金属的结构和性质 体心立方堆积中八面体空隙与四面体空隙半径计算
08金属的结构和性质
【8.1】半径为R 的圆球堆积成正四面体空隙，试作图计算该四面体的边长和高、中心到顶点距离、中心距离地面的高度、中心到两顶点连县的夹角以及中心到球面的最短距离。
解：4个等径圆球作紧密堆积的情形示于图9.1（a ）和(b)，图9.1(c)示出堆积所形成的正四面体空隙。该正四面体的顶点即球心位置，边长为圆球半径的2倍。
图9.1
由图和正四面体的立体几何知识可知： 边长AB=2R
高
()
12
12
2
2222
13AM AE EM
AB BE DE ????=-=--?? ?
?????
?
(
)1
12
2
222
222
11223AB AB AE R R R ???????????=--=--??? ? ????????????????
1.633R =≈
中心到顶点的距离：3 1.2254OA AM R R
==≈
中心到底边的高度：
10.4084OM AM R =
=≈
中心到两顶点连线的夹角为：AOB ∠
()(
))
(
)()
2
2
2
2
2
1122/22cos cos 22/2R OA OB AB OA OB θ--??
-??+-??==????
??????
()1
cos 1/3109.47-=-=? 中心到球面的最短距离0.225OA R R =-≈
本题的计算结果很重要。由此结果可知，半径为R 的等径圆球最密堆积结构中四面体空 隙所能容纳的小球的最大半径为0.225R 。而0.225正是典型的二元离子晶体中正离子的配位 多面体为正四面体时正、负离子半径比的下限。此题的结果也是了解hcp 结构中晶胞参数的
基础(见习题9.04)。
【8.2】半径为R 的圆球堆积成正八面体空隙，计算中心到顶点的距离。
解：正八面体空隙由6个等径圆球密堆积而成，其顶点即圆球的球心，其棱长即圆球的直径。空隙的实际体积小于八面体体积。图9.2中三图分别示出球的堆积情况及所形成的正八面体空隙。
图9.2
由图（c ）知，八面体空隙中心到顶点的距离为：
1112222222OC AC AB R R =
==?=
而八面体空隙中心到球面的最短距离为：
20.414OC R R R R -=-≈
此即半径为R 0.414 是典型的二元离子晶体中正离子的配位多面体为正八面体时/r r +-的下限值。
【8.3】半径为R 的圆球围成正三角形空隙，计算中心到顶点的距离。
解：由图9.3可见，三角形空隙中心到顶点（球心）的距离为：
223 1.15533OA AD R R =
=≈
图9.3
三角形空隙中心到球面的距离为：
1.1550.155OA R R R R -≈-=
此即半径为R 的圆球作紧密堆积形成的三角形空隙所能容纳的小球的最大半径，0.155是“三角形离子配位多面体”中/r r +-的下限值。
【8.4】半径为R 的圆球堆积成3A 结构，计算简单立方晶胞参数a 和c 的数值。
解：图9.4示出A3型结构的—个简单六方晶胞。该晶胞中有两个圆球、4个正四面体
空隙和两个正八面体空隙。由图可见，两个正四面体空隙共用一个顶点，正四面体高的两倍即晶胞参数c ，而正四面体的棱长即为晶胞参数a 或b 。根据9.01题的结果，可得：
图9.4
2a b R == 2462633c R R
=?
= 2/6 1.633
3c a =≈
【8.5】证明半径为R 的圆球所作的体心立方堆积中，八面体空隙只能容纳半径为0.154R 的小球，四面体空隙可容纳半径为0.291R 的小球。
证明：等径圆球体心立方堆积结构的晶胞示于图9.5（a ）和（b ）。由图9.5（a ）可见，八面体空隙中心分别分布在晶胞的面心和棱心上。因此，每个晶胞中6个八面体空隙
1161224???+? ??
?。而每个晶胞中含2个圆球，所以每个球平均摊到3个八面体空隙。这些八面体空隙是沿着一个轴被压扁了的变形八面体，长轴为2a ，短轴为a （a 是晶胞参数）。
（?圆球，八面体空隙中心，四面体空隙中心）
图9.5
八面体空隙所能容纳的小球的最大半径0r 即从空隙中心（沿短轴）到球面的距离，该
距离为2a R
-。体心立方堆积是一种非最密堆积，圆球只在3C 轴方向上互相接触，因而
3a R =
。代入2a R -，得010.1543r R R
?=-≈??。
由图9.5（b ）可见，四面体空隙中心分布在立方晶胞的面上，每个面有4个四面体中
心，因此每个晶胞有12个四面体空隙
1642?
??? ?
??。而每个晶胞有2个球，所以每个球平均摊到6个四面体空隙。这些四面体空隙也是变形的，两条长棱皆为a ，4条短棱皆为3
2a
。
四面体空隙所能容纳的小球的最大半径T r 等于从四面体空隙中心到顶点的距离减去球
的半径R
。而从空隙中心到顶点的距离为1
22
2
24a a ??????+=?? ? ??????
???，所以小球的最大半径
为0.291R R R
-=-=
【8.6】计算等径圆球密置单层中平均每个球所摊到的三角形空隙数目及二维堆积密度。
解：图9.6示出等径圆球密置单层的—部分。
图9.6
由图可见，每个球(如A)周围有6个三角形空隙，而每个三角形空隙由3个球围成，所
以每个球平均摊到1623?=个三角形空隙。也可按图中画出的平行四边形单位计算。该单
位只包含一个球（截面）和2个三角形空隙，即每个球摊到2个三角形空隙。
设等径圆球的半径为R ，则图中平行四边形单位的边长为2R 。所以二维堆积系数为：
()
2
2
2
0.906
2sin 60R R π=
=?
【8.7】指出1A 型和3A 型等径圆球密置单层的方向是什么？
解：A1型等径团球密堆积中，密置层的方向与3C 轴垂直，即与(111)面平行。A3型等径圆球密堆积中，密置层的方向与六重轴垂直，即与(001)面平行。下面将通过两种密堆积型式划分出来的晶胞进一步说明密置层的方向。
A1型密堆积可划分出如图9.7(a)所示的立方面心晶胞。在该晶胞中，由虚线连接的圆球所处的平面即密置层面，该层面垂直于立方晶胞的体对角线即3C 轴。每一晶胞有4条体对角线，即在4个方向上都有3C 轴的对称性。因此，与这
4个方向垂直的层面都是密置层。
图9.7
A3型密堆积可划分出如图9.7(b)所示的六方晶胞。球A 和球B 所在的堆积层都是密置
层．这些层面平行于(001)晶面，即垂直于c 轴，而c 轴平行于六重轴6C 。
【8.8】请按下面（a ）~（c ）总结1A 、2A 及3A 型金属晶体的结构特征。
（a ） 原子密置层的堆积方式、重复周期（2A 型除外）、原子的配位数及配位情况。 （b ） 空隙的种类和大小、空隙中心的位置及平均每个原子摊到的空隙数目。
（c ） 原子的堆积系数、所属晶系、晶胞中原子的坐标参数、晶胞参数与原子半径的关系
以及空间点阵型式等。
解：
(a)A1，A2和A3型金属晶体中原子的堆积方式分别为立方最密堆积(ccp)、体心立方密堆积(bcp)相六方最密堆积(hcp)。A1型堆积中密堆积层的重复方式为ABCABCABC …，三层为一重复周期，A3型堆积中密堆积层的重复方式为ABABAB …，两层为一重复周期。Al 和A3型堆积中原子的配位数皆为12，而A2型堆积中原子的配位数为8—14，在A1型和A3型堆积中，中心原子与所有配位原子都接触．同层6个，上下两层各3个。所不同的是，A1型堆积中，上下两层配位原子沿3C 轴的投影相差60 呈6C 轴的对称性，而A3型堆积中，上下两层配位原子沿c 轴的投影互相重合。在A2型堆积中，8个近距离(与中心原子
相距为)配位原子处在立方晶胞的顶点上，6个远距离(与中心原子相距为a )配位原子
处在相邻品胞的体心上。
(b)A1型堆积和A3型堆积都有两种空隙，即四面体空隙和八面体空隙。四面体空隙可容纳半径为0.225R 的小原子．八面体空隙可容纳半径为0.414R 的小原子(R 为堆积原子的半径)。在这两种堆积中，每个原子平均摊到两个四面体空隙和1个八面体空隙。差别在于，两种堆积中空隙的分布不同。在A1型堆积中，四面体空隙的中心在立方面心晶胞的体对角
线上，到晶胞顶点的距离为2R
。八面体空隙的中心分别处在晶胞的体心和棱心上。在
A3型堆积中，四面体空隙中心的坐标参数分别为
352112170,0,;0,0,;,,;,,
88338338。而八面体空隙中心的坐标参数分别为211213,,;,,334334。A2型堆积中有变形八面体空隙、变形四面
体空隙和三角形空隙(亦可视为变形三方双锥空隙)。八面体空隙和四面体空隙在空间上是重
复利用的。八面体空隙中心在体心立方晶胞的面心和棱心上。每个原子平均摊到3个八面体空隙，该空隙可容纳的小原子的最大半径为0.154R 。四面体空隙中心处在晶胞的面上。每个原子平均摊到6个四面体空隙，该空隙可容纳的小原子的最大半径为0.291R 。三角形空隙实际上是上述两种多面体空隙的连接面，算起来，每个原子摊到12个三角形空隙。 （c ）
金属的结构形式 A1 A2 A3 原子的堆积系数
74.05% 68.02% 74.05% 所属晶系 立方 立方 六方 晶胞形式
面心立方
体心立方
六方
晶胞中原子 的坐标参数
110,0,0;,,0;
221111,0,;0,,2222
0,0,0;111,,222 0,0,0;211,,332 晶胞参数与
原子半径的关系
a =
a R =
2a b R c ===
点阵形式 面心立方 体心立方 简单六方
综上所述，A1，A2和A3型结构是金属单质的三种典型结构形式。它们具有共性，也有差异。尽管A2型结构与A1型结构同属立方晶体，但A2型结构是非最密堆积，堆积系数小，且空隙数目多，形状不规则，分布复杂。搞清这些空隙的情况对于实际工作很重要。A1型和A3型结构都是最密堆积结构，它们的配位数、球与空隙的比例以及堆积系数都相同。差别是它们的对称性和周期性不同。A3型结构属六方晶系，可划分出包含两个原子的六方晶胞。其密置层方向与c 轴垂直。而A1型结构的对称性比A3型结构的对称性高，它属立方晶系，可划分出包含4个原子的面心立方晶胞，密置层与晶胞体对角线垂直。A1型结构将原子密置层中6C 轴所包含的3C 轴对称性保留了下来。另外，A3型结构可抽象出简单六方点阵，而A1型结构可抽象出面心立方点阵。
【8.9】画出等径圆球密置双层图及相应的点阵素单位，指明结构基元。
解：等径圆球的密置双层示于图9.9。仔细观察和分子便发现，作周期性重复的最基本的结构单位包括2个圆球，即2个圆球构成一个结构基元。这两个球分布在两个密置层中，如球A 和球B 。
图9.9
密置双层本身是个三锥结构，但由它抽取出来的点阵却为平面点阵。即密置双层仍为二维点阵结构。图中画出平面点阵的素单位，该单位是平面六方单位，其形状与密置单层的点阵素单位一样，每个单位也只包含1个点阵点，但它代表2个球。
等径圆球密置双层是两个密置层作最密堆积所得到的唯一的一种堆积方式。在密置双层结构中，圆球之间形成两种空隙，即四面体空隙和八面体空隙。前者由3个相邻的A 球和1个B 球或3个相邻的B 球和1个A 球构成。后者则由3个相邻的A 球和3个相邻的B 球构成。球数:四面体空隙数:八面体空隙数=2:2:1
【8.10】金属铜属于1A 型结构，试计算（111）、（110）和（100）等面上铜原子的堆积系数。
解：参照金属铜的面心立方晶胞，画出3个晶面上原子的分布情况如下（图中未示出原子的接触情况）：
（111）面是密置面，面上的所有原子作紧密排列。该面还是的铜原子的堆积系数等于三角形单位中球的总最大截面积除以三角形的面积。三角形单位中包含两个半径为R 的球
1
1332
6???+? ?
??，所以该面上原子的堆积系数为：
20.906
==
【8.11】 金属铂为1A 型结构，立方晶胞参数392.3a pm =，Pt 的相对原子质量为195.0，试求金属铂的密度及原子半径。
解：因为金属铂属于A1型结构，所以每个立方晶胞中有4个原子。因而其密度为：
()1
3310231
44195.0392.310 6.02210A M g mol D a N cm mol ---?==
???
3
21.45g
c m -= A1型结构中原子在立方晶胞的面对角线方向上互相接触，因此晶胞参数a 和原子半径R 的
关系为a =，所以：
138.7R pm =
=
=
【8.12】 硅的结构和金刚石相同，Si 的共价半径为117pm ，求硅的晶胞参数，晶胞体积
和晶胞密度。 解：硅的立方晶胞中有8个硅原子，它们的坐标参数与金刚石立方晶胞中碳原子的坐标参数相同。硅的共价半径和晶胞参数的关系可通过晶胞对角线的长度推导出来。设硅的共价半径为Si r ，晶胞参数为a ，则根据硅原子的坐标参数可知，体对角线的长度为8Si r 。而体对角线
，因而有8Si r =，所以：
117540Si a pm pm =
==
晶胞体积为：
3
383
117 1.5810V a pm pm ?===???
晶体密度为：
1
3
10231
88.2911710 6.02210g mol D cm mol ---?=
??????
3
2.37g cm -=
金刚石、硅和灰锡等单质的结构属立方金刚石型（A4型），这是一种空旷的结构型式，
原子的空间占有率只有34.01%。
【8.13】已知金属钛为六方最密堆积结构，钛原子半径为146pm ，试计算理想的六方晶胞参数及晶体密度。 解：晶胞参数为：
22146292146477a b R pm pm
c pm pm ===?==
==
晶体密度为：
2sin120A M
D abc N =
??
1
3
4.51g cm --=
=
【8.14】 铝为面心立方结构，密度为1
2.70g cm -?，试计算它的晶胞参数和原子半径。用
Cu Ka 射线摄取衍射图，33衍射线的衍射角是多少？
解：铝为面心立方结构，因而一个晶胞中有4个原子。由此可得铝的摩尔质量M 、晶胞参
数a ，晶体密度D 及Avogadro 常数A N 之间的关系为：3
4/A D M a N =，所以，晶胞参数：
111
3
3
32314426.982.70 6.02210A M g mol
a DN g cm mol ---?????== ? ??????? 404.9pm =
面心立方结构中晶胞参数a 与原子半径R 的关系为
a =，因此，铝的原子半径为：
143.2R pm
=
=
=
根据Bragg 方程得：
sin 2hkl d λ
θ=
将立方晶系面间距hkl d
，晶胞参数a 和衍射指标hkl 间的关系代入，得：
()
1
2
2
22
154.2333
sin 0.9894
2404.9pm pm
θ?++=
=
=?
81.7θ=?
【8.15】 金属纳为体心立方结构，429a pm =，计算：
（a ） Na 的原子半径； （b ） 金属钠的理论密度； （d ） （110）的间距。 解：
（a ） 金属钠为体心立方结构，原子在晶胞体对角线方向上互相接触，由此推得原子半径r
和晶胞参数a 的关系为：
r =
代入数据得：
429185.84r pm pm =
=
（b ） 每个晶胞中含两个钠原子，因此，金属钠的理论密度为：
()1
3310231
2222.9942910 6.02210A M g mol D a N cm mol ---?==
???
3
0.967g cm -=
（c ）()
(
)
1101/2222303.4110a d pm
===++
【8.16】 金属钽为体心立方结构，330a pm =，试求： （a ） Ta 的原子半径；
（b ） 金属钽的理论密度（Ta 的相对原子质量为181）；
（c ） （110）面的间距
（d ） 若用154pm λ=的X 射线，衍射指标为220的衍射角θ的数值是多少？ 解：
（a ） 钽原子的半径为：
330143r pm pm =
==
（b ） 金属钽的理论密度为：
()13310231
2218133010 6.02210A M g mol D a N cm mol ---?==
???
3
16.7g
c m -= （c ）（110）点阵面的间距为：
(
)110233d pm =
=
=
（d ）根据Bragg ()
()
(
)
220220110110sin 0.6598
1
222
d d d λ
λ
λ
θ=
=
=
=
=?
【8.17】金属镁属3A 型结构，镁的原子半径为160pm 。
（a ） 指出镁晶体所属的空间点阵型式及微观特征对称元素； （b ） 写出晶胞中原子的分数坐标；
（c ） 若原子符合硬球堆积规律，计算金属美的摩尔体积；
（d ） 求002d 值。 解：
（a ）镁晶体的空间点阵型式为简单六方。两个镁原子为一结构基元，或者说一个六方晶胞即为一结构基元。这与铜、钠、钽等金属晶体中一个原子即为一结构基元的情况不同。这要从结构基元和点阵的定义来理解。结构基元是晶体结构中作周期性重复的最基本的单位，它必须满足三个条件，即每个结构基元的化学组成相同、空间结构相同，若忽略晶体的表面效
应，它们的周围环境也相同。若以每个镁原子作为结构基元抽出一个点，这些点不满足点阵的定义，即不能按连接任意2个镁原子的矢量进行平移而使整个结构复原。 镁晶体的微观特征对称元素为36和6。 （b ）晶胞中原子的分数坐标为：
2110,0,0;,,
332。 （c ）一个晶胞的体积为sin120abc ?，而1mol 晶体相当于/2A N 个晶胞，故镁晶体的摩尔
体积为：
sin1202222A A N N abc R R ?=??
()
3
3
23
1
10
31
6.022*******
13.95A R mol cm cm mol
---==???=
也可按下述思路计算：1mol 镁原子的真实体积为3
43A
R N π，而在镁晶体中原子的堆积
系数为0.7405，故镁晶体的摩尔体积为：
()3
323144/0.7405160 6.02210/0.7405
33A R N pm mol ππ-=??
31
13.95cm mol -=
（d ）002001
12d d =，对于A3型结构，001d c =，故镁晶体002衍射面的面间距为：
002001111160261.3222d d c pm pm
=====
用六方晶系的面间距公式计算，所得结果相同。
【8.18】Ni 是面心立方金属，晶胞参数352.4a pm =，用Cr Ka 辐射（229.1pm λ=）拍粉末图，列出可能出现的铺线的衍射指标及其衍射角θ的数值。
解：对于点阵型式属于面心立方的晶体，可能出现的衍射指标的平方和(
)
2
22h
k l ++为3，
4，8，11，12，16，19，20，24等。但在本题给定的实验条件下：
sin θ=
=
0.32=当22211h k l ++≥时，sin 1θ>，这是不允许的。因此，222
h k l ++只能为3，4和8，即只能出现111，200和220衍射。相应的衍射角为：
(
(
(111111200200
220220
arcsin arcsin 34.26arcsin arcsin 40.55arcsin arcsin 66.82θθθθθθ===?===?===?
【8.19】已知金属Ni 为1A 型结构，原子间接触距离为249.2pm ，试计算： （a ） Ni 的密度及Ni 的立方晶胞参数；
（b ） 画出（100）、（110）、（111）面上原子的排布方式。 解：
（a ） 由于金属Ni 为A1型结构，因而原子在立方晶胞的面对角线方向上互相接触。由此
可求得晶胞参数：
249.2352.4a pm pm ==
晶胞中有4个Ni 原子，因而晶体密度为：
()1
3310231
4458.69352.410 6.02210A M g mol D a N cm mol ---?==
???
3
8.91g
c m -= （b ）
【8.20】 金属锂晶体属立方晶系，（100）点阵面的面间距为350pm ，晶体密度为
30.53g cm -?，从晶胞中包含的原子数目判断该晶体属何种点阵型式？（Li 的相对原子质
量为6.941）。
解：金属锂的立方晶胞参数为：
()100350a d pm
==
设每个晶胞中锂原子数为Z ，则：
()()
3
3101
1
23
10.5335010 1.972
6.941 6.02210g cm cm Z g mol mol
-----??=
=≈??
立方晶系晶体的点阵形式有简单立方、体心立方和面心立方三种，而对立方晶系的金属晶体，可能的点阵形式只有面心立方和体心立方两种。若为前者，则一个晶胞中应至少有4个原子。由此可知，金属锂晶体属于体心立方点阵。
【8.21】 灰锡为金刚石型结构，晶胞中包含8个Sn 原子，晶胞参数648.9a nm = （a ） 写出晶胞中8个Sn 原子的分数坐标； （b ） 算出Sn 的原子半径；
（c ） 灰锡的密度为3
5.75g cm -?，求Sn 饿相对原子质量；
（d ） 白锡属四方晶系，583.2a pm =，318.1c pm =，晶胞中含有4个Sn 原子，通过
计算说明由白锡转变为灰锡，体积是膨胀了，还是收缩了？ （e ） 白锡中Sn Sn -间最短距离为302.2pm ，试对比灰锡数据，估计哪一种锡的配位数
高？
解：
（a ） 晶胞中8个锡原子的分数坐标分别为：
1111113111311133330,0,0;,,0;,0,;0,,;,,;,,;,,;,,
222222444444444444 （b ） 灰锡的原子半径为：
(
)648.9140.588Sn r a pm pm =
=?=灰
（c ） 设锡的摩尔质量为M ，灰锡的密度为
()
Sn D 灰，晶胞中原子数为Z ，则：
()3A
Sn D a N M Z
=
灰
()3
310231
1
5.75648.910
6.022108
118.3g cm cm mol g mol ----????=
=
即锡的相对原子质量为118.3。 （d ） 由题意，白锡的密度为：
()24Sn A M D a cN =
白
()()1
2
10
10231
3
4118.3583.210
318.110 6.022107.26g mol cm cm mol g cm -----?=
?????=
可见，由白锡转变为灰锡，密度减小，即体积膨胀了。 （e ） 灰锡中Sn －Sn 间最短距离为：
()22140.5281.0Sn r pm pm
=?=灰
小于白锡中Sn －Sn 间最短距离，由此可推断，白锡中原子的配位数高。
【8.22】 有一黄铜合金含Cu 75%，Zn 25%（质量），晶体的密度为3
8.5g cm -?。晶体属立方面心点阵结构，晶胞中含4个原子。Cu 的相对原子质量63.5，Zn 65.4。 （a ） 求算Cu 和Zn 所占的原子百分数； （b ） 每个晶胞中含合金的质量是多少克？ （c ） 晶胞体积多大？
（d ） 统计原子的原子半径多大？ 解：
（a ） 设合金中铜的原子分数（即摩尔分数）为x ，则锌的原子分数（即摩尔分数）为1x -，
由题意知，
()63.5:65.410.75:0.25
x x -=
解之得： 0.755,10.245x x =-=
所以，该黄铜合金中，Cu 和Zn 的摩尔分数分别为75.5%和24.5%。 （b ） 每个晶胞中含合金的质量为：
()1
12223
1
0.7563.50.2565.44
4.25106.02210g mol
g mol g
mol ----?+??=??
（c ） 晶胞的体积等于晶胞中所含合金的质量除以合金的密度，即：
-22233
3
4.2510V=
5.0108.5g cm g cm --?=?
（d ） 由晶胞的体积可求出晶胞参数：
()
1123
333
5.010368a V cm
pm
-==?=
由于该合金属立方面心点阵结构，因而统计原子在晶胞面对角线方向上相互接触，由此可推得统计原子半径为：
130r pm =
=
=
【8.23】Au Cu 无序结构属立方晶系，晶胞参数358a pm =()9.3.1c ???
?
如图。若合金结构
有（a ）变为（c ）时，晶胞大小看作不变，请回答； （a ） 无序结构的点阵型式和结构单元；
（b ） 有序结构的点阵型式、结构单元、和原子分数坐标；
（c ） 用波长154pm 的X 射线拍粉末图，计算上述两种结构可能在粉末图中出现的衍射
线的最小衍射角()θ的数值。
解：
（a ） 无序结构的点阵型式为面心立方，结构基元为1x Cu Au -，即一个统计原子。
（b ） 有序结构的点阵型式为简单四方，结构基元为CuAu ，上述所示的立方晶胞[图9.23
（b ）]可进一步划分成两个简单四方晶胞，相当于两个结构基元。取[图9.23（b ）]
中面对角线的1/2为新的简单四方晶胞的a 轴和b 轴，而c 轴按[图9.23（b ）]不变，在新的简单四方晶胞中原子分数坐标为：
111
:0,0,0;:,,.
222Au Cu （c ） 无序结构的点阵型式为面心立方，它的最小衍射角指标应为111，因此最小衍射角
为：
()12222111111arcsin arcsin 1112a λθθ??
==++??
??
()154arcsin arcsin 0.3464238520.3pm pm ?== ???=?
有序结构属四方晶系，其面间距公式为：
1
2
2
2
2
22hkl h k l d a c -??+=+ ??? 根据Bragg 方程，最小衍射角对应于最大衍射面间距，即对应于最小衍射指标平方和。最小
衍射指标平方和为1。因此。符合条件的衍射可能为100，010和001。但有序结构的点阵型式为简单四方，c a >，因此符合条件的衍射只有001。最小衍射角001θ可按下式计算： 001001sin /2/2d c θλλ==
154/23850.200pm pm
=?=
00111.5θ=?
【8.24】Fe α-和Fe γ-分别属于体心立方堆积（bcp ）和面心立方堆积（ccp ）两种晶型。前者的原子半径为124.0pm ，后者的原子半径为127.94pm /
（a ） 对Fe α-：
① 下列“衍射指标”中哪些不出现？
110，200，210，211，220，221，310，222，321，???，521。
② 计算最小Bragg 角对应的衍射面间距；
③ 写出使晶胞中两种位置的Fe 原子重合的对称元素的名称、记号和方位。 （b ） 对Fe γ-：
① 指出密置层的方向；
② 拖把该密置层中所形成的三角形空隙看作具体的结构，支持该结构的结构单元； ③ 计算二维堆积密；
④ 请计算两种铁的密度之比。 解：（1）（a ）体心的衍射指标要求指标之和为偶数，即h k l ++=偶数。所以210，221两个衍射不可能出现。
（b ）最小角度的衍射指标为110。
110d a a ==
半径为r 的原子进行体心密堆积，4/a r =
1104124.1/286.6286.6/202.7a pm pm
d pm pm =?===
（c ）晶胞中两种位置上Fe 原子的坐标为
1110,0,0;,,.
222 （Ⅰ）和c 轴平行，(
),x y 坐标为()1/4,1/4的12轴。
（Ⅱ）和(
)001
面平行，z 坐标为1/4的n 滑移面。 均可使晶胞中的两个Fe 原子重合。 （2）（a ）密置层和（1 1 1）面平行。
（b ）密置层的结构基元为1个Fe 原子，即其素晶胞包含1个Fe 原子。晶胞中含三角形空隙2个，即结构基元为1个Fe 原子和2个三角形空隙。
（c ）密置层的二维堆积密度为：
原子所占面积/六方素晶胞的面积=
()2
2/2sin 600.906r r π?= （d ）若面心立方堆积以下标F 表示，体心堆积以下标I 表示，则：
()()
()()33
333
32286.62286.64/220.9932/361.94F A F I I I A I F F pm pm D M N V V a D M N V V a pm r ======
【8.25】某金属晶体属于hcp 结构，原子半径为160.0pm ：
（a ） 计算003d ；
（b ） 画出该警惕的晶胞沿特征对称元素的投影图，在图上标出特征对称元素的位置并给
出名称（亦可用符号表示）； （c ） 画出该晶体的多面体空隙中心沿特征对称元素的投影图（可分别用O 和T 表示八面
体和四面体），画出由O 和T 构成的二维点阵结构的点阵素单位，指出结构单元。
解：（a
）003111160.0174.2333d c pm pm
====
（b ）该晶体属六方晶系，特征对称元素为六重对称轴，包括6和36轴。六方晶胞沿六重轴的投影图及特征对称元素的位置分别示于图9.25（a ）和9.25（b ）。原子旁标明的0，1
2等数字表示它在c 轴（或z 轴）上的分数坐标位置。
（c ）hcp 晶体结构中存在四面体空隙（以黑球表示其中心位置）和八面体空隙（以白球表示其中心位置），如图9.25所示。图中多面体空隙的位置是相对图9.25（a ）所示的结构，标明的数字是c 轴的分数坐标，结构基元是4个四面体空隙和2个八面体空隙。
金属的结构和性质 体心立方堆积中八面体空隙与四面体空隙半径计算
08金属的结构和性质 【8.1】半径为R 的圆球堆积成正四面体空隙，试作图计算该四面体的边长和高、中心到顶点距离、中心距离地面的高度、中心到两顶点连县的夹角以及中心到球面的最短距离。 解：4个等径圆球作紧密堆积的情形示于图9.1（a ）和(b)，图9.1(c)示出堆积所形成的正四面体空隙。该正四面体的顶点即球心位置，边长为圆球半径的2倍。 图9.1 由图和正四面体的立体几何知识可知： 边长AB=2R 高 () 12 12 2 2222 13AM AE EM AB BE DE ????=-=--?? ? ????? ? ( )1 12 2 222 222 11223AB AB AE R R R ???????????=--=--??? ? ???????????????? 1.633R =≈ 中心到顶点的距离：3 1.2254OA AM R R ==≈ 中心到底边的高度： 10.4084OM AM R = =≈ 中心到两顶点连线的夹角为：AOB ∠ ()( )) ( )() 2 2 2 2 2 1122/22cos cos 22/2R OA OB AB OA OB θ--?? -??+-??==???? ?????? ()1 cos 1/3109.47-=-=? 中心到球面的最短距离0.225OA R R =-≈ 本题的计算结果很重要。由此结果可知，半径为R 的等径圆球最密堆积结构中四面体空 隙所能容纳的小球的最大半径为0.225R 。而0.225正是典型的二元离子晶体中正离子的配位 多面体为正四面体时正、负离子半径比的下限。此题的结果也是了解hcp 结构中晶胞参数的
六方最密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙
六方最密堆积中正八面体空隙 和正四面体空隙中心的分数坐标 等径圆球紧密排列形成 密置层，如图所示。 在密置层内，每个圆球 周围有六个球与它相切。相 切的每三个球又围出一个三 角形空隙。仔细观察这些三 角形空隙，一排尖向上，接 着下面一排尖向下，交替排列。而每个圆球与它周围的六个球围出的 六个三角形空隙 中，有三个尖向 上，另外三个尖向 下。如图所示，我 们在这里将尖向上 的三角形空隙记为 B，尖向下的三角 形空隙记为C。第 二密置层的球放在 B之上，第三密置
层的球投影在C中， 三层完成一个周期。 这样的最密堆积方式 叫做立方最密堆积 （ccp，记为A1 型），形成面心立方 晶胞。 若第三密置层的 球投影与第一密置层的球重合，两层完成一个周期。这样的最密堆积方式叫做六方最密堆积（hcp，记为A3型），形成六方晶胞，如图所示。 在这两种堆积方式中，任何四个相切的球围成一个正四面体空隙；另外，相切的三个球如果与另一密置层相切的三个球空隙对应，它们六个球将围成一个正八面体空隙。也就是说，围成正八面体空隙的这六个球可以分为相邻的两层，每层的正三角形中心的连线垂直于正三角形所在的密置层，参看下图， 黑色代表的不是球而是正八面体的中 心。 在这两种最密堆积方式中，每个 球与同一密置层的六个球相切，同时 与上一层的三个球和下一层的三个球
相切，即每个球与周围十二个球相切（配位数为12）。中心这个球与周围的球围出八个正四面体空隙，平均分摊到每个正四面体空隙的是八分之一个球。这样，每个正四面体空隙分摊到的球数是四个八分之一，即半个。中心这个球周围还围出六个八面体空隙，它平均分摊到每个正八面体空隙的是六分之一个球。这样，每个正八面体空隙分摊到的球数是六个六分之一，即一个。总之，这两种最密堆积中，球数: 正八面体空隙数: 正四面体空隙数= 1:1:2 。 面心立方最密堆积（ccp，A1型）中正八面体空隙和正四面体空隙的问题比较简单、直观。下面我们集中讨论六方最密堆积（hcp，A3型）中正八面体空隙和正四面体空隙中心的分数坐标。 在六方最密堆积中画出一个六方晶胞，如下面两幅图所示。
金属的结构和性质 体心立方堆积中八面体空隙与四面体空隙半径计算
08金属的结构和性质 【】半径为R 的圆球堆积成正四面体空隙，试作图计算该四面体的边长和高、中心到顶点距离、中心距离地面的高度、中心到两顶点连县的夹角以及中心到球面的最短距离。 解：4个等径圆球作紧密堆积的情形示于图（a ）和(b)，图(c)示出堆积所形成的正四面体空隙。该正四面体的顶点即球心位置，边长为圆球半径的2倍。 图 由图和正四面体的立体几何知识可知： 边长AB=2R 高 () 12 12 2 2222 13AM AE EM AB BE DE ????=-=--?? ? ????? ? ()1 12 2 2 2 2 222 113223AB AB AE R R R ???????????=--=--??? ? ???????????????? 26 1.6333R R =≈ 中心到顶点的距离：36 1.22542OA AM R R ==≈ 中心到底边的高度： 160.40846OM AM R R = =≈ 中心到两顶点连线的夹角为：AOB ∠ ()()) ()() 22 2 2 2 11226/22cos cos 226/2R R OA OB AB OA OB R θ--?? -??+-??==???? ?????? ()1 cos 1/3109.47-=-=? 中心到球面的最短距离0.225OA R R =-≈ 本题的计算结果很重要。由此结果可知，半径为R 的等径圆球最密堆积结构中四面体空
隙所能容纳的小球的最大半径为。而正是典型的二元离子晶体中正离子的配位 多面体为正四面体时正、负离子半径比的下限。此题的结果也是了解hcp 结构中晶胞参数的基础(见习题。 【】半径为R 的圆球堆积成正八面体空隙，计算中心到顶点的距离。 解：正八面体空隙由6个等径圆球密堆积而成，其顶点即圆球的球心，其棱长即圆球的直径。空隙的实际体积小于八面体体积。图中三图分别示出球的堆积情况及所形成的正八面体空隙。 图 由图（c ）知，八面体空隙中心到顶点的距离为： 111 2222222OC AC AB R R = ==?= 而八面体空隙中心到球面的最短距离为： 20.414OC R R R R -=-≈ 此即半径为R 的等径圆球最密堆积形成的正八面体空隙所能容纳的小球的最大半径。 是典型的二元离子晶体中正离子的配位多面体为正八面体时/r r +-的下限值。 【】半径为R 的圆球围成正三角形空隙，计算中心到顶点的距离。 解：由图可见，三角形空隙中心到顶点（球心）的距离为： 223 1.15533OA AD R R = =≈ 图 三角形空隙中心到球面的距离为： 1.1550.155OA R R R R -≈-=
金属的结构和性质体心立方堆积中八面体空隙与四面体空隙半径计算
~ 08金属的结构和性质 【】半径为R 的圆球堆积成正四面体空隙，试作图计算该四面体的边长和高、中心到顶点距离、中心距离地面的高度、中心到两顶点连县的夹角以及中心到球面的最短距离。 解：4个等径圆球作紧密堆积的情形示于图（a ）和(b)，图(c)示出堆积所形成的正四面体空隙。该正四面体的顶点即球心位置，边长为圆球半径的2倍。 图 由图和正四面体的立体几何知识可知： 边长AB=2R 高 () 12 12 2 222 2 13AM AE EM AB BE DE ????=-=--?? ?????? ? \ ()112 2 222 222 113223AB AB AE R R R ???????????=--=--??? ? ???????????????? 26 1.6333R R =≈ 中心到顶点的距离：36 1.2254OA AM R R ==≈ 中心到底边的高度：160.4084OM AM R = =≈ 中心到两顶点连线的夹角为：AOB ∠ ()()) ()() 2 2 2 2 2 1122 6/22cos cos 226/2R R OA OB AB OA OB R θ--?? -??+-??==???? ?????? ()1 cos 1/3109.47-=-=? 中心到球面的最短距离0.225OA R R =-≈ } 本题的计算结果很重要。由此结果可知，半径为R 的等径圆球最密堆积结构中四面体空
隙所能容纳的小球的最大半径为。而正是典型的二元离子晶体中正离子的配位 多面体为正四面体时正、负离子半径比的下限。此题的结果也是了解hcp 结构中晶胞参数的基础(见习题。 【】半径为R 的圆球堆积成正八面体空隙，计算中心到顶点的距离。 解：正八面体空隙由6个等径圆球密堆积而成，其顶点即圆球的球心，其棱长即圆球的直径。空隙的实际体积小于八面体体积。图中三图分别示出球的堆积情况及所形成的正八面体空隙。 图 、 由图（c ）知，八面体空隙中心到顶点的距离为： 1112222222OC AC AB R R = ==?= 而八面体空隙中心到球面的最短距离为： 20.414OC R R R R -=-≈ 此即半径为R 是典型的二元离子晶体中正离子的配位多面体为正八面体时/r r +-的下限值。 【】半径为R 的圆球围成正三角形空隙，计算中心到顶点的距离。 ~ 解：由图可见，三角形空隙中心到顶点（球心）的距离为： 223 1.15533OA AD R R = =≈ 图 三角形空隙中心到球面的距离为： 1.1550.155OA R R R R -≈-= 此即半径为R 的圆球作紧密堆积形成的三角形空隙所能容纳的小球的最大半径，是“三角形
三维化学-正八面体与正方体
高中化学竞赛辅导专题讲座——三维化学 第三节 正八面体与正方体 前文我们学习了正方体与正四面体，现在我们来学习另一种空间正多面体——正八面体。由于在高中立体几何中并未涉及这种立体图形，使同学们在理解上存在一定的困难，那么就让我们先来讨论一下正八面体吧！ 【讨论】顾名思义，正八面体应该有八个完全相同的面，如右图3-1所示，每个面都是正三角形；另外正八面体有六个顶点，十二条棱。让我们与正方体作一对比，它们都有十二条棱，正方体有六个面（正八面体六个顶点）、八个顶点（正八面体八个面），与正八面体的面数和顶点数正好相反，它们是否存在内在的空间关系呢？我们连接正方体六个面的面心形成 的是什么空间图形呢？它就是正八面体（能理解了吧！我们也可以将空间直角坐标系xyz 轴上与原点等距的六个点连起来构成正八面体）。正八面体与正方体都是十二条棱，它们的空间位置显然是不一样的，但它们的十二条棱的棱心的空间位置又如何呢？应该是一样的吧。先让我们看个例题再讨论吧！ 【例题1】已知[Co(NH 3)6]3＋的立体结构如图3-2所示，其中1~6处 的小圆圈表示NH 3分子，且各相邻的NH 3分子间的距离相等（图中虚线长度相同）。Co 3+位于八面的中心，若其中两个NH 3被Cl －取代，所形成的[Co(NH 3)4Cl 2]+的同分异构体的数目是 ① A 1 B 2 C 3 D 4 【分析】正八面体每个顶点在空间是完全等价的， 另五个顶点就在空间形成两种相对的位置，四个是相邻的，的，故二氯取代物是两种，两个氯的距离分别是边长和对角线长。 【解答】B 【练习1】SF 6SF 6的分子结构如图3-3所示，呈正八面体型。如果F 的同位素，则SF 6的不同分子种数为 ② A 6种 B 7种 C 10种 D 12种 【讨论】用同位素考察分子的空间结构是一种新方法，方法。本题中主要来确定S a F 3b F 3的种数，三个a F 在空间也只有两种形式，即△和├；另外S a F 2b F 4与S a F 4b F 2的种数应该是一样的吧？（想 想为什么）！ F F F S F F F
正四、六、八面体的组合
第 1 页 共 5 页 高中化学竞赛辅导专题讲座——三维化学 第四节 正四、六、八面体的组合 前文我们学习了正方体、正四面体与正八面体，本节我们将对内容做进一步的巩固复习，并将探讨一下正四、八面体的组合。 【例题1】XeF 8是一种尚未合成的化合物，预测它的空间构型 ；F 有二种同位素，则XeF 8有 种不同分子。 （不计顺反异构和旋光异构）① 【分析】八个原子在空间的最对称排列是正方体。 在着重讨论过正四面体与正八面体后，再看这个正方体 问题。不妨设正方体八个顶点全被a F 占据，我们每一次 用0，1，2，3……8个b F 去取代，看两个b F ，有3 种，分别在棱上，面对角线上，体对角线上；看三个b F ，也 有3种，三个b F 构成的三角形边长分别为1，1，2；1，2，3；2，2，2。关键是看四个b F 时有几种。如图4-1所示正方体，四个b F 共面时有2种（如面ABCD 与面A 1B 1CD 型），四个b F 构成正三棱锥有2种（如正四面体型的ACB 1D 1与三棱垂直的ABDA 1），另外还各有一个ABCC 1型和ABCD 1型。因此总数应为(1＋1＋3＋3)×2＋6＝22种。 【解答】正方体 22 【练习1】1964年Eaton 合成了一种新奇的烷，叫立方烷，化学式为C 8H 8 (A )。20年后，在Eaton 研究小组工作的博士后XIONG YUSHENG (译音熊余生)合成了这种烷的四硝基衍生物(B ), 是一种烈性炸药。最近，有人计划将B 的硝基用19种氨基酸取代，得到立方烷的四酰胺基衍生物 (C )，认为极有可能从中筛选出最好的抗癌、抗病毒，甚至抗爱滋病的药物来。四硝基立方烷理论上可以有多种异构体，但仅只一种是最稳定的，它就是(B )，请画出它的结构式；C 中每个酰胺基是一个氨基酸基团。请估算，B 的硝基被19种氨基酸取代，理论上总共可以合成多少种氨基酸组成不同的四酰胺基立方烷(C )？（不考虑光学异构体）② 【讨论】C 8H 8分子是正方体型的结构，其中四个氢被硝基取代的产物应有6种，而最稳定的是正四面体型的构型，它的对称性最强。关于正方体中取正四面体问题，我们在第一节中就已详细讨论。 第二问是个排列组合问题，相当于从19种酰胺基填入4个完全相同的位置。在数学排列组合问题中，关键是如何分类计算，我们根据这四个位置上酰胺基是否重复可分为A 4、A 3B 、A 2B 2、A 2BC 、ABCD 5类，总数分别为：119C 、219P 、219C 、218119C C 、419C 。 （关于排列组合问题在后面专题讨论） 图4-1
金属的结构及性质体心立方堆积中八面体空隙及四面体空隙半径计算.doc
8 金属的结构和性质 【 8.1 】半径为 R 的圆球堆积成正四面体空隙，试作图计算该四面体的边长和高、中心到顶点距离、中心距离地面的高度、中心到两顶点连县的夹角以及中心到球面的最短距离。 解： 4 个等径圆球作紧密堆积的情形示于图 9.1 （ a ）和 (b) ，图 9.1(c) 示出堆积所形成 的正四面体空隙。该正四面体的顶点即球心位置，边长为圆球半径的 2 倍。 图 9.1 由图和正四面体的立体几何知识可知： 边长 AB=2R 2 2 1 2 2 1 AMAE EM 2 AB BE DE 高 3 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 AB 2 1 AB 1 A E R 2 3 R 2R 2 3 3 2 6R 1.633R 3 OA 3 AM 6 R 1.225R 中心到顶点的距离： 4 2 OM 1 AM 6 R 0.408R 中心到底边的高度： 4 6 中心到两顶点连线的夹角为： AOB 2 6R / 2 2 2 2 2 2 2R cos 1 OA OB AB cos 1 2 6R / 2 2 2 OA OB cos 1 1/3 109.47 中心到球面的最短距离 OA R 0.225R 本题的计算结果很重要。由此结果可知，半径为 R 的等径圆球最密堆积结构中四面体空 隙所能容纳的小球的最大半径为 0.225R 。而 0.225 正是典型的二元离子晶体中正离子的配 位
多面体为正四面体时正、 负离子半径比的下限。 此题的结果也是了解 hcp 结构中晶胞参数的基础 ( 见习题 9.04) 。 【8.2 】半径为 R 的圆球堆积成正八面体空隙，计算中心到顶点的距离。 解：正八面体空隙由 6 个等径圆球密堆积而成， 其顶点即圆球的球心， 其棱长即圆球的直径。空隙的实际体积小于八面体体积。 图 9.2 中三图分别示出球的堆积情况及所形成的正八面体空隙。 图 9.2 由图（ c ）知，八面体空隙中心到顶点的距离为： 1 1 1 OCAC 2 AB 2 2R2R 2 2 2 而八面体空隙中心到球面的最短距离为： OC R 2R R 0.414R 此即半径为 R 的等径圆球最密堆积形成的正八面体空隙所能容纳的小球的最大半径。 0.414 是典型的二元离子晶体中正离子的配位多面体为正八面体时 r / r 的下限值。 【 8.3 】半径为 R 的圆球围成正三角形空隙，计算中心到顶点的距离。 解：由图 9.3 可见，三角形空隙中心到顶点（球心）的距离为： OA 2 AD 2 3R 1.155R 3 3 图 9.3 三角形空隙中心到球面的距离为： OA R 1.155R R 0.155R 此即半径为 R 的圆球作紧密堆积形成的三角形空隙所能容纳的小球的最大半径， 0.155 是“三 角形离子配位多面体”中 r / r 的下限值。 A3 a c
第四节 正四、六、八面体的组合
第四节 正四、六、八面体的组合 前文我们学习了正方体、正四面体与正八面体，本节我们将对内容做进一步的巩固复习，并将探讨一下正四、八面体的组合。 【例题1】XeF 8是一种尚未合成的化合物，预测它的空间构型 ；F 有二种同位素，则XeF 8有 种不同分子。 （不计顺反异构和旋光异构） 【分析】八个原子在空间的最对称排列是正方体。在着重讨论过 正四面体与正八面体后，再看这个正方体问题。不妨设正方体八个顶 点全被a F 占据，我们每一次用0，1，2，3……8个b F 去取代，看两 个b F ，有3种，分别在棱上，面对角线上，体对角线上；看三个b F ， 也有3种，三个b F 构成的三角形边长分别为1，1，2；1，2，3 ；2，2 ，2。关键是看四个b F 时有几种。如图4-1所示正方体，四个b F 共面时有2种（如面ABCD 与面A 1B 1CD 型），四个b F 构成正三棱锥有2种（如正四面体型的ACB 1D 1与三棱垂直的ABDA 1），另外 还各有一个ABCC 1型和ABCD 1型。因此总数应为(1＋1＋3＋3)×2＋6＝22种。 【解答】正方体 22 【练习1】1964年Eaton 合成了一种新奇的烷，叫立方烷，化学式为C 8H 8 (A )。20年后，在Eaton 研究小组工作的博士后XIONG YUSHENG (译音熊余生)合成了这种烷的四硝基衍生物(B ), 是一种烈性炸药。最近，有人计划将B 的硝基用19种氨基酸取代，得到立方烷的四酰胺基衍生物(C )，认为极有可能从中筛选出最好的抗癌、抗病毒，甚至抗爱滋病的药物来。四硝基立方烷理论上可以有多种异构体，但仅只一种是最稳定的，它就是 (B )，请画出它的结构式；C 中每个酰胺基是一个氨基酸基团。请估算，B 的硝基被19种氨基酸取代，理论上总共可以合成多少种氨基酸组成不同的四酰胺基立方烷(C )？（不考 虑光学异构体） 【讨论】C 8H 8分子是正方体型的结构，其中四个氢被硝基取代的产物应有6种，而最稳定的是正四面体型的构型，它的对称性最强。关于正方体中取正四面体问题，我们在 第一节中就已详细讨论。 第二问是个排列组合问题，相当于从19种酰胺基填入4个完全相同的位置。在数学排列组合问题中，关键是如何分类计算，我们根据这四个位置上酰胺基是否重复可分为 A 4、A 3 B 、A 2B 2、A 2B C 、ABC D 5类，总数分别为：119C 、219P 、219C 、218119C C 、419C 。（关于排列组合问题在后面专题讨论） 【例题2】金刚烷（C 10H 16）是一种重要的脂肪烷烃，其结构高度对称， 如图4-2所示。金刚烷能与卤素发生取代反应，其中一氯一溴金刚烷 （C 10H 14ClBr ）的同分异构体数目是 A 4种 B 6种 C 8种 D 10种 【分析】金刚烷有10个碳原子，它们在空间是如何排列的呢？这10个 碳原子有2种，分别是4个叔碳原子与6个仲碳原子。4个叔碳原子在空间 图4-1 图4-2
典型的晶体结构
典型的晶体结构 1.铁 铁原子可形成两种体心立方晶胞晶体：910℃以下为α－Fe，高于1400℃时为δ－Fe。在这两种温度之间可形成γ－面心立方晶。这三种晶体相中，只有γ－Fe能溶解少许C。问：1．体心立方晶胞中的面的中心上的空隙是什么对称？如果外来粒子占用这个空隙，则外来粒子与宿主离子最大可能的半径比是多少？ 2．在体心立方晶胞中，如果某空隙的坐标为（0，a/2，a/4），它的对称性如何？占据该空隙的外来粒子与宿主离子的最大半径比为多少？ 3．假设在转化温度之下，这α－Fe和γ－F两种晶型的最相邻原子的距离是相等的，求γ铁与α铁在转化温度下的密度比。 4．为什么只有γ－Fe才能溶解少许的C？ 在体心立方晶胞中，处于中心的原子与处于角上的原子是相接触的，角上的原子相互之间不接触。a＝(4/3)r。 ①②③ 1．两个立方晶胞中心相距为a，也等于2r＋2r h［如图①］，这里r h是空隙“X”的半径，a ＝2r＋2r h＝(4/3)r r h/r＝0.115（2分） 面对角线（2a）比体心之间的距离要长，因此该空隙形状是一个缩短的八面体，称扭曲八面体。（1分） 2．已知体心上的两个原子（A和B）以及连接两个晶体底面的两个角上原子［图②中C和D］。连接顶部原子的线的中心到连接底部原子的线的中心的距离为a/2；在顶部原子下面的底部原子构成晶胞的一半。空隙“h”位于连线的一半处，这也是由对称性所要求的。所以我们要考虑的直角三角形一个边长为a/2，另一边长为a/4［图③］，所以斜边为16 /5a。（1分）r＋r h＝16 /5a＝3/5r r h/r＝0.291（2分） 3．密度比＝42︰33＝1.09（2分） 4．C原子体积较大，不能填充在体心立方的任何空隙中，但可能填充在面心立方结构的八面体空隙中（r h/r＝0.414）。（2分） 2.四氧化三铁 科学研究表明，Fe3O4是由Fe2＋、Fe3＋、O2－通过离子键而组成的复杂离子晶体。O2－的重复排列方式如图b所示，该排列方式中存在着两种类型的由O2－围成的空隙，如1、3、6、7的O2－围成的空隙和3、6、7、8、9、12的O2－围成的空隙，前者为正四面体空隙，后者为正八面体空隙，Fe3O4中有一半的Fe3＋填充在正四面体空隙中，另一半Fe3＋和Fe2＋填充在正八面体空隙中，则Fe3O4晶体中正四面体空隙数与O2－数之比为2：1，其中有12.5%正四面体空隙填有Fe3＋，有50%正八面体空隙没有被填充。 Fe3O4中三价铁离子：亚铁离子：O原子=2：1：4 晶胞拥有8个正四面体空隙，4个O2－离子；所以2：1 一半三价铁离子放入正四面体空隙，即一个三价铁离子，所以为1/8=12.5%晶胞实际拥有4个正八面体空隙，其中已经有一个放Fe3+，另外一个Fe2+占据一个正八面体空隙，所以50%的正八面体空隙没有被填充。
六方最密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙中心的分数坐标
密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙 晶体结构的密堆积原理密堆积结构是指在由无方向性的金属键,离子键和范德华力结合的晶体中,原子、分子或离子等微粒总是趋向于相互配位数高，能充分利用空间的堆积密度大的那些结构。密堆积方式由于充分利用了空间，从而可使体系的势能尽可能降低。结构稳定。最常见的密堆积型式有：面心立方最密堆积（A1），六方最密堆积（A3）和体心立方密堆积 （A2）。 我们主要介绍面心立方密堆积和六方密堆积。 等径圆球紧密排列形成密置层， 如图所示。 在密置层内，每个圆球周围有六 个球与它相切。相切的每三个球又围 出一个三角形空隙。仔细观察这些三 角形空隙，一排尖向上，接着下面一 排尖向下，交替排列。而每个圆球与 它周围的六个球围出的六个三角形空 隙中，有三个尖向上，另外三个尖向 下。如图所示，我们在这里将尖向上 的三角形空隙记为B，尖向下的三角形空隙记为C。第二密置层的球放在B之上，第三密置层 的球投影在C中，三层完成一个周 期。这样的最密堆积方式叫做立方 最密堆积（ccp，记为 A1型）， 形成面心立方晶胞。
若第三密置层的球投影与第一密置层的球重合，两层完成一个周期。这样的最密堆积方式叫做六方最密堆积（hcp ，记为A3型），形成六方晶胞，如图所示。 在这两种堆积方式中，任何四个相切的球围成一个正四面体空隙；另外，相切的三个球如果与另一密置层相切的三个球空隙对应，它们六个球将围成一个正八面体空隙。也就是说，围成正 八面体空隙的这六个球可以分为相邻的两层，每层的正三角形中心的连线垂直于正三角形所在的密置层，参看下图，黑色代表的不是球而是正八面体的中心。 在这两种最密堆积方式中，每个球与同一密置层的六个球相切，同时与上一层的三个球和下一层的三个球相切，即每个球与周围十二个球相切（配位数为12）。中心这个球与周围的球围出八 个正四面体空隙，平均分摊到每个正四面体空隙的是八分之一个球。这样，每个正四面体空隙分摊到的球数是四个八分之一，即半个。中心这个球周围还围出六个八面体空隙，它平均分摊到每个正八面体空隙的是六分之一个球。这样，每个正八面体空隙分摊到的球数是六个六分之一，即一个。总之，这两种最密堆积中，球数 : 正八面体空隙数 : 正四面体空隙数 = 1:1:2 。等径球的两种最密堆积具有相同的堆积密度，都为74.05%. 下面计算四面体空隙和八面体空隙中所能容纳的球的半径的大小。
典型的晶体结构
典型得晶体结构 1、铁 铁原子可形成两种体心立方晶胞晶体:910℃以下为α－Fe,高于1400℃时为δ－Fe。在这两种温度之间可形成γ－面心立方晶。这三种晶体相中,只有γ－Fe能溶解少许C。问: 1.体心立方晶胞中得面得中心上得空隙就是什么对称？如果外来粒子占用这个空隙,则外来粒子与宿主离子最大可能得半径比就是多少？ 2.在体心立方晶胞中,如果某空隙得坐标为(0,a/2,a/4),它得对称性如何？占据该空隙得外来粒子与宿主离子得最大半径比为多少？ 3.假设在转化温度之下,这α－Fe与γ－F两种晶型得最相邻原子得距离就是相等得,求γ铁与α铁在转化温度下得密度比。 4.为什么只有γ－Fe才能溶解少许得C？ 在体心立方晶胞中,处于中心得原子与处于角上得原子就是相接触得,角上得原子相互之间不接触。a＝(4/3)r。 ①②③ 1.两个立方晶胞中心相距为a,也等于2r＋2r h［如图①］,这里r h就是空隙“X”得半径,a ＝2r＋2r h＝(4/3)r r h/r＝0、115(2分) 面对角线(2a)比体心之间得距离要长,因此该空隙形状就是一个缩短得八面体,称扭曲八面体。(1分) 2.已知体心上得两个原子(A与B)以及连接两个晶体底面得两个角上原子［图②中C与D］。连接顶部原子得线得中心到连接底部原子得线得中心得距离为a/2;在顶部原子下面得底部原子构成晶胞得一半。空隙“h”位于连线得一半处,这也就是由对称性所要求得。所以我们要考虑得直角三角形一个边长为a/2,另一边长为a/4［图③］,所以斜边为16 /5a。(1分) r＋r h＝16 /5a＝3/5r r h/r＝0、291(2分) 3.密度比＝42︰33＝1、09(2分) 4.C原子体积较大,不能填充在体心立方得任何空隙中,但可能填充在面心立方结构得八面体空隙中(r h/r＝0、414)。(2分) 2、四氧化三铁 科学研究表明,Fe3O4就是由Fe2＋、Fe3＋、O2－通过离子键而组成得复杂离子晶体。O2－得重复排列方式如图b所示,该排列方式中存在着两种类型得由O2－围成得空隙,如1、3、6、7得O2－围成得空隙与3、6、7、8、9、12得O2－围成得空隙,前者为正四面体空隙,后者为正八面体空隙,Fe3 O4中有一半得Fe3＋填充在正四面体空隙中,另一半Fe3＋与Fe2＋填充在正八面体空隙中,则Fe3O4晶体中正四面体空隙数与O2－数之比为 2:1,其中有12、5%正四面体空隙填有Fe3＋,有 50%正八面体空隙没有被填充。ClMXxzK。zNa2qb4。 Fe3O4中三价铁离子:亚铁离子:O原子=2:1:4 晶胞拥有8个正四面体空隙,4个O2－离子;所以2:1 一半三价铁离子放入正四面体空隙,即一个三价铁离子,所以为1/8=12、5% 晶胞实际拥有4个正八面体空隙,其中已经有一个放Fe3+,另外一个Fe2+占据一个正八面体空隙,所以50%得正八面体空隙没有被填充。USLphY1。N1iF2Vt。
第三节正八面体与正方体
第三节 正八面体与正方体 【讨论】顾名思义，正八面体应该有八个完全相同的面，如右图3-1所示，每个面都是正三角形；另外正八面体有六个顶点，十二条棱。让我们与正方体作一对比，它们都有十二条棱，正方体有六个面（正八面体六个顶点）、八个顶点（正八面体八个面），与正八面体的面数和顶点数正好相反，它们是否存在内在的空间关系呢？我们连接正方体六个面的面心形成的是什么空间图形呢？它就是正八面体（能理解了吧！我们也可以将空 间直角坐标系xyz 轴上与原点等距的六个点连起来构成正八面体）。正八面体与正方体都是十二条棱，它们的空间位置显然是不一样的，但它们的十二条棱的棱心的空间位置又如何呢？应该是一样的吧。先让我们看个例题再讨论吧！ 【例题1】已知[Co(NH 3)6]3＋ 的立体结构如图3-2所示，其中1~6处的小圆圈表示NH 3分子，且各相邻的NH 3分子间的距离相等（图中虚线长度相同）。Co 3+位于八面的中心，若其中两个NH 3被Cl －取代，所形成的[Co(NH 3)4Cl 2]+的同分异构体的数目是 ① A 1 B 2 C 3 D 4 【分析】正八面体每个顶点在空间是完全等价的，当选定一个顶 点后，另五个顶点就在空间形成两种相对的位置，四个是相邻的，一 个是相对的，故二氯取代物是两种，两个氯的距离分别是边长和对角线长。 【解答】B 【练习1】SF 6是一种无色气体，具有很强的稳定性，可用于灭火。SF 6的分子结构如图3-3所示，呈正八面体型。如果F 元素有两种稳定的同位素，则SF 6的不同分子种数为 ② A 6种 B 7种 C 10种 D 12种 【讨论】用同位素考察分子的空间结构是一种新方法，也是一种好方法。本题中主要来确定S a F 3b F 3的种数，三个a F 在空间也只有两种形 式，即△和├；另外S a F 2b F 4与S a F 4b F 2的种数应该是一样的吧？（想想为什么）！ 【练习2】正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中截取最大正八面体，再从该正八面体中截取最大正方体A ’B ’C ’D ’—A 1’B 1’C 1’D 1’，计算它们的体积比。 【讨论】本题是用来巩固正方体与正八面体的关系，利用立体几何 知识并不难解决。 如果我们连接大正方体的对角线，则该对角线也正好通过小正方体 的对角线和正八面体的两个面的面心， 且与正八面体这两个面正好垂直。我们沿这条对角线观察正八面体，可得如图3-4所示的图形，它是我们 从另一种角度观察得到的图形，也是一种很重要的图形，请看例题2： 图3-4
典型的晶体结构
4 ?为什么只有丫― Fe 才能溶解少许的 C ？ 在体心立方晶胞中，处于中心的原子与处于角上的原子是相接触的，角上的原子相互之间不接触。1.铁 铁原子可形成两种体心立方晶胞晶体： 间可形成Y-面心立方晶。这三种晶体相中，只有 1 ?体心立方晶胞中的面的中心上的空隙是什么对称？如果外来粒子占用这个空隙，则外来粒子与宿主 离子最大可能的半径比是多少？ 2 ?在体心立方晶胞中，如果某空隙的坐标为（ 子与宿主离子的最大半径比为多少？ 3 ?假设在转化温度之下，这a 化温度下的密度比。 910 C 以下为a — Fe ,高于1400 C 时为S — Fe 。在这两种温度之 丫― Fe 能溶解少许C 。问： 0, a/2, a/4），它的对称性如何？占据该空隙的外来粒 Fe 和丫- F 两种晶型的最相邻原子的距离是相等的，求丫 铁 与a 铁在转 a = 1 XI A 丿 i 0 \J 1 ?两个立方晶胞中心相距为 （4/ , 3）r r h /r = 0.115 （ 2 分） 面对角线（J 2 a ）比体心之间的距离要长，因此该空隙形状是一个缩短的八面体，称扭曲八面体。（ 分） 2?已知体心上的两个原子（ A 和B ）以及连接两个晶体底面的两个角上原子［图②中 C 和D ］。连接 顶部原子的线的中心到连接底部原子的线的中心的距离为 a/2;在顶部原子下面的底部原子构成晶胞的一半。 空隙“ h ”位于连线的一半处，这也是由对称性所要求的。所以我们要考虑的直角三角形一个边长为 a/2，另 一边长为a/4 ［图③］，所以斜边为 5/16 a o （ 1分） r + r h = ,5/16 a =、5/3 r r h /r = 0.291 （2 分） 3 .密度比=4 .2 : 3、3 = 1.09 （2 分） 4. C 原子体积较大，不能填充在体心立方的任何空隙中，但可能填充在面心立方结构的八面体空隙中 （r h /r = 0.414）。（ 2 分） 2.四氧化三铁 a ,也等于2r + 2r h ［如图①］，这里 r h 是空隙“ X ”的半径, a = 2r + 2r h 科学研究表明，Fe 3O 4是由Fe 2+、Fe 3+、O 2—通过离子键而组成的复杂离子晶体。 O 2— 的重复排列方式如图b 所示，该排列方式中存在着两种类型的由 O 2— 围成的空隙，如1、3、 6 7的O 2—围成的空隙和3、6、7、& 9、12的O 2—围成的空隙，前者为正四面体空隙， 后者为正八 面体空隙，Fe 3O 4中有一半的卩63+填充在正四面体空隙中，另一半 Fe 3+和Fe 2+ 填充在正八面体空隙中，则 Fe 3O 4晶体中正四面体空隙数与 O 2—数之比为2: 1，其中有1 2.5%正四面体空隙填有Fe 3+ ,有50%正八面体空隙没有被填充。 Fe 3O 4中三价铁离子：亚铁离子： O 原子=2: 1: 4 晶胞拥有8个正四面体空隙，4个O 2— 离子；所以2： 一半三价铁离子放入正四面体空隙，即一个三价铁离子， 晶胞实际拥有4个正八面体空隙，其中已经有一个放 面体空隙，所以50%的正 八面体空隙没有被填充。 ?铁的原子核是最稳定的原子核组态，所以在可以孕育生命的大红星中，累积很多，这导致铁在宇宙的 含量很多， 地球也含有很多铁。 1 ?在制作青灰瓷中，Fe 2O 3被部分还原，产生 这些不同氧化铁化合物的存在，造成了青灰瓷的特殊色彩。 1 所以为 1/8=12.5% Fe 3+,另外一个Fe 2+ 占据一个正八 ① （4/ .. 3）r 。 小障中心 的混合物, （Fe 3O 4 ）
金属的结构和性质体心立方堆积中八面体空隙与四面体空隙半径计算
【】半径为的圆球堆积成正四面体空隙，试作图计算该四面体的边长和高、中心到顶点距离、中心距离地面的高度、中心到两顶点连县的夹角以及中心到球面的最短距离。 解：4个等径圆球作紧密堆积的情形示于图（a）和(b)，图(c)示出堆积所形成的正四面体空隙。该正四面体的顶点即球心位置，边长为圆球半径的2倍。 图 由图和正四面体的立体几何知识可知： 边长AB=2R 高 中心到顶点的距离： 中心到底边的高度： 中心到两顶点连线的夹角为： 中心到球面的最短距离 本题的计算结果很重要。由此结果可知，半径为R的等径圆球最密堆积结构中四面体空隙所能容纳的小球的最大半径为。而正是典型的二元离子晶体中正离子的配位 多面体为正四面体时正、负离子半径比的下限。此题的结果也是了解hcp结构中晶胞参数的基础(见习题。 【】半径为的圆球堆积成正八面体空隙，计算中心到顶点的距离。 解：正八面体空隙由6个等径圆球密堆积而成，其顶点即圆球的球心，其棱长即圆球的直径。空隙的实际体积小于八面体体积。图中三图分别示出球的堆积情况及所形成的正八面体空隙。 图 由图（c）知，八面体空隙中心到顶点的距离为： 而八面体空隙中心到球面的最短距离为： 此即半径为R的等径圆球最密堆积形成的正八面体空隙所能容纳的小球的最大半径。 是典型的二元离子晶体中正离子的配位多面体为正八面体时的下限值。 【】半径为的圆球围成正三角形空隙，计算中心到顶点的距离。 解：由图可见，三角形空隙中心到顶点（球心）的距离为： 图 三角形空隙中心到球面的距离为： 此即半径为R的圆球作紧密堆积形成的三角形空隙所能容纳的小球的最大半径，是“三角形
离子配位多面体”中的下限值。 【】半径为的圆球堆积成结构，计算简单立方晶胞参数和的数值。 解：图示出A3型结构的—个简单六方晶胞。该晶胞中有两个圆球、4个正四面体空隙和两个正八面体空隙。由图可见，两个正四面体空隙共用一个顶点，正四面体高的两倍即晶胞参数c，而正四面体的棱长即为晶胞参数或。根据题的结果，可得： 图 【】证明半径为的圆球所作的体心立方堆积中，八面体空隙只能容纳半径为的小球，四面体空隙可容纳半径为的小球。 证明：等径圆球体心立方堆积结构的晶胞示于图（a）和（b）。由图（a）可见，八面体空隙中心分别分布在晶胞的面心和棱心上。因此，每个晶胞中6个八面体空隙。而每个晶胞中含2个圆球，所以每个球平均摊到3个八面体空隙。这些八面体空隙是沿着一个轴被压扁了的变形八面体，长轴为，短轴为（是晶胞参数）。 （圆球，八面体空隙中心，四面体空隙中心） 图 八面体空隙所能容纳的小球的最大半径即从空隙中心（沿短轴）到球面的距离，该距离为。体心立方堆积是一种非最密堆积，圆球只在轴方向上互相接触，因而。代入，得。 由图（b）可见，四面体空隙中心分布在立方晶胞的面上，每个面有4个四面体中心，因此每个晶胞有12个四面体空隙。而每个晶胞有2个球，所以每个球平均摊到6个四面体空隙。这些四面体空隙也是变形的，两条长棱皆为，4条短棱皆为。 四面体空隙所能容纳的小球的最大半径等于从四面体空隙中心到顶点的距离减去球的半径R。而从空隙中心到顶点的距离为，所以小球的最大半径为 【】计算等径圆球密置单层中平均每个球所摊到的三角形空隙数目及二维堆积密度。 解：图示出等径圆球密置单层的—部分。 图 由图可见，每个球(如A)周围有6个三角形空隙，而每个三角形空隙由3个球围成，所以每个球平均摊到个三角形空隙。也可按图中画出的平行四边形单位计算。该单位只包含一个球（截面）和2个三角形空隙，即每个球摊到2个三角形空隙。 设等径圆球的半径为R，则图中平行四边形单位的边长为2R。所以二维堆积系数为： 【】指出型和型等径圆球密置单层的方向是什么 解：A1型等径团球密堆积中，密置层的方向与轴垂直，即与(111)面平行。A3型等径圆球密堆积中，密置层的方向与六重轴垂直，即与(001)面平行。下面将通过两种密堆积型式划分出来的晶胞进一步说明密置层的方向。 A1型密堆积可划分出如图(a)所示的立方面心晶胞。在该晶胞中，由虚线连接的圆球所处的平面即密置层面，该层面垂直于立方晶胞的体对角线即轴。每一晶胞有4条体对角线，即在4个方向上都有轴的对称性。因此，与这4个方向垂直的层面都是密置层。
六方最密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙
六方最密堆积中正八面体空隙 与正四面体空隙中心得分数坐标 等径圆球紧密排列形成 密置层,如图所示。 在密置层内,每个圆球周 围有六个球与它相切。相切 得每三个球又围出一个三角 形空隙。仔细观察这些三角 形空隙,一排尖向上,接着下面 一排尖向下,交替排列。而每 个圆球与它周围得六个球围出得六个三角形空隙中,有三个尖向上,另外 三个尖向下。如图 所示,我们在这里 将尖向上得三角形 空隙记为B,尖向下 得三角形空隙记为 C。第二密置层得 球放在B之上,第 三密置层得球投影 在C中,三层完成 一个周期。这样得 最密堆积方式叫做 立方最密堆积(ccp,
记为A1型),形成面心立方晶胞。 若第三密置层得球投影与第一密置层得球重合,两层完成一个周期。这样得最密堆积方式叫做六方最密堆积(hcp,记为A3型),形成六方晶胞,如图所示。 在这两种堆积方式中,任何四个相切得球围成一个正四面体空隙;另外,相切得三个球如果与另一密置层相切得三个球空隙对应,它们六个球将围成一个正八面体空隙。也就就是说,围成正八面体空隙得这六个球可以分为相邻得两层,每层得正三角形中心得连线垂直于正三角形所在得密置层,参瞧下图,黑色代表得不就是球而就是正八面体得中心。 在这两种最密堆积方式中,每个球 与同一密置层得六个球相切,同时与上 一层得三个球与下一层得三个球相切, 即每个球与周围十二个球相切(配位数 为12)。中心这个球与周围得球围出 八个正四面体空隙,平均分摊到每个正 四面体空隙得就是八分之一个球。这 样,每个正四面体空隙分摊到得球数就是四个八分之一,即半个。中心这个球周围还围出六个八面体空隙,它平均分摊到每个正八面体空隙得就是六分之一个球。这样,每个正八面体空隙分摊到得球数就是六个六分之一,即一个。总之,这两种最密堆积中,球数: 正八面体空隙数: 正四面体空隙数= 1:1:2 。 面心立方最密堆积(ccp, A1型)中正八面体空隙与正四面体空隙得问题比较简单、直观。下面我们集中讨论六方最密堆积(hcp,A3型)中正八面体空隙与正四面体空隙中心得分数坐标。
典型的晶体结构
典型的晶体结构 Last updated on the afternoon of January 3, 2021
典型的晶体结构 1.铁 铁原子可形成两种体心立方晶胞晶体：910℃以下为α－Fe，高于1400℃时为δ－Fe。在这两种温度之间可形成γ－面心立方晶。这三种晶体相中，只有γ－Fe能溶解少许C。问： 1．体心立方晶胞中的面的中心上的空隙是什么对称如果外来粒子占用这个空隙，则外来粒子与宿主离子最大可能的半径比是多少 2．在体心立方晶胞中，如果某空隙的坐标为（0，a/2，a/4），它的对称性如何占据该空隙的外来粒子与宿主离子的最大半径比为多少 3．假设在转化温度之下，这α－Fe和γ－F两种晶型的最相邻原子的距离是相等的，求γ铁与α铁在转化温度下的密度比。 4．为什么只有γ－Fe才能溶解少许的C？ 在体心立方晶胞中，处于中心的原子与处于角上的原子是相接触的，角上的原子相互之间不接触。a＝(4/3)r。 ①②③ 1．两个立方晶胞中心相距为a，也等于2r＋2r h［如图①］，这里r h是空隙“X”的半径，a＝2r＋2r h＝(4/3)rr h/r＝（2分） 面对角线（2a）比体心之间的距离要长，因此该空隙形状是一个缩短的八面体，称扭曲八面体。（1分） 2．已知体心上的两个原子（A和B）以及连接两个晶体底面的两个角上原子［图②中C和D］。连接顶部原子的线的中心到连接底部原子的线的中心的距离为a/2；在顶部原子下面的底部原子构成晶胞的一半。空隙“h”位于连线的一半处，这也是由对称性所要求的。所以我们要考虑的直角三角形一个边长为a/2，另一边长为a/4［图③］，所以斜边为16 /5a。（1分） r＋r h＝16 /5a＝3/5rr h/r＝（2分） 3．密度比＝42︰33＝（2分） 4．C原子体积较大，不能填充在体心立方的任何空隙中，但可能填充在面心立方结构的八面体空隙中（r h/r＝）。（2分） 2.四氧化三铁 科学研究表明，Fe3O4是由Fe2＋、Fe3＋、O2－通过离子键而组成的复杂离子晶体。O2－的重复排列方式如图b所示，该排列方式中存在着两种类型的由O2