六方最密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙中心的分数坐标
六方最密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙中心的分数
坐标
密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙
晶体结构的密堆积原理密堆积结构是指在由无方向性的金属键,离子键和范德华力结合的晶体中,原子、分子或离子等微粒总是趋向于相互配位数高～能充分利用空间的堆积密度大的那些结构。密堆积方式由于充分利用了空间～从而可使体系的势能尽可能降低。结构稳定。最常见的密堆积型式有:面心立方最密堆积,A,～六方最密堆积,A,和体心立方密堆积13
,A,。 2
我们主要介绍面心立方密堆积和六方密堆积。
等径圆球紧密排列形成密置层～
如图所示。
在密置层内～每个圆球周围有六
个球与它相切。相切的每三个球又围
出一个三角形空隙。仔细观察这些三
角形空隙～一排尖向上～接着下面一
排尖向下～交替排列。而每个圆球与
它周围的六个球围出的六个三角形空
隙中～有三个尖向上～另外三个尖向
下。如图所示～我们在这里将尖向上
的三角形空隙记为B～尖向下的三角形空隙记为C。第二密置层的球放在B之上～第三密置层
的球投影在C中～三层完成一个周
期。这样的最密堆积方式叫做立方
最密堆积,ccp～记为 A1型,～
形成面心立方晶胞。
若第三密置层的球投影
与第一密置层的球重合～两层完成一个周期。这样的最密堆积方式叫做六方最密堆积,hcp～记为A3型,～形成六方晶胞～如图所示。在这两种堆积方式中～
任何四个相切的球围成一个正四面体空隙,另外～相切的三个球如果与另一密置层相切的三个球空隙对应～它们六个球将围成一个正八面体空隙。也就是说～围成正
八面体空隙的这六个球可以分为相邻的两层～每层的正三角形中心的连线垂直于正三角形所在的
密置层～参看下图～黑色代表的不是球而是正八
面体的中心。
在这两种最密堆积方式中～每个球与同一密置层
的六个球相切～同时与上一层的三个球和下一层
的三个球相切～即每个球与周围十二个球相切
,配位数为12,。中心这个球与周围的球围出八
个正四面体空隙～平均分摊到每个正四面体空隙的是八分之一个球。这样～每个正四面体空隙
分摊到的球数是四个八分之一～即半个。中心这个球周围还围出六个八面体空隙～它平均分摊
到每个正八面体空隙的是六分之一个球。这样～每个正八面体空隙分摊到的球数是六个六分之
: 正八面体空隙数 : 正四面体空隙数 = 一～即一个。总之～这两种最密堆积中～球数
1:1:2 。等径球的两种最密堆积具有相同的堆积密度～都为74.05%. .下面计算四面体空隙和八面体空隙中所能容纳的球的半径的大小。
由图和正四面体的立体几何知识可知:
边长AB=2R
121，，21,,2222，，2AMAEEMABBEDE,,,,,,,,,3,,高 ,,，，112，，222，，2,,113,,,,222,,，，,,,,,,ABABAERRR2,,,,,,,,,,233,,,,,,,,,, ，，，，2,,61.633RR3
36OAAMRR,,,1.22542中心到顶点的距离:
16OMAMRR,,,0.40846中心到底边的高度:
,,,OARR0.225中心到球面的最短距离
由此结果可知～半径为R的等径圆球最密堆积结构中四面体空隙所能容纳的小球的最大半径为0.225R。而0.225正是典型的二元离子晶体中正离子的配位多面体为正四面体时正、负离子半径比的下限。
八面体
由图,c,知～八面体空隙中心到顶点的距离为:
111OCACABRR,,,，,2222222
而八面体空隙中心到球面的最短距离为:
OCRRRR,,,,20.414
此即半径为R的等径圆球最密堆积形成的正八面体空隙所能容纳的小球的最大半径。0.414
rr/，,是典型的二元离子晶体中正离子的配位多面体为正八面体时的下限值。
六方最密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙
六方最密堆积中正八面体空隙 和正四面体空隙中心的分数坐标 等径圆球紧密排列形成 密置层，如图所示。 在密置层内，每个圆球 周围有六个球与它相切。相 切的每三个球又围出一个三 角形空隙。仔细观察这些三 角形空隙，一排尖向上，接 着下面一排尖向下，交替排列。而每个圆球与它周围的六个球围出的 六个三角形空隙 中，有三个尖向 上，另外三个尖向 下。如图所示，我 们在这里将尖向上 的三角形空隙记为 B，尖向下的三角 形空隙记为C。第 二密置层的球放在 B之上，第三密置
层的球投影在C中， 三层完成一个周期。 这样的最密堆积方式 叫做立方最密堆积 （ccp，记为A1 型），形成面心立方 晶胞。 若第三密置层的 球投影与第一密置层的球重合，两层完成一个周期。这样的最密堆积方式叫做六方最密堆积（hcp，记为A3型），形成六方晶胞，如图所示。 在这两种堆积方式中，任何四个相切的球围成一个正四面体空隙；另外，相切的三个球如果与另一密置层相切的三个球空隙对应，它们六个球将围成一个正八面体空隙。也就是说，围成正八面体空隙的这六个球可以分为相邻的两层，每层的正三角形中心的连线垂直于正三角形所在的密置层，参看下图， 黑色代表的不是球而是正八面体的中 心。 在这两种最密堆积方式中，每个 球与同一密置层的六个球相切，同时 与上一层的三个球和下一层的三个球
相切，即每个球与周围十二个球相切（配位数为12）。中心这个球与周围的球围出八个正四面体空隙，平均分摊到每个正四面体空隙的是八分之一个球。这样，每个正四面体空隙分摊到的球数是四个八分之一，即半个。中心这个球周围还围出六个八面体空隙，它平均分摊到每个正八面体空隙的是六分之一个球。这样，每个正八面体空隙分摊到的球数是六个六分之一，即一个。总之，这两种最密堆积中，球数: 正八面体空隙数: 正四面体空隙数= 1:1:2 。 面心立方最密堆积（ccp，A1型）中正八面体空隙和正四面体空隙的问题比较简单、直观。下面我们集中讨论六方最密堆积（hcp，A3型）中正八面体空隙和正四面体空隙中心的分数坐标。 在六方最密堆积中画出一个六方晶胞，如下面两幅图所示。
金属的结构和性质体心立方堆积中八面体空隙与四面体空隙半径计算
~ 08金属的结构和性质 【】半径为R 的圆球堆积成正四面体空隙，试作图计算该四面体的边长和高、中心到顶点距离、中心距离地面的高度、中心到两顶点连县的夹角以及中心到球面的最短距离。 解：4个等径圆球作紧密堆积的情形示于图（a ）和(b)，图(c)示出堆积所形成的正四面体空隙。该正四面体的顶点即球心位置，边长为圆球半径的2倍。 图 由图和正四面体的立体几何知识可知： 边长AB=2R 高 () 12 12 2 222 2 13AM AE EM AB BE DE ????=-=--?? ?????? ? \ ()112 2 222 222 113223AB AB AE R R R ???????????=--=--??? ? ???????????????? 26 1.6333R R =≈ 中心到顶点的距离：36 1.2254OA AM R R ==≈ 中心到底边的高度：160.4084OM AM R = =≈ 中心到两顶点连线的夹角为：AOB ∠ ()()) ()() 2 2 2 2 2 1122 6/22cos cos 226/2R R OA OB AB OA OB R θ--?? -??+-??==???? ?????? ()1 cos 1/3109.47-=-=? 中心到球面的最短距离0.225OA R R =-≈ } 本题的计算结果很重要。由此结果可知，半径为R 的等径圆球最密堆积结构中四面体空
隙所能容纳的小球的最大半径为。而正是典型的二元离子晶体中正离子的配位 多面体为正四面体时正、负离子半径比的下限。此题的结果也是了解hcp 结构中晶胞参数的基础(见习题。 【】半径为R 的圆球堆积成正八面体空隙，计算中心到顶点的距离。 解：正八面体空隙由6个等径圆球密堆积而成，其顶点即圆球的球心，其棱长即圆球的直径。空隙的实际体积小于八面体体积。图中三图分别示出球的堆积情况及所形成的正八面体空隙。 图 、 由图（c ）知，八面体空隙中心到顶点的距离为： 1112222222OC AC AB R R = ==?= 而八面体空隙中心到球面的最短距离为： 20.414OC R R R R -=-≈ 此即半径为R 是典型的二元离子晶体中正离子的配位多面体为正八面体时/r r +-的下限值。 【】半径为R 的圆球围成正三角形空隙，计算中心到顶点的距离。 ~ 解：由图可见，三角形空隙中心到顶点（球心）的距离为： 223 1.15533OA AD R R = =≈ 图 三角形空隙中心到球面的距离为： 1.1550.155OA R R R R -≈-= 此即半径为R 的圆球作紧密堆积形成的三角形空隙所能容纳的小球的最大半径，是“三角形
金属的结构和性质 体心立方堆积中八面体空隙与四面体空隙半径计算
08金属的结构和性质 【8.1】半径为R 的圆球堆积成正四面体空隙，试作图计算该四面体的边长和高、中心到顶点距离、中心距离地面的高度、中心到两顶点连县的夹角以及中心到球面的最短距离。 解：4个等径圆球作紧密堆积的情形示于图9.1（a ）和(b)，图9.1(c)示出堆积所形成的正四面体空隙。该正四面体的顶点即球心位置，边长为圆球半径的2倍。 图9.1 由图和正四面体的立体几何知识可知： 边长AB=2R 高 () 12 12 2 2222 13AM AE EM AB BE DE ????=-=--?? ? ????? ? ( )1 12 2 222 222 11223AB AB AE R R R ???????????=--=--??? ? ???????????????? 1.633R =≈ 中心到顶点的距离：3 1.2254OA AM R R ==≈ 中心到底边的高度： 10.4084OM AM R = =≈ 中心到两顶点连线的夹角为：AOB ∠ ()( )) ( )() 2 2 2 2 2 1122/22cos cos 22/2R OA OB AB OA OB θ--?? -??+-??==???? ?????? ()1 cos 1/3109.47-=-=? 中心到球面的最短距离0.225OA R R =-≈ 本题的计算结果很重要。由此结果可知，半径为R 的等径圆球最密堆积结构中四面体空 隙所能容纳的小球的最大半径为0.225R 。而0.225正是典型的二元离子晶体中正离子的配位 多面体为正四面体时正、负离子半径比的下限。此题的结果也是了解hcp 结构中晶胞参数的
金属的结构和性质 体心立方堆积中八面体空隙与四面体空隙半径计算
08金属的结构和性质 【】半径为R 的圆球堆积成正四面体空隙，试作图计算该四面体的边长和高、中心到顶点距离、中心距离地面的高度、中心到两顶点连县的夹角以及中心到球面的最短距离。 解：4个等径圆球作紧密堆积的情形示于图（a ）和(b)，图(c)示出堆积所形成的正四面体空隙。该正四面体的顶点即球心位置，边长为圆球半径的2倍。 图 由图和正四面体的立体几何知识可知： 边长AB=2R 高 () 12 12 2 2222 13AM AE EM AB BE DE ????=-=--?? ? ????? ? ()1 12 2 2 2 2 222 113223AB AB AE R R R ???????????=--=--??? ? ???????????????? 26 1.6333R R =≈ 中心到顶点的距离：36 1.22542OA AM R R ==≈ 中心到底边的高度： 160.40846OM AM R R = =≈ 中心到两顶点连线的夹角为：AOB ∠ ()()) ()() 22 2 2 2 11226/22cos cos 226/2R R OA OB AB OA OB R θ--?? -??+-??==???? ?????? ()1 cos 1/3109.47-=-=? 中心到球面的最短距离0.225OA R R =-≈ 本题的计算结果很重要。由此结果可知，半径为R 的等径圆球最密堆积结构中四面体空
隙所能容纳的小球的最大半径为。而正是典型的二元离子晶体中正离子的配位 多面体为正四面体时正、负离子半径比的下限。此题的结果也是了解hcp 结构中晶胞参数的基础(见习题。 【】半径为R 的圆球堆积成正八面体空隙，计算中心到顶点的距离。 解：正八面体空隙由6个等径圆球密堆积而成，其顶点即圆球的球心，其棱长即圆球的直径。空隙的实际体积小于八面体体积。图中三图分别示出球的堆积情况及所形成的正八面体空隙。 图 由图（c ）知，八面体空隙中心到顶点的距离为： 111 2222222OC AC AB R R = ==?= 而八面体空隙中心到球面的最短距离为： 20.414OC R R R R -=-≈ 此即半径为R 的等径圆球最密堆积形成的正八面体空隙所能容纳的小球的最大半径。 是典型的二元离子晶体中正离子的配位多面体为正八面体时/r r +-的下限值。 【】半径为R 的圆球围成正三角形空隙，计算中心到顶点的距离。 解：由图可见，三角形空隙中心到顶点（球心）的距离为： 223 1.15533OA AD R R = =≈ 图 三角形空隙中心到球面的距离为： 1.1550.155OA R R R R -≈-=
金属的结构及性质体心立方堆积中八面体空隙及四面体空隙半径计算.doc
8 金属的结构和性质 【 8.1 】半径为 R 的圆球堆积成正四面体空隙，试作图计算该四面体的边长和高、中心到顶点距离、中心距离地面的高度、中心到两顶点连县的夹角以及中心到球面的最短距离。 解： 4 个等径圆球作紧密堆积的情形示于图 9.1 （ a ）和 (b) ，图 9.1(c) 示出堆积所形成 的正四面体空隙。该正四面体的顶点即球心位置，边长为圆球半径的 2 倍。 图 9.1 由图和正四面体的立体几何知识可知： 边长 AB=2R 2 2 1 2 2 1 AMAE EM 2 AB BE DE 高 3 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 AB 2 1 AB 1 A E R 2 3 R 2R 2 3 3 2 6R 1.633R 3 OA 3 AM 6 R 1.225R 中心到顶点的距离： 4 2 OM 1 AM 6 R 0.408R 中心到底边的高度： 4 6 中心到两顶点连线的夹角为： AOB 2 6R / 2 2 2 2 2 2 2R cos 1 OA OB AB cos 1 2 6R / 2 2 2 OA OB cos 1 1/3 109.47 中心到球面的最短距离 OA R 0.225R 本题的计算结果很重要。由此结果可知，半径为 R 的等径圆球最密堆积结构中四面体空 隙所能容纳的小球的最大半径为 0.225R 。而 0.225 正是典型的二元离子晶体中正离子的配 位
多面体为正四面体时正、 负离子半径比的下限。 此题的结果也是了解 hcp 结构中晶胞参数的基础 ( 见习题 9.04) 。 【8.2 】半径为 R 的圆球堆积成正八面体空隙，计算中心到顶点的距离。 解：正八面体空隙由 6 个等径圆球密堆积而成， 其顶点即圆球的球心， 其棱长即圆球的直径。空隙的实际体积小于八面体体积。 图 9.2 中三图分别示出球的堆积情况及所形成的正八面体空隙。 图 9.2 由图（ c ）知，八面体空隙中心到顶点的距离为： 1 1 1 OCAC 2 AB 2 2R2R 2 2 2 而八面体空隙中心到球面的最短距离为： OC R 2R R 0.414R 此即半径为 R 的等径圆球最密堆积形成的正八面体空隙所能容纳的小球的最大半径。 0.414 是典型的二元离子晶体中正离子的配位多面体为正八面体时 r / r 的下限值。 【 8.3 】半径为 R 的圆球围成正三角形空隙，计算中心到顶点的距离。 解：由图 9.3 可见，三角形空隙中心到顶点（球心）的距离为： OA 2 AD 2 3R 1.155R 3 3 图 9.3 三角形空隙中心到球面的距离为： OA R 1.155R R 0.155R 此即半径为 R 的圆球作紧密堆积形成的三角形空隙所能容纳的小球的最大半径， 0.155 是“三 角形离子配位多面体”中 r / r 的下限值。 A3 a c
金属的结构和性质体心立方堆积中八面体空隙与四面体空隙半径计算
【】半径为的圆球堆积成正四面体空隙，试作图计算该四面体的边长和高、中心到顶点距离、中心距离地面的高度、中心到两顶点连县的夹角以及中心到球面的最短距离。 解：4个等径圆球作紧密堆积的情形示于图（a）和(b)，图(c)示出堆积所形成的正四面体空隙。该正四面体的顶点即球心位置，边长为圆球半径的2倍。 图 由图和正四面体的立体几何知识可知： 边长AB=2R 高 中心到顶点的距离： 中心到底边的高度： 中心到两顶点连线的夹角为： 中心到球面的最短距离 本题的计算结果很重要。由此结果可知，半径为R的等径圆球最密堆积结构中四面体空隙所能容纳的小球的最大半径为。而正是典型的二元离子晶体中正离子的配位 多面体为正四面体时正、负离子半径比的下限。此题的结果也是了解hcp结构中晶胞参数的基础(见习题。 【】半径为的圆球堆积成正八面体空隙，计算中心到顶点的距离。 解：正八面体空隙由6个等径圆球密堆积而成，其顶点即圆球的球心，其棱长即圆球的直径。空隙的实际体积小于八面体体积。图中三图分别示出球的堆积情况及所形成的正八面体空隙。 图 由图（c）知，八面体空隙中心到顶点的距离为： 而八面体空隙中心到球面的最短距离为： 此即半径为R的等径圆球最密堆积形成的正八面体空隙所能容纳的小球的最大半径。 是典型的二元离子晶体中正离子的配位多面体为正八面体时的下限值。 【】半径为的圆球围成正三角形空隙，计算中心到顶点的距离。 解：由图可见，三角形空隙中心到顶点（球心）的距离为： 图 三角形空隙中心到球面的距离为： 此即半径为R的圆球作紧密堆积形成的三角形空隙所能容纳的小球的最大半径，是“三角形
离子配位多面体”中的下限值。 【】半径为的圆球堆积成结构，计算简单立方晶胞参数和的数值。 解：图示出A3型结构的—个简单六方晶胞。该晶胞中有两个圆球、4个正四面体空隙和两个正八面体空隙。由图可见，两个正四面体空隙共用一个顶点，正四面体高的两倍即晶胞参数c，而正四面体的棱长即为晶胞参数或。根据题的结果，可得： 图 【】证明半径为的圆球所作的体心立方堆积中，八面体空隙只能容纳半径为的小球，四面体空隙可容纳半径为的小球。 证明：等径圆球体心立方堆积结构的晶胞示于图（a）和（b）。由图（a）可见，八面体空隙中心分别分布在晶胞的面心和棱心上。因此，每个晶胞中6个八面体空隙。而每个晶胞中含2个圆球，所以每个球平均摊到3个八面体空隙。这些八面体空隙是沿着一个轴被压扁了的变形八面体，长轴为，短轴为（是晶胞参数）。 （圆球，八面体空隙中心，四面体空隙中心） 图 八面体空隙所能容纳的小球的最大半径即从空隙中心（沿短轴）到球面的距离，该距离为。体心立方堆积是一种非最密堆积，圆球只在轴方向上互相接触，因而。代入，得。 由图（b）可见，四面体空隙中心分布在立方晶胞的面上，每个面有4个四面体中心，因此每个晶胞有12个四面体空隙。而每个晶胞有2个球，所以每个球平均摊到6个四面体空隙。这些四面体空隙也是变形的，两条长棱皆为，4条短棱皆为。 四面体空隙所能容纳的小球的最大半径等于从四面体空隙中心到顶点的距离减去球的半径R。而从空隙中心到顶点的距离为，所以小球的最大半径为 【】计算等径圆球密置单层中平均每个球所摊到的三角形空隙数目及二维堆积密度。 解：图示出等径圆球密置单层的—部分。 图 由图可见，每个球(如A)周围有6个三角形空隙，而每个三角形空隙由3个球围成，所以每个球平均摊到个三角形空隙。也可按图中画出的平行四边形单位计算。该单位只包含一个球（截面）和2个三角形空隙，即每个球摊到2个三角形空隙。 设等径圆球的半径为R，则图中平行四边形单位的边长为2R。所以二维堆积系数为： 【】指出型和型等径圆球密置单层的方向是什么 解：A1型等径团球密堆积中，密置层的方向与轴垂直，即与(111)面平行。A3型等径圆球密堆积中，密置层的方向与六重轴垂直，即与(001)面平行。下面将通过两种密堆积型式划分出来的晶胞进一步说明密置层的方向。 A1型密堆积可划分出如图(a)所示的立方面心晶胞。在该晶胞中，由虚线连接的圆球所处的平面即密置层面，该层面垂直于立方晶胞的体对角线即轴。每一晶胞有4条体对角线，即在4个方向上都有轴的对称性。因此，与这4个方向垂直的层面都是密置层。
六方最密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙中心的分数坐标
密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙 晶体结构的密堆积原理密堆积结构是指在由无方向性的金属键,离子键和范德华力结合的晶体中,原子、分子或离子等微粒总是趋向于相互配位数高，能充分利用空间的堆积密度大的那些结构。密堆积方式由于充分利用了空间，从而可使体系的势能尽可能降低。结构稳定。最常见的密堆积型式有：面心立方最密堆积（A1），六方最密堆积（A3）和体心立方密堆积 （A2）。 我们主要介绍面心立方密堆积和六方密堆积。 等径圆球紧密排列形成密置层， 如图所示。 在密置层内，每个圆球周围有六 个球与它相切。相切的每三个球又围 出一个三角形空隙。仔细观察这些三 角形空隙，一排尖向上，接着下面一 排尖向下，交替排列。而每个圆球与 它周围的六个球围出的六个三角形空 隙中，有三个尖向上，另外三个尖向 下。如图所示，我们在这里将尖向上 的三角形空隙记为B，尖向下的三角形空隙记为C。第二密置层的球放在B之上，第三密置层 的球投影在C中，三层完成一个周 期。这样的最密堆积方式叫做立方 最密堆积（ccp，记为 A1型）， 形成面心立方晶胞。
若第三密置层的球投影与第一密置层的球重合，两层完成一个周期。这样的最密堆积方式叫做六方最密堆积（hcp ，记为A3型），形成六方晶胞，如图所示。 在这两种堆积方式中，任何四个相切的球围成一个正四面体空隙；另外，相切的三个球如果与另一密置层相切的三个球空隙对应，它们六个球将围成一个正八面体空隙。也就是说，围成正 八面体空隙的这六个球可以分为相邻的两层，每层的正三角形中心的连线垂直于正三角形所在的密置层，参看下图，黑色代表的不是球而是正八面体的中心。 在这两种最密堆积方式中，每个球与同一密置层的六个球相切，同时与上一层的三个球和下一层的三个球相切，即每个球与周围十二个球相切（配位数为12）。中心这个球与周围的球围出八 个正四面体空隙，平均分摊到每个正四面体空隙的是八分之一个球。这样，每个正四面体空隙分摊到的球数是四个八分之一，即半个。中心这个球周围还围出六个八面体空隙，它平均分摊到每个正八面体空隙的是六分之一个球。这样，每个正八面体空隙分摊到的球数是六个六分之一，即一个。总之，这两种最密堆积中，球数 : 正八面体空隙数 : 正四面体空隙数 = 1:1:2 。等径球的两种最密堆积具有相同的堆积密度，都为74.05%. 下面计算四面体空隙和八面体空隙中所能容纳的球的半径的大小。
六方最密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙
六方最密堆积中正八面体空隙 与正四面体空隙中心得分数坐标 等径圆球紧密排列形成 密置层,如图所示。 在密置层内,每个圆球周 围有六个球与它相切。相切 得每三个球又围出一个三角 形空隙。仔细观察这些三角 形空隙,一排尖向上,接着下面 一排尖向下,交替排列。而每 个圆球与它周围得六个球围出得六个三角形空隙中,有三个尖向上,另外 三个尖向下。如图 所示,我们在这里 将尖向上得三角形 空隙记为B,尖向下 得三角形空隙记为 C。第二密置层得 球放在B之上,第 三密置层得球投影 在C中,三层完成 一个周期。这样得 最密堆积方式叫做 立方最密堆积(ccp,
记为A1型),形成面心立方晶胞。 若第三密置层得球投影与第一密置层得球重合,两层完成一个周期。这样得最密堆积方式叫做六方最密堆积(hcp,记为A3型),形成六方晶胞,如图所示。 在这两种堆积方式中,任何四个相切得球围成一个正四面体空隙;另外,相切得三个球如果与另一密置层相切得三个球空隙对应,它们六个球将围成一个正八面体空隙。也就就是说,围成正八面体空隙得这六个球可以分为相邻得两层,每层得正三角形中心得连线垂直于正三角形所在得密置层,参瞧下图,黑色代表得不就是球而就是正八面体得中心。 在这两种最密堆积方式中,每个球 与同一密置层得六个球相切,同时与上 一层得三个球与下一层得三个球相切, 即每个球与周围十二个球相切(配位数 为12)。中心这个球与周围得球围出 八个正四面体空隙,平均分摊到每个正 四面体空隙得就是八分之一个球。这 样,每个正四面体空隙分摊到得球数就是四个八分之一,即半个。中心这个球周围还围出六个八面体空隙,它平均分摊到每个正八面体空隙得就是六分之一个球。这样,每个正八面体空隙分摊到得球数就是六个六分之一,即一个。总之,这两种最密堆积中,球数: 正八面体空隙数: 正四面体空隙数= 1:1:2 。 面心立方最密堆积(ccp, A1型)中正八面体空隙与正四面体空隙得问题比较简单、直观。下面我们集中讨论六方最密堆积(hcp,A3型)中正八面体空隙与正四面体空隙中心得分数坐标。
金属的结构和性质体心立方堆积中八面体空隙与四面体空隙半径计算
08金属得结构与性质 【8、1】半径为7?得圆球堆积成正四面体空隙，试作图计算该四面体得边长与爲、中心到顶 点距离、中心距离地面得高度、中心到两顶点连县得夹角以及中心到球面得最短距离。 解：4个等径圆球作紧密堆积得情形示于图9、1(a)与(b),图9、1(c)示出堆积所形成得 正四面体空陳。该正四面体得顶点即球心位置，边长为圆球半径得2倍。 由图与正四面体得立体几何知识可知: 边长AB=2R 1 AM =(AE 1 2 3-EM 2y 鬲 OA = -AM =—R^\.225R 中心到顶点得距离： 4 2 OM =-AM =~R^ 0.408/? 中心到底边得高度： 4 6 中心到两顶点连线得夹角为：ZAOB = cos H (-1/3) = 109.47° 中心到球面得最短距离=OA-R^ 0.2257? 本题得计算结果很重要。由此结果可知，半径为R 得等径岡球最密堆积结构中四面体空 隙所能容纳得小球得最大半径为0、225Ro 而0、225正就是典型得二元离子晶体中正离子 得配位 1 =AB 2 - -AB U - -AE 1 厂 =(2町_疋_ OA 2 + OB 2 - AB 2 —COS J 2(品R/2)'-(2R)2 2(04)(03) 2(極/2『 0 = cos"1 D
多面体为正四面体时正.负离子半径比得下限。此题得结果也就是了解hep结构中晶胞参数得基础（见习题9、04）。 【8、2］半径为尺得圆球堆积成正八面体空隙，计算中心到顶点得距离。 解：正八面体空隙由6个等径圆球密堆枳而成，其顶点即圆球得球心，其棱长即圆球得直径。空隙得实际体积小于八面体体积。图沢2中三图分别示出球得堆积情况及所形成得正 图9、2 由图（c）知，八面体空隙中心到顶点得距离为： OC = ^-AC = -42AB = -^2x2R = yf2R 2 2 2 而八面体空隙中心到球面得最短距离为： OC-R = d-RZ4\4R 此即半径为R得等径圆球最密堆积形成得正八面体空隙所能容纳得小球得最大半径。0. 414 就是典型得二元离子晶体中正离子得配位多面体为正八面体时仃/匚得下限值。 【8、3］半径为R得圆球围成正三角形空隙，计算中心到顶点得距离。 解：由图9、3可见，三角形空隙中心到顶点（球心）得距离为： 2 2 OA = -AD = -^R^\A55R 三角形空隙中心到球面得距离为： OA-R^lA55R-R = OA55R 此即半径为R得圆球作紧密堆积形成得三角形空隙所能容纳得小球得最大半径,0、155就是“三角形离子配位多面体”中h得下限值。 【8、4］半径为R得圆球堆积成43结构，计算简单立方晶胞参数"与c得数值。 解：图9、4示出A3型结构得一个简单六方晶胞。该晶胞中有两个圆球、4个正四面体 空隙与两个正八面体空隙。由图可见，两个正四面体空隙共用一个顶点，正四面体高得两倍即
六方最密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙中心的分数坐标
六方最密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙中心的分数 坐标 密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙 晶体结构的密堆积原理密堆积结构是指在由无方向性的金属键,离子键和范德华力结合的晶体中,原子、分子或离子等微粒总是趋向于相互配位数高～能充分利用空间的堆积密度大的那些结构。密堆积方式由于充分利用了空间～从而可使体系的势能尽可能降低。结构稳定。最常见的密堆积型式有:面心立方最密堆积,A,～六方最密堆积,A,和体心立方密堆积13 ,A,。 2 我们主要介绍面心立方密堆积和六方密堆积。 等径圆球紧密排列形成密置层～ 如图所示。 在密置层内～每个圆球周围有六 个球与它相切。相切的每三个球又围 出一个三角形空隙。仔细观察这些三 角形空隙～一排尖向上～接着下面一
排尖向下～交替排列。而每个圆球与 它周围的六个球围出的六个三角形空 隙中～有三个尖向上～另外三个尖向 下。如图所示～我们在这里将尖向上 的三角形空隙记为B～尖向下的三角形空隙记为C。第二密置层的球放在B之上～第三密置层 的球投影在C中～三层完成一个周 期。这样的最密堆积方式叫做立方 最密堆积,ccp～记为 A1型,～ 形成面心立方晶胞。
若第三密置层的球投影 与第一密置层的球重合～两层完成一个周期。这样的最密堆积方式叫做六方最密堆积,hcp～记为A3型,～形成六方晶胞～如图所示。在这两种堆积方式中～ 任何四个相切的球围成一个正四面体空隙,另外～相切的三个球如果与另一密置层相切的三个球空隙对应～它们六个球将围成一个正八面体空隙。也就是说～围成正
八面体空隙的这六个球可以分为相邻的两层～每层的正三角形中心的连线垂直于正三角形所在的 密置层～参看下图～黑色代表的不是球而是正八 面体的中心。 在这两种最密堆积方式中～每个球与同一密置层 的六个球相切～同时与上一层的三个球和下一层 的三个球相切～即每个球与周围十二个球相切 ,配位数为12,。中心这个球与周围的球围出八 个正四面体空隙～平均分摊到每个正四面体空隙的是八分之一个球。这样～每个正四面体空隙 分摊到的球数是四个八分之一～即半个。中心这个球周围还围出六个八面体空隙～它平均分摊 到每个正八面体空隙的是六分之一个球。这样～每个正八面体空隙分摊到的球数是六个六分之 : 正八面体空隙数 : 正四面体空隙数 = 一～即一个。总之～这两种最密堆积中～球数 1:1:2 。等径球的两种最密堆积具有相同的堆积密度～都为74.05%. .下面计算四面体空隙和八面体空隙中所能容纳的球的半径的大小。
六方最密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙
六方最密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
六方最密堆积中正八面体空隙 和正四面体空隙中心的分数坐标 等径圆球紧密排列形成 密置层，如图所示。 在密置层内，每个圆球 周围有六个球与它相切。相 切的每三个球又围出一个三 角形空隙。仔细观察这些三 角形空隙，一排尖向上，接 着下面一排尖向下，交替排列。而每个圆球与它周围的六个球围出的 六个三角形空隙 中，有三个尖向 上，另外三个尖向 下。如图所示，我 们在这里将尖向上 的三角形空隙记为 B，尖向下的三角 形空隙记为C。第 二密置层的球放在 B之上，第三密置 层的球投影在C 中，三层完成一个
周期。这样的最密堆 积方式叫做立方最密 堆积（ccp，记为 A1 型），形成面心立方 晶胞。 若第三密置层的 球投影与第一密置层 的球重合，两层完成 一个周期。这样的最密堆积方式叫做六方最密堆积（hcp，记为A3型），形成六方晶胞，如图所示。 在这两种堆积方式中，任何四个相切的球围成一个正四面体空隙；另外，相切的三个球如果与另一密置层相切的三个球空隙对应，它们六个球将围成一个正八面体空隙。也就是说，围成正八面体空隙的这六个球可以分为相邻的两层，每层的正三角形中心的连线垂直于正三角形所在的密置层，参看下图，黑色代表的不是球而是正八面体的中心。 在这两种最密堆积方式中，每个 球与同一密置层的六个球相切，同时 与上一层的三个球和下一层的三个球 相切，即每个球与周围十二个球相切 （配位数为12）。中心这个球与周围 的球围出八个正四面体空隙，平均分摊到每个正四面体空隙的是八分之一个球。这样，每个正四面体空隙分摊到的球数是四个八分之一，
六方最密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙
六方最密堆积中正八面体 空隙和正四面体空隙 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020
六方最密堆积中正八面体空隙 和正四面体空隙中心的分数坐标 等径圆球紧密排列形成密置 层，如图所示。 在密置层内，每个圆球周围 有六个球与它相切。相切的每三 个球又围出一个三角形空隙。仔 细观察这些三角形空隙，一排尖 向上，接着下面一排尖向下，交 替排列。而每个圆球与它周围的六个球围出的六 个三角形空隙中，有三个尖向 上，另外三个尖向下。如图所 示，我们在这里将尖向上的三角 形空隙记为B，尖向下的三角形 空隙记为C。第二密置层的球放 在B之上，第三密置层的球投影 在C中，三层完成一个周期。这 样的最密堆积方式叫做立方最密 堆积（ccp，记为 A1型），形 成面心立方晶胞。
若第三密置层的球投影与第一密置层的球重合，两层完成一个周期。这样的最密堆积方式叫做六方最密堆积（hcp，记为A3型），形成六方晶胞，如图所示。 在这两种堆积方式中，任何四个相切的球围成一个正四面体空隙；另外，相切的三个球如果与另一密置层相切的三个球空隙对应，它们六个球将围成一个正八面体空隙。也就是说，围成正八面体空隙的这六个球可以分为相邻的两层，每层的正三角形中心的连线垂直于正三角形所在的密置层，参看下图，黑色代表的不是球而是正八面体的中心。 在这两种最密堆积方式中，每个球与同一密置层的六个球相切，同时与上一层的三个球和下一层的三个球相切，即每个球与周围十二个球相切（配位数为12）。中心这个球与周围的球围出八个正四面体空隙，平均分摊到每个正四面体空隙的是八分之一个球。这样，每个正四面体空隙分摊到的球数是四个八分之一，即半个。中心这个球周围还围出六个八面体空隙，它平均分摊到每个正八面体空隙的是六分之一个球。这样，每个正八面体空隙分摊到的球数是六个六分之一，即一个。总之，这两种最密堆积中，球数 : 正八面体空隙数 : 正四面体空隙数 = 1:1:2 。 面心立方最密堆积（ccp， A1型）中正八面体空隙和正四面体空隙的问题比较简单、直观。下面我们集中讨论六方最密堆积（hcp，A3型）中正八面体空隙和正四面体空隙中心的分数坐标。 在六方最密堆积中画出一个六方晶胞，如下面两幅图所示。
金属的结构和性质体心立方堆积中八面体空隙与四面体空隙半径计算
多面体为正四面体时正、 负离子半径比的下限。 此题的结果也是了解 hep 结构中晶胞参数的 08金属的结构和性质 【8.1】半径为R 的圆球堆积成正四面体空隙，试作图计算该四面体的边长和高、中心到顶 点距离、中心距离地面的高度、中心到两顶点连县的夹角以及中心到球面的最短距离。 解：4个等径圆球作紧密堆积的情形示于图 9.1（ a ）和（b ），图9.1（c ）示出堆积所 形成的 由图和正四面体的立体几何知识可知: 边长AB=2R 隙所能容纳的小球的最大半径为 0.225R 。而0.225 正是典型的二元离子晶体中正离子的配位 AM 高 AE 2 1 EM 2 2 AB 2 BE 2 ^DE 3 AB 2 2AB 1AE 2R R 2 Q — -V6R 3 1.633R 中心到顶点的距离: OA 3 AM 4 OM 中心到底边的高度： 中心到两顶点连线的夹角为: 1AM 4 ,6厂 R 2 6 1.225R 0.408R AOB 1 cos OA 2 OB 2 AB 2 2 OA OB 1 cos 2 6R/2 彳 2R 2 2 ^6R/2 2 1 cos 1/3 109.47 中心到球面的最短距离 OA R 0.225R 本题的计算结果很重要。由此结果可知，半径为 R 的等径圆球最密堆积结构中四面体空 正四面体空隙。该正四面体的顶点即球心位置，边长为圆球半径的 2倍。
基础（见习题9.04）。 【8.2】半径为R的圆球堆积成正八面体空隙，计算中心到顶点的距离。 解：正八面体空隙由6个等径圆球密堆积而成，其顶点即圆球的球心，其棱长即圆球的 直径。空隙的实际体积小于八面体体积。图9.2中三图分别示出球的堆积情况及所形成的正 八面体空隙。 由图（c）知，八面体空隙中心到顶点的距离为： 1 1 _ 1 _ — OC -AC 2AB 〔2 2R 「2R 2 2 2 而八面体空隙中心到球面的最短距离为： OC R 近R R 0.414R 此即半径为R的等径圆球最密堆积形成的正八面体空隙所能容纳的小球的最大半径。0.414是典型的二元离子晶体中正离子的配位多面体为正八面体时r /r的下限值。 【8.3】半径为R的圆球围成正三角形空隙，计算中心到顶点的距离。 解：由图9.3可见，三角形空隙中心到顶点（球心）的距离为： OA - AD 3R 1.155R 3 3 三角形空隙中心到球面的距离为： OA R 1.155R R 0.155R 此即半径为R的圆球作紧密堆积形成的三角形空隙所能容纳的小球的最大半径，0.155是“三角形离子配位多面体”中r /r的下限值。 【8.4】半径为R的圆球堆积成A3结构，计算简单立方晶胞参数a和c的数值。