人教A版高中数学必修4《第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 阅读与思考 三角学与天文学》_0
“任意角的三角函数”教学设计•数学（4）》（人教A版）。三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用.
直角三角形简单朴素的边角关系，以直角坐标系为工具进行自然地推广而得到简明的任意角的三角函数定义，紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，自然地导出三角函数线、定义域、符号判断、同角三角函数关系、多组诱导公式、图象和性质。三角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身.
二、学情分析
在初中学生学习过锐角三角函数。因此本课的内容对于学生来说，有比较厚实的基础，新课的引入会比较容易和顺畅。学生要面对的新的学习问题是，角的概念推广了，原先学生所熟悉的锐角三角函数的定义是否也可以推广到任意角呢？通过这个问题，让学生体会到新知识的发生是可能的，自然的。
三、教学方法与手段
教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程.
根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发
探索、讲练结合”的方法组织教学.
四、教学目标
1．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；
2、理解任意角的三角函数不同的定义方法；掌握并能初步运用公式一；树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.
3、通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.借助有向线段进一步认识三角函数.
4、通过任意三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解。
5、通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，拓展思维空间。通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。
五、教学重点和难点
重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.
难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三
角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；
六、教学过程设计
（一）、复习
前面学习了任意角的概念，你对它的哪些特点印象比较
深？
设计意图：对任意角的概念的理解和掌握是本课的一个基础。
(二)问题的提出
任意角是一条射线绕端点O旋转生成的.在角的旋转过程中，终边上的点都绕O点作着圆周运动.圆周运动是生活中常见吗？你试着举出一些作圆周运动的实际例子.
圆周运动体现了客观世界“周而复始”的变化现象，而函数是描述客观世界变化规律的数学模型，那么用什么样的函数反映这种运动变化现象呢？
设计意图：任意角------圆周运动-------周期变化-------函数模型，用函数来刻划圆周运动，解决任意角三角函数引入的必要性问题.
(二)概念的生成
问题1 函数研究的是数量及其关系，那么在点P所作的圆周运动中，你能发现哪些量？能找到这些量与量之间的关系吗？
问题2 让我们先从“从最基本、简单的情形开始！”,当α是锐角时，你能找出α，r, x P,y P的关系吗？
设计意图：让学生清楚要用函数表示圆周运动的关键是把握圆周上点的坐标与相应角的数量关系，而研究往往从最熟悉、最简单的情形出发，在任意角是锐角的情形下，学生容易由数想形，构造直角三角形，并进一步联想到通过锐角三角函数来表达直角三角形之间的边角关系：
当α是锐角时，，
问题3 对于这些比值，我们以前称之为锐角α的正弦、余弦和正切，统称为锐角α的三角函数，你认为这些比值是由α唯一确定的吗？
当角 确定后，比值也是唯一确定的，而与P点在角终边上的位置无关！
问题4 既然当角确定后，三角函数值与点P在终边上的位置无关，那么你能否在终边上取适当的点，使三角函数的形式更简单？
设计意图：在求简意识的指引下，自然地引出单位圆.同时在对圆周运动寻求函数关系的求解的过程中体会它与锐角三角函数之间的内在联系
对于任意角的三角函数可由教师顺势给出：
当α是锐角时，设P(x,y)是α的终边与单位圆的交点，则y就称
为锐角α的正弦，x就称为锐角α的余弦，就称为锐角α的正切. 记为sinα=y,c o sα=x，
问题5 设α是锐角,P（x,y）是α的终边与单位圆的交点，当α
确定时,x,y,的值是唯一确定.那么当α是任意角时，x,y,的值也是由α唯一确定吗？
例如α是钝角，若α确定，则终边与单位圆的交点坐标P(x,y)也唯一地确定，此时我们就把y就称为钝角α的正弦，x就称为钝角α的余弦，就称为钝角α的正切.记为sinα=y,c o sα=x，.
类似地，我们可以这这个名称推广到任意角：
设α是一个任意角，它的终边与单位圆的交点为P(x,y),则
y叫做α的正弦,记作sinα= y.
x叫做α的余弦,记作c o sα=x;
叫做α的正切,记作t a nα=.
任意角α的正弦、余弦和正切,统称为任意角α的三角函数.
追问1：你认为任意角三角函数的定义符合高中函数的定义吗？能确定这些函数的定义域、值域吗？你能说说任意角三角函数的对应法则吗？
追问2：你能将任意角三角函数与锐角三角函数的概念进行比较吗？
设计意图：定义可以由教师明确给出，关键是让学生理解其合理性，理解概念的背景和生成过程.完整的概念生成后,再与已有相关知识建立联系,促进新旧知的分化,加深新知识的理解.
(六)概念的巩固
例1 求的正弦、余弦、正切值.
练习（口算）：求下列三角函数值：
（1） , (2) c o s3 , (3).
变式：若已知sinα=-1,你能写出α的一个角吗？
例2角α的终边过P,求它的三角函数值.
设计意图：让学生熟悉定义,从中概括出用定义解题的步骤.
(七)探究与发现
例3 不求值,你能判断下列三角函数值的符号吗？你能总结
一般的规律吗？
（1）sin1170︒, (2)c o s, (3)tan
设计意图：通过丰富的实例,从不同的角度让学生进一步理解任意角三角函数的定义。
(八)小结反思
通过学习,你对任意角三角函数有了哪些新的认识？还有哪些体会？
答：任意角三角函数是刻划圆周运动的重要数学模型,它实质上就是以角为自变量,以角的终边与单位圆的交点的坐标或坐
标比为函数值的函数.
在研究过程中,从最简单、最基本的问题入手,通过观察分析, 借助数形结合和化归等思想方法解决问题.
(九)目标检测
1.求的正弦、余弦、正切。
2.已知角θ的终边在直线y=x上,求角θ的三个三角函数值.
3.确定下列三角函数值的符号：
（1）sin; (2)c o s(-4500); (3) tan()
最新人教版高中数学必修4第一章《三角函数》本章总览
第四章 三角函数 网络体系总览 考点目标定位 1.角的概念的推广.弧度制. 2.任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线. 3.同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式. 4.两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切. 5.正弦函数、余弦函数的图象和性质.周期函数. 6.函数y=Asin(ωx+φ)的图象.正切函数的图象和性质.已知三角函数值求角. 复习方略指南 本部分内容历来为高考命题的热点，其分值约占15%，一般都是二或三个小题，一个大题.小题主要考查三角函数的基本概念、图象、性质及“和、差、倍角”公式的运用.大题则着重考查y=Asin(ωx+φ)的图象和性质及三角函数式的恒等变形.试题大都来源于课本中的例题、习题的变形,一般为容易题或中档题.因此复习时应“立足于课本，着眼于提高”. 本章内容公式多,三角函数作为工具,和其他知识间的联系密切,因此复习中应注意: 1.弄清每个公式成立的条件,公式间的内在联系及公式的变形、逆用等.切不可死记硬背,要在灵、活、巧上下功夫. 2.本章突出显现以数形结合思想与等价转化思想为主导的倾向.在本章复习中,应深刻理解数与形的内在联系,理解众多三角公式的应用及三角函数式的化简、求值、证明等无一不体现等价转化思想. 3.通过图象的变换理解并掌握利用变换研究图象的思想方法,并从中体会“变换美”. 4.有关三角函数方面的应用题，大都需要用“辅助角公式”asinx+bcosx=22b a sin(x+φ)(其中φ角所在象限由a 、b 的符号确定，φ角的值由tan φ=a b 确定)将函数化成y=Asin(ωx+φ)+h
人教A版高中数学必修4《第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 阅读与思考 三角学与天文学》_0
“任意角的三角函数”教学设计•数学（4）》（人教A版）。三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用. 直角三角形简单朴素的边角关系，以直角坐标系为工具进行自然地推广而得到简明的任意角的三角函数定义，紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，自然地导出三角函数线、定义域、符号判断、同角三角函数关系、多组诱导公式、图象和性质。三角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身. 二、学情分析 在初中学生学习过锐角三角函数。因此本课的内容对于学生来说，有比较厚实的基础，新课的引入会比较容易和顺畅。学生要面对的新的学习问题是，角的概念推广了，原先学生所熟悉的锐角三角函数的定义是否也可以推广到任意角呢？通过这个问题，让学生体会到新知识的发生是可能的，自然的。 三、教学方法与手段 教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发
探索、讲练结合”的方法组织教学. 四、教学目标 1．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）； 2、理解任意角的三角函数不同的定义方法；掌握并能初步运用公式一；树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 3、通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.借助有向线段进一步认识三角函数. 4、通过任意三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解。 5、通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，拓展思维空间。通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。 五、教学重点和难点 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）. 难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三
人教版高中数学必修4第一章人教版高中数学必修4第一章《三角函数》教材分析和教学建议
人教版高中数学必修4第一章《三角函数》教材分析和教学建议 函数是刻画客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律应当用不同的函数来刻画.三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要作用，它是学生在高中阶段学习的又一类重要的基本初等函数.本章中，学生将在数学1中学习函数概念与基本初等函数I 的基础上，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用．通过本章的学习，学生将进一步加深对函数概念的理解，提高用函数概念解决问题的能力. 一、课程标准内容 1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化. 2. 借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. 3. 借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(2π±α, π±α的正弦、余弦、正切)，能画出y =sin x , y =cos x , y =tan x 的图象，了解三角函数的周期性. 4. 借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（-2π，2 π）上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x 轴交点等）. 5. 理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x +cos 2x =1，x x x tan cos sin =. 6. 结合具体实例，了解y =Asin （ωx +ϕ）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y =Asin （ωx + ϕ）的图象，观察A ，ω，ϕ对函数图象变化的影响.
7. 会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 二、知识框图 三、教学要求 1．1任意角、弧度
四、教学建议 1．课时分配：(共16个课时)
高中数学 1.2 任意角的三角函数导学案 新人教A版必修4 学案
某某省某某市三水区实验中学高中数学 1.2 任意角的三角函数导学 案新人教A版必修4 【学习目标】 1.掌握任意角的三角函数的定义。 2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值。 【重点难点】 1. 熟练求值。 2. 理解任意角的三角函数的定义。 【预习指导】 1．阅读教材第11～13页。 2．回顾初中学过的锐角三角函数的定义？（如图） 在Rt△ABC中，sinA= ,cosA= , tanA= . 3．思考：你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？ 点的位置对这三个比值有影响吗？ 4．在平面直角坐标系中，我们称以______为圆心，以__________为半径的圆为单位圆。 【合作探究】 1. 例题研讨： 例1：求下列各角的正弦、余弦、正切值：π、4 π 、3 π 、 5 3 π (讨论求法→试求（学生板演）→订正) A B C
→小结：画角的终边与单位圆，求交点，求值. 例2：已知角α的终边经过点P(-4,-3)，求角α的正弦、余弦和正切值. （学生试求→订正→小结解法） 2. 任意角的三角函数的定义： ①思考：已知角α终边上任意一点P (x, y)，如何求它的三角函数值呢? ②定义：一般地，设角α终边上任意一点的坐标为P (x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝；cosα＝；tanα＝. ③讨论：这三个比值与点P的位置是否有关？ 当α的终边落在x轴、y轴上时，哪些三角函数值无意义？
任何实数是不是都有三角函数值？为什么？ 【达标测评】(参考《全优》P7) 1.若角α终边上有一点P(0,3)，则下列函数值无意义的是() A．tan α B．sin αC．cos α D．无法确定 2.已知角α的终边经过点P(m,-3)，且cosα=-4 5,则m等于( ) A．－11 4 B. 11 4C．-4 D．4 3.若点P(4，y)是角α终边上一点，且sin α＝－3 5，则y的值是________． 【归纳小结】 单位圆定义任意角的三角函数； 2.由终边上任一点求任意角的三角函数； 【巩固练习】（各班可按实际情况安排） 1．练习：教材P15：1，3； 2．作业：教材P15：2. 第二课时：任意角的三角函数（二） 【学习目标】 1. 掌握各象限的三角函数值的符号。 2. 灵活运用诱导公式（一），把求任意角的三角函数值转化为求0°～360°间的三角函数值。【重点难点】 1. 灵活运用诱导公式求值。 2. 理解转化与化归的思想。
高中数学第一章三角函数.2.任意角的三角函数第一课时三角函数的定义学案(含解析)新人教A版
1.2.1 任意角的三角函数 第一课时 三角函数的定义 [提出问题] 使锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P ，PM ⊥x 轴于M ，设P (x ，y )，|OP |＝r . 问题1：角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 提示：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x . 问题2：对于确定的角α，sin α，cos α，tan α是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？ 提示：否． 问题3：若|OP |＝1，则P 点的轨迹是什么？这样表示sin α，cos α，tan α有何优点？ 提示：P 点的轨迹是以原点O 为圆心，以1为半径的单位圆，即P 点是单位圆与角α终边的交点，在单位圆中定义sin α，cos α，tan α更简便． [导入新知] 1．任意角三角函数的定义 (1)单位圆：在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆． (2)单位圆中任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P (x ，y )，那么y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ；x 叫做α的余弦，记作cos α， 即cos α＝x ；y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x (x ≠0). 2．三角函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，它们统称为三角函数． [化解疑难] 对三角函数定义的理解 (1)三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应． (2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围． (3)三角函数是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关. [提出问题] 问题1：若角α是第二象限角，则它的正弦、余弦和正切值的符号分别怎样？ 提示：若角α为第二象限角，则x＜0，y＞0, sin α＞0，cos α＜0，tan α＜0. 问题2：当角α是第四象限角时，它的正弦、余弦和正切值的符号分别怎样？ 提示：sin α＜0，cos α＞0，tan α＜0. 问题3：取角α分别为30°，390°，－330°，它们的三角函数值是什么关系？为什么？ 提示：相等．因为它们的终边重合． 问题4：取α＝90°，－90°时，它们的正切值存在吗？ 提示：不存在． [导入新知] 1．三角函数的定义域 2．三角函数值的符号 [化解疑难] 巧记三角函数值的符号 三角函数值的符号变化规律可概括为“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．即第一象
高中数学第1章三角函数1.2.1任意角的三角函数第2课时三角函数线及其应用教案(含解析)新人教A版必修4
第2课时三角函数线及其应用 1．有向线段 (1)定义：带有方向的线段． (2)表示：用大写字母表示，如有向线段OM，MP. 2．三角函数线 (1)作图：①α的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，垂足为M.
②过A (1，0)作x 轴的垂线，交α的终边或其反向延长线于点T . (2)图示： (3)结论：有向线段MP 、OM 、AT ，分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线． 思考：当角的终边落在坐标轴上时，正弦线、余弦线、正切线变得怎样？ 提示：当角的终边落在x 轴上时，正弦线、正切线分别变成了一个点；终边落在y 轴上时，余弦线变成了一个点，正切线不存在． 1．角π7和角8π 7有相同的( ) A ．正弦线 B ．余弦线 C ．正切线 D ．不能确定 C [角π7和角8π 7 的终边互为反向线，所以正切线相同．]
2．如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( ) A．正弦线OM，正切线A′T′ B．正弦线OM，正切线A′T′ C．正弦线MP，正切线AT D．正弦线MP，正切线A′T′ C[α为第三象限角，故正弦线为MP，正切线为AT，C正确．] 3．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为． 1 [若角α的余弦线长度为0时，α的终边落在y轴上，正弦线与单位圆的交点为(0，1)或(0，－1)，所以正弦线长度为1.]
(1)－π4；(2)17π6；(3)10π3. [解] 如图． 其中MP 为正弦线，OM 为余弦线，AT 为正切线．
三角函数线的画法 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线． (2)作正切线时，应从A (1，0)点引x 轴的垂线，交α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)于点T ，即可得到正切线AT . 1．作出－5π 8的正弦线、余弦线和正切线． [解] 如图：
高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(1)学案(含解析)新人教A版必修4-新人教
1.2.1 任意角的三角函数(一) 班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________ ♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒ 温馨寄语 志不立，如无舵之舟，无衔之马，漂荡奔逸，何所底乎？志不立，天下无可成之事。虽百工技艺，未有不本于志者。——《训欲遗规》 学习目标 1．借助于单位圆,理解三角函数的定义. 2．会判断给定角的三角函数值的符号. 3．会利用公式一把任意角的三角函数值转化为[0,2π)范围内的角的三角函数值. 学习重点 任意角三角函数的定义 学习难点 正弦、余弦和正切函数的定义域 自主学习 1．三角函数的定义 (1)单位圆：圆心是____________,半径长为____________.
(2)定义：设任意角的终边与单位圆交于点,P(x,y),则sin=______,cos=_____, tan=____________. 2．三角函数的定义域 函数定义域 y=sin y=cos y=tan 3．三角函数值的符号法则 结合任意角的三角函数的定义,请将三种三角函数的值在各象限的符号填入下图的横线上： 4．诱导公式一 (1)语言表示：终边相同的角的_____________三角函数的值相等. (2)式子表示： 预习评价
1．已知角的终边与单位圆的交点,则sin+cos= A. B. C. D. 2．已知为第二象限角,则sin•cos__________0(填>,<). 3．已知角的终边与单位圆的交点坐标为,则 sin=__________,cos=_________,tan=_____________. 4．用“>”或“<”填空. sin3_____________0,cos2_____________0,tan1_____________0. 5．计算sin=_____________, ♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒ 合作探究 1．任意角的三角函数的定义 如图P(x,y)为任意角a终边与单位圆的交点,结合任意角的三角函数的定义,思考下面的问题：
任意角的三角函数第一课时教案-人教A版数学必修4第一章三角函数1.2
第一章三角函数 1.2 任意角的三角函数 第一课时1.2.1任意三角函数 1 教学目标 [1] 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解任意角的余切、正割、余割的定义。 [2] 掌握三角函数值的符号的确定方法。 [3] 记住三角函数的定义域、值域。 [4] 利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值。 2 教学重点/难点 教学重点：三角函数的定义，各三角函数值在每个象限的符号，特殊角的三角函数值。 教学难点：对三角函数的自变量的多值性的理解，三角函数的求值中符号的确定。 3 专家建议 通过介绍象限中横纵坐标的正负，确定三角函数的正负。代入特殊的横纵坐标值确定特殊角的三角函数值。 4 教学方法 类比探究→归纳讲解→总结→练习提高。 5 教学过程
5.1 复习引入 【师】同学们，我们来复习一下初中锐角的三角函数是如何定义的？ 【板书】 大前提：在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ， 锐角A 的正弦： 锐角A 的余弦： 锐角A 的正切：， 5.2 新知介绍 [1] 三角函数定义 【师】我们知道，角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们如何对三角函数重新定义？ 【生】讨论回答 【师】总结“确定角、确定坐标、求出点到原点距离，写出三角函数值” 【板书】 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与 原点的距离为 2222 (||||0)r r x y x y =+=+>，那么 （1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即 sin y r α= ； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即 cos x r α= ； （3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即 tan y x α= ； （4）比值y x 叫做α的余切，记作αcot ，即y x =αcot ；
海南省海口市第十四中学高一数学(新人教A版必修四)第一章三角函数导学案课题《任意角的三角函数》
一、教学目标 知识目标：1.掌握任意角的三角函数的定义； 2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值； 3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。 能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义； （2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数； （3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、 探究、解决问题的能力。 德育目标：（1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式； （2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神； 二．重点与难点: 重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重点。 难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来. 三．教学方法： 学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 四：学习过程： （一）、知识连接 1、如图①sinα=cosα=tanα= B
B 图 ① 图 ② 2、如图②设α是任意角，它的终边与单位圆交于(,)P x y ，那么 1）y 叫做a 的正弦，记作sin α，即 sin α= 2）x 叫做a 的余弦，记作cos α，即 cos α= 3）x y 叫做a 的正切，记作tan α，即 tan α= 3、在各象限内的角的三种三角函数值的符号 在各象限内的角的三种三角函数值的符号 归纳： b x a x y 余弦函数 x 正弦函数 x 正切函数
高中数学 第一章 三角函数 第二节 任意角的三角函数(第一课时)示范教案 新人教A版必修4-新人教A
第一章第二节任意角的三角函数第一课时 整体设计 教学分析 学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的．锐角三角函数的引入与“解三角形〞有直接关系．任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，它与“解三角形〞已经没有什么关系了．因此，与学习其他基本初等函数一样，学习任意角的三角函数，关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质，并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题． 本节以锐角三角函数为引子，利用单位圆上点的坐标定义三角函数．由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系，使得我们在讨论三角函数的问题时，对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等，都可以从圆的性质(特别是对称性)中得到启发．三角函数的研究中，数形结合思想起着非常重要的作用． 利用信息技术，可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系，并在角的变化过程中，将这种联系直观地表达出来．所以，信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质．激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境． 三维目标 1．通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域，理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号． 2．通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等．3．正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来． 4．能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题． 重点难点 教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义，终边相同的角的同一三角函数值相等．教学难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；三角函数符号；利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示． 课时安排 2课时
2020-2021学年高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数学案新人教A版必修4
2020-2021学年高中数学第一章三角函数1.2.1 任意角的三角函数学案新人教A版必修4 年级： 姓名：
1．2 任意角的三角函数 1．2.1 任意角的三角函数(一) 内容标准学科素养 1.理解任意角的三角函数的定义并利用 定义求值． 2.结合单位圆定义三角函数，判断三角函 数在各个象限的符号． 3.掌握三角函数诱导公式一. 提升数学运算 运用直观想象 授课提示：对应学生用书第7页 [基础认识] 知识点一任意角的三角函数 阅读教材P11～12，思考并完成以下问题 (1)使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r. 那么sin α、cos α、tan α如何用x，y或r表示？ 提示：sin α＝ |PM| |OP| ＝ y r ，cos α＝ |OM| |OP| ＝ x r ，tan α＝ |PM| |OM| ＝ y x . (2)对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？为什么？ 提示：不变．三角形相似，对应边成比例． (3)当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？ 提示：sin α＝y，cos α＝x，tan α＝ y x . (4)如果α的终边OP在第二象限且|OP|＝1，P(x，y)，sin α，cos α，tan α的表示变化吗？ 提示：不变．仍是sin α＝y，cos α＝x，tan α＝ y x . 前提 如图，设α是一个任意角，它的终边 与单位圆交于点P(x，y) 定义正弦y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y
人教版高中数学必修四第一章三角函数1.2任意角的三角函数(教师版)【个性化辅导含答案】
任意角的三角函数 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系； 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。 3.牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题. （一）任意角的三角函数： 任意点到原点的距离公式：22y x r += 1.三角函数定义： 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与 原点的距离为(0)r r ==>，那么 （1）比值 y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=； （3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=； （4）比值 x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x y α=； 2.说明：（1）α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的 大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置； （2）根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； （3）当()2 k k Z π απ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0， 所以tan y x α= 无意义；同理当()k k Z απ=∈时，y x =αcot 无意义； （4）除以上两种情况外，对于确定的值α，比值 y r 、x r 、y x 、x y 分别是一个确定的实数。 正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。 （二）单位圆与三角函数线：
新人教版高中数学必修4(A)任意角的三角函数
随意角的三角函数〔2〕 教课目的 〔1〕复习三角函数的定义、定义域与符号； 〔2〕认识怎样利用单位圆相关的有向线段，将随意角的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来，并能作出三角函数线； 〔3〕利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。 教课要点，难点 〔1〕三角函数线的研究和作法。 〔2〕教课过程 一．问题情境 1．情境：复习：〔发问〕 〔1〕三角函数的定义及定义域： 练习 1：角的终边上一点 P( 3, m) ，且sin 2m ，求 cos ,sin 的值。4 解：由题设知 x 3 ，y m ，因此r2 |OP|2 ( 3) 2 m2，得 r 3 m2， 进而 sin 2m m 3 m ，解得 m 0 或16 6 2m2 m 5 ． 4 r m2 当 m 0 时，r 3, x 3 ，cos x 1,tan y 0 ；r x 当 m 5 时， r 2 2, x 3 ， cos x 6 , tan y 15 ； r 4 x 3 当 m 5 时， r 2 2, x 3 ， cos x 6 ,tan y 15 ．〔2〕三角函数的符号： r 4 x 3 练习 2：sin 0且 tan 0 ， 〔1〕求角的会合；〔 2〕求角终边所在的象限；〔3〕试判断tan ,sin cos 的符号。 2 2 2 2 2．问题：可否用几何元素表示三角函数的值？比如可否用线段来表示三角函数值？ 二．学生活动 指引学生思虑：能否能够在角的终边上取一个特别的点 P ，使得三角函数值的表达式更简单？ 结论：当点 P 在以原点为圆心，1为半径的圆上时， sin ,cos的函数值分别为点P 的纵坐标 y 和横坐标x。 三．建构数学 1．单位圆：圆心在圆点O ，半径等于单位长的圆叫做单位圆。 2．有向线段：规定了方向〔即规定了起点和终点〕的线段。 3．有向直线：规定了正方向的直线。如坐标轴是有向直线。 4．有向线段的数目：
河北省高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数学案无答案新人教A版必修4
1.2.1任意角的三角函数（1） 【学法指导】：认真自学，激情讨论，愉快收获。●为必须记忆的内容 【学习目标】：理解并掌握任意角三角函数的定义，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等。 【学习重点】：任意角三角函数的定义，终边相同的角的同一三角函数值相等。 【学习难点】：用终边上的点定义三角函数。 【教学过程】： 一、问题引入 你还记得初中的三角函数是怎么定义的么？sin α= cos α= tan α= 试想如果α脱离了直角三角形的环境，安装到坐标系中应该如何重新定义三角函数呢？你能构造直角三角形吗？如果在其终边上重新选取一点，三角函数值发生变化么？如果终边在其他象限呢？ 二、探究新知 ●1、任意角三角函数定义：设α是一个顶点在原点，始边在x 轴非负半轴上的任意角，α终边上任意一点p 的坐标是（x ，y ）（非顶点），它与原点的距离是r ，（02222>+=+=y x y x r ）则：比值 y r 叫作α的正弦，记作sin α， 即sin α= y r ；同理，cos α= x r tan α= y x 。这三种函数都是三角函数。当α= k π+ π 2 时，x = 0，此时tan α无意义。除此以外，上述的比值都是唯一确定的，即三角函数是以 角为自变量比值为函数值的函数。 ●2、设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P （x,y ），那么，r=1 （1）y 叫做α的正弦，记作sin α,即sin α＝y ； （2）x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； （3） x y 叫做α的正切，记作tan α，即tan α=x y 。 ●3、一组公式： 由定义可知，点p 是终边上任意一点，所以，终边相同的角的同一三角函数值相等。即 sin （α+ 2k π）= sin α cos （α+2k π）= cos α （k ∈Z ）（公式一） tan （α+ 2k π）= tan α 诱导公式（一） 公式的作用：把 求任意角的三角函数值转化为求0°~ 360°之间角的三角函数值。
高中数学 第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数学案(2)新人教A版必修4
1.2.1任意角的三角函数(二) 学习目标: (1)掌握任意角三角函数的定义;(2)会用三角函数线表示任意角三角函数的值,会用三角函数线解决问题 学习过程： 一、复习回顾: 1.三角函数的定义是什么? 2.三角函数值在各象限的符号. 二、自主学习： 阅读教材P15(下)—P17(上)内容,学习正弦线、余弦线、正切线的定义。 自己画出一个角，作出它的正弦线、余弦线、正切线，再进行小组交流检验。 在学习过程中你遇到了哪些问题？ 自主练习：P17第2题 三、思维拓展： 1.利用三角函数线比较大小： (1)sin1______sin 3π ; (2)cos 74π______cos 75π; (3)tan 89π______tan 79π; (4)sin300_______sin1500 变式：若α是锐角（单位为弧度），试利用单位圆及三角函数线，比较α，sin α,tan α之间的大小关系。 2. 解下列三角方程 ()3sin 1= x ; ()1cos 2=x ; ()1tan 3=x
3. 解下列三角不等式 ()2 3sin 1> x ; ()21cos 2≤x ; ()1tan 3>x 4.(1)sin α>cos α,则α的取值范围是_____________ (2)若∣cos α∣＜∣sin α∣，则∈α 5.若－2π３ ≤θ≤π6 ，利用三角函数线，可得sin θ的取值范围是 ． 6. 求函数()x x y cos 211sin 2lg ++-=的定义域. 7.已知集合E={θ|cos θ F={θtan θ 1.2任意角的三角函数 学习过程 知识点1：三角函数定义 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ， 它与原点的距离为 (0) r r ==>，那么 （1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即 sin y r α= ； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即 cos x r α= ； （3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即 tan y x α= ； （4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即 cot x y α= ； （5）比值r x 叫做α的正割，记作sec α，即 sec r x α= ； （6）比值r y 叫做α的余割，记作csc α，即 csc r y α= ． 知识点2：三角函数的定义域、值域 ①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置； ②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，六个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； ③当 () 2 k k Z π απ= +∈时，α的终边在 y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所 以tan y x α=与 sec r x α= 无意义；同理，当()k k Z απ=∈时，x coy y α=与csc r y α=无意义； ④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、y x 、x y 、r x 、r y 分别是一个确定 的实数，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为函数值的函 数，以上六种函数统称为三角函数。 三角函数的定义域、值域 知识点3：．三角函数的符号 由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知： ①正弦值y r 对于第一、二象限为正（0,0y r >>），对于第三、四象限为负（0,0y r <>）； ②余弦值x r 对于第一、四象限为正（0,0x r >>），对于第二、三象限为负（0,0x r <>）； ③正切值y x 对于第一、三象限为正（,x y 同号），对于第二、四象限为负（,x y 异号） ． 说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。 αα csc sin 为正 全正 ααcot tan 为正 αα sec cos 为正 知识点4：诱导公式 由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。 即有： sin(2)sin k απα+=， cos(2)cos k α πα+=，其中k Z ∈． tan( 2)tan k απα+=， 这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题． 知识点5：三角函数线的定义： 设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P (,)x y ， 正切、余切 余弦、正割正弦、余割 1.2.1任意角的三角函数（1） 教学目的： 知识目标： 1.掌握任意角的三角函数的定义； 2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值； 3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。 能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义； （2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数； （3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。 德育目标： （1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与 比值（函数值）的一种联系方式； （2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神； 教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各 象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重点。 教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他 们的集合形式表示出来. 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 初中锐角的三角函数是如何定义的？ 在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依 次为,,a b a sinA cosA tanA c c b = == ． 角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。 二、讲解新课： 1．三角函数定义 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ， 它与原点的距离为(0)r r == >，那么 （1）比值 y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=； （3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=； （4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x y α=； （5）比值r x 叫做α的正割，记作sec α，即sec r x α=； （6）比值r y 叫做α的余割，记作csc α，即csc r y α=． 第一章三角函数 1.2任意角的三角函数 1．任意角的三角函数的定义 （1）设角α终边上任意一点P（原点除外）的坐标为（x，y），它与原点的距离为r，则sin α=___________，cos α=___________，tan α=___________（x≠0）． （2）三角函数值在各象限内的符号 上述符号规律可简记为：一全正，二正弦，三正切，四余弦． （3）利用单位圆定义三角函数 若点P（x，y）为角α的终边与单位圆的交点，如图， 则sin α=___________，cos α=___________，tan α=___________（x≠0）． 2．诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值相等，即 sin（α+2kπ）=___________， cos（α+2kπ）=___________， tan（α+2kπ）=___________，其中k∈Z． 3．三角函数线 设单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，与角α的终边交于点P ．过点P 作x 轴的垂线PM ，垂足为M ，过A 作单位圆的切线交OP 的延长线（或反向延长线）于T 点，则有向线段MP ，OM ，AT 分别叫作角α的___________、___________、___________．各象限内的三角函数线如下： 角所在的象限 图形 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 4．同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：sin 2α+cos 2α=1． （2）商的关系：tan α=sin cos α α ． （3）公式常见变形： ①sin 2α=1-cos 2α；②cos 2α=1-sin 2α；③sin α=±2 1cos α-； ④cos α=±2 1sin α-；⑤sin α=cos αtan α；⑥cos α= sin tan α α ；人教A版高中数学必修四 第一章 三角函数 《任意角的三角函数》学习过程
人教版高中数学必修4第一章三角函数-《1.2.1任意角的三角函数》教案(1)
专题1.2 任意角的三角函数-20届高中数学同步讲义人教版(必修4)