人教版九年级数学培优辅导资料

九年级数学培优辅导资料

第1、2讲 一元一次方程与二元一次方程组

一、目标要求：

1．了解等式、方程、一元一次方程和二元一次方程(组)的概念，掌握等式的基本性质． 2．掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法． 3．会列方程(组)解决实际问题.

二、课前热身

1．方程2x-5=3的解是（ ）

A ．x=4

B ．x=-4

C ．x=1

D ．x=-1

2．某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在“6?1儿童节”举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元．若设铅笔卖出x 支，则依题意可列得的一元一次方程为（ ）

A.1.2×0.8x+2×0.9（60+x ）=87

B.1.2×0.8x+2×0.9（60﹣x ）=87

C.2×0.9x+1.2×0.8（60+x ）=87

D.2×0.9x+1.2×0.8（60﹣x ）=87

3．某单位组织34人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的人数是瑞金的人数的2倍多1人，求到两地的人数各是多少？设到井冈山的人数为x 人，到瑞金的人数为y 人．下面所列的方程组正确的是（ ）

A ．3412x y x y +=??+=?

B ．3421x y x y +=??=+?

C ．3421x y x y +=??=+?

D ．23421x y x y +=??=+?

4．方程组525

x y x y =+??-=?的解满足方程x ＋y －a=0，那么a 的值是（ ）

A ．5

B ．－5

C ．3

D ．－3

5．方程组的解是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

三、【基础知识重温】

1．等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示 关系的式子叫等式. ⑵ 性质：① 如果b a =，那么=±c a ；

② 如果b a =，那么=ac ；如果b a =()0≠c ，那么

=c

a

. 2. 方程、一元一次方程的概念

⑴ 方程：含有未知数的 叫做方程；使方程左右两边值相等的 ，叫做方程的解；求方程解的 叫做解方程. 方程的解与解方程不同.

⑵ 一元一次方程：在整式方程中，只含有 个未知数，并且未知数的次数是 ，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为 ()0≠a . 3. 解一元一次方程的步骤：

①去 ；②去 ；③移 ；④合并 ；⑤系数化为1.

x y 60

x 2y 30+=??-=?

x 70y 10=??=-?x 90y 30=??=-?

x 50y 10=??=?x 30

y 30=??=?

5. 二元一次方程组：把具有相同未知数的两个 合在一起，就组成了一个二元一次方程组.

6．二元一次方程的解： 适合一个二元一次方程的 未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有 个解.

7．二元一次方程组的解： 二元一次方程组的两个方程的 ，叫做二元一次方程组的解. 8. 解二元一次方程组的方法：

消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有 消元和 消元法两种.

四、例题分析

题型一 一元一次方程的解法

例1. （2016·辽宁大连）方程2x+3=7的解是（ ）

A ．x=5

B ．x=4

C ．x=3.5

D ．x=2 【趁热打铁】

1.已知关于x 的方程3a-x=4的解为2，求代数式(-a)2

-2a+1的值.

2．解方程：

（1）53(2)8x x +-= （2）212

143

x x -+=-

3．解方程：)21(25)2(34y y y --=+-

题型二 二元一次方程组的解法 例2. （2016?新疆）解方程组???=-=+②

8y 3x ①732y x ．

例3. （2016?内蒙古通辽）已知a 、b 满足方程组23

319a b a b -=??+=?

= ．

【趁热打铁】

1.已知是方程组的解，则a ﹣b 的值是（ ）

A. B. C. D.

2．方程组???=-=+32y x a y x 的解为???==b

y x 5

，则a 、b 分别为 （ ）

A ．a ＝8，b ＝－2

B ．a ＝8，b ＝2

C ．a ＝12，b ＝2

D ．a ＝18，b ＝8 3.方程组1

3

x y x y -=??

+=?的解是 。

4.解下列方程组:131,2

22;

x y x y ?-=?

??+=?

5．解方程组x 2y 4 2x y 30-=??+-=? ①②

．

6．解二元一次方程组：3x 2y 19

2x y 1+=??-=?

．

x 2y 1==???ax by 5

bx ay 1+=+=???

1-234

题型三列方程(组)解决实际问题

例4.(2016·江苏苏州）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为12元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆，现在停车场共有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费480元，中、小型汽车各有多少辆？

【趁热打铁】

1．某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．

（1）求每辆A型车和B型车的售价各多少万元．

（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元．则有哪几种购车方案?

2．某商店经营甲、乙两种商品，其进价和售价如下表：

已知该商店购进了甲、乙两种商品共160件．

（1）若商店在销售完这批商品后要获利1000元，则应分别购进甲、乙两种商品各多少件？

（2）若商店的投入资金少于4300元，且要在售完这批商品后获利不少于1250元，则共有几种购货的方案？其中，哪种购货方案获得的利润最大？

3．我州某校计划购买甲、乙两种树苗共1000株用以绿化校园，甲种树苗每株25元，乙种树苗每株30元，通过调查了解，甲，乙两种树苗成活率分别是90%和95%．

（1）若购买这种树苗共用去28000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？

（2）要使这批树苗的总成活率不低于92%，则甲种树苗最多购买多少株？

（3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用．

4．海南五月瓜果飘香，某超市出售的“无核荔枝”和“鸡蛋芒果”单价分别为每千克26元和22元.李叔叔购买这两种水果共30千克，共花了708元.请问李叔叔购买这两种水果各多少千克？

五、牛刀小试

1、若代数式x+2的值为1，则x等于（）

A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3

2、某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（）

A．2×1000（26﹣x）=800x B．1000（13﹣x）=800x

C．1000（26﹣x）=2×800x D．1000（26﹣x）=800x

3、某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有（）

A．9天B．11天C．13天D．22天

4、李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟，则李师傅加工2个甲种零件和

5、上网流量、语音通话是手机通信消费的两大主体，目前，某通信公司推出消费优惠新招﹣﹣“定制套餐”，消费者可根据实际情况自由定制每月上网流量与语音通话时间，并按照二者的阶梯资费标准缴纳通信费．下表是流量与语音的阶梯定价标准．

【小提示：阶梯定价收费计算方法，如600分钟语音通话费=0.15×500+0.12×（600﹣500）=87元】 （1）甲定制了600MB 的月流量，花费48元；乙定制了2GB 的月流量，花费120.4元，求a ，b 的值．（注：1GB =1024MB ）

（2）甲的套餐费用为199元，其中含600MB 的月流量；丙的套餐费用为244.2元，其中包含1GB 的月流量，二人均定制了超过1000分钟的每月通话时间，并且丙的语音通话时间比甲多300分钟，求m 的值．

巩固练习 一、选择题

1．方程x ＋5=4的解是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 2．方程3x+2(1-x)=4的解是（ ） A.x=

5

2

B.x=

6

5

C.x=2

D.x=1 3．我国古代名著《九章算术》中有一题“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁33-11-

A ．（9﹣7）x =1

B ．（9+7）x =1

C ．1

1()179x -= D ．11()179

x += 4．若单项式2

2a b

x y

+与4

13

a b x y --

是同类项，则a ，b 的值分别为（ ） A ．a=3，b=1 B ．a=﹣3，b=1 C ．a=3，b=﹣1 D ．a=﹣3，b=﹣1 5．方程2x 13-=的解是（ ） A ．-1 B ．

C ．1

D ．2 6．一种饮料有两种包装，5大盒、4小盒共装148瓶，2大盒、5小盒共装100瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x 瓶，小盒装y 瓶，则可列方程组（ ） A ．5414825100x y x y +=??

+=? B ．4514825100x y x y +=??+=? C ．5414852100x y x y +=??+=? D ．45148

52100

x y x y +=??+=?

7．为了开展阳光体育活动，某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共花费35元，毽子单价3元，跳绳单价5元，购买方案有（ ）

A ．1种

B ．2种

C ．3种

D ．4种

8． 20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生有x 人，女生有y 人，根据题意，列方程组正确的是（ ）

A. B. C. D.

9．方程组的解是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

10．有加减法解方程3210415x y x y -=??-=?

①②时，最简捷的方法是（ ）

A ．①×4﹣②×3，消去x

B ．①×4+②×3，消去x

C ．②×2+①，消去y

D ．②×2﹣①，消去y 二、填空题(每题4分,共28分)

1．某种商品每件的标价为240元，按标价的八折销售时，每件仍能获利20%，则这种商品每件的进价为 元．

2．已知关于x 的方程2x+a ﹣5=0的解是x=2，则a 的值为 ．

3．七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观，共589人，到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人．设到雷锋纪念馆的人数为x 人，可列方程为 ．

4．服装店销售某款服装，一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利60元，则这款服装每件的标价比进价多 元． 5．方程组

的解是 ．

6．已知：若代数式x ﹣5与2x ﹣1的值相等，则x 的值是 ．

7．某城市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8%，农人口增加1.1%，这样全市人口将增加1%，1

2

x y 523x 2y 20+=??+=?x y 522x 3y 20+=??+=?x y 202x 3y 52+=??+=?x y 203x 2y 52+=??+=?x y 60x 2y 30

+=??-=?x 70y 10=??=-?x 90y 30=??=-?x 50y 10=??=?x 30y 30=??=?

程组为 。

三、解答题(1-4题每题6分,5-6每题9分,共42分) 1．解方程组：225x y x y -=??

+=?①②

．

2．为促进交于均能发展，A 市实行“阳光分班”，某校七年级一班共有新生45人，其中男生比女生多3人，求该班男生、女生各有多少人．

3．在纪念中国抗日战争胜利70周年之际，某公司决定组织员工观看抗日战争题材的影片，门票有甲乙两种，甲种票比乙种票每张贵6元；买甲种票10张，乙种票15张共用去660元． 求甲、乙两种门票每张各多少元？

4．已知关于x 、y 的方程组的解为，求m 、n 的值．

11mx ny 22mx ny 5

?

-=

???+=?x 2y 3=??

=?

5．某超市销售甲、乙两种糖果，购买3千克甲种糖果和1千克乙种糖果共需44元，购买1千克甲种糖果和2千克乙种糖果共需38元．

（1）求甲、乙两种糖果的价格；

（2）若购买甲、乙两种糖果共20千克，且总价不超过240元，问甲种糖果最少购买多少千克？

6．我市为全面推进“十个全覆盖”工作，绿化提质改造工程如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共600棵对某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵100元，乙种树苗每棵200元．（1）若购买两种树苗的总金额为70000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？

（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？

第3、4讲 一元二次方程

一、目标要求：

1．理解一元二次方程的概念． 2．掌握一元二次方程的解法．

3．了解一元二次方程根的判别式，会判断一元二次方程根的情况；了解一元二次方程根与系数的关系并能简单应用．

4．会列一元二次方程解决实际问题. 二、课前热身

1．已知x ＝-2是一元二次方程x 2

-mx ＋2＝0的一个解，则m 的值是（ ） A ．﹣3 B ．3 C ．0 D ．0或3

2．用配方法解一元二次方程x 2

＋6x ﹣5＝0，此方程可变形为（ ）

A ．（x ＋3）2＝14

B ．（x ﹣3）2＝14

C ．（x ＋3）2＝4

D ．（x ﹣3）2

＝4

3．若关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2

＋2x ﹣2＝0有不相等实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞

12 B ．k ≥12 C ．k ＞12且k ≠1 D ．k ≥1

2

且k ≠1 4．方程2

3x x =的解是 （ ）

A ．3x =

B ．3x =-

C ．0x =

D ．3x =或0x =

5．若02=++c bx x 的两个根中较小的一个根是m （m 0≠）,则b+c b 42

+等于（ ） A 、m B 、-m C 、2m D 、-2m

6.绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长

比宽多10米．设绿地的宽为x 米，根据题意，可列方程为（ ） A ．()10900x x -= B ．()10900x x += C ．()1010900x += D ．()210900x x ++=????[

三、【基础知识重温】

1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元

二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法：

（1）直接开平方法：形如)0(2

≥=a a x 或)0()(2

≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.

（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02

≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为1，即

方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2

()x m n +=的形式，⑤如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.

（3）公式法：一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是2

1,240)x b ac =

-≥.

（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.

3. 一元二次方程根的判别式：

关于x 的一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 的根的判别式为 .

（1）ac b 42->0?一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 实数根，即=2,1x . （2）ac b 42-=0?一元二次方程有 相等的实数根，即==21x x . （3）ac b 42-<0?一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 实数根.

4． 一元二次方程根与系数的关系

若关于x 的一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x

=?21x x .

四、例题分析

题型一 一元二次方程的有关概念

例1. （2016-2017江苏南师大二附中九上10月月考卷）下列方程中，一元二次方程是（ ） A ．x 2

+

21x

=0 B ．（2x ﹣1）（x+2）=1 C ．ax 2+bx=0 D ．3x 2﹣2xy ﹣5y 2

=0 【趁热打铁】

1.方程x 2

－2（3x －2）+（x+1）=0的一般形式是（ ）

A ．2550x x +=－

B ．2550x x ++=

C ．2550x x +=－

D ．250x += 2．下列方程中，不是一元二次方程的是 （ ）

A ．x 2-4=0

B ．x 2+x

1+4=0 C ．x 2+2x+1=0 D ．3x 2

+2x+1=0

3．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的为（ ） A ．2x 2

＝0 B ．4x 2

＝3y C ．x 2

＋

1x

＝－1 D ．x 2

＝(x －1)(x －2) 题型二 一元二次方程的解法

例2.（2016·山东淄博）解方程：x 2

+4x ﹣1=0．

【趁热打铁】 1.解方程

（1）、 （2）、（x+3）（x-6）=

[来源:]

题型三 一元二次方程根的判别式的应用

2

410x x -+=8-

的取值范围是（ ）

A ．k ＜5

B ．k ＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k ＞5 【趁热打铁】

1. a ，b ，c 为常数，且（a-c ）2＞a 2+c 2，则关于x 的方程ax 2

+bx+c=0根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．无实数根 D ．有一根为0

2．方程ax 2

+bx+c=0 （a ≠0）有实数根，那么总成立的式子是（ ） A 、24b ac -＞0 B 、24b ac -＜0 C 、24b ac -≥0 D 、24b ac -≤0 3．关于x 的一元二次方程x 2

+4x+k=0有两个相等的实根，则k 的值为（ ） A ．k=﹣4 B ．k=4 C ．k ≥﹣4 D ．k ≥4 题型四 一元二次方程根与系数的关系

例4.（2016·山东德州）方程22310x x --=的两根为1x ，2x ，则22

12x x += ．

【趁热打铁】

1．若关于x 的一元二次方程的两个根为x 1=1，x 2=2，则这个方程是（ ）

A ．x 2+3x ﹣2=0

B ．x 2﹣3x+2=0

C ．x 2﹣2x+3=0

D ．x 2

+3x+2=0

2．设m ，n 分别为一元二次方程x 2+2x ﹣2018=0的两个实数根，则m 2

+3m+n= ． 题型五 用一元二次方程解实际问题

例5．(2016·广西百色) 在直角墙角AOB （OA ⊥OB ，且OA 、OB 长度不限）中，要砌20m 长的墙，与直角

墙角AOB 围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC 的面积为96m 2

． （1）求这地面矩形的长；

（2）有规格为0.80×0.80和1.00×1.00（单位：m ）的地板砖单价分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少？

【趁热打铁】

1．随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x ，根据题意列方程得（ ）

A ．10（1+x ）2=16.9

B ．10（1+2x ）=16.9

C ．10（1﹣x ）2

=16.9 D ．10（1﹣2x ）=16.9 2. 某地区2014年投入教育经费2900万元，2016年投入教育经费3509万元．

（2）按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地区国民生产总值的增长情况，该地区到2018年需投入教育经费4250万元，如果按（1）中教育经费投入的增长率，到2018年该地区投入的教育经费是否能达到4250万元？请说明理由．

）

3．体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？

六、牛刀小试

1、已知关于x 的一元二次方程280x mx +-=的一个实数根为2，则另一实数根及m 的值分别为（ ） A ． 4，﹣2 B ．﹣4，﹣2 C ．4，2 D ．﹣4，2[来源:学_科_网]

2、一元二次方程2x 2

﹣3x+1=0根的情况是（ ）

A ．有两个不相等的实数根

B ．有两个相等的实数根

C ．只有一个实数根

D ．没有实数根

3、一元二次方程x 2

﹣6x ﹣5=0配方组可变形为（ ）

A ．（x ﹣3）2=14

B ．（x ﹣3）2=4

C ．（x+3）2=14

D ．（x+3）2

=4

4、当x 时，方程2

x -2x-5=0的根是（ ） A ．1

1 C ．1

．

5、已知m 是关于x 的方程2230x x --=的一个根，则2

24m m -= ．

6、为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元。2016年投入教育经费8640万元。假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同。

（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元。

巩固练习 一、选择题

1．方程2

30x x -=的解是 （ ）

A ．3x =

B ．3x =-

C ．0x =

D ．3x =或0x =

2.若方程23440x x --=的两个实数根分别为1x ，2x ，则12x x +=（ ） A ．﹣4 B ．3 C

D

3．已知关于x 的方程有一个根为-2，则另一个根为（ ）

A ．5

B ．－1

C ．2

D ．－5 4．下列方程中，没有．．实数根的是（ ） A ．032=+x B ．012=-x C

．012=++x x 5．若关于x 的一元二次方程2450x x a -+-=有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥ B ．1a > C ．1a ≤ D ．1a <

6．用配方法解一元二次方程2430x x +-=时，原方程可变形为（ ） A ．2(2)1x += B ．2(2)7x += C ．2(2)13x += D ．2

(2)19x += 7．下列方程是一元二次方程的是（ ）

A 、

B 、[来

C 、（x-1）（x-3）=0

D 、212x x

-=

8．2016年某市仅教育费附加就投入7200万元，用于发展本市的教育，预计到2018年投入将达9800万元，若每年增长率都为x ，根据题意列方程（ ）

A ．7200（1+x ）=9800

B ．2

7200(1)9800x +=

C ．2

7200(1)7200(1)9800x x +++= D ．2

72009800x =

9．定义新运算，，若a 、b 是方程x 2

-x +

1

4

m =0的两根，则b *b -a *a 的值

30x x a ++=20ax bx c ++=2221x x x +=-

A 、0

B 、1

C 、2

D 、与m 有关

10

．给出一种运算：对于函数n

x y =，规定1-=n nx y 丿。例如：若函数4

x y =，则有3

4x y =丿。已知函

数3x y =，则方程12=丿

y 的解是（ ）

A ．4,421-==x x

B ．2,221-==x x

C ．021==x x

D 二、填空题(每题3分,共21分)

1．一元二次方程x 2

﹣4x=12的根是

2．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x ，下面所列的方程是 3．已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是1，则m= ．

4．若一元二次方程x 2

﹣6x+m=0有两个相等的实数根，则m 的值为 ．

5．已知关于x 的方程有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是 ．

6．关于x 的一元二次方程01222=+-+m x x 的两实数根之积为负，则实数m 的取值范围是_________. 7．方程)5(2)5(32

-=-x x 的根是 ．

三、解答题(1-4题每题6分,5题9分，6-7题每题8分,共49分)

1．解方程046x 2

=--x

2．随着互联网的迅速发展，某购物网站的年销售额从2013年的200万元增加到2015年的392万元.求该购物网站平均每年销售额增长的百分率.

3．关于x 的方程3x 2

+mx ﹣8=0有一个根是2

3

，求另一个根及m 的值． ()2

2

m x 1m x 04

+-+=

4．如图，在长为80米，宽为60米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行

绿化，要使绿化面积为4524米2

，则道路的宽应为多少米？

5．已知关于x 的一元二次方程（a+c ）x 2

+2bx+（a ﹣c ）=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长． （1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

6．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种商品每次降价的百分率；

（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？ 7．为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室.经预算，一共需要筹资30 000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊.

（1）筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？

（2）经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150元.镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户共集资20 000元.经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200户的基础上增加了ａ%（其中a 0 ）.则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了10

a 9

%，求ａ的值.

第5,6讲分式方程

一、目标要求：

1．理解分式方程的概念，会解可化为一元一次(二次)方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)，知道解分式方程的基本思想是把分式方程化为整式方程．

2．了解解分式方程产生增根的原因，能解决有关字母系数的问题．

3．会列分式方程解决实际问题.

二、课前热身[来源:学*科*网]

1）

A．x=﹣1 B．x=1 C．x=2 D．x=3

2．解分式方程

1

1

x-

+1=0，正确的结果是（）

A．x=0 B．x=1 C．x=2 D．无解

3．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产800台所需时间与原计划生产600台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（）

A

4．若关于x的分式方程2

22

x

=

-

的解为非负数，则a的取值范围是（）

A．a≥1 B．a＞1 C．a≥1且a≠4 D．a＞1且a≠4

5．某学校为绿化环境，计划种植600棵树，实际劳动中每小时植树的数量比原计划多20%，结果提前2小时完成任务，求原计划每小时种植多少棵树？

三、【基础知识重温】

1．分式方程:分母中含有的方程叫分式方程.

2．解分式方程的一般步骤：

（1）去分母，在方程的两边都乘以，约去分母，化成整式方程；

（2）解这个整式方程；

（3）验根，把整式方程的根代入，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.[来源:学.科.网Z.X.X.K]

3. 用换元法解分式方程的一般步骤：

①设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；②解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④检验作答.

4．分式方程的应用：

分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：

（1）检验所求的解是否是所列；（2）检验所求的解是否.

四、例题分析

例1.(2016·海南省）解分式方程1

x －1+1=0，正确的结果是（ ）

A ．x=0

B ．x=1

C ．x=2

D ．无解 【趁热打铁】 1. 解方程：． 2.解方程：2

8124

x x x -=--．

3.解方程：．

题型二 分式方程无解、有正、负数根 例2.（2016·四川凉山卷）关于x

m 的值为（ ） A ．﹣5 B ．﹣8 C ．﹣2 D ．5

【趁热打铁】

1. 已知关于x 的分式方程111

k x k x x ++=+-的解为负数，则k 的取值范围是 ． 2.若方程

233

x m x x =+--无解，则m 的值为 ． 题型三 分式方程的应用

例3.（2016·四川宜宾卷）2016年“母亲节”前夕，宜宾某花店用4000元购进若干束花，很快售完，接着又用4500元购进第二批花，已知第二批所购花的束数是第一批所购花束数的1.5倍，且每束花的进价比第一批的进价少5元，求第一批花每束的进价是多少？ 213

0x 1x 1-=--213

0x 1x 1

-=--

【趁热打铁】

1. 甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg ，甲搬运5000kg 所用的时间与乙搬运8000kg 所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg 货物．设甲每小时搬运xkg 货物，则可列方程为（ ）

A

2．某校学生利用双休时间去距学校10km 的炎帝故里参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min 后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度和汽车的速度．

1 ） A ．x=﹣1 B ．x=1 C ．x=

2 D ．x =3

2、若关于x

的方程

333x m m

x x

++

--=3的解为正数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜92 B ．

m ＜92且m≠32 C ．m ＞﹣94 D ．m ＞﹣94且m≠﹣34

3、对于实数、，定义一种新运算“?”为： ） ．7=x

的解是 ．

5、某机加工车间共有26名工人，现要加工2100个A 零件，1200个B 零件，已知每人每天加工A 零件30

个或B 零件20个，问怎样分工才能确保同时完成两种零件的加工任务（每人只能加工一种零件）？设安排x 人加工A 零件，由题意列方程得（ ） A C a b

6、“汉十”高速铁路襄阳段正在建设中，甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工30天

15天，才能完成该项工程． （1）若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程?

（2）若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程?

巩固练习

一、选择题(每题4分,共28分)

1．若分式24

2

x x -+的值为零，则x 的值为（ ）

A ．0

B ．2

C ．-2

D ．±2 2．解分式方程

11

222x x x

-+=

--的结果是（ ） A ．x=2 B ．x=3 C ．x=4 D ．无解 3．解分式方程

﹣4=

时，去分母后可得（ ）

A ．1﹣4（2x ﹣3）=﹣5

B ．1﹣4（2x ﹣3）=5

C ．2x ﹣3﹣4=﹣5

D ．2x ﹣3﹣4=5（2x ﹣3） 4．分式方程21

1x x

=+的解是（ ） （A ）1

（B ）1- （C 1（D 15．关于x 的方式方程

232

x m

x +=-的解是正数，则m 可能是（ ） A ．﹣4 B ．﹣5 C ．﹣6 D ．﹣7

6．某玩具厂生产一种玩具，甲车间计划生产500个，乙车间计划生产400个，甲车间每天比乙车间多生产10个，两车间同时开始生产且同时完成任务．设乙车间每天生产x 个，可列方程为( )

A 7．若关于x 的分式方程1x m

m x

-=-无解，则m 的值为（ ） A ．0 B ．2 C ．0或2

D ．±2

二、填空题

8 ．