2021届全国金太阳联考新高考原创预测试卷(十五)数学
2021届全国金太阳联考新高考原创预测试卷（十五）
数学
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。 9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U =R ，集合{|31}M x x =-<<，{|||1}N x x =，则阴影部分表示的集合是（ ）
A. [1,1]-
B. (3,1]-
C. (,3)(1,)-∞--+∞
D. (3,1)--
【答案】D 【解析】
【分析】
先求出集合N 的补集
U
N ，再求出集合M 与
U
N 的交集，即为所求阴影部分表示的集合.
【详解】由U =R ，{|||1}N x x =，可得{1U
N x x =<-或1}x >，
又{|31}M x x =-<< 所以{31}U
M N x x ?=-<<-.
故选：D.
【点睛】本题考查了韦恩图表示集合，集合的交集和补集的运算，属于基础题. 2.已知复数
21ai
bi i
-=-，其中a ，b R ∈，i 是虚数单位，则a bi +=（ ）
A. 12i -+
B. 1
C. 5
D.
【答案】D 【解析】
试题分析：由
21ai
bi i
-=-,得()21,1,2ai i bi b i a b -=-=+∴=-=,则
12,12a bi i a bi i +=-+∴+=-+=
= D
考点：1、复数的运算；2、复数的模.
3.已知3
1(2)(1)mx x
--的展开式中的常数项为8，则实数m =（ ）
A. 2
B. -2
C. -3
D. 3
【答案】A 【解析】 【分析】
先求3
1(1)x
-的展开式，再分类分析(2)mx -中用哪一项与3
1(1)x
-相乘，将所有结果为常数的相加，即为
31
(2)(1)mx x --展开式的常数项，从而求出m 的值.
【详解】31(1)x -展开式的通项为313311()(1)r r r r r r
r T C C x x
--+=?-=?-，
当(2)mx -取2时，常数项为0
322C ?=，
当(2)mx -取mx -时，常数项为11
3(1)3m C m -??-=
由题知238m +=，则2m =. 故选：A.
【点睛】本题考查了两个二项式乘积的展开式中的系数问题，其中对(2)mx -所取的项要进行分类讨论，属于基础题.
4.已知函数()log (|2|)(0a f x x a a =-->，且1a ≠)，则“()f x 在(3,)+∞上是单调函数”是“01a <<”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分
也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】
先求出复合函数()f x 在(3,)+∞上是单调函数的充要条件，再看其和01a <<的包含关系，利用集合间包含关系与充要条件之间的关系，判断正确答案. 【详解】()log (|2|)(0a f x x a a =-->，且1a ≠)， 由20x a -->得2x a <-或2x a >+，
即()f x 的定义域为{2x x a <-或2}x a >+，（0,a >且1a ≠） 令2t x a =--，其在(,2)a -∞-单调递减，(2,)a ++∞单调递增，
()f x 在(3,)+∞上单调函数，其充要条件为23
01a a a +≤??
>??≠?
即01a <<. 故选：C.
【点睛】本题考查了复合函数的单调性的判断问题，充要条件的判断，属于基础题.
5.已知定义在R 上的函数()f x 的周期为4，当[2,2)x ∈-时，1()43x
f x x ??=-- ???
，则()()33log 6log 54f f -+=（ ）
A.
32
B.
33
log 22
- C. 12
-
D.
32
log 23
+ 【答案】A 【解析】 【分析】
因为给出的解析式只适用于[2,2)x ∈-，所以利用周期性，将3(log 54)f 转化为32(log )3
f ，再与()3lo
g 6f -一起代入解析式，利用对数恒等式和对数的运算性质，即可求得结果. 【详解】
定义在R 上的函数()f x 的周期为4
3332
(log 54)(log 544)(log )3
f f f ∴=-=，
当[2,2)x ∈-时，1()()43x
f x x =--，
3log 6[2,2)-∈-，32
log [2,2)3
∈-，
()()33log 6log 54f f ∴-+
332log log 6333112()(log 6)4()log 4333
-=---+-- 11333
log 6log 233112()()(log 6log )8333
=++-- 333
6log (6)822=++?-
32
=. 故选：A.
【点睛】本题考查了利用函数的周期性求函数值，对数的运算性质，属于中档题.
6.如图，在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +=（ ）
A. 1
B.
32
C. 2
D. 3
【解析】 【分析】
连接AO ，因为O 为BC 中点，可由平行四边形法则得1
()2
AO AB AC =
+，再将其用AM ，AN 表示.由M 、O 、N 三点共线可知，其表达式中的系数和
122
m n
+=，即可求出m n +的值. 【详解】连接AO ，由O 为BC 中点可得，
1()222
m n
AO AB AC AM AN =+=+，
M 、O 、N 三点共线，
122
m n
∴
+=， 2m n ∴+=.
故选：C.
【点睛】本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题.
7.一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）
A. 1
B.
2
C.
3 D. 22【答案】B 【解析】
根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论． 【详解】正方体的面对角线长为22，又水的体积是正方体体积的一半， 且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转， 所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半， 即最大水面高度为2，故选B.
【点睛】本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题． 8.抛物线
的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足
23
AFB π
∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB 的最大值是（ ）
3
333【答案】B 【解析】
【详解】试题分析：设,A B 在直线l 上
的
投影分别是11,A B ，则1AF AA =，1BF BB =，
又M 是AB 中点，所以111
()2
MN AA BB =+，则1112MN AA BB AB AB +=?2AF BF AB +=，在
ABF
?中
222
AB AF BF
=+22cos
3
AF BF π
-22
AF BF AF BF
=++2()AF BF AF BF =+-2()AF BF ≥+2(
)2
AF BF
+-23
()4
AF BF =
+，所以2
2
()43AF BF AB
+≤
，即23AF BF AB +≤，所以3
MN AB ≤，故选B ．
考点：抛物线的性质．
【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点
弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进
行问题的转化．象本题弦AB 的中点M 到准线的距离首先等于,A B 两点到准线距离之和的一
半，然后转化为,A B 两点到焦点F 的距离，从而与弦长AB 之间可通过余弦定理建立关系．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论正确的是（ ）
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.
A. 互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上
B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 【答案】ABC 【解析】 【分析】
根据扇形统计图和条状图，逐一判断选项，得出答案.
【详解】选项A ：因为互联网行业从业人员中，“90后”占比为56％， 其中从事技术和运营岗位的人数占的比分别为39.6％和17％， 则“90后”从事技术和运营岗位的人数占总人数的
0000000056(39.617)31.7?+≈.“80前”和“80后”
中必然也有从事技术和运营岗位的人，则总的占比一定超过三成， 故选项A 正确；
选项B ：因为互联网行业从业人员中，“90后”占比为56％， 其中从事技术岗位的人数占的比为39.6％，则“90后”从事技术
岗位的人数占总人数的0000005639.622.2?≈.“80前”和“80后”
中必然也有从事技术岗位的人，则总的占比一定超过20％，故选项B 正确； 选项C ：“90后”从事运营岗位的人数占总人数的比为00000056179.5?≈， 大于“80前”的总人数所占比3％，故选项C 正确；
选项D ：“90后”从事技术岗位的人数占总人数的0000005639.622.2?≈， “80后”的总人数所占比为41％，条件中未给出从事技术岗位的占比， 故不能判断，所以选项D 错误. 故选：ABC.
【点睛】本题考查了扇形统计图和条状图的应用，考查数据处理能力和实际应用能力，属于中档题.
10.下列说法正确的是（ ）
A. “5c =”是“点(2,1)到直线340x y c ++=的距离为3”的充要条件
B. 直线sin 10x y α-+=的倾斜角的取值范围为3[0,
][
,)4
4
π
π
π? C. 直线25y x =-+与直线210x y ++=平行，且与圆225x y +=相切
D. y = 【答案】BC 【解析】 【分析】
根据点到直线的距离公式判断选项A 错误；根据直线斜率的定义及正切函数的值域问题判断选项B 正确；根据两直线平行的判定及直线与圆相切的判定，可判断选项C 正确；根据双曲线渐近线的定义可判断选项D 错误.
【详解】选项A ：由点(2,1)到直线340x y c ++=的距离为3，
可得：
6435
c
++=，解得5c =或25-， “5c =”是“点(2,1)到直线340x y c ++=的距离为3”的充分不必要条件， 故选项A 错误；
选项B ：直线sin 10x y α-+=的斜率sin [1,1]k α=∈-， 设直线的倾斜角为θ，则0tan 1θ≤<或1tan 0θ-≤<，
3[0,][,)44
θππ
π∴∈，故选项B 正确；
选项C ：直线25y x =-+可化为250x y +-=， 其与直线210x y ++=平行，
圆22
5x y +=的圆心(0,0)O 到直线250x y +-=的距离为：
d =
=
则直线250x y +-=与圆22
5x y +=相切，故选项C 正确；
选项D ：离心率为
c a =b
a
=
若焦点在x 轴，则双曲线的渐近线方程为y =，
若焦点在y 轴，则双曲线的渐近线方程为y x =， 故选项D 错误. 故选：BC.
【点睛】本题考查了点到直线的距离，直线的斜率的定义，两直线的平行关系的判断，直线与圆的相切的判断，双曲线的渐近线方程，知识点较繁杂，需要对选项逐一判断.属于中档题. 11.已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若,,//m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥ B. 若,//m n αα⊥，则m n ⊥ C. 若//,m αβα?，则//m β D. 若//,//m n αβ，则m 与α所成的
角和n 与β所成的角相等 【答案】BCD 【解析】 【分析】
根据线、面的位置关系，逐一进行判断.
【详解】选项A ：若,m n m α⊥⊥，则n ?α或//n α，
又//n β，并不能得到αβ⊥这一结论，故选项A 错误； 选项B ：若,//m n αα⊥，则由线面垂直的
性质定理和线面平行的 性质定理可得m n ⊥，故选项B 正确；
选项C ：若//,m αβα?，则有面面平行的性质定理可知//m β， 故选项C 正确；
选项D ：若//,//m n αβ，则由线面角的定义和等角定理知，m 与α 所成的角和n 与β所成的角相等，故选项D 正确. 故选：BCD.
【点睛】本题考查了线面垂直的性质定理，线面平行的性质定理，面面平行的性质定理，以及线面角的定义和等角定理等基础知识，需要对每个选项逐一进行判断，属于中档题. 12.已知函数||()sin x f x e x =，则下列结论正确的是（ ） A. ()f x 是周期为2π的奇函数
B. ()f x 在3,44
ππ
??
-
???
上为增函数 C. ()f x 在(10,10)ππ-内有21个极值点 D. ()f x ax 在0,
4π??
????
上恒成立的充要条件是1a 【答案】BD 【解析】 【分析】
根据周期函数的定义判定选项A 错误；根据导航的符号判断选项B 正确；根据导函数零点判定选项C 错误；根据恒成立以及对应函数最值确定选项D 正确. 【详解】
()f x 的定义域为R ，()sin()()x f x e x f x --=-=-，
()f x ∴是奇函数，
但是22(2)sin(2)sin ()x x f x e
x e
x f x π
π
ππ+++=+=≠，
()f x ∴不是周期为2π的函数，故选项A 错误；
当(,0)4
x π
∈-
时，()sin x f x e x -=，
(cos ()sin )0x x f x e x -'-=>，()f x 单调递增，
当3(0,
)4
x π
∈时，()sin x f x e x =， (sin ))0c (os x x f x e x +'=>，()f x 单调递增，
且()f x 在3(,
)44ππ
-
连续，故()f x 在3(,)44
ππ
-
单调递增， 故选项B 正确；
当[0,10)x π∈时，()sin x
f x e x =，(sin c )s ()o x
f x e x x +'=，
令()0f x '=得，(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)4
x k k π
π=-
+=，
当(10,0)x π∈-时，()sin x
f x e x -=，(co (s )sin )x x f x e x -=-'，
令()0f x '=得，(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)4
x k k π
π=
+=----------,
因此，()f x 在(10,10)ππ-内有20个极值点，故选项C 错误；
当0x =时，()00f x ax =≥=，则a R ∈，
当(0,]4x π
∈时，sin ()x e x
f x ax a x
≥?≤，
设sin ()x e x g x x =，2
(sin cos sin )
()x e x x x x x g x x
+-'∴=， 令()sin cos sin h x x x x x x =+-，(0,
]4
x π
∈
()sin (cos sin )0h x x x x x '∴=+->，()h x 单调递增，
()(0)0h x h ∴>=，
()0g x '∴>，()g x 在(0,]4
π
单调递增，
又由洛必达法则知：
当0x →时，0
sin (sin cos )
()11
x x x e x e x x g x x =+=→
=
1a ∴≤，故答案D 正确.
故选：BD.
【点睛】本题考查了奇函数、周期函数定义，三角函数的几何性质，函数的极值，利用导数
研究单调性以及利用导数研究恒成立问题，考查综合分析求解与论证能力，属较难题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知()3312,,,sin ,sin 45413ππαβπαββ???
?∈+=--=
? ????
?，则
cos 4πα?
?+= ??
?__________．
【答案】56
65
- 【解析】 ∵3,,4παβπ??
∈
???， ∴3,22παβπ??
+∈
???
, ∴()()2
4
cos =1sin 5
αβαβ+-+=
． 又3,424π
ππβ??
-
∈ ???，12sin ,413πβ??-=
??
? ∴25
cos()=1sin ()4
4
13
π
π
ββ----
=-
． ∴cos()cos[()()]4
4
π
π
ααββ+
=+--
cos()cos()sin ()sin()4
4
π
π
αββαββ=+-
++-
4531256()()51351365
=?-+-?=-． 答案：5665
- 14.一个房间的地面是由12个正方形所组成，如图所示.今想用长方形瓷砖铺满地面，已知每一
块长方形瓷砖可以覆盖两块相邻的正方形，即或，则用6块瓷砖铺满房
间地面的方法有_______种.
【答案】11
【解析】
【分析】
将图形中左侧的两列瓷砖的形状先确定，再由此进行分类，在每一类里面又分按两种形状的瓷砖的数量进行分类，在其中会有相同元素的排列问题，需用到“缩倍法”. 采用分类计数原理，求得总的方法数.
【详解】（1）先贴如图这块瓷砖，
然后再贴剩下的部分，按如下分类：
5个：5!
1
5!
=，
3个，2个：4!
4 3!
=，
1个，4个：3!
3 2!
=，
（2）左侧两列如图贴砖，然后贴剩下的部分：
3个：3!
1 3!
=，
1个，2个：2!2
=，
综上，一共有1431211
++++=（种）.
故答案为：11.
【点睛】本题考查了分类计数原理，排列问题，其中涉及到相同元素的排列，用到了“缩倍法”的思想.属于中档题.
15.《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（""表示一根阳线，""表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为_______.
【答案】
3 14
【解析】
【分析】
观察八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线或全为阴线各一个，还有6个是1阴2阳和1阳2阴各3个。抽取的两卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴，或两卦全是1阳2阴。
【详解】八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线的一个，全为阴线的一个，1阴2阳的3个，1阳2阴的3个。抽取的两卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴，或两卦全是1阳2阴。
∴从8个卦中任取2卦，共有2828C =种可能，两卦中共2阳4阴的情况有12
336C C +=，所
求概率为632814
P =
=。 故答案为：
314
。 【点睛】本题考查古典概型，解题关键是确定基本事件的个数。本题不能受八卦影响，我们关心的是八卦中阴线和阳线的条数，这样才能正确地确定基本事件的个数。 16.过点(,0)(0)M m m -≠的直线l 与直线330x y +-=垂直，直线l 与双曲线
22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的两条渐近线分别交于点,A B ，若点(,0)P m 满足||||PA PB =，则双曲线C 的渐近线方程为_______，离心率为_______.
【答案】 (1). 1
2
y x =±， (2).
【解析】 【分析】
先求出直线l 的方程，将其与双曲线的渐近线方程联立，求得,A B 两点的坐标，进而求得AB 的中点N 的坐标.利用点(,0)P m 满足||||PA PB =，可知点(,0)P m 在线段AB 的中垂线上，即
PN AB ⊥，3PN
k =-，从而可求得12b a =，再根据22
21b e a
=+，求出e ，即可写出渐近线方
程和离心率. 【详解】
过点(,0)(0)M m m -≠的直线l 与直线330x y +-=垂直，
∴直线l 的方程为30x y m -+=，
双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为b y x a
=±，
将两个方程联立，可得(
,)33ma mb A b a b a --，(,)33ma mb
B b a b a
-++， AB ∴的中点坐标为22
2
222
3(,)99ma mb N b a b a --，
点(,0)P m 满足PA PB =，
∴点(,0)P m 在线段AB 的中垂线上，即PN AB ⊥
2
22
2
22
30939mb b a ma m
b a --∴=---， 2a b ∴=，
则1
2
b a =
，2
e ===， ∴渐近线方程为1
2
y x =±
.
故答案为：1
2
y x =±
.
【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率的求法，求直线的方程，两直线的交点坐标，中点坐标公式.其中将||||PA PB =转化为点(,0)P m 在中垂线上是关键.属于综合性较强的题.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在①53A B =，②122
114a a B -=，③535B =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知等差数列{}n a 的公差为(0)d d >，等差数列{}n b 的公差为2d .设,n n A B 分别是数列
{}{},n n a b 的前n 项和，且123,3b A ==， ，
（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；
（2）设1
3
2n
a n n n c
b b +=+
，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】（1）,21n n a n b n ==+；（2）1
3(2)
223
n n n ++-
+
【解析】 【分析】
方案一：（1）根据等差数列的通项公式及前n 项和公式列方程组，求出1a 和d ，从而写出数列{}{},n n a b 的通项公式；
（2）由第（1）题的结论，写出数列{}n c 的通项311222123n
n c n n ??
=+
- ?++??
，采用分组求
和、等比求和公式以及裂项相消法，求出数列{}n c 的前n 项和n S . 其余两个方案与方案一的解法相近似. 【详解】解：方案一：
（1）∵数列{}{}n n a b ，都是等差数列，且2533,A A B ==，
112351096a d a d d +=?∴?+=+?，解得111a d =??=?
1(1)n a a n d n ∴=+-=， 1(1)221n b b n d n =+-=+
综上,21n n a n b n ==+ （2）由（1）得：
331122(21)(23)22123n n n c n n n n ??
=+
=+- ?++++??
231111
11
(222)[()()(
)]23557
2123
n n S n n ∴=++
++-+-+
+-++ (
)21231112
23
23n n -??=+-
?-+??
13(2)
223
n n n ++=-
+
方案二：
（1）∵数列{}{}n n a b ，都是等差数列，且2122
114
3,
A a a
B =-=， ()111
234(62)a d a a d d d +=?∴?+=+?解得111a d =??=?
1(1)n a a n d n ∴=+-=， 1(1)221n b b n d n =+-=+
综上，,21n n a n b n ==+
（2）同方案一 方案三：
（1）∵数列{}{}n n a b ，都是等差数列，且523,35A B ==.
123
54
352352a d d +=??
∴???+?=??
，解得111a d =??=?， (1)n t a a n d n ∴=+-=， 1(1)221n b b n d n =+-=+.
综上，121n n a n b n ==+ （2）同方案一
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式的应用，考查了分组求和、等比求和及裂项相消法求数列的前n 项和，属于中档题.
18.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2
8cos 2cos 232
B C
A +-= （1）求A ；
（2）若2a =，且ABC
ABC 周长的取值范围. 【答案】（1）3
A π
=（2）(4,6]
【解析】 【分析】
（1）利用二倍角公式及三角形内角和定理，将28cos
2cos 232
B C
A +-=化简为24cos 4cos 30A A +-=，求出cos A 的值，结合(0,)A π∈，求出A 的值；
（2）写出三角形的面积公式，
4bc .由余弦定理，结合2a =，3
A π
=，
求出b c +的范围，注意2b c a +>=.进而求出周长的范围.
【详解】解：（1）
2
8cos 2cos 232
B C
A +-= 4(1cos())2cos 23
B
C A ∴++-=
整理得24cos 4cos 30A A +-= 解得1cos 2
A =
或3
cos 2A =-(舍去)
又(0,)A π∈
3
A π
∴=
；
（2）由题意知ABC 13sin 32S bc A bc ?=
=≤ 4bc ∴，
又2
2
2
2cos ,2b c a bc A a +-==，
224b c bc ∴+=+，
2()4316b c bc ∴+=+
又2b c +>
24b c ∴<+< 46a b c ∴<++
ABC ∴周长的取值范围是(4,6]
【点睛】本题考查了二倍角余弦公式，三角形面积公式，余弦定理的应用，求三角形的周长的范围问题.属于中档题.
19.在四边形ABCP 中，2,3
AB BC P π
==
∠=
，2PA PC ==；如图，将PAC 沿AC 边
折起，连结PB ，使PB PA =，求证：
（1）平面ABC ⊥平面PAC ；
（2）若F 为棱AB 上一点，且AP 与平面PCF 3
求二面角F PC A --的大小.
【答案】（1）证明见详解；（2）6
π 【解析】
【分析】
（1）由题可知，等腰直角三角形ABC 与等边三角形PAC ，在其公共边AC 上取中点O ，连
接OB 、OP ，可得,OB AC OP AC ⊥⊥，可求出OP =在OPB △中，由勾股定理可证得OP OB ⊥，结合OP AC O ?=，可证明OB ⊥平面PAC .再根据面面垂直的判定定理，可证平面ABC ⊥平面PAC .
（2）以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，由点F 在线段AB 上，设
(01)AF mAB m =<<，得出CF 的坐标，进而求出平面PFC 的一个法向量n .用向量法表
示出AP 与平面PCF n .再结合OB 为平面PAC 的一个法向量，用向量法即可求出n 与OB 的夹角，结合图形，写出二面角F PC A --的大小. 【详解】证明：（1）在PAC ?中，2,3
PA PC P π
==∠=
PAC ∴△为正三角形，且2AC =
在ABC 中，AB BC ==
ABC ∴为等腰直角三角形，且AB BC ⊥
取AC 的中点O ，连接0,B OP
,OB AC OP AC ∴⊥⊥
1,2OB OP PB PA ====，
222PB OB OP ∴=+，
OP OB ∴⊥ OP
AC O =，,AC OP ?平面PAC
OB ∴⊥平面PAC
OB ?平面ABC
..平面ABC ⊥平面PAC
（2）以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则
(0,1,0),(1,0,0),(0,1,0),A B C P -，
(1,1,0),AB AP ==，
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全国大联考 2008届高三第七次联考·理科综合试卷 考生注意： 1．本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共300分。考试时间 150分钟。 2．答题前，考生务必将密封线内的项目填写清楚。 3．请将第1卷和第Ⅱ卷的答案用蓝、黑钢笔或圆珠笔写在答题卡上。 4．可能用到的相对原子质量：H l C 12 O 16 Na 23 S 32 Cl 35．5 Fe 56 As 75 第1卷 (选择题 共1 26分)、 二、选择题(本题包括8小题。在每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分) 14．医院有一种先进的检测技术——彩超．这一技术是，首先向病人体内发射频率已精确掌握的超声波，超声波经血液反射后被专用仪器接收，同时测出反射波的频率变化，最后就可知道血液的流速．则这一技术主要体现了下列哪一种物理现象 A ．多普勒效应 B ．波的衍射 C ．波的干涉 D ．共振 15．两个动能均为Ek 的电子对撞后湮灭成频率均为，的两个光子．用c 表示光在真空中的传播速度，用h 表示朗克常量，用m 表示每个电子的质量．则电子湮灭时产生的光子在真空中传播时的波长为 16．在标准大气压P 0的环境中，质量为M(单位：kg)的水沸腾时变成同温度的水蒸气，体积会由V 1变为v2．已知1 kg 的水转化为同温度的水蒸气需吸收热量Q ，则在此过程中l kg 的水内能的变化量为 17．一正电荷仅在电场力作用下，运动过程中其速率随时问变化的图象如图所示．关于A 、B 两点电场强度E 的大小和电势的高低，下列判断正确的是 18．如图所示，质量为M 的小车静止于光滑的水平面上，小车的AB 部分是半径为R 的1/4光滑圆弧形轨道，BC 部分是粗糙的水平面．现将质量为m 的小物体从A 点由静止释放，最终小物体相对小车静止在小车上B 、C 两点之间的D 点．用． Αμl 表示小物体与BC 水平面间的动摩擦因数，用z 表示B 、 D 两点问的距离．下列说法正确的是 A ．若保持其他量不变，则R 越大x 越大 B ．若保持其他量不变，则卢越大x 越小 C ．若保持其他量不变，则m 越大x 越大 D ．若保持其他量不变，则M 越大x 越小 19．如图所示，L 为理想变压器，其原线圈、副线圈的匝数分别为n 1 n 2 ④
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2017-2018学年度八年级第二次大联考数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中， 2、点（－4，3）关于x轴对称的点的坐标为 A、（4，3） B、（4，－3） C、（－4，－3） D、无法确定 3、下面各组线段中，能组成三角形的是 A、5，11，6 B、8，8，16 C、10，5，4 D、6，9，14 4、王师傅用4根木条钉成一个四边形木架（如图），要使这个木架不变形，他 至少要再钉上木条的根数为 A、0 B、1 C、2 D、3 5、若十边形的每个外角都相等，则一个外角的度数为 A、18° B、36° C、45° D、60° 6、如果某三角形的三个内角的度数比是2∶3∶4，那么它是 A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、钝角或直角三角形 7、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC，若CE=5，则BC等于 A、2 B、3 C、4 D、5 7题8题9题10题 8、如图，要测量河岸相对的两点A、B之间的距离，先从B处出发与AB成90°方向，向前走50米到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D处，在D处转90°沿DE方向再走17米，到达E处，此时A、C、E三点在同一直线上，那么A、B两点间的距离为 A、10米 B、12米 C、15米 D、17米 9、如图，已知△ABC的周长是20，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是 A、20 B、25 C、30 D、35 10、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点M的坐标为（0，4），过M点作直线MN⊥y轴，在直线MN上找一点B，使△OAB是等腰三角形，此时B的坐标不可能是
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2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（二） 理科数学 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1、考试范围：高考范围。 2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。 3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。 4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。 5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。 6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。 8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。 9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1.已知集合{|24}A x x =-<<，{|2}B x x =≥，则()R A C B =（ ） A. (2,4) B. (2,4)- C. (2,2)- D. (2,2]- 【答案】C 【解析】 集合{} 24A x x =-<<，{} 2B x x =≥，R C B {}|2x x =< 则()()2,2R A C B ?=-. 故答案为C. 2.已知复数z 满足()234i z i -=+,则z =（ ）
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高三文科综合试卷 第Ⅰ卷 (选择题共140分) 本卷共35小题,每小题4分,共140分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 福建晋江市是著名的侨乡,“十户人家九户侨”,海外乡亲有200多万人。20世纪80 年代末,晋江市以“家庭联产、手工作坊”的形式兴办乡镇企业;改革开放程度加深后,晋江吸引外资创办了“三资企业”(在中国境内的中外合资经营企业、中外合作经营企业、外商独资经营企业的合称),21世纪初,又向“品牌之都”迈进。经过不断发展,晋江市已成为全国经济十强县(市)。据此完成1-3题。 1.20世纪80年代末,晋江市以“家庭联产”的形式兴办乡镇企业的主要目的是 A.利用当地剩余劳动力 B.开发闲置土地 C.利用闲散资金和侨资 D.优化产业结构 2.晋江市创办“三资企业”主要是为了 ①拓展国外市场②增加外汇储备③降低生产成本④引进资金和先进技术 A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 3.晋江市向“品牌之都”发展体现了当地企业 A.经营理念转变 B.生产规模扩大 C.生产技术进步 D.产品种类增加 下图为我国某小城市(只有一个中心)车流状况图,图中阴影区代表车流拥堵严重路段。据此完成4-5题。 4.该城市市中心最接近 A.a B.b C.c D.d 5.有效改善该城市拥堵状况的措施是 ①大力修建地铁②实施潮汐车道③鼓励市民多用私家车④提倡绿色出行 A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 勒拿河是俄罗斯境内主要河流之一,每年冰封期长达8个月。勒拿河河道宽阔、水 体较浅, 但河流上几乎没有联系两岸的桥梁,主要沟通工具为气垫船。下图为勒拿河地 理位置示意图。据此完成6-8题。
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