这里{}12,,,n X x x x =，{}12,,,n Y y y y =，并且当且仅当工作人员i x 胜任工作i y 时，i x 与i y 才相邻。于是，问题转化为求二部图的一个完美匹配。因为X Y =，因此完美匹配即为最大匹配。

下面介绍求二部图G 的最大匹配的算法，即匈牙利算法，其基本思想是：

根据定理1，从G 的任意匹配开始，对X 中所有M 的非饱和点，寻找M －增广路。若不存在M －增广路，则M 为最大匹配；若存在M －增广路，则将M －增广路中的M 的与非M 的边互换得到比M 多一边的匹配M1，再对M1重复上述过程。

算法步骤:

设(),,G X Y E =为二部图，其中{}12,,

,n X x x x =，{}12,,,n Y y y y =。任给一初始匹配（如任取e E ∈，则{}M e =是一个匹配）。

（1）令,S T =?=?，转向（2）；

（2）若M 饱和X/S 的所有点，则M 是二部图G 的最大匹配。否则，任取M 的非饱和点u X S ∈，令{}S S u =，转向（3）

； （3）令N （S ）={v|u ∈S,v 与u 相邻}，若N （S ）＝T ，转向（2），否则取()y N S T ∈，若y 是M 的饱和点，转向（4），否则转向（5）；

（4）设xy M ∈，则令{}S S u =，{}T T y =，转向（3）

； （5）u －y 路是M-增广路，设为P ，并令M M P =⊕，转向(1).

由于计算M －增广路P 比较困难，因此将迭代步骤改为：

（1）将X 中M 的所有非饱和点都给以标号0和标记 *，转向（2）；

（2）若X 中所有有标号的点都已去掉了标记*，则M 是G 的最大匹配，否则，任取X

中一个既有标号又有标记*的点i x ，去掉i x 的标记*，转向（3）；

（3）找出在G 中所有与i x 邻接的点j y ，若所有这样的j y 都已有标号，则转向（2），否则转向（4）；

（4）对与i x 邻接且尚未给标号的j y 都给定标号i ，若所有的j y 都是M 的饱和点，则转向（5），否则逆向返回。即由其中M 的任一个非饱和点j y 的标号i 找到i x ，再由i x 的标号k 找到,

k y ，最后由t y 的标号s 找到标号为0的s x 时结束，获得M －增广路s t i j x y x y ，记{}s t i j P x y x y =，重新记M M P =⊕，转向（1）；

（5）将j y 在M 中与之邻接的点k x ，给以标号j 和标记*，转向（2）。

其中\M P M P M P ⊕=，是对称差。

回到我们的问题，假设企业有5个员工,,,,a b c d e 及5个工作,,,,A B C D E ，每个员工胜任工作的情况如图7所示，即图中x 与y 有连线的即为可胜任的，请给出最大分配方案。

图7

解：(1) 取初始匹配{}0,,M bB cC eE =，如图7；

图8

（2）给X 中0M 的两个非饱和点a,d 都给以标号0和标记*，如图8；

图9

（3）去掉a 的标记*，将与a 邻接的两个点B,C 都给以标号1。因为B ，C 都是0M 的两个饱和点，所以将它们在0M 中邻接的两个点b,c 都给以相应的标号和标记 *，如图9；

图10

（4）去掉b 的标记*，将与b 邻接且尚未给标号的三个点A,C,D 都给以标号2，如图10。

图11

（5）因为A 是0M 的非饱和点，所以顺着标号逆向返回依次得到b,B ，直到a 为0为止。于是得到0M 的增广路aBbA ，记{},,P aB Bb bA =。取{}10,,,M M P aB bA cC eE =⊕=，则1M 是比M 多一边的匹配，如图11；

图12

（6）再给X 中0M 的非饱和点4x 给以标号0和标记*，然后去掉d 的标记*，将与d 邻接的两个点B,C 都给以标号4。因为B,C 都是0M 的两个饱和点，所以将它们在0M 中邻接的两个点a,c 都给以相应的标号和标记*，如图12;

图13

(7)去掉a 的标记*，因为与a 邻接的两个点B,C 都有标号4，所以去掉c 的标记*，而与c 邻接的两个点B,C 也都有标号4，此时X 中所有有标号的点都已去掉了标记*，因此1M 是G 的最大匹配，如图13。

G 不存在饱和X 的每个点的匹配，因为取{},,S a b c =时，(){},N S B C =，有()N S S <，当然也不存在完美匹配。

16.6稳定匹配问题

假设有一百个男人和一百个女人, 每个男人都凭自己好恶给每个女人打分, 最爱a, 其次爱b, 再次爱c(假定没有相同的)... 每个女人也同样给每个男人打分.

然后就是求婚过程.

第一天上午, 所有的男人都向自己最爱的女人求婚.下午, 每个女人看看自己有没有

收到, 收到了多少人的求婚. 如果只收到一个男人的求婚, 那么就和他订婚. 如果收到多于一个男人的求婚, 那么就和其中她最爱的那个男人订婚, 同时把其他男人都拒绝掉. 如果一个求婚都没有, 不要着急, 最后总会有的.晚上, 牧师来检查一遍, 如果所有女人都订婚了, OK, 万事大吉, 明天举行集体婚礼.但如果还有女人没有订婚, 那么第二天还得重复. 第二天上午, 所有还没订婚的男人向自己次爱的女人求婚(因为昨天已经成功或者被最爱的女人拒绝了).下午, 每个女人再看一遍自己收到订婚的情况. 如果她已经订婚了, 但是又有一个她更爱的男人来向她求婚, 那就把原来那个拒绝掉, 再和这个更爱的男人订婚; 如果还没订婚, 那就和第一天的下午的处理一样.晚上再检查一遍, 如果还是有人没有订婚, 那第三天再重复.

第三天上午, 所有没有订婚的男人, 包括第一天订了第二天又被踹出来的, 再向还没有拒绝过他的女人中他最爱的那个求婚

...

如此周而复始, 直到最后大家都订了婚, 便一起结婚.

这么个过程, 可以用图论的方法来讨论。设简单偶图(),,G X Y E =中，男孩集{}12,,,m X x x x =，女孩集{}12,,,m Y y y y =，每边xy 表示男孩x 与女孩y 彼此认识。今假设每个男孩x 对他所认识的所有女孩有一个倾向度排序，每个女孩y 对他所认识的所有男孩也有一个倾向度排序，对G 上任意给定的一个倾向度分派，称G 的一个匹配M 为稳定匹配，如果对G 中任一条非M 边xy,以下两个条件至少有一个成立：

（1） M 中存在这样一条边xy '（即x 是M 饱和的），使x 倾向于y '胜过y ；

（2） M 中存在这样一条边x y '（即y 是M 饱和的），使y 倾向于x '胜过x ；

由上述定义知，在一个稳定匹配M 中，若x 不娶y （即xy M ?），则至少发生下面两种情况中的一种，即或者x 娶了比y 他更倾向的女孩y '，或者y 嫁了比x 她更倾向的男孩x '，简而言之，每当男孩x 与女孩y 在M 下不配对时，两人中至少有一个在M 下有较满意的配对。否则，x 和y 最终会结婚，并必与他们现在的配偶（若有的话）离婚，导致现有婚姻的不稳定。

数学上可以证明:在任给定的一个倾向度分派下，任一偶图中，都可找到一稳定匹配，且为一X －最优稳定匹配M *，即对G 中的任一稳定匹配M 及任一顶点x X ∈，若xy M ∈，则存在xy M **∈，使y y *=；或x 倾向于y *

胜过y 。由定义可知：相对于其他任一稳定匹配而言，在M *下对每个男孩是最好的；又，如果X －最优稳定匹配存在的话，它一定是唯一的。具体而言，

第一, 这个过程会中止, 也就是说, 总有大家都订了婚的一天,不可能无限循环.

第二, 中止后所有的婚姻是稳定婚姻. 所谓不稳定婚姻是说, 比如说有两对夫妇M1, F1和M2, F2, M1的老婆是F1, 但他更爱F2;而F2的老公虽说是M2. 但她更爱M1(注意是更爱,不是最爱), 这样的婚姻就是不稳定婚姻,因为M1和F2理应结合, 他们现在各自的婚姻都是错误. 我们能证明的是, 通过上面那个求婚过程, 所有的婚姻都是稳定的, 没有人

犯错误.

第三, 比较引人注目的是, 这个过程中, 男性能够获得尽可能好的伴侣, 比如说最后有二十个女人拒绝了他,他仍然能够得到剩下的八十个女人中他最爱的那一个.

第四, 更有甚者, 这个过程是不利于女性的, 女人总是在可能的情况下被最不喜欢的人追上. 这一点没有那么直观的理解, 勉强要解释的话, 可以这么看: 虽说女人每换一次订婚对象, 都往上升一层, 但起点可能很低, 虽说在一步步接近她最爱的目标, 但最后往往达不到. 比如说还差三十名就达到她最爱的人了, 但这时游戏就结束了, 所有的人都已订了婚, 这样她也只能死了心了. 还有三十个她更爱的人还没向她求过婚,可是她也无可奈何了...

16.7竞赛图

几支球队参加单循环比赛，各队两两交锋，每场比赛无平局，必分输赢，类似于一些国家的篮球联赛。如何排列各队的名次，成为比赛组织者和各参赛队关心的问题。

可以用图论的方法来解决这个问题。用图的顶点表示球队，而用连接两个顶点、以两点间的有向边表示两队的胜负结果。这样的图我们称为竞赛图。用竞赛图可以表示循环赛的结果。

2个队的比赛结果只有两种，其相应的竞赛图可归纳为一种。

3个顶点的竞赛图可归为两种情况，第一种，三个队中有一个队胜两场，一个队胜一场，一个队一场未胜，如图14（a ），则名次为{1,2,3}；第二种，三个队各胜一场，如图14(b),则三队名次相同。

（a ） （b ）

图14 3个顶点的竞赛图

4个顶点的竞赛图共有四种形式。

（1） 有唯一的通过全部顶点的有向路径,即完全路径，如图15（a ）中的

1234→→→，从图中可看出，1胜了其余三个队，2负于1，但胜了3、4，

3负于1、2，胜了4，4一场未赢，因此四个队的排序就如同完全路径中各点

的顺序，{1，2，3，4}。

（2） 2战胜其余三队，而其余三队之间各胜一场，如图15(b)所示，则2第一，其

余三队并列第二；

（3） 与（2）相反，2输给其余三队，而其余三队之间各胜一场，如图15(c)所示，

则2倒数第一，其余三队并列第一；

（4） 有不只一条完全路径，如1234→→→，3412→→→，如图15(d)所示，

则无法直接定名次。

（a）（b）（c）（d）

图15 4个顶点的竞赛图

显然，这第四种情形是研究的重点，（4）还具有（1）～（3）所没有的性质：对于任何一对顶点，存在两条有向路径，使两顶点可以相互连通，这种有向图称为双向连通的。

以上四种情况实际可以归为3种类型：（a）有唯一完全路径，即（1），则排名按照完全路径确定的顶点的顺序；（b）双向连通图，即（4）；（c）不属于上述两种类型，即（2）（3），则无法全部排名。更多顶点的竞赛图虽然更加复杂，但基本类型仍为这三种。

我们重点讨论（b）这种类型。

用n表示顶点即球队个数，当n=3时，如图14（b）所示，名次相同。

当4

n≥时，定义竞赛图的邻接矩阵()ij n n

A a

?

=如下：当存在从顶点i到j的有向边时，

1

ij

a=；否则，0

ij

a=。则图15(d)的邻接矩阵为

0110

0011

0001

1000

A

??

?

?

=

?

?

?

??

令

i

s表示第i个队的得分，则称n维向量()

12

,,,T

n

S s s s

=为得分向量，如果胜一场得1分，负一场得0分，则有

()

,1,1,,1T

S Ae e

==，

由此，图15(d)的得分向量是()

2,2,1,1T

S=，还无法排出全部名次。

记()1

S S

=，称为1级得分向量，计算()()

21

S AS

=，称为2级得分向量。2级得分向量的每个分量，实际上就是我们俗称的对手分，即表示第i支球队所战胜的对手的得分，由此可以在得分相同的情况下，战胜的对手越强，表示得分的含金量越高，也可以作为一种排名次的依据。

继续这个过程，得到k级得分向量

()()1,1,2,

k k k

S AS A e k

-

===

当k→∞时，()k

S收敛于某个极限得分向量（每一步应进行归一化），则可以用这个向量作为排名次的依据。实际上，只要算得()k

S的各个分量均不相等时，就可以以此排出名次。