数的整除性问题
数的整除性问题，内容丰富，应用广泛，它既是小学数学的重要学习内容，又因思维技巧性强而在数学竞赛中频频出现。在这一讲里，我们主要介绍整除的基本概念和性质，为后面的学习做好准备。
1．整除的概念
在小学书中所学的自然数和零，都是整数。同学们都知道，如果一个整数a除以一个自然数b，商是整数而且没有余数（或者说余数为零），就叫做a能被b整除，或者b整除a，记作a│b。这时a叫做b的倍数，b叫做a的约数。
例如，3│15表示15能被3整除，或者3整除15；也可以说15是3的倍数，3是15的约数。
由整数概念可知，整除必须同时满足三个条件：（1）被除数是整数，除数是自然数；（2）商是整数；（3）没有余数。这三个条件只要有一个不满足，就不能叫整除。
例如，16÷5=3.2，商不是整数，所以不能说5整除16。又如，10÷2.5=4，除数不是自然数，所以不能说10能被2.5整除。
2．整除的性质
（1）如果两个整数都被同一个自然数整除，那么它们的和、差（大减小）也都能被这个自然数整除。换句话说，同一个自然数的两个倍数之和、差（大减小）仍是这个自然数的倍数。
例如，18与42都能被6整除，那么18与42的和60、差24也都能被6整除；即从6│18及6│42可知6│（18+42）、6│（42－18）。
（2）如果甲数整除乙数，乙数整除丙数，那么甲数整除丙数。即如果丙数是乙数的倍数，乙又是甲数的倍数，那么丙数是甲数的倍数。
例如，7│28，28│84，那么就有7│84。
（3）如果甲数整除乙数，那么甲数就整除乙数与任一整数的乘积。也就是说如果乙数是甲数的倍数，那么乙数的任一倍数也是甲数的倍数。
例如，13│39，39×4=156，因此13│156。
（4）如果甲数能被丙数整除，而乙数不能被丙数整除，那么甲数与乙数的和、差都不能被丙数整除。即如果甲数是丙数的倍数，乙数不是丙数的倍数，那么甲数与乙数的和、差（大减小）都不是丙数的倍数。
例如，6整除48，6不整除35，所以6不整除83（48+35=83），也不整除13（48－35=13）。
3．数的整除特征
（1）个位数字是0、2、4、6、8的数都能被2整除；反过来，个位数字是1、3、5、7、9的数都不能被2整除。
（2）个位数字是0或5的数都能被5整除；反过来，个位数字既不是0也不是5的数都不能被5整除；反过，个位数字既不是0也不是5的数都不能被5整除。
（3）末两位数能被49或25）整除的数，必能被4（或25）整除；反过来，末两位数不能被4（或25）整除的数，必不能被4（或25）整除。
（4）末三位数能被8（或125）整除的数，必须被8（或125）整除；反过来，末三位数不能被8（或125）整除的数，必不能被8（或125）整除。
上述各条可以综合推广成一条：
末n位数能被2 （或5 ）整除的数，本身必能被2 （或5 ）整除；反过来，末n位数不能被2 （或5 ）整除的数，本身必不能被2 （或5 ）整除。
例如，364789056能不能被16整除？因为16=2 ，所以只要看364789056的末四位9056能不能被16整除。从16整除9056就可知16整除364789056。
（5）各位数字之和能被3（或9）整除的数，本身也能被3（或9）整除；反过来，各位数字之和不能被3（或9）整除的数，本身也不能被3（或9）整除。
我们通过具体例子来说明其中的道理：
83256
=8×10000+3×1000+2×100+5×10+6
=8×（9999+1）+3×（999+1）+2×（99+1）+5×（9+1）+6
=（8×9999+3×999+2×99+5×9）+（8+3+2+5+6），
因为第一个括号内的结果是3的倍数，所以如果第二个括号内的结果是3的倍数，那么根据整除的性质（1），原数就是3的倍数；如果第二个括号内的结果不是3的倍数，那么根据整除的性质（4），原数就不是3的倍数。现在第二个括号内的结果是8+3+2+5+6=24，24是3的倍数，所以原数是3的倍数。完全类似，因为第一个括号内的结果是9的倍数，第二个括号内的结果不是9的倍数。所以根据整除的性质（4），原数不是9的倍数。
（6）能被（7（11或13）整除的数的特征：这个数的末三位数字所表示数与末三位以前的数字所表示的数之差（大减小）能被7（11或13）整除。
例如判断1265817能否分别被7、11、13整除？把1265817分成两段：1265与817，因为1265－817=448，而7整除448，所以7整除1265817；11不整除448，所以11不整除1265817；同样，13不整除448，所以13不整除1265817。
这是什么道理呢？
因为7×11×13=1001，所以凡是001的倍数都能被7、11、13整除。
1265817=1265×1000+817
=1265×1001－1265＋817
=1265×1001－（1265－817），
因为1001能被7整除，所以1265×1001也能被7整除。如果（1265－817）能被7整除，那么1265817也能被7整除；反过来，如果1265817能被7整除，那么（1265－817）也能被7整除。这就说明，1265817能否被7整除，完全取决于（1265－817）能否被7整除。而817与1265正是1265817的末三位数字与末三位以前的数字所表示的数。
对于11和13来说，情形完全一样。
如果把1265817换成其它数，上述推导过程可以照样进行，所以我们能用上述方法来判断一个数能否被7（11或13）整除。
由此整除特征可以看到，把一个三位数连写两遍所得的六位数必能同时被7、11、13整除。例如382382就能同时被7、11、13整除。实际上，这样的数是1001的倍数，而1001=7×11×13。
（7）能被11整除的数的特征二：这个数的奇位数字之和与偶位数字之和的差（大减小）能被11整除。
我们利用92587来说明其中的道理。
92587=9×10000+2×1000+5×100+8×10+7
=9×（909×11+1）+2×（91×11－1）+5×（9×11+1）+8×（11－1）+7
=（9×909×11+2×91×11+5×9×11+8×11）+（9－2+5－8+7）
因为第一括号内的结果能被11整除，所以92587能否被11整除，完全取决于第二个括号内的结果能否被11整除。第二个括号内恰好就是奇位数字之和与偶位数字之和的差。
现在9－2+5－8+7=11，所以原数92587能被11整除。
（8）能被11整除的数的特征三（割尾减尾法）：这个数除去个位数字之外其余数位上的数字所表示的数与个位数之差被11整除。
例如：7249=724×10+9=724×11－724+9=724×11－（724－9）。
因为724×11能被11整除，所以7249能否被11整除，取决于（724－9）能否被11整除，而（724－9）正是这个数除去个位数字之外其余数位上的数字所表示的数与个位数之差。从此例就可看出这种方法为什么是正确的。
（9）如果一个数能被互质的两个自然数整除，那么它一定能被这两个互质数的积整除。
把这一性质与前边所学数的整除特征相联系，我们就可以得到一大批数的整除特征。
例如，因为2和3互质，并且2×3=6，所以一个数能被6整除的特征是这个数既能被2整除又能被3整除。又如，因为3和5互质，并且3×5=15，所以一个数能被15整除的特征是这个数既能被3整除又能被5整除。
〖请你读一读〗
例1.在□处填入适当的数字，使四位数23□□能被3整除。问□□处可有多少种不同的填法？
【分析与解答】根据23□□能被3整除的条件知：2+3+a+b=5+a+b能被3整除，则a+b=3n+1，又每个□中数字a，b最大只能填9，所以3n+1<18。
0，1
当n=0时，3n+1=1 即有2种填法。
1，0
0，1，2，3，4
当n=1时，3n+1=4 即有5种填法。
4，3，2，1，0
当n=2时，3n+1=7，有8种填法。
当n=3时，3n+1=10，有9种填法。
当n=4时，3n+1=13，有6种填法。
当n=5时，3n+1=16，有3种填法。
当n=6时，3n+1=19>18，不合题意。
2+5+8+9+6+3=33（种）
因此□□中有33种不同的填法。
答：共有33种不同的填法。
试一试：有一个四位数3aa1，它能被9整除，则a代表多少。
例2.从数字1、2、3、4、5中任意挑选四个数字组成能被5整除而各个数位上数字不同的四位数，共有多少个？
【分析与解答】因为组成的数能被5整除，所以挑选时5必须包括在内，其他四个数中任取三个，这样共有四种不同的挑选方法：1、2、3和5，1、2、4和5，1、3、4和5，以及2、3、4、和5。每种挑选方法5肯定在个位上，其余3个数子位置可以交换，能组成六个能被5整除的四位数，例如：1、2、3、5四个数字可组成1235、1325、2135、2315、3125和3215。因此四种选法一共可组成6×4=24个能被5整除的四位数。
答：共有24个。
试一试：从数字0、1、2、3、4、5中任意挑选5个数字组成能被5整除而各个数位上数字不同的五位数，共有多少个？
（提示：本题解题思路与例3相似，但注意数字0不能摆在自然数的最高位上。）
例3.173□是个四位数字。数学老师说：“我在这个□中先后填入3个四位数，依次可被9、11、6整除”。问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？
【分析与解答】解这道题的关键是：怎样的自然数，才能被9整除？被11整除？被6整除？这里，要注意：被6整除，就是被2和3整除——一定是被3整除的偶数。
因为能被9整除的数的各位数字之和是9的倍数，并且四位数173□的数字和是1+7+3+□=11+□而□内的数字最大不超过9。所以□内只能填7。
因为能被11整除的四位数的个位与百位的数字和减去十位与千位的数字和所得到的差是11的倍数，即
（7+□）－（1+3）=3+□应是11的倍数。
所以□内只能填8。
因为能被6整除的自然数是偶数，并且数字和是3的倍数，而1+7+3+□=11+□，所以□内只能填4。
故数学老师先后填入的3个数字的和是7+8+4=19。
答：数学老师先后填入的3个数字的和是19。
例4.用0~9这十个数字组成能被11整除的最大十位数是多少，最小十位数是多少？
【分析与解答】因为0~9这十个数字的和是45，根据能被11整除的数的特征，这个十位数的奇数位数字和与偶数位数字和之差是11的倍数，所以这个差只能是0、11、22、33和44五种情况。
由于各位数字之和是45，根据数的奇偶性可知，十位数的奇数位数字之和与偶数位数字之只能是一奇一偶。所以他们的差为奇数，不可能是0、22和44。
若差是33，而和是45，根据和差问题数量关系可知奇数位数字之和与偶数位数字之和只能分别为39和6，则于所给十个数字中最小五个数字和都超过6，所以差不可能是33。这样差必定是11。
根据差为11，和为45，可得奇数位数字之和与偶数位数字之和分别是（45+11）÷2=28和（45－11）÷2=17。而若十位数且最大，则其高位数字应尽可能大，经凑数后者，最大十位数是9876524130。
想一想：最小十位数是多少？
试一试：用1、2、3、4四个数字，组成能被11整除的四位数共有多少个？
例5.将1、2、3、……30从左往右依次排成一个51位数，这个数被11除的余数是多少？
【分析与解答】此题是求这个51位数被11除的余数是几，显然不可用这个数去除以11找它的余数的方法。同样可根据“一个数被11除的余数与这个数其奇数位数字和减去偶数位数字和的差被11除的余数是相等的”这一性质解答。
依题意排成的51位数的奇数位上的数字依次是1、3、5、7、9、0、1、2、3……8、9、0、1、2、3、……8、9、0。
奇数位数字和是：1+3+5+7+9+2×（1+2+3+……+8+9）=115
这个数的偶数位上的数字和是：
2+4+6+8+1×10+2×10+3=53
而115－53=62，62÷11=5 (7)
所以这个数被11除的余数是7。
答：这个数被11除的余数是7。
注意：运用这一性质时，必须是奇数位数字和减去偶数位数字和，不可反之。由于这个题目恰巧是奇数位上的数字和大，偶数位上的数字和小，所以计算起来比较方便。如果有一个这样的题，奇数位上的数字和小，偶数位上的数字和大，即不够减时，又应该怎样计算呢？
如：919293949596979899这个18位数被11除，问余数是多少？
此题奇位上的和是45，偶位上的和是81，即45减81则不够减，那么应该怎样计算呢？可先将奇数位数字和加上11的倍数，再减去偶数位数字和。或者先将偶数位数字和减去11的倍数，然后再用奇数位数字和来减。所得到的差被11
除的余数就是原数被11除的余数。
试一试：求出上面18位数被11除的余数是多少？
例6.把整除由1开始按顺序写下去，一直写到第87位为止，即。那么这个数用9除的余数是多少？写出你的想法。
【分析与解答】一个整数被9除的余数与这个数各位数字和被9除的余数相同。根据这一性质，将该数各位数字之和被9除，其余数即为所求。
解一：因为（87－9）÷2=39。则87位数里所写的两位数有39个，即从10－48。所以这个87位数是12345……4748。
该数的前9位数的数字之和是1+2+3+4+5……+9=45
第10~29位数各数字之和是
10+11+12+……+19=1×10+45=55
第30~49位数各数字之和是
20+21+22+……+29=2×10+45=65
第50~69位数各数字之和是
30+31+32+……+39=3×10+45=75
第70~87位数各数字之和是
40+41=42+……+48=4×9+36=72
这个数的各位数字之和是45+55+65+75+72=312
312÷9=34 (6)
因此这个数用9除的余数是6。
结论：一个整数被9除的余数，只需将这个数的各位数字之和求出，若和大于9则再次求各位数字之和，直到和不大于9为止，而最后的和数即为被9除的余数。
解二：因为1+2+3+……+8=36，1+2+3+……+9=45，36和45均能被9整除，则这个数的前8位和前9位数都能被9整除。
又因为1011121314151617的各位数字和是1+2+3+……+8=36，能被9整除：101112131415161718的各位数字和是1+2+3+……+9=45，能被9整除。
由此不难发现，从1开始按顺序写数，当写到的自然数其数字和为8或9时，所组成的数能被9整除，即写到的自然数为8、9、17、18、26、27、35、36、44、45、53……。
根据题意1234……这个87位数是1234……4748，当写到45时所组成的81位数能被9整除，所以我们只需考虑464748这个六位数被9除的余数。
4×3+7×3=33，3+3=6
因此，这个数被9除的余数是6。
答：这个数被9除的余数是6。
例7．一个六位数是23□56□是88的倍数，这个数除以88所得的商得多少？
【分析与解答】设六位数为，因为六位数是88的倍数，88=8×11，且8与11互质，所以六位数既是8的倍数又是11的倍数。
由是8的倍数的条件，可知能被8整除，则B是0或是8两种可能。
由是11的倍数的条件，可知奇位数字之和与偶位数字之和的差（B+5+3）－
（6+A+2）=（B－A）能被11整除，而且只有B－A=0（11、22、……不可能）一种可能。由于B是0或是8，那么A也是0或是8。
根据上述，这个六位数就是230560或是238568，它们除以88的商是2620或是2711。
答：这个数除以88的商是2620或是2711。
试一试：42□28□是99的倍数，这个数除以99的商是多少？
例8．将自然数1、2、3、4、5……依次写下去组成一个数：12345678910111213……。如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被72整除，那么这个自然数是多少？
【分析与解答】因为72=8×9，8与9互质，所以能被72整除的数一定能被8
和9整除。
若是被9整除，则各位数字之和能被9整除，而1+2+3+……+8=36，
1+2+3+……+9=45，36和45均能被9整除，所以从自然数1依次写到8或9所组成的八位数或九位数都能被9整除。又1011121314151617的各位数字和也是1+2+3……+8=36，能被9整除；101112131415161718的各位数字和也是
1+2+3+……+9=45，能被9整除。由此不难发现，依题意写到的自然数其数字之和是8或9的时，所组成的数能被9整除，即写到的自然数为：8、9、17、18、26、27、35、36、44、45……。
若要被8整除，则末三位数必须能被8整除，而被8整除的数一定能被2整除，即末位数必为偶数。因此写到的自然数只能是8、18、26、36、44、54……。
经过试算，写到这些自然数时所组成的数的末三位678、718、526、536、344、……，得到第一次能被8整除的末三位数是536，即写到的自然数是36。
所以，写到36时所组成的数恰好第一次能被72整除。
答：这个自然数是36。
例9．小明的两个衣服口袋中各有13张卡片，每张卡片上分别写着1、2、3……13。如果从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积，可以得到许多不相等的乘积，那么，其中能被6整除的乘积共有多少个？
【分析与解答】设两个口袋分别为a和b，则a=1,2,3,……13；b=1,2,3……13。因为6=2×3，所以，能被6整除的乘积的因数中至少含有2和3。
当a=6时，b=1，2，3……13时均成立，有13个。
当a=7，8，9，10，11，12，13时b=12时成立，有7个。
当a=10，b=9时成立，有1个。
所以，不相等的乘积中能被6整除的共有13+7+1=21（个）
答：能被6整除的乘积共有21个。
试一试：用1、2、3、4、5、6这六个数字组成一个六位数，要求前两位数是2的倍数，前三位数是3的倍数，前四位数是4的倍数，前五位数是5的倍数，前六位数是6的倍数，满足条件的六位数是多少？
例10．七位数175□62□的末位数字是多少的时候，不管千位上是0到9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数。
【分析与解答】设这个七位数是。由能被11整除的数的特征可知12+B与9+A 的差是0或11两种可能。
12+B之和有12，13，14，15，16，17，18，19，20，21十种可能，9+A之和有9，10，11，12，13，14，15，16，17，18十种可能。
根据上述，将12+B与9+A配对如下表：
由此可知，19与9+A的十种可能的差不是11的倍数。
又因为19=12+7，所以这个七位数的末位数字是7时，不管千位上填任何数字，这个七位数都不是11的倍数。
答：这个七位数的末位数字是7时，不管千位上填任何数字，这个七位数都不是11的倍数。
试一试：七位数的千位数字是多少的时候，不管个位上填任何数字，这个七位数都不是11的倍数。
〖请你试一试〗
1.有0,1,4,7,9五个数字,从中选出四个数字组成不同的四位数,如果把其中的能被3整除的四位数从小到大排列起来,第五个数的末位数字是多少?
2.任取一个四位数乘6543，用A表示其积的位数有两种可能，即七位数或八位数。
3.用1、9、8、8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？
4.123456789□□，这个十一位数能被36整除，那么这个数的个位上的数最小是多少？
5.如果六位数1992□□能被105整除，那么它最后两位数是多少？
6.下面这个四十一位数
55……5□99……9（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？
7.某个七位数1993□□□能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数依次是多少？
8.如果将数字0，1，2，3，……9以任意的次序填入下列一排数字中的空位上。
8（）396（）9（）（）5（）383（）23（）5（）28（）0（）7（）36构成一个28位数，请你写出3个可整除这个28位数的两位数。（）、（）、（）。
9.四位数能同时被2、3、5整除，问这个四位数是多少？
10.首位数字是9，各位上的数字互不相同，并且能同时被2、3整除的七位数中，最小的是几？
11.一个四位数，减去它各位数字之和，其差还是一个四位数，试求出A。
12．用数字6、7、8各两个，组成一个六位数，使它能被168整除。这个六位数是多少？
13.如果各位数字都是1的某个整数能被33333整除，那么这个整数中的1的个数最少有多少？
〖参考答案〗
1.解：因为组成的数能被3整除,所以选出的四位数字之和必是3的倍数,这样共有二种不同选法:0、1、4、7和1、4、7、9。第一种选法组成的四位数从小到大排列为：1047、1074、1407、1470、1704……。
综上所述，不难得出，满足条件的第五个数是1479。
所以这样的第五个数的末位数字是9。
2.解：因为6543+727×9的被数，所以任何一个四位数乘6543的积一定能被9整除。根据能被9整除的数的特征可知，其积的各各位数字之和A也能被9整除。由于积是一个七位数或八位数，因此A之值为9、18、27、36、45、54、63、72这八种可能。由此可知、A之值的各位数字之和B的值总是9，B之值的各位数字之和C的值也一定是9，所以C是9。
3.解：用1、9、8、8四个数组成的四位数排列如下：
1988，1898，1889；
9188，9818，9881；
8918，8981，8891，8819，8198，8189。
而除以11余8的四位数，其个位上数字与百位上数字的和减去十位上数字与千位上数字的和，所得的差必须等于8。
通过试算，不难得出满足此条件的四位数有1988，1889，8918和8819。
因此，用1、9、8、8四个数字排成除以11余8的四位数共有四个。
4.解：因为36=4×9，且4与9互质，由数的整除性可知这个十一位数既能被4整除又能被9整除。
又因为1+2+3+……+8+9=45，由能被9整除的数的特征可知□+□之和是0（0+0），9（1+8，8+1，2+7，7+2，3+6，6+3，4+5，5+4）和18（9+9）。
再由能被4整除的数的特征可知□□是00，04，08，12，……36，……，72，……96。这样，□□应有00，36，72三种可能情况，则这十一位数是12345678900，12345678936，12345678972三种情况。
因此，能被36整除的十一位数的个位数最小值是0。
5.解：因为105=3×5×7，且3、5和7两两互质，由数的整除性可知这个六位数能被3、5和7整除。
根据能被5整除的数的特征，可知这个数的个位数是0或5两种可能，再根据能被3整除的数的特征，可知这个六位数有如下七种可能情况。
199200，199230，199260，199290，199215，199245，199275。
上述七个数中，根据能被7整除的数的特征，可知290－199=91，91是7的13倍，所以，199290能被7整除。
这样，199290能被105整除，它的最后两位数是90。
6.解：根据被7整除的特征：一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差能被7整除，则这个数能被7整除，可知各位数字相同的六位数一定能被7整除（因为它们的差为0）。所以有六个5和六个9的数都能被7整除。
而题中5和9的个数各有20个，20÷6=3……2。因此，本题只需考虑55□99
能被7只能整除，□内应填的数字。
又因为，55除以7商7余6，99除以7的商的个位数为7时，才能满足被7整除的条件。这样，也需要考虑6□5被7整除□应填的数字。除一下，就知方格内数字是6。
所以，中间方格内数字是6。
7.解：依题意七位数1993□□□能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，即能被2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数整除。而[2、3、4、5、6、7、8、9]=[5、6、7、8、9]=[5，7和72]=5×7×72=2520
又1993000÷2520=790……2200，若1993□□□被2520整除则听将193000加2520－2200=320。即1993000+320=1993320能被2520整除。因此，满足条件的最后三位数依次是320。
8.解：因为0+1+2+3+……+9=45是9的倍数，且题中一排以知数字之和为90也是9的倍数，所以将数字0～9这十个数字以任意的次序填入后构成的28位数的
各位数字之和是9的倍数，即这个28位数一定能被9整除。同时，也能被3整除。
又依题知，构成的28位数的末两位数是36，为4的倍数，所以构成的28位数一定能被4整除，也能被2整除。
综上所述，构成的28位数能被2、3、4、9整除，根据整除的性质可知，构成的28位数能被3×4=12，2×9=18，4×9=36，这三个两位数整除。
想一想：构成的28位数能否被2×3×4=24整除，为什么？
9.分析：能同时被2、3、5整除，所以满足以下三个条件：个位数字B在0、2、4、6、8之中。第一个和第三个条件都是针对个位数字的，所以可以先根据它们确定个位数字B，再根据第二个条件确定百位数字A。
解：要使能同时被2和5整除，个位数字只能是B=0；又要使能被3整除，所以各位数字之和8+A+1+0=9+A应能被3整除。可以看出，当A取0、3、6、9时，各位数字之和9+A可以被3整除，所求的四位数是8010、8310、8610、8910。
10.分析：不考虑“最小”，就有许多数都合乎要求。特别地，如果一个七位数符合要求，那么只要不改变首位数字和个位数字，把中间数位上的数字任意交换一下，所得到的新数仍符合要求。因此可以从“最小”这个条件入手。
设所求的七位数是，要使求出的数最小，而且各位数字互不相同，可先取a=0、b=1、c=2、d=3、e=4，再根据“能同时被2、3整除”来确定个位数字f。
解：因为所求的数各位上的数字互不相同且要最小，所以可设它为。要使它能被2整除，f可取0、2、4、6、8；但因各位上的数字互不相同，而0、2、4前边数位上以用过，所以f只能取6或8。要使所求的数能被3整除，各位数字之和9+0+1+2+3+4+f =19+f应是3的倍数，所以f=8，所求的数是9012348。
11.分析：设这个四位数为，则
=1000×a+100×b+10c+d，
它的各位数字之和为a+b+c+d。于是有
－（a+b+c+d）
= =1000×a+100×b+10c+d－（a+b+c+d）
=999×a+99×b+9×c
=9×（111×a+11×b+c）。
这表明“一个自然数减去它各位数字之和后，所得之差一定是9的倍数”，又以知这个差等于，由此就求A来。
解：一个自然数减去它各位数字之和后，所得之差一定是9的倍数，所以是9
的倍数。根据能被9整除的数的特征，6+0+3+A=9+A应是9的倍数，可见A可取0或9。
12．分析：168=3×56，3与56互素。因为6+6+7+7+8+8=42，42是3的倍数，所以用6、7、8各两个组成的所有六位数都能被3整除。问题转化为使组成的六位数能被56整除。因为56=7×8，7与8互素，所以只要组成的数既能被7整除，又能被8整除，只要看末位三位数，如果仅用6、7、8各一组成能被8整除的三位数，那么把它连写两遍得到的六位数就合乎要求。而用6、7、8各一不难组成能被8整除的三位数。
解：768嫩被8整除，768768也就能被8整除，它又能被7整除，而7与8互素，所以它能被7与8的积56整除。
7+6+8+7+6+8=42，3整除42，所以768768能被3整除。由于3与56也互素，因此768768就能被3与56的积168整除。
13.分析：由于33333=3×11111，并且3与11111互素，所以只要这个整数既能被3整除，又能被11111整除，并且最小即可。
解：这类整数要能被3整除，各位数字之和也就是是1的个数应是3的倍数；这类整数要能被11111整除，所含1的个数应是5的倍数。由于3和5的最小公倍数是15，所以这类整数中既能被3整除又能被又能被11111整除的最小数，共包含15个1，从而知这类整数中能被33333整除的最小包含15个1。
第二讲 速算与巧算(乘除法)
第二讲速算与巧算（乘除法） 一、乘法凑整 （1）8×23×125 （2）25×（200＋4）（3）625×64×25 1、43×20×5 25×91×4 43×76＋76×57 125×32×49×25 【拓展提高】 1、（1）25×25×25×32 （2）125×24×25 2、119×17＋42×119＋119×41 3999×222＋333×334
二、乘法速算 （1）73×77 （2）63×43 （3）25×99 （4）36×11 【拓展提高】 1、（1）317×11 （2）5613×11 2、（1）93×97 （2）49×69 3、（1）924×999 （2）485×999 4、（1）63×37 （2）21×67 游戏一：奇妙的数37 游戏二：神奇的37，67
三、除法凑整 1、（1）6300÷25÷4 （2）88000÷125÷8 2、（1）（860＋215）÷43 （2）（5000－375）÷25 3、（1）9750÷25 （2）2000÷125 【拓展提高】 1、（1）56560÷8÷7 （2）6300÷25÷7÷4 2、（1）135÷（15÷8）（2）625÷（100÷16） 3、（1）54÷26＋115÷26＋65÷26 （2）1560÷（78÷4） （2）（1234567＋2345671＋3456712＋4567123＋56712345＋6712345＋7123456）÷4
四、乘除法的简便运算 （1）204×108÷18 （2）10000÷（625÷8）（3）44000÷25 1、（1）160×24÷6 （2）78×352÷176 2、（1）400÷（25÷4）（2）1920÷（64÷4） 3、（1）3600÷25 （2）64000÷125 【拓展提高】 1、（1）777×75÷15 （2）145×584÷292 2、（1）648÷（18×3）（2）945÷（7×9）
专题02 数的整除性
专题02 数的整除性 阅读与思考 设a，b是整数，b≠0，如果一个整数q使得等式a=bq成立，那么称a能被b整除，或称 b整除a，记作b|a，又称b为a的约数，而a称为b的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识： 1．数的整除性常见特征： ①若整数a的个位数是偶数，则2|a； ②若整数a的个位数是0或5，则5|a； ③若整数a的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|a(或9|a)； ④若整数a的末二位数是4(或25)的倍数，则4|a(或25|a)； ⑤若整数a的末三位数是8(或125)的倍数，则8|a(或125|a)； ⑥若整数a的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|a． 2．整除的基本性质 设a，b，c都是整数，有： ①若a|b，b|c，则a|c； ②若c|a，c|b，则c|(a±b)； ③若b|a，c|a，则[b，c]|a； ④若b|a，c|a，且b与c互质，则bc|a； ⑤若a|bc，且a与c互质，则a|b．特别地，若质数p|bc，则必有p|b或p|c． 例题与求解 【例1】在1，2，3，…，2 000这2 000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除． (“五羊杯”竞赛试题) 解题思想：自然数n能同时被2和3整除，则n能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求． 【例2】已知a，b是正整数(a＞b)，对于以下两个结论： ①在a＋b，ab，a－b这三个数中必有2的倍数； ②在a＋b，ab，a－b这三个数中必有3的倍数．其中( ) A．只有①正确B．只有②正确 C．①，②都正确D．①，②都不正确 (江苏省竞赛试题) 解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．
第二讲整除与同余(教师版)
A ( a m 1 a m 2 a 0 ) p . 【例题分析】 位数? 于是所求的三位数只有 512. 3 .一个四位数，它的个位数字与百位数字相同。如果将这个四位数的数字顺序颠倒过来（即个位数字与 千位数字互换，十位数字与百位数字互换） ，所得的新数减去原数，所得的差为 7812，求原来的四位数。 解：设该数的千位数字、百位数字、十位数字分别为 x,y,z ，则 3 2 原数 10 x 10 y 10z y ①; Q O 颠倒后的新数 103y 102z 10y x ② 、整数的进位制 1、【十进制数】给定一 个 m 位的正整数 10 的m 1次多项式，即A m 1 a m 1 10 i 01,2, L ,m 1 且 a m 1 2、【p 进制数】若十进制正整数 A 第二讲 整除与同余 A ，其各位上的数字分别记为 a m 1,a m 2, ,a 。, A 可以表示成 m 2 a m 2 10 A a m 1 a m 可以表示为: a {0,1,2,L,p 1}, i 0,,,2,L,m 1 且 a m 1 0 , a i 10 a °，其中 a i {0,1,2,L ,9}, 2 a 0 . m 1 A a m 1 p a m 2 m 仍然为十进制数，则称 a 1 p a ，其中 p 进制数，记为 解: 由于 100 abc 999，则100 (a b 3 c) 999，从而 5 a b c ! 9 ； 当a b c 5时， 53 125 (1 2 5)3 ; 3 当a b c 6时，6 216 (2 1 6)3; 当a b c 7时， 73 343 (3 4 3)3 ; 3 当a b c 8时，8 512 (5 1 2)3; 当a b c 9时， 93 729 (7 2 9)3; b c ）3的所有三位数 1、（2008）a 是由2005个9组成的2005 位数, 是由2005个8组成的2005 为数, 则ab 是（） A 4000 B 4004 C 4008 4010 2.求满足abc (a abc 。
最新小学奥数之数的整除性(题目+答案)
数的整除性 一、填空题 1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____. 2. 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____. 3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____. 4. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____. 5. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____. 6. 所有能被3整除的两位数的和是______. 7. 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____. 8. 如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____. 9. 42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____. 10. 从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____号. 二、解答题 11. 173□是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字, 所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？ 12．在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？
13．在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？ 14．试找出这样的最小自然数,它可被11整除,它的各位数字之和等于13.
第一讲数的整除
第一讲数的整除 一、基础知识： 1、能被4（25）、8（125）、3（9）、7（11）（13）整除的数的特征； 4（25）：； 8（125）：； 3（9）：；7（11）（13）：。 2、分解质因数：。 二、例题： 例1、一个六位数568abc分别能被3、4、5整除，这个六位数最小是多少？ 例2、六年级有72名学生捐款（处辨认不清），每人捐款 例3、六位数能被66整除，找出所有这样的六位数； 例4、一个2004位数A能被9整除，它的各位数字之和为a，a的各位数字之和为b，b的各位数字之和为c，求c是多少？ 例5、要使932×975×995×（）的积的最后五个数字都是0，那么在括号内最小应该填几？ 例6、四个班分一批图书，他们所得的本数一个班比一个班多3本，四个班分得图书本数之积是68040。每个班各分得图书多少本？ 例7、24有多少个约数？这些约数的和是多少? 24=23×3 约数个数=（3+1）×（1+1）= -1 31+1–1 ×= 3-1
三、练习： a)四位数8A1B能被2、3、5整除，问这些四位数是多少？ b)能同时被2、9整除，填出 c)已知六位数19 能被35整除，那么这个六位数是多少？ d)84×300×365×（），要使这个连乘积的最后五个数字都是0，在 括号里最小应填什么数？ e)五个连续奇数的积是135135，这五个奇数的和是多少？ 四、作业： 1、数学考试结果，某班学生中有1/3得优，3/7得良，其余得中或差，已知 全班人数在40与60之间，得中或差的学生有多少人？ 2、一个六位数能被11和13整除，这个六位数所有的质因数的 和是多少？ 3、四个连续自然数的积是3024，这四个自然数分别是多少？ 4、求4500的约数个数及所有约数的和是多少？ 五、思考题： 在3×3的方格图中填入几个互不相同的自然数，如果每行、每列三个数相乘所得的六个乘积都等于n，那么（1）n可以是1996、1997、1998、1999、2000、2001、2002、2003这八个数中的哪些数？（2）在下面方格中填出一 n=
数的整除性讲解(一)(通用)
第4讲数的整除性（一） 我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。 数的整除具有如下性质： 性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。 性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。 性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。 利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来： （1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。 （2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。 （3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。 （4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。 （5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。 （6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。 其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。 因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。这就证明了（4）。 类似地可以证明（5）。 （6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。
第2讲 数的整除性
第2讲数的整除性 三、四年级已经学习了能被2，3，5和4，8，9，6以及11整除的数的特征，也学习了一些整除的性质。这两讲我们系统地复习一下数的整除性质，并利用这些性质解答一些问题。数的整除性质主要有： （1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。 （2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。 （3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。 （4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。 （5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。 灵活运用以上整除性质，能解决许多有关整除的问题。 例1 在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。 分析与解：分别由能被9，25和8整除的数的特征，很难推断出这个七位数。因为9，25，8两两互质，由整除的性质（3）知，七位数能被 9×25×8=1800整除，所以七位数的个位，十位都是0；再由能被9整除的数的特征，推知首位数应填4。这个七位数是4735800。 例2由2000个1组成的数111…11能否被41和271这两个质数整除？ 分析与解：因为41×271=11111，所以由每5个1组成的数11111能被41和271整除。按“11111”把2000个1每五位分成一节， 2000÷5=400，就有400节， 因为2000个1组成的数11…11能被11111整除，而11111能被41和271整除，所以根据整除的性质（1）可知，由2000个1组成的数111…11能被41和271整除。 例3 现有四个数：76550，76551，76552，76554。能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被12整除？ 分析与解：根据有关整除的性质，先把12分成两数之积：12=12×1=6×2=3×4。 要从已知的四个数中找出两个，使其积能被12整除，有以下三种情况：
(初中数学)数的整除性精选题练习及答案
（初中数学）数的整除性精选题练习及答案 阅读与思考 设a，b是整数，b≠0，如果一个整数q使得等式a=bq成立，那么称a能被b整除，或称b整除a，记作b|a，又称b为a的约数，而a称为b的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识：1．数的整除性常见特征： ①若整数a的个位数是偶数，则2|a； ②若整数a的个位数是0或5，则5|a； ③若整数a的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|a(或9|a)； ④若整数a的末二位数是4(或25)的倍数，则4|a(或25|a)； ⑤若整数a的末三位数是8(或125)的倍数，则8|a(或125|a)； ⑥若整数a的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|a． 2．整除的基本性质 设a，b，c都是整数，有： ①若a|b，b|c，则a|c； ②若c|a，c|b，则c|(a±b)； ③若b|a，c|a，则[b，c]|a； ④若b|a，c|a，且b与c互质，则bc|a； ⑤若a|bc，且a与c互质，则a|b．特别地，若质数p|bc，则必有p|b或p|c． 例题与求解 【例1】在1，2，3，…，2 000这2 000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除． (“五羊杯”竞赛试题) 解题思想：自然数n能同时被2和3整除，则n能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求． 【例2】已知a，b是正整数(a＞b)，对于以下两个结论： ①在a＋b，ab，a－b这三个数中必有2的倍数； ②在a＋b，ab，a－b这三个数中必有3的倍数．其中( ) A．只有①正确B．只有②正确 C．①，②都正确D．①，②都不正确(江苏省竞赛试题)解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明． ab能被198整除，求a，b的值．(江苏省竞赛试题) 【例3】已知整数13456 ab能被9，11整除，运用整除的相关特性建立a，b的等式，解题思想：198=2×9×11，整数13456 求出a，b的值． 【例4】已知a，b，c都是整数，当代数式7a＋2b＋3c的值能被13整除时，那么代数式5a＋7b－22c的值是否一定能被13整除，为什么？
数的整除性规律
数的整除性规律 【能被2或5整除的数的特征】一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5 整除 【能被3或9整除的数的特征】一个数，当且仅当它的各个数位上的数字之和能被3 和9整除时，这个数便能被3或9整除。 例如，1248621各位上的数字之和是1+2+4+8+6+2+1=24 3|24，则3|1248621。 又如，372681各位上的数字之和是3+7+2+6+8+1=27 9|27，则9|372681。 【能被4或25整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末两位数能被4或25整除时，这个数便能被4或25整除。 例如， 173824的末两位数为24，4|24，则4|173824。 43586775的末两位数为75，25|75，则25|43586775。 【能被8或125整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字为0，或者末三位数能被8或125整除时，这个数便能被8或125整除。 例如， 32178000的末三位数字为0，则这个数能被8整除，也能够被125整除。 3569824的末三位数为824，8|824，则8|3569824。 214813750的末三位数为750，125|750，则125|214813750。 【能被7、11、13整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字所表示的数，与末三位以前的数字所表示的数的差(大减小的差)能被7、11、13整除时，这个数就能被7、11、13整除。
例如，75523的末三位数为523，末三位以前的数字所表示的数是75，523-75=448，448÷7=64，即7|448，则7|75523。 又如，1095874的末三位数为874，末三位以前的数字所表示的数是1095，1095-874=221，221÷13=17，即13|221，则13|1095874。 再如，868967的末三位数为967，末三位以前的数字所表示的数是868，967-868=99，99÷11=9，即11|99，则11|868967。 此外，能被11整除的数的特征，还可以这样叙述：一个数，当且仅当它的奇数位上数字之和，与偶数位上数字之和的差(大减小)能被11整除时，则这个数便能被11整除。 例如，4239235的奇数位上的数字之和为4+3+2+5=14，偶数位上数字之和为2+9+3=14，二者之差为14-14=0，0÷11=0，即11|0，则11|4239235。
第二讲整除与同余(教师版)
第二讲 整除与同余 一、整数的进位制 1、【十进制数】给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m ， A 可以表示成10 的1 m 次多项式，即01221 1101010 a a a a A m m m m ，其中{0,1,2,,9},i a L 01,2,,1i m L ，且01 m a ，简记为021a a a A m m . 2、【p 进制数】若十进制正整数A 可以表示为：012211a p a p a p a A m m m m ，其中 {0,1,2,,1},01,2,,1i a p i m L L ，且01 m a ，m 仍然为十进制数，则称A 为p 进制数，记为p m m a a a A )(021 . 【例题分析】 1、（2008）a 是由2005个9组成的2005位数，b 是由2005个8组成的2005为数，则ab 是（ ）位数. A 4000 B 4004 C 4008 4010 2．求满足3 )(c b a abc 的所有三位数abc 。 解：由于999100 abc ，则999)(1003 c b a ，从而95 c b a ； 当5 c b a 时，3 3 )521(1255 ； 当6 c b a 时，3 3 )612(2166 ； 当7 c b a 时，3 3 )343(3437 ； 当8 c b a 时，3 3 )215(5128 ； 当9 c b a 时，3 3 )927(7299 ； 于是所求的三位数只有512. 3．一个四位数，它的个位数字与百位数字相同。如果将这个四位数的数字顺序颠倒过来（即个位数字与千位数字互换，十位数字与百位数字互换），所得的新数减去原数，所得的差为7812，求原来的四位数。 解：设该数的千位数字、百位数字、十位数字分别为z y x ,,，则 原数y z y x 1010102 3 ①； 颠倒后的新数x y z y 1010102 3 ②
(完整)四年级奥数第二讲
第二讲错中求解 例1 小丽在计算乘法时，把乘以12写成了加上12，结果得到和是27.求这道乘法算式正确的积是多少？ 试一试 小红在计算除法时，把除以15写成加上15，结果得到的和是90。这道除法算式正确的商是多少？ 例2 小明在计算除法时，把除数52写成了25，结果得到的商是22，还余22。正确的商应该是多少？ 试一试 小明在计算乘法时，把乘数24写成了42，结果得到积是840。正确的积应该是多少？ 例3 马小虎在计算有余数的除法时，把被除数184错写成148，这样算出的商比原来少了4，而余数没变。请你算出这道题的除数和余数各是多少？ 试一试 马小虎在计算有余数的除法时，把被除数119错写成191，这样算出来的商比原来多了6，而余数没变。请你算出这道题的除数和余数各是多少? 例4 马小虎在做一道减法题时，把减数个位上的6看成9，把减数十位上的9看成6，结果得出差是111，求正确答案应该是多少？ 试一试 马小虎在做一道减法题时，把减数个位上的8看成2，把减数十位上的3看成6，结果得出的差是125，求正确答案应该是多少? 例5 小辉在做一道两位数乘以两位数的计算题时，把乘数个位上的2错当做了8，乘得的结果是980，实际结果应该是770。求这两个两位数各是多少？ 试一试 小辉在做一道两位数乘以两位数的计算题时，把乘数个位上的9错当做了3，乘得的结果是621，实际结果应该是783。求这两个两位数各是多少？
练习题 A 组 1.小华在计算一道除法时，把除数60末尾的“0”漏写了，结果得到的商是30，正确的商是多少？ 2. 小红在计算除法时，把除以24写成了加上24，结果得到的和是360。这道除法算式正确的商是多少？ 3. 小红在计算除法时，把除以13写成了乘以13，结果得到的积是3380。这道除法算式正确的商是多少？ 4. 小军在计算除法时，把除数37写成了乘以73，结果得到的商是32，还余69。这道除法算式正确的商是多少？ 5.小明在计算乘法时，把乘数23写成了32，结果得到的积是704。正确的积应该是多少? 6. 小丽在做一道减法题时，把减数个位上的1看成7，把减数十位上的2看成5，结果得出的差是273，求正确答案应该是多少? 7. 小丽在做一道减法题时，把减数个位上的3看成7，把减数十位上的4看成6，结果得出的差是163，求正确答案应该是多少? 8. 小丽在做一道加法题时，把加数个位上的4看成2，把减数十位上的6看成0，结果得出的差是293，求正确答案应该是多少? 9. 小惠在做一道“某数加上5再乘以4”的题时，错把题目做成“先乘以5再加上4”，结果得34。正确的答案是多少？
第二讲 数的整除1
第二讲 数的整除性 一、整除的一些定义： 1．整数的定义：对于整数a ，b （b ≠0），如存在整数q ，使a=bq （即a ÷b=q ）则称a 能被b 整除，或称b 能整除a ，记为b │a 。我们称a 是b 的倍数，或b 是a 的约数。 2．带余数除法：对于整数a ，b （b ≠0），如a 除以b 得到的整数商q 和一个余数r （0?r ＜b 且为整数），则a ，b ，q ，r 间有如下关系：a=bq+r 。 3．同余的定义：两个整数a ，b ，如果它们除以自然数n 所得的余数相等，则称a ，b 对于模n 同余，记作a ≡b （modn ）。 4．剩余类的定义：用任意一个自然数去除以一个自然数b ，根据除数b 以及余数r 的大小，我们可以把全体自然数进行分类。一个自然数被b 除时的余数只能有0、1、2、…、b-2、b-1共b 种，因此我们把自然数按照余数的情况分成b 类，这类就是剩余类。 二、整除的一些基本性质： 1．如果两个整数都能被一个自然数整除，那么这两个整数的和与差也能被这个自然数整除，即： 若，m │a ，m │b ，则m │（a ±b ）。 2．如果两个整数的和或差及一个整数能被一个自然数整除，那么另一个整数也能被这个自然数整除，即： 若，m │a ，m │（a ±b ），则m │b 。 3．如果一个整数能被一个自然数整除，那么这个整数的整倍数也被这个自然数整除，即： 若，m │a ，则m │ka （k 是整数）。 4．如果一个整数能被两个互质数中的每一个整除，那么这个整数能被这两个互质数的积整除，即： 若，m │a ，m │b ，（a ，b ）=1，则m │ab 。 5．如果一个整数能被两个互质数的积整除，那么这个整数能被这两个互质数中任一个整除，即： 若（a ，b ）=1，且m │ab ，则m │a ，且m │b 。 6．．如果一个自然数能被第二个自然数整除，第二个自然数能被第三个自然数整除，那么一个自然数能被第三个自然数整除，即： 若，b │a ，c │b ，则c │a 。 三、习题： 1．求无重复数字，能被75整数得五位数563b a 。 2．某校六年级共有学生72人，每人买一本语文课外读物和一本数学课外读物。已知两本的书得单价不同，但语文课外读物和数学课外读物的总价都在200元和300元之间，且元位上得数字是8，角位上得数字是4，问，每个学生为购买这两本书付了多少钱？ 3．有这样两个五位数，一个能被11整除，另一个能被7整除。它们的前四位都是9876，而末位数字不同。求这两个五位数的和。 4．求用1、2、3、4、5、6这六个数字组成一个六位数abcdef ，其中不同的字母代表1到6不同的数字。要求前两位数字组成的两位数ab 能被2整除，且前三位数abc 能被3整除，前四位数abcd 能被4整除，前五位数abcde 能被5整除，abcdef 能被6整除。 5．有1995个1组成的11…1能否被41整除？ 6．证明任意一个三位数连着写两遍得到的六位数一定同时能被7，11，13整除。 7．两个自然数的各位数字中都只用到了1。4。6。9这四种数字，问：是否有可能其中的一个自然数正好是另一个自然数的17倍？
2019数的整除性讲解(一)
2019数的整除性讲解（一） 我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。 数的整除具有如下性质： 性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。 性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。 性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。 利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来： （1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。 （2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。 （3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。
（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。 （5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。 （6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。 其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。 因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。这就证明了（4）。 类似地可以证明（5）。 （6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。 837＝800＋30＋7 ＝8×100＋3×10＋7 ＝8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7 ＝8×99＋8＋3×9＋3＋7 ＝（8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）。 （8x99因为99和9都能被9整除，所以根据整除的性质1和性质2知， ＋3x9）能被9整除。再根据整除的性质2，由（8＋3＋7）能被9整除，就能判断837能被9整除。
五年级奥数之数的整除
第二讲数的整除 例1：在下面的数中，哪些能被4整除?哪些能被8整除?哪些能被25整除?哪些能被125整除? 100，234，728，7756，6648，2781，1750，8125。 例2：学校为竖笛小组购买了75根竖笛，发票上的总价有两个数字模糊不清，只看到3□7．□元，你知道每根竖笛至少是多少元吗? 例3：一个六位数165□□□能同时被4和9整除，这个六位数最大是多少?最小是多少? 例4：abcabc这个六位数能否被7整除?能否被11整除?能否被13整除?如果能，请说明理由。
例5:173□是四位数，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？ 例6:将自然数1，2，3，…依次写下去组成一个数：12345678910111213…．如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被72整除，那么这个自然数是多少? 例7:自然数中1～100内共有多少个不能被3或11整除的数？
例8：用1，2，3，4，5，6，7，8，9（每个数字用一次）组成三个能被9整除的、和尽可能大的三位数，这三个三位数分别是多少？ 例9：小明的两个衣服口袋中各有13张卡片，每张卡片上分别写着1，2，3，…，13。如果从这两个口袋各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积，可以得到许多不相等的乘积。那么，其中能够被6整除的乘积共有多少个？ 应用与拓展 1.在下面的□里填上适当的数字。 能被4整除：93，可以填)能被8整除： 错误!
错误! 48 □2， 可以填错误! ) 能被 9 整除：20□308，□可以填( ) 能被 25 整除： 71 ， 可以填 ) 能被 125 整除：□8 50，□可以填( ) 2. 在下面的数中，哪些能被 4 整除，哪些能被 25 整除?哪些能 被 8 整除？哪些能被除 125 整除? ①234②500③789④8865⑤3728⑥8064⑦5125⑧12000 能被 4 整除的数是： 能被 8 整除的数 是 能被 25 整除的数是 能被 125 整除的 数是： 3. 用 2，3，7，8 四个数字组成没有重复数字的四位数，且它是 11 的倍数，并将这些数按从大到小排列出来。
数的整除特性练习题
数的整除专题训练 知识梳理： 性质1.如果一个自然数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个自然数就能被4（或25）整除，否则这个数就不能被4（或25）整除。 性质2.如果一个自然数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个自然数就能被8（或125）整除，否则这个数就不能被8（或125）整除。 性质3.如果一个数的各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数就能被9整除，否则这个数就不能被9整除。 性质4.如果一个自然数的奇数位上数字和与偶数位上数字和的差能被11整除，那么这个数便能被11整除，否则这个数便不能被11整除。 性质5.如果一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差能被11（7、13）整除，那么这个数就能被11（7、13）整除，否则这个数就不能被11（7、13）整除。 例题精讲： 1. 三年级共有75名学生参加春游，交的总钱数为一个五位数“2□7□5”元，求每位学生最多可能交多少元 解：先求出满足条件的最大五位数。75=25 ×3，则这个五位数是25和3的倍数。 因为是25的倍数，所以十位为7或2，设千位为x， 如十位为7，则使2+x+7+7+5=21+x为3的倍数的x最大为9，得此五位数为29775；如十位为2，则使2+x+7+2+5=16+x为3的倍数的x最大为8，得此五位数为28725。所以，满足题意的最大五位数为29775。 29775÷75=397(元)， 即每位学生最多可能交397元。
2. 小勤想在电脑上恢复已经删除掉的72个文件，可是他只记得这些文件的总大小是“*679.*KB”，“*”表示小勤忘掉的第一个和最后一个数字(两个数字可能不同)，你能帮他算出这两个数字吗 解：“*679. *”能被72除尽，则“*679*”应是72的倍数。72=8 ×9，先考虑8，末三位数字79*应满足被8整除，所以十分位数字是2；考虑9，已知数字之和是6+7+9+2=24，所以原数的千位上应是3，即这两个数字分别是3和2。 3. 有三个连续的四位数，它们的和也是四位数，并且是3333的倍数，求中间那个数可能的最小取值。 解：设中间的数为a，则另外两个数是(a-1)和(a+1)，所以要a+(a+1)+(a-1)=3a是3333的倍数，那么a是1111的倍数，又3a<10000，所以a≤3333，所以a可取1111、2222、3333。所以。取可能的最小的值为1111。 4. 一个整数的末三位数字组成的数与其末三位以前的数字组成的数之间的差是7的倍数时，这个整数可以被7整除吗请证明你的判断。 解：设末三位数字组成的数为m，末三位以前数字组成的数为n，则m-n=7d(d 为整数),即n=m-7d，原数为m+1000n=m+1000 ×(m-7d)=1001m-7000d，1001=13 ×11 ×7，7000d=7 ×1000d，所以原数是7的倍数。 5. 小明有一些数字卡片，现在要从这些卡片中挑出2、4、5、7、8这几张，任选4张，能组成可以被75整除的没有重复数字的四位数，它能组成几种呢 解：75=3 ×5 ×5， 要被75整除，必可被3整除，所以有4、5、7、8，2、4、7、8和2、4、5、7三种选法； 又要被25整除，所以未两位为25或75，所以排除2、4、7、8的选法。 则4、5、7、8的选法有2种组合，2、4、5、7的选法有4种组合，所以共可
五年级春季第2讲数的整除
第二讲数的整除 知识导航 能被2整除的特征：末尾是偶数（0、2、4、6、8） 能被3整除的特征：各个数位上数字的和是3的倍数 能被5整除的特征：末尾是0或5的数 能被9整除的特征：各个数位上数字的和是9的倍数 随堂笔记 【例1】判断下面哪些数能被9整除，并说出理由。 1008 234 36702 6229 5471 339282 1927 【小试牛刀】 ①在□里填上合适的数，使所构成的数能够被9整除。 735□6 317□□65□ 913□ 555□ ②74051至少减去多少后，才能被9整除？
【例2】在□里填上适当的数字，使所构成的数符合给出的条件。 ① 62□□能被9整除，也能被5整除。 ②5□7□能被110整除。 【小试牛刀】 ①判断下面的数能不能同时被2和9整除。 7272 11772 1766 19134 ②下面的数能被110整除吗？ 7150 3652 97020 81420 【例3】能被7、11、13整除的数的特征分别是什么？ 【小试牛刀】 ①判断哪些数能被7整除？哪些数能被11整除？哪些数能被13整除？ 143 625790 111605 96096 443527 ②在□里填数字，使□85□4和68□6□都能被7整除。
【例4】小明在售货亭买了6枝铅笔，2枝圆珠笔和5本练习本。已知圆珠笔每枝元，练习本每本元。售货员要小明付元，小明却说售货员算错了，为什么？ 【小试牛刀】 ①小青买了三枝铅笔，三本练习本和二块单价为3角钱的橡皮，售货员要他付3元5 角钱，小青却说售货员算错帐了，请问为什么？ ②一班的同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：全班 一共糊纸盒342个。小马统计错了吗？为什么？ 【例5】学校为了给教室里安装闭路电视，买回来18台彩色电视机。不小心发票被墨水弄脏了，单价只剩下2个数字2□□0元。总价也是只剩下两个数字□4□8□元。 你能帮忙算出单价和总价吗？ 【小试牛刀】 ①学校买来36套桌椅，不料发票被弄丢了，采购员只记得单价大概是□3.□□元， 总价是1□□元。请你帮忙把单价和总价算出来。 ②购买36台同样的电冰箱，总价是□711□元，每台电冰箱大概2000多元。能算出 总价吗？
数的整除特性
2013国家公务员考试行测数学运算冲刺：数的整除特性 在国家公务员考试中，数学运算题目通常是给出一段表达数量关系的文字，考生需要做的就是找到题干中各个数字之间的联系，然后运用基本的运算法则，计算出结果。中公教育专家发现，国家公务员考试中，数学运算题干中的数字之间都有着千丝万缕的联系，最基础的体现就是两个数之间的整除关系。在考试中，如果能够顺利的发现数字之间存在整除关系，那么我们就可以利用数字的整除特性，快速、简单地得到答案。 一、整除判定 在解题过程中，如果经过分析、判断后，你已经确定题目的正确答案能被某个数整除，那么在进行具体计算之前，只需要对四个选项逐个进行判定，哪个选项能被这个特殊数字整除，即可得到结果。 在行测考试中，被2、３、５、8、９整除的判定较为常见，考生需要熟练掌握并灵活应用。 被2、3、4、5、8、9整除的判断依据 （1）被2整除的判断依据：个位数字能被2整除的数能被2整除。 （2）被３整除的判断依据：各位数字和是３倍数的数可被３整除。 （3）被4整除的判断依据：末两位可被4整除的数能被4整除。 （4）被５整除的判断依据：个位是０、５的数可被５整除。 （5）被８整除的判断依据：末三位可被８整除的数能被８整除。 （6）被９整除的判断依据：各位数字和是９倍数的数可被９整除。 【例题1】为了打开保险箱，首先要输入密码，密码由7个数字组成，它们不是2就是3，在密码中的数字2比3多，而且密码能被3和4整除，试求出这个密码？ A.2323232 B.2222232 C.2222332 D.2322222 中公解析：此题答案为B。此题的题干中明确说明，要求密码能够同时被3和4整除。考虑被3、4整除的判断依据。 能被4整除的数字，其后两位数字能够被4整除。所以四个选项中，首先排除D项。 能被3整除的数，要求各位数字和是3的整倍数，剩余三个选项中，A项所有数字和为17，B项所有数字和为15，C项所有数字和为16，符合条件的只有B项。 因此密码为2222232。 【例题2】某单位有工作人员４８人，其中女性占总人数的３７．５％，后来又调来女性若干人，这时女性人数恰好是总人数的４０％，问调来几名女性？ Ａ．１人Ｂ．２人Ｃ．３人Ｄ．４人
数的整除第二讲
数的整除第二讲 1 、如果41位数5555、、、、、、55（20个5）（）999999、、、99（20个9）能被7整除，那么中间方格内的数字是几？ 2、判断1059282是否是7的倍数？ 3、在（）内填上合适的数字，使六位数19（）88（）能被35整除。 4、李老师共为学校买了28支价格一样的钢笔，共付了人民币9（）.2（）元。已知（）数字相同，请问每支钢笔的价格是多少？ 5、一个三位数，能同时被2、5、7整除，这样的三位数按照由小到大的顺序排成一列，中间的一个数是几？ 6、将1、2、3………从左到右依次排列成一个51位数123456…2930，试问这个51位数除以11的余数。 7、用0到9这十个不同的数字可以组成许多的十位数，在这些数字中能被11整除的最大的十位数是多少？（每个数字只能用上一次） 8、已知整数（1a2a3a4a5a）能被11整除，求所有满足这个条件的整数。 9、用6、7、8、9四个数字组成的，各个数字互不相同的四位数中，能被11整除的有多少个？ 10、在（）内填上合适的数字，使六位数（）1991（）能被66整除。 11、在28的前面连续写上若干个1993，得到19931993…1993199328。如果这个数字能被11整除，那么它最小是几位数？ 12、判断3456725能否被13整除。 13、从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数字中选出5个不同的数，组成一个5位数，使它可以被3、5、7、13整除，这个数字最大是多少？
14、求能被26整除的六位数x1991y。 15、甲乙两个人进行下面的游戏。两个人约定一个整数N，然后由甲开始，轮流地用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数字之一组成一个六位数的一位，数字可以重复。如果这个六位数能被N整除，就算是乙胜，如果这个六位数不能被N整除，就算是甲胜。设N小于15，那么当N取哪个几个数时，乙才能取胜？ 16、把三位数3ab接连重复地写下去，共有1993个3ab，所得的这个多位数恰好是91的倍数。求ab等于多少？ 17、一个整数乘以13后，积的最后三位数是23，那么，这样的整数中最小的是几？ 18、任一个三位数连续写两次得到一个六位数.试证：这个六位数能同时被7、11、13整除 19、证明：任何两个自然数的和、差、积中，至少有一个数能被3整除. 20、某个七位数2000□□□能同时被1、2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么最后三位是什么？ 21、173口是一个四位数．数学老师说：“我在其中的方框内中先后填入3个数字，所得到的3个四位数：依次可被9，11，6整除．”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少? 22、如果六位数1992口口能被105整除，那么它的最后两位数是多少? 23、某个七位数1993口口口能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少? 24、从0，l，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中选出5个不同的数字组成一个五位数，使它能被3，5，7，13整除，这个数最大是多少? 25、修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数．问修改后的这个数是多少? 26、在六位数11口口11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少?
数的整除性知识分享
数的整除性
数的整除性 我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。 数的整除具有如下性质： 性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。 性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。 性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。 利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来： （1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。 （3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。 （4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。 例1在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？ 234，789，7756，8865，3728，8064。 例2在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？例3从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小