八个有趣模型搞定外接球内切球问题(学生版))

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球

类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）

方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是

（3）在正三棱锥中，分别是棱的中点，且MN AM ⊥,若侧棱,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是

（4）在四面体中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠?AB AC SA BAC 则该四面体的外接

球的表面积为（ ）

π11.A π7.B π310.

C π3

40.D

（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是

图2

图3

S ABC -M N 、SC BC 、SA =S ABC -

（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为

类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）

1．题设：如图5，⊥

PA平面ABC

解题步骤：

第一步：将ABC

?画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直

径AD，连接PD，则PD必过球心O；

第二步：

1

O为ABC

?的外心，所以⊥

1

OO平面ABC，算出小圆

1

O的半

径r

D

O=

1

（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得

r

C

c

B

b

A

a

2

sin

sin

sin

=

=

=），PA

OO

2

1

1

=；

第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①2

2

2)

2(

)

2(r

PA

R+

=?2

2)

2(

2r

PA

R+

=；

②2

1

2

2OO

r

R+

=?2

1

2OO

r

R+

=

2．题设：如图6，7，8，P的射影是ABC

?的外心?三棱锥ABC

P-的三条侧棱相等?

三棱锥ABC

P-的底面ABC

?在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点

图6图7-1图7-2图8

图8-1图8-2图8-3

图5

解题步骤：

第一步：确定球心O 的位置，取ABC ?的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；

第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=?222)(r R h R +-=，解出R 方法二：小圆直径参与构造大圆。

例2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为( )C A ． B ． C ．

D ．以上都不对

类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）

1．题设：如图9-1，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）

第一步：易知球心O 必是PAC ?的外心，即PAC ?的外接圆是大圆，先求出小圆的直径r AC 2=； 第二步：在PAC ?中，可根据正弦定理

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===，求出R

2．如图9-2，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）

21212O O C O OC +=?2

122O O r R +=?2

12

2O O R AC -=

3．如图9-3，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且P 的射影是ABC ?的外心?三棱锥ABC P -的三条侧棱相等?三棱ABC P -的底面ABC ?在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点 解题步骤：

第一步：确定球心O 的位置，取ABC ?的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；

π3π23

16π

图9-1

图9-2

图9-3

图9-4

第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=?222)(r R h R +-=，解出R

4．如图9-3，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且AC PA ⊥，则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=?22)2(2r PA R +=；

②2

122OO r R +=?2

12OO r R +=

例3 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为32，则该球的表面积为 。

（2）正四棱锥ABCD S -的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为

（3）在三棱锥ABC P -中，3===PC PB PA ,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为

60，则该三棱锥外

接球的体积为（ ） A ． B. C. 4 D.

（4）已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且，则此棱锥的体积为（ ）A A ． B ． C ． D ．

π3

π

π43

πS ABC -O ABC ?1SC O 2SC

=

6

6

32

类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）

题设：如图10-1，图10-2，图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

第一步：确定球心O 的位置，1O 是ABC ?的外心，则⊥1OO 平面ABC ； 第二步：算出小圆1O 的半径r AO =1，h AA OO 2

1

2111==

（h AA =1也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：2

1212O O A O OA +=?2

22

)2

(r h R +=?22)2

(h

r R +=

，解出R

例4 （1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8

9

，底面周长为3，则这个球的体积为

（2）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 。

（3）已知EAB ?所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，?=∠===60,2,3AEB AD EB EA ，则多面体ABCD E -的外接球的表面积为 。

（4）在直三棱柱111C B A ABC -中，4,3

,6,41====AA A AC AB π

则直三棱柱111C B A ABC -的外接球

的表面积为

图10-2

111ABC A B C -12AB AC AA ===120BAC ∠=?

类型五、折叠模型

题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图11)

第一步：先画出如图所示的图形，将BCD ?画在小圆上，找出BCD ?和BD A '?的外心1H 和2H ； 第二步：过1H 和2H 分别作平面BCD 和平面BD A '的垂线，两垂线的交点即为球心O ，连接OC OE ,； 第三步：解1OEH ?，算出1OH ，在1OCH Rt ?中，勾股定理：22121OC CH OH =+

例5三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 和△ABC 均为边长为2的正三角形，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .

类型六、对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CD AB =，BC AD =，BD AC =） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；

第二步：设出长方体的长宽高分别为c b a ,,，x BC AD ==，y CD AB ==，z BD AC ==，列方程组，

??

???=+=+=+2

222

22222z a c y c b x b a ?2)2(2222222z y x c b a R ++=

++=， 补充：abc abc abc V BCD A 3

1

461=?-

=- 第三步：根据墙角模型，2

22

222

2

2

z y x c b a R ++=++=，

图12

图11

8

2

222z y x R ++=

，8

2

22z y x R ++=，求出R ，

例如，正四面体的外接球半径可用此法。

例6（1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一 个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 .

（2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点 在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

（3）在三棱锥BCD A -中，,4,3,2======BD AC

BC

AD CD AB 则三

棱锥BCD A -外接球的表面积为 。

（4）如图所示三棱锥，其中则该三棱锥外接球的表面积为 .

（5）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为

433334

3123A BCD -5,6,7,AB CD AC BD AD BC ======(1)题

(1)题解答图

类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型

题设：

90=∠=∠ACB APB ，求三棱锥ABC P -外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O ，连接

OC OP ,，则AB OP OC OB OA 2

1

=

===，∴O 为三棱锥ABC P -外接球球心，然后在OCP 中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。

例7（1）在矩形ABCD 中，4=AB ，3=BC ，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）

A ．

π12125 B ．π9125 C ．π6125 D ．π3

125

（2）在矩形ABCD 中，2=AB ，3=BC ，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，所得三棱锥BCD A -的外接球的表面积为 ．

类型八、锥体的内切球问题

1．题设：如图14，三棱锥ABC P -上正三棱锥，求其外接球的半径。 第一步：先现出内切球的截面图，H E ,分别是两个三角形的外心；

第二步：求BD DH 3

1

=，r PH PO -=，PD 是侧面ABP ?的高；

第三步：由POE ?相似于PDH ?，建立等式：PD

PO

DH OE =，解出r

2．题设：如图15，四棱锥ABC P -上正四棱锥，求其外接球的半径

第一步：先现出内切球的截面图，H O P ,,三点共线；

第二步：求BC FH 2

1

=

，r PH PO -=，PF 是侧面PCD ?的高； 第三步：由POG ?相似于PFH ?，建立等式：PF

PO

HF OG =，解出 图13

图14

A

3．题设：三棱锥ABC P -是任意三棱锥，求其的内切球半径

方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；

第二步：设内切球的半径为r ，建立等式：PBC O PAC O PAB O ABC O ABC P V V V V V -----+++=?

r S S S S r S r S r S r S V PBC PAC PAB ABC PBC PAC PAB ABC ABC P ?+++=?+?+?+?=????-)(3

1

31313131

第三步：解出PBC

O PAC O PAB O ABC O ABC

P S S S S V r -----+++=

3

习题：

1．若三棱锥ABC S -的三条侧棱两两垂直，且2=SA ，4==SC SB ，则该三棱锥的外接球半径为（ ）

A.3

B.6

C.36

D.9 2． 三棱锥ABC S -中，侧棱⊥SA 平面ABC ，底面ABC 是边长为3的正三角形，32=SA ，则该三

棱锥的外接球体积等于

3．正三棱锥ABC S -中，底面ABC 是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于 .

4．三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 边长为2的正三角形，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .

5． 三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，2=AC ，3==PC PA ，BC AB ⊥，则三棱锥

ABC P -外接球的半径为 .

6． 三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，2=AC ，PC PA ⊥，BC AB ⊥，则三棱锥ABC

P -外接球的半径为 .