专题08 探索性问题（原卷版）

决战2020年中考典型压轴题大突破

模块二中考压轴题几何变换综合专题

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在近几年的中考试题中，为了体现教育部关于中考命题改革的精神，出现了动手操作题。动手操作题是让学生在通过实际操作的基础上设计有关的问题。这类题对学生的能力有更高的要求，有利于培养学生的创新能力和实践能力，体现新课程理念。此类试题的显著特点是以动手为基础的手脑并用的形式，有助于创新能力的培养和实践能力的提高，改变了以往一只笔一张纸的学习方式，是新课程改革的基本理念之，在中考中越来越受到关注。常见的有折叠、旋转和平移操作。操作型问题是指通过动手测量作图(象)、取值、计算等实验，猜想获得数学结论的探索研究性活动，这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、合情合理和验证，不但有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯，符合新课程标准，特别强调发现式学习、探究式学习和研究式学习，鼓励学生进行“微科研”活动，提倡要积极引导学生从事实验活动和实践活动，培养学生乐于动手、勤于实践的意识和习惯，切实提高学生的动手能力、实践能力的指导思想因此，实验操作问题将成为今后中考的热点题型。

专题08 探索性问题

方法点拨

此类题目常涉及到画图、测量、猜想证明，归纳等问题，它与初中代数、几何均有联系。此类题目对于考查学生注重知识形成的过程，领会研究问题的方法有一定的作用，也符合新课改的教育理念。

精典例题

（2019•商南二模）【问题发现】如图①，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是．

【问题研究】如图②，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、3为半径作⊙A、⊙B，M、N分別是⊙A、⊙B上的动点，点P为x轴上的动点，试求PM+PN的最小值．

【问题解决】如图③，该图是某机器零件钢构件的模板，其外形是一个五边形，根据设计要求，边框AB 长为2米，边框BC长为3米，∠DAB＝∠B＝∠C＝90°，联动杆DE长为2米，联动杆DE的两端D、E允许在AD、CE所在直线上滑动，点G恰好是DE的中点，点F可在边框BC上自由滑动，请确定该装置中的两根连接杆AF与FG长度和的最小值并说明理由．

【点睛】（1）作点C关于AB的对称点C'，连接DE，与AB交于点E，连接CE．此时EC+ED＝EC'+ED＝C'D最短，易证DBC'＝90°，C'B＝CB＝2，DB＝1，所以在Rt△DBC'中，C'D2＝12+22＝5，故CD，即EC+ED的最小值是；

（2）作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B'于M'、N，交x轴于P，连接PA，交⊙A于M，根据两点之间线段最短得到此时PM+PN最小，再利用对称确定A′的坐标，接着利用两点间的距离公式计算出A′B的长，然后用A′B的长减去两个圆的半径即可得到MN的长，即得到PM+PN的最小值；

（3）如图③，延长AD、CE，交于点H，连接GH．易知GE DE＝1，所以点G在以H为圆心，1为半径的圆周上运动，作点A关于BC的对称点A'，连接A'H，与BC交于点F，与⊙H交于点G，此时AF+FG＝A'F+FG＝A'G为最短，AB＝2，AH＝BC＝3，A'B＝2，A'A＝4，所以A'H，因此A'G＝A'H﹣GH＝5﹣1＝4，即该装置中的两根连接杆AF与FG长度和的最小值为4．

巩固突破

1．如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P，满足0°＜∠EPF＜180°．

（1）试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？

解：由于点P是平行线AB，CD之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论：如图1，当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为，如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为．

（2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．

①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝．

②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；

③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1，∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2，∠BEQ2，

与∠DFQ2的角平分线交于点Q3；此次类推，则∠EPF与∠EQ2018F满足怎样的数量关系？（直接写出结果）

2．（2019•江夏区校级模拟）如图1，AB∥CD，P为AB、CD之间一点

（1）若AP平分∠CAB，CP平分∠ACD．求证：AP⊥CP；

（2）如图（2），若∠BAP∠BAC，∠DCP∠ACD，且AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，猜想∠E+∠F的结果并且证明你的结论；

（3）在（1）的条件下，当∠BAQ∠BAP，∠DCQ∠DCP，H为AB上一动点，连HQ并延长至K，使∠QKA＝∠QAK，再过点Q作∠CQH的平分线交直线AK于M，问当点H在射线AB上移动时，∠QMK 的大小是否变化？若不变，求其值；若变化，求其取值范围．

3．（2019•荷塘区）如图，已知直线AB∥CD．

（1）在图1中，点E在直线AB上，点F在直线CD上，点G在AB、CD之间，若∠1＝30°，∠3＝75°，则∠2＝；

（2）如图2，若FN平分∠CFG，延长GE交FN于点M，EM平分∠AEN，当∠N∠FGE＝54°时，

求∠AEN的度数；

（3）如图3，直线MF平分∠CFG，直线NE平分∠AEG相交于点H，试猜想∠G与∠H的数量关系，并说明理由．

4．（2019•嘉兴）已知直线AB∥CD．

（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为；

（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图3，∠ABM∠MBE，∠CDN∠NDE，直线MB、ND交于点F，则．

5．（2019陕西）已知：直线a∥b，P、Q是直线a上的两点，M、N是直线b上两点．（1）如图①，线段PM、QN夹在平行直线a和b之间，四边形PMNQ为等腰梯形，其两腰PM＝QN．请你参照图①，在图②中画出异于图①的一种图形，使夹在平行直线a和b之间的两条线段相等；

（2）我们继续探究，发现用两条平行直线a、b去截一些我们学过的图形，会有两条“曲线段相等”（曲线上两点和它们之间的部分叫做“曲线段”．把经过全等变换后能重合的两条曲线段叫做“曲线段相等”）．请你在图③中画出一种图形，使夹在平行直线a和b之间的两条曲线段相等；

（3）如图④，若梯形PMNQ是一块绿化地，梯形的上底PQ＝m，下底MN＝n，且m＜n．现计划把价格不同的两种花草种植在S1、S2、S3、S4四块地里，使得价格相同的花草不相邻．为了节省费用，园艺师应选择哪两块地种植价格较便宜的花草？请说明理由．

6．（2019•成都）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中∠ACB＝30°，∠DAE ＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）．

（1）当α为度时，AD∥BC，并在图3中画出相应的图形；

（2）在旋转过程中，试探究∠CAD与∠BAE之间的关系；

（3）当△ADE旋转速度为5°/秒时，且它的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t 的所有值．

7．（2019•扬州校级模拟）如图（1），由线段AB、AM、CM、CD组成的图形像英文字母M，称为“M形BAMCD”．

（1）如图（1），M形BAMCD中，若AB∥CD，∠A+∠C＝50°，则∠M＝；

（2）如图（2），连接M形BAMCD中B、D两点，若∠B+∠D＝150°，∠AMC＝α，试探求∠A与∠C的数量关系，并说明理由；

（3）如图（3），在（2）的条件下，且AC的延长线与BD的延长线有交点，当点M在线段BD的延长线上从左向右移动的过程中，直接写出∠A与∠C所有可能的数量关系．

8．（2020•徐汇区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是边AB上的动点（点D不与点AB重合），点G在边AB的延长线上，∠CDE＝∠A，∠GBE＝∠ABC，DE与边BC交于点F．

（1）求cos A的值；

（2）当∠A＝2∠ACD时，求AD的长；

（3）点D在边AB上运动的过程中，AD：BE的值是否会发生变化？如果不变化，请求AD：BE的值；

如果变化，请说明理由．

9．（2020•河南一模）【问题提出】在△ABC中，AB＝AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，且α+β＝120°，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答）

【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当α＝90°，β＝30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α＝90°，β＝30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．

请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是三角形；∠ADB 的度数为．

【问题解决】

在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；

【拓展应用】在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC＝7，AD＝2．请直接写出线段BE的长为．

10．（2019•东营区校级模拟）问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，则：AC AB．

探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．

（1）如图1，连接AB边上中线CP，由于CP AB，易得结论：①△ACP为等边三角形；②BP与CP 之间的数量关系为；

（2）如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADE，且点E在∠ACB的内部，连接BE．试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明；

（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论；

拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣3，），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC，当C点在第一象限内，且B（2，0）时，求C点的坐标．

11．（2019•南关区一模）在△ABC中，CA＝CB，0°＜∠C≤90°．过点A作射线AP∥BC，点M、N分别在边BC、AC上（点M、N不与所在线段端点重合），且BM＝AN，连结BN并延长交AP于点D，连结MA并延长交AD的垂直平分线于点E，连结ED．

【猜想】如图①，当∠C＝45°时，可证△BCN≌△ACM，从而得出∠CBN＝∠CAM，进而得出∠BDE 的大小为度．

【探究】如图②，若∠C＝α．

（1）求证：△BCN≌△ACM．

（2）∠BDE的大小为度（用含a的代数式表示）．

【应用】如图③，当∠C＝90°时，连结BE．若BC＝3，∠BAM＝15°，则△BDE的面积为．

12．（2019•南浔区二模）（1）尝试探究

如图1，等腰Rt△ABC的两个顶点B，C在直线MN上，点D是直线MN上一个动点（点D在点C的右边），BC＝3，BD＝m，在△ABC同侧作等腰Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，EF⊥MN于点F，连接CE．

①求DF的长；

②在判断AC⊥CE是否成立时，小明同学发现可以由以下两种思路解决此问题：

思路一：先证CF＝EF，求出∠ECF＝45°，从而证得结论成立．

思路二：先求DF，EF的长，再求CF的长，然后证AC2+CE2＝AE2，从而证得结论成立．

请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程．（如用两种方法作答，则以第一种方法评分）（2）拓展探究

将（1）中的两个等腰直角三角形都改为有一个角为30°的直角三角形，如图2，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠BAC＝∠DAE＝30°，BC＝3，BD＝m，当4≤m≤6时，求CE长的范围．

13．（2019•江西模拟）某数学活动小组在研究三角形拓展图形的性质时，经历了如下过程：

●操作发现

在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB和AC为腰，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图①所示，连接DE，其中F是DE的中点，连接AF，则下列结论正确的是（填序号即可）

①AF BC：②AF⊥BC；③整个图形是轴对称图形；④DE∥BC、

●数学思考

在任意△ABC中，分别以AB和AC为腰，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图②所示，连接DE，其中F是DE的中点，连接AF，则AF和BC有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程

●类比探索

在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为腰，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图③所示，连接DE，其中F是DE的中点，连接AF，试判断AF和BC的数量和位置关系是否发生改变？并说明理由．

14．（2019•鼓楼区二模）提出问题：用一张等边三角形纸片剪一个直角边长分别为2cm和3cm的直角三角形纸片，等边三角形纸片的边最小值是多少？

探究思考：几位同学画出了以下情况，其中∠C＝90°，BC＝2cm，△ADE为等边三角形．

（1）同学们对图1，图2中的等边三角形展开了讨论：

①图一中AD的长度图②中AD的长度（填“＞”，“＜”或“＝”）

②等边三角形ADE经过图形变化．AD可以更小．请描述图形变化的过程．

（2）有同学画出了图3，但老师指出这种情况不存在，请说明理由．

（3）在图4中画出边长最小的等边三角形，并写出它的边长．

经验运用：

（4）用一张等边三角形纸片剪一个直角边长为1cm和3cm的直角三角形纸片，等边三角形纸片的边长最小是多少？画出示意图并写出这个最小值．

15．（2019•交城二模）综合与实践：矩形的旋转

问题情境：

在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．具体要求：如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片ABCD和EFGH叠放在一起，这时对角线AC和EG互相重合．固定矩形ABCD，将矩形EFGH绕AC的中点O逆时针方向旋转，直到点E与点B重合时停止，在此过程中开展探究活动．操作发现：

（1）雄鹰小组初步发现：在旋转过程中，当边AB与EF交于点M，边CD与GH交于点N，如图2、图3所示，则线段AM与CN始终存在的数量关系是．

（2）雄鹰小组继续探究发现：在旋转开始后，当两个矩形纸片重叠部分为四边形QMRN时，如图3所示，四边形QMRN为菱形，请你证明这个结论．

（3）雄鹰小组还发现在问题（2）中的四边形QMRN中∠MQN与旋转角∠AOE存在着特定的数量关系，请你写出这一关系，并说明理由．

实践探究：

（4）在图3中，随着矩形纸片EFGH的旋转，四边形QMRN的面积会发生变化．若矩形纸片的长为，宽为，请你帮助雄鹰小组探究当旋转角∠AOE为多少度时，四边形QMRN的面积最大？最大面积是多少？（直接写出答案）

16．（2019•长春模拟）已知∠MBN＝60°，BD平分∠MBN，点A在BM上，点C在BN上，且AB＝BC，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边三角形APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．

【探究】如图1，当点E在BD下方，连接CE．证明：BP＝CE，CE⊥BN．

【应用】如图2，当点E在BD上方，连接AC．若AB＝2，BE，则四边形ACPE的面积为．

17．（2019•长春模拟）【感知】如图①，在正方形ABCD中，点F在BC边上，AE平分∠DAF．若我们分别延长AE与BC，交于点G．则易证AF＝FG．（不需要证明）

【探究】如图②，在矩形ABCD中，点E是CD边的中点，点F在BC边上，AE平分∠DAF．求证：AF＝AD+FC．

【应用】在【探究】的条件下，若AD＝6，DE＝2，直接写出FC的长．

18．（2019•雁塔区校级模拟）发现问题：如图1，直线a∥b，点B、C在直线b上，点D为AC的中点，过点D的直线与a，b分别相交于M、N两点，与BA的延长线交于点P，若△ABC的面积为1，则四边形AMNB的面积为；

探究问题：如图2，Rt△ABC中，∠DAC∠BAC，DA＝2，求△ABC面积的最小值；

拓展应用：如图3，矩形花园ABCD的长AD为400米，宽CD为300米，供水点E在小路AC上，且AE＝2CE，现想沿BC上一点M和CD上一点N修一条小路MN，使得MN经过E，并在四边形AMCN 围城的区域内种植花卉，剩余区域铺设草坪根据项目的要求种植花卉的区域要尽量小．请根据相关数据求出四边形AMCN面积的最小值，及面积取最小时点M、N的位置．（小路的宽忽略不计）

19．（2019•通城模拟）在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，其外接圆的半径为r．

【探究】

（1）如图甲，作直径BD，若r＝3，发现的值为．

（2）猜想，，之间的关系，并证明你的猜想．

【应用】

（3）如图乙，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上，求此时货轮距灯塔A的距离AB．

20．（2019•竞秀区一模）四边形ABCD是正方形，BC＝3，点E在BC上且BE＝1，以EF为直径作半圆O，点G是半圆弧的中点

探究一：设定EF＝4，

（1）如图1，当F在BC延长线上时，DG的长；

（2）将图1中的半圆O绕点E逆时针方向旋转，旋转角为a，（0°≤α≤180°）

①如图2，当EF经过点D时，求A到EF的距离．

②如图3，圆心O落在AB边上，求从图1到图3的旋转过程中G点的运动路径长度；

③如图4，半圆O与正方形ABCD的边AD相切，切点为P，求AP的长并直接写出在旋转过程中，半

圆O与正方形其它各边相切时，点A到切点的距离．

探究二：设定EF＝2

如图5，图6，将半圆O的直径EF沿线段EC和CD滑动，E、F在EC、CD上对应的点为E′、F′，点E滑动到点C停止，请判断线段CG的取值范围．（直接写出结果）

21．（2019•河南）已知，点C为线段AB外一动点，且AB＝4，AC＝2．

问题发现

（1）图1，当点C位于时，线段BC的长取最大值，且最大值为．

扩展探究

（2）如图2，若以BC为斜边向上构造等腰直角三角形BCD，以点A为圆心，AC为半径，在转过程中，当A，C，D三点共线时，求CD的长度；

解决问题

（3）在（2）的条件下，以点A为圆心，AC为半径，在旋转过程中，试求AD的最大值和最小值．