【高考数学考点突破】探索性问题(2020-2021)
难点40 探索性问题
高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题
.
1.（★★★★）已知三个向量a 、b 、c ，其中每两个之间的夹角为120°，若｜a ｜=3, ｜b ｜=2,｜c ｜=1，则a 用b 、c 表示为 .
2.（★★★★★）假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1–p ，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可成功飞行，则对于多大的p 而言，4引擎飞机比2引擎飞机更为安全？
［例1］已知函数1)(2++=ax c bx x f (a ,c ∈R ,a ＞0,b 是自然数）是奇函数，f (x )有最大值2
1
，
且f (1)＞
5
2
. （1）求函数f (x )的解析式；
（2）是否存在直线l 与y =f (x )的图象交于P 、Q 两点，并且使得P 、Q 两点关于点（1，0）对称，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由.
命题意图：本题考查待定系数法求函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问题的能力，属★★★★★级题目.
知识依托：函数的奇偶性、重要不等式求最值、方程与不等式的解法、对称问题.
错解分析：不能把a 与b 间的等量关系与不等关系联立求b ；忽视b 为自然数而导致求不出b 的具体值；P 、Q 两点的坐标关系列不出解.
技巧与方法：充分利用题设条件是解题关键.本题是存在型探索题目，注意在假设存在的条件下推理创新，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定的结论，并加以论证.
解：（1）∵f (x )是奇函数 ∴f (–x )=–f (x )，即
1
12
2++-=++-ax c
bx ax c bx ∴–bx +c =–bx –c ∴c =0 ∴f (x )=
1
2+ax bx
由a ＞0，b 是自然数得当x ≤0时，f (x )≤0， 当x ＞0时，f (x )＞0
∴f (x )的最大值在x ＞0时取得. ∴x ＞0时，2
2
111)(b a
bx
x b a x f ≤+=
当且仅当
bx
x b a 1=
即a
x 1
=
时，f (x )有最大值2
1212
=
b a ∴
2b
a
=1,∴a =b 2 ① 又f (1)＞
5
2，∴1+a b ＞52,∴5b ＞2a +2 ②
把①代入②得2b 2–5b +2＜0解得21
＜b ＜2
又b ∈N ,∴b =1,a =1,∴f (x )=1
2+x x
（2）设存在直线l 与y =f (x )的图象交于P 、Q 两点，且P 、Q 关于点（1，0）对称，
P (x 0,y 0)则Q （2–x 0,–y 0)，∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+--=+0
2
00
020
1)2(21y x x y x x ,消去y 0，得x 02–2x 0–1=0
解之，得x 0=1±2, ∴P 点坐标为(42,
21+)或(42,21--)进而相应Q 点坐标为Q （4
2,21--） 或Q (4
2
,
21+). 过P 、Q 的直线l 的方程：x –4y –1=0即为所求.
［例2］如图，三条直线a 、b 、c 两两平行，直线a 、b 间的距离为p ，直线b 、c 间的距离为
2
p
，A 、B 为直线a 上两定点，且｜AB ｜=2p ，MN 是在直线b 上滑动的长度为2p 的线段.
（1）建立适当的平面直角坐标系，求△AMN 的外心C 的轨迹E ； （2）接上问，当△AMN 的外心C 在E 上什么位置时，d +｜BC ｜最小，最小值是多少？（其中d 是外心C 到直线c 的距离）.
命题意图：本题考查轨迹方程的求法、抛物线的性质、数形结合思想及分析、探索问题、综合解题的能力.属★★★★★级题目.
知识依托：求曲线的方程、抛物线及其性质、直线的方程.
错解分析：①建立恰当的直角坐标系是解决本题的关键，如何建系是难点，②第二问中确定C 点位置需要一番分析.
技巧与方法：本题主要运用抛物线的性质，寻求点C 所在位置，然后加以论证和计算，得出正确结论，是条件探索型题目.
解：（1）以直线b 为x 轴，以过A 点且与b 直线垂直的直线为y 轴建立直角坐标系
.
设△AMN 的外心为C (x ,y )，则有A (0,p )、M （x –p ,0)，N (x +p ,0)， 由题意，有｜CA ｜=｜CM ｜
∴2222)()(y p x x p y x ++-=-+,化简，得 x 2=2py
它是以原点为顶点，y 轴为对称轴，开口向上的抛物线. （2）由（1）得，直线C 恰为轨迹E 的准线. 由抛物线的定义知d =｜CF ｜，其中F （0,
2
p
）是抛物线的焦点. ∴d +｜BC ｜=｜CF ｜+｜BC ｜
由两点间直线段最短知，线段BF 与轨迹E 的交点即为所求的点 直线BF 的方程为p x y 2
1
41+=
联立方程组 ⎪⎩⎪
⎨
⎧=+=py
x p x y 221412得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=.16179)171(41p y p x . 即C 点坐标为(
p p 16
17
9,4171++). 此时d +｜BC ｜的最小值为｜BF ｜=
p 2
17
.
如果把一个数学问题看作是由条件、依据、方法和结论四个要素组成的一个系统，那么把这四个要素中有两个是未知的数学问题称之为探索性问题.条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征.
解决探索性问题，对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面有较高要求，高考题中一般对这类问题有如下方法：（1）直接求解；（2）观察——猜测——证明；（3）赋值推断；（4）数形结合；（5）联想类比；（6）特殊——一般——特殊
.
一、选择题
1.（★★★★）已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题，其中正确命题是( )
①α∥β⇒l ⊥m ②α⊥β⇒l ∥m ③l ∥m ⇒α⊥β ④l ⊥m ⇒α∥β A.①与② B.①与③ C.②与④ D.③与④
2.（★★★★）某邮局只有0.60元，0.80元，1.10元的三种邮票.现有邮资为7.50元的邮件一件，为使粘贴邮票的张数最少，且资费恰为7.50元，则最少要购买邮票( )
A.7张
B.8张
C.9张
D.10张 二、填空题
3.(★★★★)观察sin 220°+cos 250°+sin20°cos50°=
4
3
,sin 215°+cos 245°+sin15°
·cos45°=
4
3
，写出一个与以上两式规律相同的一个等式 .
三、解答题 4.（★★★★）在四棱锥P —ABCD 中，侧棱P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，问底面的边BC 上是否存在点E .（1）使 ∠PED =90°；（2）使∠PED 为锐角.证明你的结论.
5.（★★★★★）已知非零复数z 1,z 2满足｜z 1｜=a ,｜z 2｜=b ,｜z 1+z 2｜=c （a 、b 、c 均大于零），问是否根据上述条件求出
1
2
z z ？请说明理由. 6.（★★★★★）是否存在都大于2的一对实数a 、b (a ＞b )使得ab ,
a
b
,a –b ,a +b 可以按照某一次序排成一个等比数列，若存在，求出a 、b 的值，若不存在，说明理由.
7.（★★★★★）直线l 过抛物线y 2=2px (p ＞0）的焦点且与抛物线有两个交点，对于抛物线上另外两点A 、B 直线l 能否平分线段AB ？试证明你的结论.
8.（★★★★★）三个元件T 1、T 2、T 3正常工作的概率分别为0.7、0.8、0.9，将它们的某两个并联再和第三个串联接入电路，如图甲、乙、丙所示，问哪一种接法使电路不发生故障的概率最大？
参 考 答 案
●难点磁场
1.解析：如图–a 与b ，c 的夹角为60°,且|a |=|–a |=3. 由平行四边形关系可得–a =3c +23b ,∴a =–3c –2
3b . 答案：a =–3c –
2
3
b 2.解析：飞机成功飞行的概率分别为：4引擎飞机为：
4
222443342224)1(4)1(6C )1(C )1(C P P P P P P P P P P +-+-=+-+-
2引擎飞机为2
22212)1(2C )1(C P P P P P P +-=+-⋅. 要使4引擎飞机比2引擎飞机安全，则有：
6P 2（1–P ）2+4P 2（1–P ）+P 4≥2P (1–P )+P 2,解得P ≥3
2
. 即当引擎不出故障的概率不小于
3
2
时，4引擎飞机比2引擎飞机安全.
●歼灭难点训练
一、1.解析：①l ⊥α且α∥β⇒l ⊥β,m ⊂β⇒l ⊥m . ②α⊥β且l ⊥α⇒l ∥β,但不能推出l ∥m . ③l ∥m ,l ⊥α⇒m ⊥α,由m ⊂β⇒α⊥β. ④l ⊥m ,不能推出α∥β. 答案：B
2.解析：选1.1元5张，0.6元2张，0.8元1张.故8张. 答案：B
二、3.解析：由50°–20°=(45°–15°)=30°
可得sin 2α+cos 2(α+30°)+sin αcos(α+30°)=
43. 答案：sin 2α+cos 2(α+30°)+sin αcos(α+30°)=4
3
三、4.解：(1)当AB ≤21AD 时，边BC 上存在点E ，使∠PED =90°;当AB >2
1
AD 时，
使∠PED =90°的点E 不存在.（只须以AD 为直径作圆看该圆是否与BC 边有无交点）（证略）
（2）边BC 上总存在一点，使∠PED 为锐角，点B 就是其中一点.
连接BD ，作AF ⊥BD ，垂足为F ，连PF ，∵P A ⊥面ABCD ，∴PF ⊥BD ，又△ABD 为直角三角形，∴F 点在BD 上，∴∠PBF 是锐角.
同理，点C 也是其中一点.
5.解：∵|z 1+z 2|2=(z 1+z 2)(1z +2z )=|z 1|2+|z 2|2+(z 12z +1z z 2) ∴c 2=a 2+b 2+(z 12z +1z z 2) 即：z 12z +1z z 2=c 2–a 2–b 2 ∵z 1≠0,z 2≠0，∴z 12z +1z ·z 2=
1
2
112221z z z z z z z z +
=|z 2|2(21z z )+|z 1|2(12z z ) 即有：b 2(
21z z )+a 2(1
2z z
)=z 1z 2+z 1z 2 ∴b 2(
21z z )+a 2(12z z
)=c 2–a 2–b 2 ∴a 2(
12z z )2+(a 2+b 2–c 2)(1
2
z z )+b 2=0 这是关于
12z z 的一元二次方程，解此方程即得1
2z z
的值. 6.解：∵a >b ,a >2,b >2,∴ab ,
a b ,a –b ,a +b 均为正数，且有ab >a +b >a
b
,ab >a +b >a –b .
假设存在一对实数a ,b 使ab ,
a
b
,a +b ,a –b 按某一次序排成一个等比数列，则此数列必是单调数列.不妨设该数列为单调减数列，则存在的等比数列只能有两种情形，即①ab ,a +b , a –b ,
a b ,或②ab ,a +b ,a b ,a –b 由（a +b ）2≠ab ·a
b
所以②不可能是等比数列，若①为等比数列，则有：
⎪⎩
⎪⎨⎧+=
+=⎪⎩⎪⎨⎧⋅=-+-=+22710257 ))(()()(2b a a b ab b a b a b a ab b a 解得 经检验知这是使ab ,a +b ,a –b ,
a
b
成等比数列的惟一的一组值.因此当a =7+25,b =
22710+时，ab ,a +b ,a –b ,a
b
成等比数列. 7.解：如果直线l 垂直平分线段AB ，连AF 、BF ，∵F （
2
p
，0）∈l .∴|F A |=|FB |,设 A （x 1,y 1）,B (x 2,y 2),显然x 1>0,x 2>0,y 1≠y 2,于是有（x 1–2p ）2+y 12=(x 2–2
p
)2+y 22,整理得：（x 1+x 2
–p )(x 1–x 2)=y 22–y 12=–2p (x 1–x 2).显然x 1≠x 2(否则AB ⊥x 轴，l 与x 轴重合，与题设矛盾）
得：x 1+x 2–p =–2p 即x 1+x 2=–p <0,这与x 1+x 2>0矛盾，故直线l 不能垂直平分线段AB .
8.解：设元件T 1、T 2、T 3能正常工作的事件为A 1、A 2、A 3，电路不发生故障的事件为A ，则P （A 1）=0.7，P （A 2）=0.8，P （A 3）=0.9.
（1）按图甲的接法求P （A ）：A =（A 1+A 2）·A 3，由A 1+A 2与A 3相互独立，则P （A ）=P （A 1+A 2）·P （A 3）
又P （A 1+A 2）=1–P （21A A +）=1–P （1A ·2A ）由A 1与A 2相互独立知1A 与2A 相互独立，得：P （1A ·2A ）=P （1A ）·P （2A ）=［1–P （A 1）］·［1–P （A 2）］=（1–0.7）×(1–0.8)=0.06，∴P (A 1+A 2)=0.1–P (1A ·2A )=1–0.06=0.94，
∴P (A )=0.94×0.9=0.846.
(2)按图乙的接法求P （A ）：A =（A 1+A 3）·A 2且A 1+A 3与A 2相互独立，则P （A ）=P （A 1+A 3）· P （A 2），用另一种算法求P （A 1+A 3）.∵A 1与A 3彼此不互斥，根据容斥原理P （A 1+A 3）= P （A 1）+P （A 3）–P （A 1A 3），∵A 1与A 3相互独立，则P （A 1·A 3）=P （A 1）·P （A 3）=0.7×0.9=0.63,P (A 1+A 3)=0.7+0.9–0.63=0.97.∴P (A )=P (A 1+A 3)·P (A 2)=0.97×0.8=0.776.
(3)按图丙的接法求P （A ），用第三种算法. A =（A 2+A 3）A 1=A 2A 1+A 3A 1,∵A 2A 1与A 3A 1彼此不互斥，据容斥原理，则P （A ）=P （A 1A 2）+P （A 1A 3）–P （A 1A 2A 3），又由A 1、A 2、A 3相互独立，得P （A 1·A 2）=P （A 1）P （A 2）=0.8×0.7=0.56,
P (A 3A 1)=P (A 3)·P (A 1)=0.9×0.7=0.63,
P (A 1A 2A 3)=P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)=0.7×0.8×0.9=0.504, ∴P (A )=0.56+0.63–0.504=0.686. 综合（1）、（2）、（3）得，图甲、乙、丙三种接法电路不发生故障的概率值分别为
0.846,0.776,0.686.
故图甲的接法电路不发生故障的概率最大.
【高考数学考点突破】探索性问题(2020-2021)
难点40 探索性问题 高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题 . 1.（★★★★）已知三个向量a 、b 、c ，其中每两个之间的夹角为120°，若｜a ｜=3, ｜b ｜=2,｜c ｜=1，则a 用b 、c 表示为 . 2.（★★★★★）假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1–p ，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可成功飞行，则对于多大的p 而言，4引擎飞机比2引擎飞机更为安全？ ［例1］已知函数1)(2++=ax c bx x f (a ,c ∈R ,a ＞0,b 是自然数）是奇函数，f (x )有最大值2 1 ， 且f (1)＞ 5 2 . （1）求函数f (x )的解析式； （2）是否存在直线l 与y =f (x )的图象交于P 、Q 两点，并且使得P 、Q 两点关于点（1，0）对称，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由. 命题意图：本题考查待定系数法求函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问题的能力，属★★★★★级题目. 知识依托：函数的奇偶性、重要不等式求最值、方程与不等式的解法、对称问题. 错解分析：不能把a 与b 间的等量关系与不等关系联立求b ；忽视b 为自然数而导致求不出b 的具体值；P 、Q 两点的坐标关系列不出解. 技巧与方法：充分利用题设条件是解题关键.本题是存在型探索题目，注意在假设存在的条件下推理创新，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定的结论，并加以论证. 解：（1）∵f (x )是奇函数 ∴f (–x )=–f (x )，即 1 12 2++-=++-ax c bx ax c bx ∴–bx +c =–bx –c ∴c =0 ∴f (x )= 1 2+ax bx 由a ＞0，b 是自然数得当x ≤0时，f (x )≤0， 当x ＞0时，f (x )＞0 ∴f (x )的最大值在x ＞0时取得. ∴x ＞0时，2 2 111)(b a bx x b a x f ≤+= 当且仅当 bx x b a 1=
高考数学二轮复习专题突破—圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题(含解析)
高考数学二轮复习专题突破—圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题 1.(2021·重庆八中月考)已知椭圆C :x 2 4+ y 23 =1的右焦点为F ,过点M (4,0)的直线l 交椭圆 C 于A ,B 两点,连接AF ,BF 并延长分别与椭圆交于异于A ,B 的两点P ,Q. (1)求直线l 的斜率的取值范围; (2)若PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μFB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,证明:λμ为定值. 2.(2021·河北张家口三模)已知抛物线C :y 2=4px (p>0)的焦点为F ,且点M (1,2)到点F 的距离比到y 轴的距离大p. (1)求抛物线C 的方程; (2)若直线l :x-m (y+2)-5=0与抛物线C 交于A ,B 两点,问是否存在实数m ,使|MA|·|MB|=64√2?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由. 3.(2021·江苏南通适应性联考)已知双曲线C :x 2 a 2−y 2 b 2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F 1,F 2,一条渐近线方程为y=bx (b ∈N *),且双曲线C 经过点D (√2,1). (1)求双曲线C 的方程; (2)设点P 在直线x=m (y ≠±m ,0
(1)求椭圆C 的方程; (2)过点P (-3,0)的直线(不与x 轴重合)与椭圆C 相交于A ,B 两点,直线HA ,HB 分别交x 轴于M ,N 两点,点G (-2,0),若PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求证:1 λ+1 μ 为定值. 5.(2021·广东汕头三模)已知圆C :x 2+(y-2)2=1与定直线l :y=-1,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切. (1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程; (2)已知点P 是直线l 1:y=-2上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A ,B. ①求证:直线AB 过定点; ②求证:∠PCA=∠PCB. 6.(2021·北京东城一模)已知椭圆C :x 2 a 2+y 2 b 2=1(a>b>0)过点D (-2,0),且焦距为2√3. (1)求椭圆C 的方程; (2)过点A (-4,0)的直线l (不与x 轴重合)与椭圆C 交于P ,Q 两点,点T 与点Q 关于x 轴对称,直线TP 与x 轴交于点H ,是否存在常数λ,使得|AD|·|DH|=λ(|AD|-|DH|)成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.
2022届高三数学第八章 高考专题突破五 第3课时 证明与探索性问题
第3课时 证明与探索性问题 题型一证明问题 例1(八省联考)双曲线C ：x 2 a 2－y 2 b 2＝1(a>0，b>0)的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在C 上，当BF⊥AF 时，|AF|＝|BF|. (1)求C 的离心率； (2)若B 在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF. (1)解 设双曲线的离心率为e ，焦距为2c ， 在x 2 a 2－y 2 b 2＝1中，令x ＝ c ，则c 2 a 2－y 2 b 2＝1， 则y 2 b 2＝ c 2 a 2－1＝ b 2 a 2，故y ＝± b 2 a ， 若|AF|＝|BF|，则a ＋c ＝ b 2 a ， 所以a 2 ＋ac ＝b 2 ＝c 2 －a 2 ， 所以e 2－e －2＝0，所以e ＝2. (2)证明 由(1)知双曲线方程为x 2 a 2－y 2 3a 2＝1， 设B(x ，y)(x>0，y>0)，当x≠c 时，k AB ＝y x ＋a ，k BF ＝y x －c ， 设∠BAF＝θ， 则tanθ＝y x ＋a ，tan2θ＝2tanθ1－tan 2θ＝2⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫y x ＋a 1－⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫y x ＋a 2＝2x ＋a y x ＋a 2－y 2＝ 2x ＋a y x ＋a 2－3a 2⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫x 2 a 2－1＝2x ＋a y －2x 2＋2ax ＋4a 2＝ y 2a －x ＝y c －x ＝－k BF ＝tan∠BFA， 因为0≤2∠BAF≤π，0≤∠BFA≤π，所以∠BFA＝2∠BAF. 当x ＝c 时，由题意知∠BFA＝π2，∠BAF＝π 4 ，满足∠BFA＝2∠BAF. 综上，∠BFA＝2∠BAF. 思维升华圆锥曲线中的证明问题常见的有 (1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等． (2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等． 在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明． 跟踪训练1已知顶点是坐标原点的抛物线Γ的焦点F 在y 轴正半轴上，圆心在直线y ＝1 2 x 上的圆
北师大版2021版高考数学(理)一轮第九章第9讲圆锥曲线的综合问题第2课时定点、定值、探索性问题练习含答案
北师大版2021版高考数学（理）一轮复习 第九章平面解析几何第9讲圆锥曲线的综合问题第2课时定点、定值、探索性 问题练习 [基础题组练] 1．已知直线l 与双曲线x 2 4－y 2 ＝1相切于点P ，l 与双曲线的两条渐近线交于M ，N 两点，则OM →·ON →的 值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．与P 的位置有关 解析：选A.依题意，设点P (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中x 2 0－4y 2 0＝4，则直线l 的方程是 x 0x 4 － y 0y ＝1，题中双曲线的两条渐近线方程为y ＝±12 x . ①当y 0＝0时，直线l 的方程是x ＝2或x ＝－2.由?????x ＝2x 24 －y 2 ＝0，得?????x ＝2y ＝±1，此时OM →·ON →＝(2，－1)·(2，1)＝4－1＝3，同理可得当直线l 的方程是x ＝－2时，OM →·ON → ＝3. ②当y 0 ≠0时，直线l 的方程是y ＝1 4y 0 (x 0x －4)．由?????y ＝1 4y 0 （x 0 x －4）x 2 4－y 2 ＝0 ，得(4y 2 －x 20 )x 2 ＋8x 0 x －16＝ 0(*)，又x 20－4y 20＝4，因此(*)即是－4x 2 ＋8x 0x －16＝0，x 2－2x 0x ＋4＝0，x 1x 2＝4，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2－14x 1x 2＝3 4 x 1x 2＝3. 综上所述，OM →·ON → ＝3，故选A. 2．已知抛物线y 2 ＝2px (p >0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足FA →＋FB →＋FC →＝0，则1k AB ＋ 1 k AC ＋ 1 k BC ＝________． 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，F ? ?? ??p 2，0，由FA → ＋FB →＝－FC →，得y 1＋y 2＋y 3＝0.因为k AB ＝ y 2－y 1x 2－x 1＝ 2p y 1＋y 2，所以k AC ＝2p y 1＋y 3，k BC ＝2p y 2＋y 3，所以1k AB ＋1k AC ＋1k BC ＝y 1＋y 22p ＋y 3＋y 12p ＋y 2＋y 3 2p ＝0. 答案：0
【2020年江苏省高考数学考点探究】专题76 特征值与特征向量(理)(解析版)
专题76 特征值与特征向量（理） 专题知识梳理 1．特征值与特征向量的概念 设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值(eigenvalueofamatrix)，而α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量(eigenvector)． 2．特征向量的几何意义 特征向量的方向经过变换矩阵A 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ＜0)，特别地，当λ＝0时，特征向量就被变成了零向量． 3．特征多项式 设λ是二阶矩阵A ＝??????a b c d 的一个特征值，它的一个特征向量为α＝??????x y ，则A ??????x y ＝λ??????x y ，即???? ??x y 满足二元一次方程组? ????ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy ，故?????（λ－a ）x －by ＝0，－cx ＋（λ－d ）y ＝0.(*)由特征向量的定义知α≠0，因此x ，y 不全为0，此时D x ＝0，D y ＝0，因此，若要上述二元一次方程组有不全为0的解，则必须有D ＝0，即??????λ－a －b －c λ－d ＝0. 定义：设A ＝??????a b c d 是一个二阶矩阵，λ∈R ，我们把行列式f (λ)＝???? ??λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc 称为A 的特征多项式． 考点探究 【例1】已知矩阵A ＝???? ??1 －1a 1，其中a ∈R ，若点P (1，1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－3)． (1)求实数a 的值； (2)求矩阵A 的特征值及特征向量． 【解析】 (1)由题意，得??????1 －1a 1 ??????11＝???? ?? 0－3，所以a ＋1＝－3，所以a ＝－4. (2)由(1)知A ＝?????? 1 －1－4 1，令f (λ)＝???? ??λ－1 1 4 λ－1＝(λ－1)2－4＝0. 解得A 的特征值为λ＝－1或3.
专题39 数列中的探索性问题(解析版)
专题39 数列中的探索性问题 数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来进行求解，本题的解题思路就是来源于此；③通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解．对于研究不定方程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤： ①反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏．②归谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设，从而得出原命题结论成立． 一、题型选讲 题型一 、数列中项存在的问题 例1、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知等差数列的前n 项和为． (1)求的通项公式； (2)数列满足141 n n n b T S = -，为数列的前n 项和，是否存在正整数m ，，使得?若存在，求出m ，k 的值；若 不存在，请说明理由． 【解析】（1）设等差数列的公差为d ， 由得，解得， ； （2）()2122 n n n S n n -=+⨯=， ， ， 若，则，整理得， 又，2 234121m m m m m ⎧>⎪ ∴+-⎨⎪>⎩ ，整理得， 解得11m <<+ 又*m N ∈，2m ∴=，12k ∴=， ∴存在2,12m k ==满足题意． 例2、（江苏省响水中学2020年秋学期高三年级第三次学情分析考试）在①1a ，2a ，5a 成等比数列，且； ②2 42S S =，且1 12() 2 n n T -=-这两个条件中任选一个填入下面的横线上并解答．
2021届高考数学新高考下基于问题探究考点4.4 抛物线(解析版)
考点4.4 抛物线 圆锥曲线中的抛物线问题是高考重点考查的内容之一，其命题形式多种多样，其中基于问题情境的抛物线问题在高考中逐步成为热点。通过具体的问题背景或新的定义，考察抛物线知识在问题情境中的应用，以此来检验学生的核心价值，学科素养，关键能力，必备知识。本专题以单选题，填空题及解答题等形式体现抛物线的实际应用。 解决基于问题情境的抛物线问题，常用的解题思路是：审题、建模、研究模型、解决实际问题。解题要点：(1) 利用抛物线的定义，平面几何等知识建立方程或不等式； (2)利用方程或不等式进行实际问题求解。 基础知识 1．抛物线的定义 (1)定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹． (2)焦点：点F 叫做抛物线的焦点． (3)准线：直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程、简单的几何性质及常用公式 2 2212122121222 )11) ()4(1)(1)()4,x x x x x y y y y y k k +-=+ =++-为直线与抛物线的两个交点 p – (x +x ) p +y +y p – (y +y )
抛物线 （1） 单选题 1．（2020·全国高三专题练习）如图为一个抛物线形拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面的宽度为36m ，则此时欲经过桥洞的一艘宽12m 的货船，其船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过（ ） A ．6m B ．6.5m C ．7.5m D ．8m 【答案】D 【分析】 根据题意,抽象出抛物线的几何模型.根据抛物线的通经性质求得抛物线方程,即可求得当宽为12m 时的纵坐标,进而求得水面到顶部的距离. 【详解】 根据题意,画出抛物线如下图所示: 设宽度为36m 时与抛物线的交点分别为,A B .当宽度为12m 时与抛物线的交点为,C D . 当水面经过抛物线的焦点时,宽度为36m 由抛物线性质可知236p =,则抛物线方程为2 36x y =- 则()18,9A -当宽度为12m 时,设()6,C a 代入抛物线方程可得2636a =-,解得1a =-
2021高考数学(新高考版)一轮复习考点考法精练：专项突破一 新高考·新题型专练 Word版含解析
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专项突破 高考学科素养专练 专项突破一 新高考·新题型专练 一、多项选择题:在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 1。已知集合M =｛0,1，2｝，N ={x |｜x — 1|≤1}，则 ( ） A.M =N B 。N ⊆M C 。M ∩N =M D.(∁R M ）∪N =R 2.已知i 为虚数单位，则下列结论正确的是 ( ） A .复数z =1+2i 1-i 的虚部为3 2 B 。复数z =2+5i -i 的共轭复数z - = - 5 — 2i C 。复数z =12 − 12 i 在复平面内对应的点位于第二象限 D .若复数z 满足1z ∈R，则z ∈R 3.采购经理指数（简称PMI)是国际上通行的宏观经济监测指标体系之一，对国家经济活动的监测和预测具有重要作用。制造业PMI 在50％以上，通常反映制造业总体扩张，低于50％，通常反映制造业总体衰退。如图1 — 1是2018年10月到2019年10月我国制造业PMI 的统计图,下列说法正确的是 （ ) 图1 - 1 A.大部分月份制造业总体衰退 B 。2019年3月制造业总体扩张最大 C.2018年11月到2019年10月中有3个月的PMI 比上月增长 D.2019年10月的PMI 为49。3%，比上月下降0。5个百分点 4。已知函数f (x ）={x 2,x ≤0, -x 2,x >0, 则下列结论中正确的是 ( ) A 。f ( - 2）=4 B 。若f (m ）=9，则m =±3 C.f （x )是偶函数 D.f （x )在R 上单调递减
5。已知（ax 2+√x )n (a 〉0）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式中各项系数之和为1 024，则下列说法正确的是 ( ) A.展开式中奇数项的二项式系数之和为256 B.展开式中第6项的系数最大 C.展开式中存在常数项 D 。展开式中含x 15 项的系数为45 6。已知向量a =（1,2），b =(m ，1）(m <0），且满足b ·（a +b )=3,则 ( ） A 。|b ｜=√2 B 。（2a +b ）∥（a +2b ) C 。向量2a - b 与a — 2b 的夹角为π 4 D.向量a 在b 方向上的投影为√55 7。已知函数f (x ）=sin(2x - π6）,下列结论正确的是 （ ） A 。f （x )的最小正周期是π B 。f （x ）=12是x =π2 的充分不必要条件 C.函数f (x )在区间(π3,5π 6)上单调递增 D.函数y =|f （x ）|的图象向左平移π 12个单位长度后所得图象的对称轴方程为 x =k 4 π（k ∈Z） 8。同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3，4的正四面体一次,记事件A ={第一个四面体向下的一面出现偶数}，事件B =｛第二个四面体向下的一面出现奇数},事件C =｛两个四面体向下的一面同时出现奇数,或者同时出现偶数}.则下列说法正确的是 （ ） A.P （A )=P （B ）=P (C ） B.P (AB )=P （AC ）=P （BC ） C 。P （ABC ）=18 D.P (A ）P (B ）P （C ）=18 9.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且x 〉0时，f (x )=（x — 2）e x ，则下列结论正确的是 ( ) A .f （x ）〉0的解集为( - 2,0)∪（2,+∞) B .当x 〈0时,f （x ）=(x +2)e — x C .f (x ）有且只有两个零点 D 。∀x 1,x 2∈[1,2],|f (x 1) — f (x 2）|≤e 10。设圆A ：x 2+y 2 - 2x - 3=0,则下列说法正确的是 ( ) A 。圆A 的半径为2
2023新教材数学高考第二轮专题练习--考点突破练14 圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题
2023新教材数学高考第二轮专题 考点突破练14 圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题 1.(2022·广东广州三模)在圆x 2+y 2=2上任取一点D ,过点D 作x 轴的垂线段DH ,H 为垂足,线段DH 上一点E 满足|DH | |EH |=√2.记动点E 的轨迹为曲线C. (1)求曲线C 的方程; (2)设O 为原点,曲线C 与y 轴正半轴交于点A ,直线AP 与曲线C 交于点P ,与x 轴交于点M ,直线AQ 与曲线C 交于点Q ,与x 轴交于点N ,若OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2,求证:直线PQ 经过定点. 2.(2022·湖南衡阳三模)已知抛物线C :y=ax 2(a>0)的焦点是F ,若过焦点F 的直线与抛物线C 相交于A ,B 两点,所得弦长|AB|的最小值为2. (1)求实数a 的值. (2)设P ,Q 是抛物线C 上不同于坐标原点O 的两个不同的动点,且以线段PQ 为直径的圆经过点O ,作OM ⊥PQ ,垂足为M ,试探究是否存在定点N ,使得|MN|为定值.若存在,求出该定点N 的坐标及定值|MN|;若不存在,请说明理由.
3.(2022·广东佛山模拟)已知椭圆C : x 2a 2+y 2 b 2 =1(a>b>0)的右焦点为F (1,0),上、下顶点分别为B 1,B 2,以点F 为圆心,FB 1为半径作圆,与x 轴交于点T (3,0). (1)求椭圆C 的标准方程. (2)已知点P (2,0),点A ,B 为椭圆C 上异于点P 且关于原点对称的两点,直线PA ,PB 与y 轴分别交于点M ,N ,记以MN 为直径的圆为圆K ,试判断是否存在直线l 截圆K 的弦长为定值.若存在,请求出该直线的方程;若不存在,请说明理由.
专题12 探索性问题(第03期)-2021年中考数学试题分项版解析汇编(原卷版)
一、选择题 1．（2021四川省绵阳市）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a 1，第2幅图形中“●”的个数为a 2，第3幅图形中“●”的个数为a 3，…，以此类推，则 19 3211 111a a a a ++++ 的值为（ ） A ． 2120 B ．84 61 C ．840589 D ．760421 2．（2021四川省达州市）如图，将矩形ABCD 绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2021次．若AB =4，AD =3，则顶点A 在整个旋转过程中所经过的路径总长为（ ） A ．2021π B ．2034π C ．3024π D ．3026π 3．（2021江苏省连云港市）如图所示，一动点从半径为2的⊙O 上的A 0点出发，沿着射线A 0O 方向运动到⊙O 上的点A 1处，再向左沿着与射线A 1O 夹角为60°的方向运动到⊙O 上的点A 2处；接着又从A 2点出发，沿着射线A 2O 方向运动到⊙O 上的点A 3处，再向左沿着与射线A 3O 夹角为60°的方向运动到⊙O 上的点A 4处；…按此规律运动到点A 2021处，则点A 2021与点A 0间的距离是（ ）
A ．4 B ．23 C ．2 D ．0 4．（2021重庆市B 卷）下列图象都是由相同大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗 ，第②个图形中一共有11颗，第③个图形中一共有21颗 ，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中 的 颗数为（ ） A ．116 B ．144 C ．145 D ．150 二、填空题 5．（2021山东省济宁市）请写出一个过点（1，1），且与x 轴无交点的函数解析式： ． 6．（2021山东省济宁市）如图，正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2，如此继续下去，则正六边形A 4B 4C 4D 4E 4F 4的面积是 ． 三、解答题 7．（2021四川省南充市）如图，在正方形ABCD 中，点E 、G 分别是边AD 、BC 的中点，AF =1 4 AB ． （1）求证：EF ⊥AG ； （2）若点F 、G 分别在射线AB 、BC 上同时向右、向上运动，点G 运动速度是点F 运动速度的2倍，EF ⊥AG 是否成立（只写结果，不需说明理由）？ （3）正方形ABCD 的边长为4，P 是正方形ABCD 内一点，当PAB OAB S S ∆∆=，求△PAB 周长的最小值．
2021届高三数学(理)复习课时跟踪检测-第3课时-定点-定值-探索性问题-含解析
第九章解析几何 第九节直线与圆锥曲线的综合问题第三课时定点、定值、探索性问题 A级·基础过关 |固根基| 1.(2020届大同调研)椭圆x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离 心率e＝ 6 3. (1)设E是直线y＝x＋2与椭圆的一个交点，求|EF1|＋|EF2|取最小值时椭圆的方程； (2)已知N(0，1)，是否存在斜率为k的直线l与(1)中的椭圆交于不同的两点A，B，使得点N在线段AB的垂直平分线上？若存在，求出直线l在y轴上截距的取值范围；若不存在，说明理由． 解：(1)∵e＝c2 a2＝ a2－b2 a2＝1－ b2 a2＝ 6 3，∴ b2 a2＝ 1 3，∴椭圆的方程可化 为 x2 3b2＋ y2 b2＝1，将 x2 3b2＋ y2 b2＝1与y＝x＋2联立，消去y化简得4x 2＋12x＋12－3b2 ＝0，由Δ＝144－16×(12－3b2)≥0，解得b2≥1，即b≥1，∴|EF1|＋|EF2|＝2a＝ 23b≥23，当且仅当b＝1时，|EF1|＋|EF2|取得最小值23，∴椭圆的方程为x2 3＋ y2＝1. (2)存在直线l.设直线l在y轴上的截距为t，则直线l的方程为y＝kx＋t，代入x2 3＋y 2＝1，消去y整理得，(1＋3k2)x2＋6ktx＋3t2－3＝0，∵直线l与椭圆交于不同的两点，∴Δ1＝(6kt)2－12(t2－1)(1＋3k2)＞0，即t2＜1＋3k2. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为Q，则x1＋x2＝－6kt 1＋3k2，x1x2＝ 3t2－3 1＋3k2 ， y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝ 2t 1＋3k2 ，∴AB的中点Q的坐标为 －3kt 1＋3k2 ， t 1＋3k2 ，
2020年高考数学考点突破—函数与导数、定积分2：函数的奇偶性与周期性
2020年高考数学考点突破函数与导数、定积分（2） 第2讲函数的奇偶性与周期性 【考点梳理】 1．函数的奇偶性 (1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 【考点突破】 考点一、函数奇偶性的判断 【例1】判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3－2x； (2)f(x)＝(x＋1)1－x 1＋x ；
(3)f (x )＝⎩⎨⎧ x 2＋x ，x ＞0， x 2－x ，x ＜0. [解析] (1)定义域为R ，关于原点对称， 又f (－x )＝(－x )3－2(－x )＝－x 3＋2x ＝－(x 3－2x )＝－f (x )． ∴该函数为奇函数. (2)由1－x 1＋x ≥0可得函数的定义域为(－1,1]． ∵函数定义域不关于原点对称， ∴函数为非奇非偶函数. (3)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ， 则当x ＜0时，－x ＞0， 故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )； 当x ＜0时，f (x )＝x 2－x ，则当x ＞0时，－x ＜0， 故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数. 【类题通法】 1.利用定义判断函数奇偶性的步骤： 2．判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (－x )与f (x )的关系，只有对各段上的x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性；也可以利用函数的图象进行判断． 【对点训练】
考点专练52：定点、定值、探索性问题—2023届高考数学一轮复习(附答案)(人教A版(2019))
考点专练52：定点、定值、探索性问题 一、选择题 1.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率32，则双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的离心率为( ) A .2 B.3 C. 2 D.52 2.已知AB 是过抛物线y 2＝4x 焦点F 的弦，O 是原点，则OA →·OB →＝( ) A .－2 B.－4 C .3 D.－3 3.直线l 与抛物线C ：y 2＝2x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA ，OB 的斜率分别 为k 1，k 2，且满足k 1k 2＝23 ，则直线l 过定点( ) A .(－3,0) B.(0，－3) C .(3,0) D.(0,3) 4.已知直线l 过抛物线C ：x 2＝6y 的焦点F ，交C 于A ，B 两点，交C 的准线于点P ， 若AF →＝FP →，则|AB|＝( ) A .8 B.9 C .11 D.16 5.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a>0，b>0)的右顶点为P ，任意一条平行于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，总有PA ⊥PB ，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.62 D.233 6.已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2＝ 2π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则3e 21＋1e 22 ＝( ) A .4 B.2 3 C.2 D.3 7.已知直线x －y ＋1＝0与双曲线x 2a ＋y 2 b ＝1(ab ＜0)相交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ(O 为坐标原点)，则1a ＋1b ＝( ) A .1 B. 2 C.2 D.5 8.已知F 为椭圆C ：x 225＋y 2 16 ＝1的左焦点，O 为坐标原点，点P 在椭圆C 上且位于x 轴上方，点A(－3,4)．若直线OA 平分线段PF ，则∠PAF 的大小为( ) A .60° B.90° C .120° D.无法确定
2021高考数学考点突破——圆锥曲线椭圆学案
2021高考数学考点突破——圆锥曲线椭圆学案 【考点梳理】 1．椭圆的定义 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． (2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2； ③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a>b>0) y2 a2 ＋ x2 b2 ＝1(a>b>0) 图形 性质 范畴 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率e＝ c a ，且e∈(0,1) a，b，c 的关系 c2＝a2－b2 考点一、椭圆的定义及其应用 【例1】(1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( ) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
(2)椭圆x2 25 ＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为( ) A．5 B．6 C．7 D．8 [答案] (1) A (2)D [解析] (1)由条件知|PM|＝|PF|. ∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|. ∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆． (2)由椭圆定义知点P到另一个焦点的距离是10－2＝8. 【类题通法】 1.椭圆定义的应用要紧有：判定平面内动点的轨迹是否为椭圆、求椭圆的标准方程和离心率等. 2.椭圆的定义式必须满足2a＞|F1F2|. 【对点训练】 1．如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是( ) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 [答案] A [解析] 连接QA. 由已知得|QA|＝|QP|. 因此|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r. 又因为点A在圆内，因此|OA|＜|OP|，依照椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆. 2．已知椭圆x2 25＋ y2 16 ＝1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3，则P到另一个焦点F2 的距离为________． [答案]7 [解析] 由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝10，因为|PF1|＝3，因此|PF2|＝10－|PF1|＝10
专题20椭圆(学生版)-2021年高考数学二轮复习专题核心考点突破
专题20椭圆 【考点命题趋势分析】 1专题综述 椭圆是圆锥曲线的重要组成部分，是解析几何的核心内容之一，椭圆在解析几何中起着承前启后的作用，同时也是历届高考命题的热点和焦点.笔者统揽近三年高考数学全国卷和各省市卷，高考对椭圆部分的考查大都聚焦在以下三个方面:其一，考查椭圆的定义、标准方程和简单的几何性质；其二，考查直线与椭圆的位置关系；其三，考查椭圆相关的综合问题(定点、定值、最值及范围问题).解析几何是以坐标为桥梁，用代数知识来研究几何问题是其本质特征.将椭圆与平面几何、向量、函数、数列、不等式、导数等知识融合命制考题，既广泛而深入地考查了数形结合、转化与化归、分类整合、函数与方程等数学思想以及灵活运用椭圆知识观察、分析和解决问题的能力，同时又对考生的几何直观、逻辑推理和数学运算等素养提出了较高的要求.下面主要以高考试题为例，对椭圆相关的考点举例阐述，以期对今年高考复习有所帮助. 典型例题与解题方法 2考点剖析 2.1椭圆方程及其几何性质 求动点的轨迹或是轨迹方程是圆锥曲线的常见问题，椭圆也不例外，一般设置在第一问.这要求学生能熟练地使用常用的方法:直接法、定义法、相关点法、交轨法和代换法，另外，几何性质的灵活运用也往往起到事半功倍之效.一般求解步骤是:建系一设点一坐标代换一化简一检验.注意求轨迹方程和求轨迹应是两种不同的结果表述，前者是方程，后者是图形. 例1设圆x2+y2+2x−15=0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程. 例2已知椭圆C:x 2 a2+y2 b2 =1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线 bx-ay+2ab=0相切，则C的离心率为( ) A．√6 3B．√3 3 C．√2 3 D．1 3 2.2直线与椭圆的位置关系 在函数与方程思想的统领下，直线与椭圆的位置关系重点考查以下内容:其一，直线与椭圆的位置关系；其二，直线与椭圆相交，有关中点弦所在直线的方程；其三，直线与椭圆相交，被直线截得的弦长等问题.直线与椭圆的位置关系常用的判断方法有:代数法和坐标变换法.直线与椭圆相交，有关中点弦所在直线方程常用求法有:韦达定理法、点差法、直线参数方程法和对称设点法；直线与椭圆相交，求直线被截得的弦长常用求解方法有:韦达定理法、过焦点弦长公式(利用椭圆第二定义)以及利用过椭圆上一点的切线方程等方法.
【高考数学考点突破】分类讨论思想(2020-2021)
难点38 分类讨论思想 分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.” 1.（★★★★★）若函数5 1 4121)1(31)(23+-+-=x ax x a x f 在其定义域内有极值点，则a 的取值为 . 2.（★★★★★）设函数f (x )=x 2+｜x –a ｜+1，x ∈R . (1)判断函数f (x )的奇偶性； (2)求函数f (x )的最小值 . ［例1］已知{a n }是首项为2，公比为2 1 的等比数列，S n 为它的前n 项和. （1）用S n 表示S n +1; （2）是否存在自然数c 和k ，使得 21>--+c S c S k k 成立. 命题意图：本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力，属★★★★★级题目. 知识依托：解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质. 错解分析：第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出 k k S c S <<-22 3 . 技巧与方法：本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型.在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想：即对双参数k ,c 轮流分类讨论，从而获得答案. 解：（1）由S n =4(1– n 21 ），得 221 )2 11(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N *) （2）要使21>--+c S c S k k ，只要0) 223 (<---k k S c S c 因为4)2 1 1(4<- =k k S 所以02 1 2)22 3(>-=--k k k S S S ，(k ∈N *) 故只要 2 3 S k –2＜c ＜S k ，（k ∈N *）
专题19直线与圆的方程(学生版)-2021年高考数学二轮复习专题核心考点突破
专题19直线与圆的方程 【考点命题趋势分析】 直线与圆的方程是解析几何的基础知识，它不仅涉及几何知识，也涉及广泛的代数知识，综合性较强、能力要求较高. 纵观近几年高考，我们发现直线与圆的方程这部分内容在全国卷中的考查有以下几个特点:一是每年必考，但未必在全国卷I、全国卷Ⅱ、全国卷Ⅲ中都考.如2017年全国卷I、卷Ⅱ的文科、理科都未涉及“直线与圆的方程”的内容，但全国卷Ⅲ考查了这部分内容，而且是解答题，属于压轴题之一，足见它的分量.二是在每一份试卷中至多有一道有关直线与圆的方程的题目(2016年全国卷理科是个例外，有一小一大两道题).三是选择题、填空题和解答题三种题型都有可能出现，客观题突出了“小而巧”的特点，主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离、弦长等问题；主观题考查较为全面，除考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离、弦长等问题外，还考查运算求解、等价转化、数形结合、分类讨论等重要的思想方法.四是就文科、理科而言，直线与圆的方程这节内容在文科试卷中出现的频率大于理科，但难度略小于理科.综合以上分析，我们在复习备考中要给予高度重视. 高考题大多是比较经典的，因此，在复习备考过程中，它无疑是我们选题的一个风向标，认真研究高考题、品味高考题，可以让我们窥视其中的一些奥妙，使我们的复习备考更具针对性和有效性. 典型例题与解题方法 1方程问题 求直线方程与圆的方程是解析几何中的基础知识与基本技能.求直线的方程，一般采用待定系数法，将直线方程设成点斜式或斜截式.而求圆的方程，一般来说有两种方法: (1)几何法.通过研究圆的几何性质求出圆的基本量:圆心坐标和半径. (2)代数法.先设出圆的方程，然后用待定系数法求解. 例1已知抛物线C:y2=2x，过点(2，0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆. (I)证明:坐标原点O在圆M上； (Ⅱ)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程. 2弦长问题 但凡涉及直线与圆的位置关系时，都会遇到弦长问题，但高考中单纯的以求弦长为目标的问题较少.小题中大多是已知弦长求参数的值(范围)这一类的逆向思维问题，大题中往往是将弦长作为条件的综合问题，因此，弦长问题举足轻重. 解决直线被圆截得的弦长问题的核心:在由弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径所构成的直角三角形中运用勾股定理进行计算.
专题31以立体几何中探索性问题为背景的解答题-2021年高考数学备考优生百日闯关系列(解析版)
【名师综述】利用空间向量解决探索性问题 立体几何中的探索性问题立意新颖，形式多样，近年来在高考中频频出现，而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色，它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具，应用空间向量这一工具，为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法．下面借“题”发挥，透视有关立体几何中的探索性问题的常见类型及其求解策略，希望读者面对立体几何中的探索性问题时能做到有的放矢，化解自如． 1.以“平行、垂直、距离和角”为背景的存在判断型问题是近年来高考数学中创新型命题的一个显著特点，它以较高的新颖性、开放性、探索性和创造性深受命题者的青睐．此类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形等)是否存在或某一结论是否成立．“是否存在”的问题的命题形式有两种情况：如果存在，找出一个来；如果不存在，需要说明理由．这类问题常用“肯定顺推”的方法． 求解此类问题的难点在于：涉及的点具有运动性和不确定性．所以用传统的方法解决起来难度较大，若用空间向量方法来处理，通过待定系数法求解其存在性问题，则思路简单、解法固定、操作方便．解决与平行、垂直有关的存在性问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若导出与条件或实际情况相矛盾的结果，则说明假设不成立，即不存在．如本题把直二面角转化为这两个平面的法向量垂直，利用两法向量数量积为零，得参数p 的方程．即把与两平面垂直有关的存在性问题转化为方程有无解的问题． 2.与“两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角”有关的存在性问题，常利用空间向量法解决，可以避开抽象、复杂地寻找角的过程，只要能够准确理解和熟练应用夹角公式，就可以把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．事实说明，空间向量法是证明立体几何中存在性问题的强有力的方法． 【精选名校模拟】 1.【成都石室中学2014届高三上期“一诊”模拟考试（一）（理）】(本小题满分12分)已知直三棱柱 111C B A ABC -的三视图如图所示，且D 是BC 的中点． （Ⅰ）求证：1A B ∥平面1ADC ； （Ⅱ）求二面角1C AD C --的余弦值； （Ⅲ）试问线段11A B 上是否存在点E ，使AE 与1DC 成60︒ 角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．
高考数学高三二轮06 立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题 测试卷【解析版】
难点6 立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题测试卷（一）选择题（12*5=60分） 1．（2021•湖北模拟）在三棱锥S﹣ABC中，SA＝SB＝SC，AB⊥BC，O为AC中点．OS＝OC＝1，则三棱锥S﹣ABC体积最大值为（） A．B．C．D． 【解答】解：如图， ∵O为AC中点，OC＝1，∴AC＝2， 又AB⊥BC，∴AC2＝4＝AB2+BC2≥2AB•BC， 即AB•BC≤2，当且仅当AB＝BC＝时上式取等号， ∵SA＝SB＝SC，且OA＝OB＝OC，∴△SAO≌△SOB≌△SOC， 可得SO⊥OA，SO⊥OB，又OA∩OB＝O，OA，OB⊂平面ABC， ∴SO⊥平面ABC， 又SO＝1，∴三棱锥S﹣ABC体积最大值为V＝＝． 故选：C． 2．（2020秋•金华期末）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为4，底面边长为，D是B1C1的中点，P 是线段A1D上的动点，过BC作截面α⊥AP于E，则三棱锥P﹣BCE体积的最小值为（）
A．3B．C．D．12 【解答】解：设BC中点为O，以O为坐标原点，分别以OA、OB、OD所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 得A（6，0，0），设E（x，0，z），则，， ∵α⊥AP，∴，得x（x﹣6）+0+z2＝0，则z＝＝， 当x＝3时，z max＝3， 又V P﹣BCE＝V P﹣ABC﹣V E﹣ABC＝， ∴三棱锥P﹣BCE体积的最小值为V＝． 故选：C． 3．（2021•云南一模）三棱锥P﹣ABC的顶点都在球O的球面上，AC⊥BC，AC＝2，BC＝4．若三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为，则球O的体积为（） A．B．33πC．D．36π