线性变换练习题
线性变换练习题
一、（浙江大学2006）设矩阵322232223A ??
??=??
????
，010101001P ????
=??????，1*2B P A P E -=+，求B 的特征值与
特征向量.
二、（东南大学2002）设线性变换A 在线性空间V 的基123,,ααα下矩阵为101210,113??
?
- ? ???
1、求值域V A ，核1
(0)-A 的基。 2、问1
(0)V V -=A +A 吗？为什么？
三、（复旦大学1998）设矩阵21000a b A c ωω??
?
= ? ?
??，c b a ,,为实数,231-+-=ω.求100A .
四、（华东师大2007）设200201A a b c ?? ?
= ? ?-??
是复矩阵. 1、求出A 的一切可能的Jordan 标准形；2、给
出A 可对角化的一个充要条件.
五、（苏州大学2006）设5[]V x =F 是数域F 上全体次数<5的多项式及零多项式构成的线性空间，
()f x V ?∈，定义映射(())()f x r x δ=，其中2()(1)()()f x x q x r x =-+，()r x =0或deg(())2r x <.
1、证明映射δ是V 的一个线性变换；
2、求δ在基2
3
4
{1,,,,}x x x x 下的矩阵。
六、1、（清华大学2001）设方阵A 满足2A A =(幂等方阵)，则存在可逆方阵P 使1
000R
E P AP -??
=
???
； 2、（清华大学2001）设方阵A 满足2
A E = (对合方阵)，则可取可逆方阵P 使1P AP -为何种最简形式？证明之；
3、（清华大学2001）设方阵A 满足20A =（幂零方阵），则可取可逆方阵P 使1
P AP -为何种最简形式？证明之。
4、（苏州大学2006）设A 为4阶矩阵，且存在正整数k ，使0k A =，又A 的秩为3，分别求A 与2
A 的若当（Jordan)标准形。
七、（浙江大学2000）证明：n 阶幂零指数1n -的矩阵都相似（若1
200n n A A --=≠而，称A 的幂零
指数为1n -）。
八、（浙江大学2006）设3阶矩阵,,,A B C D 具有相同的特征多项式，证明其中必有两个矩阵相似。 九、（复旦大学2000）设A 为一个n 阶方阵且A 的秩等于2
A 的秩，证明A 的秩等于3
A 的秩。
十、（苏州大学2006）（1）设V 是有理数域 上的线性空间，E 是V 的恒等变换。又设δ是V 的一个线性变换，证明：如果32
5δδδ=++E ，则δ没有特征值。
十一、（苏州大学2006）设n 阶矩阵,A B ，且A B B A =。证明：若,A B 都相似于对角矩阵，则A B +也相似于对角矩阵。 十二、（浙江大学2000）设n 维线性空间V 的线性变换A 有n 个互异的特征值，线性变换B 与A 可交换的充要条件为B 是2
1
,,,,n -E A A A
的线性组合，其中E 为恒等变换。
十四、（华东师大1998）设()f x 为数域F 上多项式，且有12()()()f x f x f x =，12((),())1f x f x =，又设V 为F 上维线性空间，A 为的一个线性变换，W 为()f A 的核，1W 为1()f A 的核，2W 为2()f A 的核，证明：12W W W =⊕.
十五、（华东师大2008）设,A B 是两个特征值都是正数的n 阶实矩阵，且22A B =，则A B =。 十六（华东师大2011）设A 是数域F 上有限维线性空间V 的线性变换，W 是V 的A-不变子空间. (1) 在V 上定义一个二元关系:u v u v W ?-∈ ,证明： 是一个等价关系； (2) 设[]{}/V W u u V =
∈是由（1）中的等价关系所确定的所有的等价类组成的集合，在此集合上
定义加法和乘法运算如下：
[][][][][],,,u v u v k u ku k u V +=+=∈∈F
证明：/V W 按照这样定义的运算构成数域上F 的线性空间（称为由确定的的商空间）. （3）证明：dim /dim dim V W V W =-；
（4）定义/V W 上的变换[]()
():,u u u V B B =A ∈????，证明：B 是商空间/V W 上的线性变换； （5）证明：()()()W
χλχλχλA B A =，其中()χλA 表示线性变换A 的特征多项式，而W A 表示A
在W 上的限制变换.
第7章 线性变换
第7章 线性变换 §1 线性变换的定义 线性空间V 到自身的映射，通常叫做V 的一个变换，现在讨论的线性变换是线性空间的最简单也是最重要的一种变换。 一、线性变换的定义 定义7.1 设V 为线性空间，若对于V 中的任一向量α，按照一定的对应规则T ，总有V 中的一个确定的向量β与之对应，则这个对应规则T 称为线性空间V 中的一个变换，记为 βα=)(T 或 )(,V T ∈=αβα， β称为α的象，α称为β的原象。象的全体所构成的集合称为象集，记作T （V ），即 T （V ）={}V T ∈=ααβ|)(。 由此定义可见，变换类似于微积分中的函数，不过微积分中的函数是两个实数集合间的对应，而这里的变换则是线性空间中的向量与向量之间的对应。 定义7.2 线性空间V 中的变换T ，若满足条件 （1） 对任意V ∈βα,有 （2） )()()(βαβαT T T +=+； （3） 对任意V ∈α及数域P 中任意数k 有 )()(ααkT k T =，
则称变换T 为V 中的线性变换。 例7.1 线性空间V 中的恒等变换或称单位变换E ，即 E )()(V ∈=αα α 以及零变换?，即 ?)(0 )(V ∈=αα 都是线性变换. 例7.2 设V 是数域P 上的线性空间，k 是P 中的某个数，定义V 的变换如下： V k ∈→ααα,. 这是一个线性变换，称为由数k 决定的数乘变换，可用K 表示.显然当1=k 时， 便得恒等变换，当0=k 时，便得零变换. 例7.3 在线性空间][x P 或者n x P ][中，求微商是一个线性变换.这个变换通常用D 代表，即 D （)(x f ）=)(x f '. 例7.4 定义在闭区间[]b a ,上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以),(b a C 代表.在这个空间中变换 ?（)(x f ）=?x a dt t f )( 是一线性变换.
线性变换练习题
线性变换习题 一、填空题 1. 设σ是3 P 的线性变换，(,,)(2,4,3)a b c b c a b a σ=+-，,,a b c P ?∈，1(1,0,0),ε= 2(0,1,0),ε=3(0,0,1)ε=是3P 的一组基，则σ在基123,,εεε下的矩阵为 _______________，又3123,P αεεε=-+∈则()σα=_________。 2. 设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间n P 的线性变换σ：()A σξξ=， n P ξ∈，则()1dim (0)σ-＝ ，()dim ()n P σ＝ 。 3. 设P 上三维列向量空间V 的线性变换σ在基123,,ααα下的矩阵是11220 1121-?? ? ? ?-?? ，则σ在基213,,ααα下的矩阵是 。 4. 如果矩阵A 的特征值等于1，则行列式||A E -= 。 5. 设A =???? ? ??? ??21 1 12 1112 ，()X AX σ=是P 3上的线性变换，那么σ的零度= 。 6. 若n n A P ?∈，且2 A E =，则A 的特征值为 。 7. 在[]n P x 中，线性变换D (()f x )'()f x =，则D 在基211,,, ,n x x x -下的矩阵 为 。 8. 在22 P ?中，线性变换10:20A A σ??→ ???在基121001,,0000E E ???? == ? ????? 300,10E ??= ??? 40001E ?? = ???下的矩阵是 。 9. 设321502114A ?? ? = ? ??? 的三个特征值为1λ，2λ，3λ，则1λ+2λ+3λ= ， 1λ2λ3λ= 。 10. 数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为 维线性空间，
线性变换习题
第四章线性变换 习题精解 1.判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是: 1) 在线性空间V中，A ,其中V是一固疋的向量; 2) 在线性空间V中，A 其中V是:一固疋的向量； (X i,X2,X3) (X；,X2 X3,X 鳥? 3) 在P3中，A 4) 在P3中，A(X i,X2, X3) (2x i X2,X2 X3, X i); 5) 在P[X]中, A f (X) f (X 1) 6)在P[X]中，A f(x) f(X o),其中X0 p是一固定的数； 7)把复数域上看作复数域上的线性空间， A 8)在P"中，AX=BXC其中B,C p n n是两个固定的矩阵. 解1)当0时，是;当0时，不是? 2)当0时，是;当0时，不是. 3)不是?例如当(1,0,0), k 2 时,k A( ) (2,0,0), A(k ) (4,0,0), A(k ) k A(). 4)是?因取(X i,x2,x3), (%,丫2,丫3),有 A( ) = A (x i y i,X2 y2,X3 y3) = (2x i 2y i X2 y2,X2 y2 X3 y3,X i yj = (2x i X2,X2 X3,X i) (2y i y?」？y3, y i) =A + A A(k ) A (kx i, kx2, kx3) (2kx1 kx2, kx2kx3, kx1) (2kx1 kx2, kx2kx3,kx1) k A() 故A是P3上的线性变换? 5)是.因任取f (X) P[x], g(x) P[x],并令 u(x) f(x) g(x)则 A(f(x) g(x)) = A u(x) =u(x 1) = f (x 1) g(x 1) =A f (x) + A(g(x)) 再令v(x) kf (x)则A(kf (x)) A(v(x)) v(x 1) kf (x 1) k A(f (x)) 故A为P[X]上的线性变换. 6)是?因任取f(x) P[x], g(x) P[x]则. A(f (X) g(x))= f (X0 ) g(X0 ) A(f (x)) A(g(x)) A(kf (x)) kf (X0) k A(f (x)) 7)不是.例如取a=1,k=l,则 A(ka)=-i , k( Aa)=i, A(ka) kA(a)
第七章线性变换总结篇(高等代数)
第 7章 线性变换 7.1知识点归纳与要点解析 一．线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义 数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换，如果对V 中任意的元素,αβ和数域P 中的任意数k ，都有：()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=。 注：V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。 2.线性变换的判别 设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换，那么： σ为V 的线性变换?()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+?∈?∈ 3.线性变换的性质 设V 是数域P 上的线性空间，σ为V 的线性变换，12s ,,,,V αααα?∈。 性质1. ()()00,σσαα==-; 性质2. 若12s ,, ,ααα线性相关，那么()()()12s ,, ,σασασα也线性相关。 性质3. 设线性变换σ为单射，如果12s ,, ,ααα线性无关，那么()()()12s ,, ,σασασα 也线性无关。 注：设V 是数域P 上的线性空间，12,,,m βββ，12,,,s γγγ是V 中的两个向量组， 如果： 11111221221122221122s s s s m m m ms s c c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=++ + 记：
()()112111222 2121212,,,,, ,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ?? ? ? = ? ??? 于是，若()dim V n =，12,, ,n ααα是V 的一组基，σ是V 的线性变换， 12,, ,m βββ是 V 中任意一组向量，如果： ()()()11111221221122221122n n n n m m m mn n b b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=++ + 记： ()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ= 那么： ()()1121 112222121212,,,,, ,m m m n n n mn b b c b b c b b c σβββααα?? ? ? = ? ??? 设112111222212m m n n mn b b c b b c B b b c ?? ? ? = ? ??? ，12,,,m ηηη是矩阵B 的列向量组，如果12,,,r i i i ηηη是 12,, ,m ηηη的一个极大线性无关组，那么()()() 12 ,r i i i σβσβσβ就是 ()()()12,m σβσβσβ的一个极大线性无关组，因此向量组()()()12,m σβσβσβ的 秩等于秩()B 。 4. 线性变换举例 （1）设V 是数域P 上的任一线性空间。 零变换： ()00,V αα=?∈； 恒等变换：(),V εααα=?∈。 幂零线性变换：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换，如果存在正整数m ，使 得σ =m 0，就称σ为幂零变换。
线性变换习题课
七、线性变换习题课 1．复习线性变换的概念 例1 将C看成R上的线性空间，变换是线性的，看成C上的线性空间则不是。 证明：R上：有== 又 故A是R上线性空间C的线性变换。 C上：取及，有，而，故A不是C上线性空间C的线性变换。 由上例，变换A是否为线性变换与所讨论的数域有关。 2．利用运算的意义，运算律推证线性变换的等式，利用线性变换与n阶方阵代数同构解决有关问题。 例2设A,B是线性变换，如果证明： ，（k>0） 证明: 由已知,对k=1结论成立,故考虑用数学归纳法. 对k用归纳法.当k=1时结论成立. K=2时,由已知 =AB=(BA+E)A+A-BA2 =BA2+A+A-BA2=2A 结论成立. 设当k时结论成立,即,也即. 当k+1时, =ABA k+AkA k-1-BA k+1=(BA+E)A k+kA k-BA k+1 =BA k+1+A k+kA k-BA k+1=(k+1)A k 所以结论对k+1也成立,从而对一切k1成立. 例3设V是数域P上n维线性空间,证明:V的与全体线性变换交换的线性变换是数乘变换. 证明: 需要表达出线性变换,联系到某基下的矩阵. 设令A,B在某基下的矩阵分别为A,B. 因为,所以由得AB=BA.由的任意 性,也是任意的,从而存在某个k使得A=kE为数量阵(P.204,,于是为数量变换. 有了变换乘积,进一步可考虑可逆变换. 3. 系统小结可逆线性变换的的等价条件,并举例说明一些基本论证方法. A可逆10存在使=E.
A是双射. A在基下的矩阵A可逆—有限维 例4 设是线性空间V的一组基,A是V上的线性变换,证明:可逆当且仅当线性无关. 证明:证法一: “”,,若=0,有B()=0,即=0,=0,即线性无关. “”线性无关, 因dimV=n,故使得 =A() 令使=() 易见,且,即 又任给设= 有()== 故,从A可逆. 证法二:利用双射 “” A是双射,则0==A() 得0=(0对应0) 故,线性无关. “”由dimV=n,V的任一向量可由唯一表示,即V中任一向量有唯一(要证明)原像(显然).故A是双射. 证法三:利用矩阵 A可逆A在下的矩阵A可逆 ()A也是一组基=n 线性无关 例5设,W1,W2是V的子空间,且,则可逆. 证明:由,有V,可设W1的一组基为, W2的一组
第七章 线性变换.
第七章线性变换 计划课时：24学时.( P 307—334) §7.1 线性变换的定义及性质（2学时） 教学目的及要求：理解线性变换的定义，掌握线性变换的性质 教学重点、难点：线性变换的定义及线性变换的性质 本节内容可分为下面的两个问题讲授. 一. 线性变换的定义（P307） 注意：向量空间V到自身的同构映射一定是V上的线性变换，反之不然。 二. 线性变换的性质 定理7.1.1（P309） 定理7.1.2 （P309） 推论7.1.3 （P310） 注意：1.定理7.1.2给出了在有限维向量空间构造线性变换的方法，且说明了一个线性变换完全被它对基向量的作用所决定。 2.两个线性变换相等当且仅当它们对任意一个向量的作用结果相等，推论7.1.3 （P310）告诉我们，只要这两个线性变换对某个基中的每个基向量的作用结果相等即可。 作业：习题七P330 1，2，3. §7.2 线性变换的运算（4学时） 教学目的及要求：掌握线性变换的运算及线性变换可逆的条件 教学重点、难点：线性变换的运算及线性变换可逆的条件 本节内容分为下面四个问题讲授： 一. 加法运算 定义1 （P310） 注意：σ＋τ是V的线性变换. 二. 数乘运算 定义2（P311） 显然kσ也是V的一个线性变换. 定理7.2.1 L(V)对于线性变换的加法与数乘运算构成数域F上的一个向量空间. 三. 乘法运算 (1). 乘法运算 定义3 （P311-312） 注意：线性变换的乘法适合结合律，但不适合交换律及消去律. 两个非零线性变换的乘积可
能是零变换. (2). 线性变换σ 的方幂 四. 可逆线性变换 定义4 （P 313） 线性变换可逆的充要条件 例2 （P 314） 线性变换的多项式的概念 (阅读内容). 作业：P 330 习题七 4，5. §7.3 线性变换的矩阵（6学时） 教学目的及要求：理解线性变换关于一个基的矩阵的定义，掌握ξ 与σ (ξ)关于同一个基的坐标 之间的关系、线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系、 同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的理论，掌握L (V )与M n (F )的同构理 论。 教学重点、难点： 1. 线性变换关于一个基的矩阵的定义。 2. L (V )与M n (F )的同构理论，线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系。 本节内容分为下面四个问题讲授： 一. 线性变换σ关于基的矩阵 定义 （P 316） 。 注意：取定n 维向量空间V 的一个基之后，对于V 的每一个线性变换，有唯一确定的n 阶矩阵与它对应. 例1 （P 316） 注意：一个线性变换在不同基下的矩阵通常是不同的. 例2 （P 317） 例3 （P 317） 二. ξ与σ (ξ)关于同一个基的坐标之间的关系. 定理7.3.1 例4 （P 318） 三. L (V )与M n (F )的同构 定理7.3.2 （P 320） 定理7.3.3 （P 320） 注意：1. 定理7.3.2 （P 320）的证明是本章的难点，在证明之前应复习证明所用到的知识点。 2.由于L (V ) 同构于)(F M n ，所以就把研究一个很复杂的向量空间L (V )的问题转化成研究一个很直观具体的向量空间)(F M n 的问题。同构是高等代数课程的一个基本概念。 3. 定理7.3.3不仅给出了在有限维向量空间判定一个线性变换可逆的方法，而且给出了求
第七章线性变换习题答案
第七章线性变换3．在P[x]中，Af(x)f(x)，Bf(x)xf(x)，证明： ABBA=E． 『解题提示』直接根据变换的定义验证即可． 证明任取f(x)P[x]，则有 =(A BBA)f(x)ABf(x)BAf(x)A(xf(x))B(f(x)) (xf(x))xf(x)f(x)Ef(x)， 于是ABBA=E． 4．设A,B是线性变换，如果ABBA=E，证明： kkk k1,k1ABBAA． 『解题提示』利用数学归纳法进行证明． 证明当k2时，由于ABBA=E，可得 22()()2 ABBAAABBAA B BAAA， 因此结论成立． 假设当ks时结论成立，即ssss1 ABBAA．那么，当ks1时，有 s1s1(s s)()ssss(s1)s ABBAAABBAA B BAAAAA， 即对ks1结论也成立．从而，根据数学归纳法原理，对一切k1结论都成立． 『特别提醒』由 AE可知，结论对k1也成立． 5．证明：可逆映射是双射． 『解题提示』只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可． 1证明设A是线性空间V上的一个可逆变换．对于任意的,V，如果AA，那么，用 A 作用左右两边，得到A AAA，因此A是单射；另外，对于任意的V，存在1()1() 1()1() 1V A，使得 1 AA(A)，即A是满射．于是A是双射．
-1-
『特别提醒』由此结论可知线性空间V上的可逆映射A是V到自身的同构． 6．设1,2,,n是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换，证明A可逆当且仅当 A1,A2,,A n线性无关． 证法1若A是可逆的线性变换，设k AkAkA0 ，即 1122nn A(kkk nn)0． 1122 而根据上一题结论可知A是单射，故必有k kk0，又由于 1,2,,n是线性无关的， 1122nn 因此k 1k2k n0．从而A1,A2,,A n线性无关． 反之，若A 1,A2,,A n是线性无关的，那么A AA也是V的一组基．于是，根据 1,2,,n 教材中的定理1，存在唯一的线性变换B，使得B(A i)i，i1,2,,n．显然 BA(i)i，A B(A i)A i，i1,2,,n． 再根据教材中的定理1知，ABBAE．所以A是可逆的． 证法2设A在基 1,2,,n下的矩阵为A，即 A(,,,n)(A,A,,A n)(,,,n)A． 121212 由教材中的定理2可知，A可逆的充要条件是矩阵A可逆． 因此，如果A是可逆的，那么矩阵A可逆，从而A 1,A2,,A n也是V的一组基，即是线性无 关的．反之，如果A AA是线性无关，从而是V的一组基，且A是从基 1,2,,n到1,2,,n A1,A2,,A n的过渡矩阵，因此A是可逆的．所以A是可逆的线性变换． 『方法技巧』方法1利用了上一题的结论及教材中的定理1构造A的逆变换；方法2借助教材中的定理2，将线性变换A可逆转化成了矩阵A可逆． 9．设三维线性空间V上的线性变换A在基1,2,3下的矩阵为 aaa 111213 A aaa． 212223 aaa 313233 1）求A在基3,2,1下的矩阵；
第一章 线性空间与线性变换概述
第一章 线性空间与线性变换 线性空间与线性变换是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念．本章先简要地论述这两个概念及其有关理论，然后再讨论两个特殊的线性空间，这就是Euclid 空间和酉空间． §1.1 线性空间 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础，所考虑的数域是实数域(记为R)和复数域(记为C)，统称数域F ． 一、线性空间的定义及性质 定义1 设V 是一个非空集合，F 是一数域．如果存在一种规则，叫做V 的加法运算：对于V 中任意两个元素,αβ，总有V 中一个确定的元素γ与之对应．γ称为αβ与的和，记为γαβ=+．另有一种规则，叫做V 对于F 的数乘运算：对于F 中的任意数k 及V 中任意元素α，总有V 中一个确定的元素σ与之对应，σ叫做k 与α的数乘，记为k σα=．而且，以上两种运算还具有如下的性质： 对于任意α，β，V γ∈及k ，l F ∈，有 1)αββα+=+； 2)()()αβγαβγ++=++； 3)V 中存在零元素０，对于任何V α∈，恒有αα+=0； 4)对于任何V α∈，都有α的负元素V β∈，使0αβ+=； 5)1αα=； 6)()()k l kl αα=；(式中kl 是通常的数的乘法) 7)()k l k l ααα+=+；(式中k l +是通常的数的加法) 8)()k k k αβαβ+=+． 则称V 为数域F 上的一个线性空间，也称向量空间． V 中所定义的加法及数乘运算统称为线性运算，其中数乘又称数量乘 法．在不致产生混淆时，将数域F 上的线性空间简称为线性空间． 需要指出，不管V 的元素如何，当F 为实数域R 时，则称V 为实线性空间；当F 为复数域C 时，就称V 为复线性空间． 线性空间{0}V =称为零空间．
线性变换例题 (3)
【例9.15】已知系统具有如下形式 u y y y y 66116')2()3(=+++ 试求此系统对角形式的状态方程。 解 令 y x =1，'2y x =，) 2(3y x = 即 21x x =& 32x x =& u x x x x 661163213+---=& 写成矩阵—向量形式 u x x x x x x ?? ?? ??????+????????????????????---=????? ?????6006116100010321321&&& (9.76) []?? ?? ? ?????=321001x x x y 可以看出A 阵为友矩阵，且A 的特征值为 321321-=-=-=λλλ，， 即 321λλλ≠≠ 。 这时我们选转换矩阵P 形式为 ??????? ???? ?????=---11211 2 22 2 121 111 n n n n n n P λλλλλλλλλΛ M ΛM M ΛΛΛ n 为相同的阶数，这里n =3。 本题中 ???? ??????---=921321111 P 令x=Pz 将上式代入(9.42)式，得： Bu APz z P +=& CPz y Bu P APz P z =+=--11& 系统可写为
????????????????????---??????????---??????????---=??????????32132194132111161161000105.05.111435.05.23z z z z z z &&&u ???????????????? ????---+6005.05.111435.05.23 u z z z z z z ???? ??????-+????????????????????---=????? ?????363300020001321321&&& 输出方程为 [][]?? ?? ? ?????=????????????????????---=321321111921321111001z z z z z z y
第七章线性变换总结篇
第 7章 线性变换 7、1知识点归纳与要点解析 一.线性变换的概念与判别 1、线性变换的定义 数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换,如果对V 中任意的元素,αβ与数域P 中的任意数k ,都有:()()()σαβσασβ+=+,()()k k σασα=。 注:V 的线性变换就就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。 2、线性变换的判别 设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换,那么: σ为V 的线性变换?()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+?∈?∈ 3、线性变换的性质 设V 就是数域P 上的线性空间,σ为V 的线性变换,12s ,,,,V αααα?∈L 。 性质1、 ()()00,σσαα==-; 性质2、 若12s ,,,αααL 线性相关,那么()()()12s ,,,σασασαL 也线性相关。 性质3、 设线性变换σ为单射,如果12s ,,,αααL 线性无关,那么()()()12s ,,,σασασαL 也线性无关。 注:设V 就是数域P 上的线性空间,12,,,m βββL ,12,,,s γγγL 就是V 中的两个向量组, 如果: 11111221221122221122s s s s m m m ms s c c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=+++L L L L L L 记: ()()1121112222121212,,,,,,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ?? ? ? = ? ??? L L L L M M M L 于就是,若()dim V n =,12,,,n αααL 就是V 的一组基,σ就是V 的线性变换, 12,,,m βββL 就是V 中任意一组向量,如果:
第七章 线性变换练习题参考答案
第七章 线性变换练习题参考答案 一、填空题 1．设123,,εεε是线性空间 V 的一组基，V 的一个线性变换σ在这组基下的矩阵是33112233(),,ij A a x x x V αεεε?==++∈则 σ在基321,,εεε下的矩阵B ＝1,T AT -而可逆矩阵T ＝001010100?? ? ? ??? 满足1,B T AT -=σα在基123,,εεε下的坐标为123x A x x ?? ? ? ??? . 2．设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间n P 的线性变换:(),n A P σσξξξ=∈,则1(0)σ-＝{}|0,n A P ξξξ=∈，()1dim (0)σ-＝n r -，()dim ()n P σ＝r . 3．复矩阵()ij n n A a ?=的全体特征值的和等于1n ii i a =∑ ，而全体特征值的积等于 ||A . 4．设σ是n 维线性空间V 的线性变换，且σ在任一基下的矩阵都相同，则σ为__数乘__变换 . 5．数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为2n 维线性空间，它与n n P ?同构. 6．设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλ ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为12(),(),,()n f f f λλλ . 7．设???? ??=2231A ，则向量??? ? ??11是A 的属于特征值 4 的特征向量． 8．若????? ? ?--=100001011A 与1010101k B k ?? ?=-- ? ???相似，则k = -1/2 ． 9．设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A 3 ．
第七章 线性变换
MATLAB软件应用第七章线性变换 例1：求矩阵 122 212 221 A ?? ?? =?? ?? ?? 的特征值与特征向量，并将其对角化. 解1：建立m文件v1.m如下： clc A= [1 2 2;2 1 2; 2 2 1]; E=eye(3); syms x f=det(x*E-A) %矩阵A的特征多项式 solve(f) %矩阵A的特征多项式的根，即A的特征值 %所以A的特征值为x1=5,x2=x3=-1. %（1）当x1=5时，求解（x1*E—A）X=0，得基础解系syms y y=5; B=y*E-A; b1=sym(null(B)) %b1为（x1*E—A）X=0基础解系 %（2）当x2=-1时，求解（x2*E—A）X=0，得基础解系y=-1; B=y*E-A; b2=sym(null(B)) %b2为（x2*E—A）X=0基础解系 T=[b1,b2] %所有特征向量在基下的坐标所组成的矩阵 D=T^-1*A*T %将矩阵A对角化，得对角矩阵D 运行结果如下： f = x^3-3*x^2-9*x-5 ans = 5 -1 -1 b1 = sqrt(1/3) sqrt(1/3) sqrt(1/3) b2 = [ sqrt(2/3), 0] [ -sqrt(1/6), -sqrt(1/2)] [ -sqrt(1/6), sqrt(1/2)] T =
[ sqrt(1/3), sqrt(2/3), 0] [ sqrt(1/3), -sqrt(1/6), -sqrt(1/2)] [ sqrt(1/3), -sqrt(1/6), sqrt(1/2)] D = [ 5, 0, 0] [ 0, -1, 0] [ 0, 0, -1] 解2：建立m文件v2.m如下： clc A= [1 2 2;2 1 2; 2 2 1]; d=eig(A) %求全部特征值所组成的向量 [V,D]=eig(A) %求特征值及特征向量所组成的矩阵inv(V)*A*V %A可对角化，且对角矩阵为D 运行结果如下： d = -1 -1 5 V = 247/398 1145/2158 780/1351 279/1870 -1343/1673 780/1351 -1040/1351 1013/3722 780/1351 D = -1 0 0 0 -1 0 0 0 5 ans = -1 * * * -1 * * * 5 例2：求矩阵 110 430 102 A -?? ?? =-?? ?? ?? 的特征值与特征向量，并判别A 是否可以对角化. 解：建立m文件v3.m如下：clc a=[-1 1 0;-4 3 0;1 0 2]; [V,D]=eig(a)
第七章 线性变换 习题答案
第七章 线性变换 3．在[]P x 中，()()f x f x '=A ，()()f x xf x =B ，证明： -=A B BA =E ． 『解题提示』直接根据变换的定义验证即可． 证明 任取()[]f x P x ∈，则有 ()()()()(())(())f x f x f x xf x f x '-=-=-=A B BA A B BA A B (())()()()xf x xf x f x f x ''=-==E ， 于是-=A B BA =E ． 4．设,A B 是线性变换，如果-=A B BA =E ，证明： 1 ,1k k k k k --=>A B BA A ． 『解题提示』利用数学归纳法进行证明． 证明 当2k =时，由于-=A B BA =E ，可得 22()()2-=-+-=A B BA A A B BA A B BA A A ， 因此结论成立． 假设当k s =时结论成立，即1 s s s s --=A B BA A ．那么，当1k s =+时，有 1 1 ()()(1)s s s s s s s s s s ++-=-+-=+=+A B BA A A B BA A B BA A A A A ， 即对1k s =+结论也成立．从而，根据数学归纳法原理，对一切1>k 结论都成立． 『特别提醒』由0 =A E 可知，结论对1k =也成立． 5．证明：可逆映射是双射． 『解题提示』只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可． 证明 设A 是线性空间V 上的一个可逆变换．对于任意的,V ∈αβ，如果=αβA A ，那么，用1 -A 作用左右两边，得到1 1 ()()--===ααββA A A A ，因此A 是单射；另外，对于任意的V ∈β，存在 1V -=∈αβA ，使得1()-==αββA A A ，即A 是满射．于是A 是双射． 『特别提醒』由此结论可知线性空间V 上的可逆映射A 是V 到自身的同构．
高等代数与解析几何第七章(1-3习题) 线性变换与相似矩阵答案
第七章线性变换与相似矩阵 习题7、1 习题7、1、1判别下列变换就是否线性变换？ (1)设就是线性空间中得一个固定向量, (Ⅰ),, 解:当时,显然就是得线性变换; 当时,有,,则,即此时不就是得线性变换。(Ⅱ),; 解:当时,显然就是得线性变换; 当时,有,,则,即此时不就是得线性变换。(2)在中, (Ⅰ), 解:不就是得线性变换。因对于,有,,所以。(Ⅱ); 解:就是得线性变换。设,其中,,则有 , 。 (3)在中, (Ⅰ), 解:就是得线性变换:设,则 , ,。
(Ⅱ),其中就是中得固定数; 解:就是得线性变换:设,则 , ,。 (4)把复数域瞧作复数域上得线性空间,,其中就是得共轭复数; 解:不就是线性变换。因为取,时,有,,即。 (5)在中,设与就是其中得两个固定得矩阵,,。 解:就是得线性变换。对,,有 , 。 习题7、1、2在中,取直角坐标系,以表示空间绕轴由轴向方向旋转900得变换,以表示空间绕轴由轴向方向旋转900得变换,以表示空间绕轴由轴向方向旋转900得变换。证明(表示恒等变换), , ; 并说明就是否成立。
证明:在中任取一个向量,则根据,及得定义可知:,,;, ,;,,,即,故。 因为, ,所以。 因为, ,所以。 因为, ,所以。 习题7、1、3在中,,,证明。 证明:在中任取一多项式,有 。所以。 习题7、1、4设,就是上得线性变换。若,证明 。 证明:用数学归纳法证明。当时,有 命题成立。假设等式对成立,即。下面证明等式对也成立。因有
,即等式对也成立,从而对任意自然数都成立。 习题7、1、5证明(1)若就是上得可逆线性变换,则得逆变换唯一;(2)若,就是上得可逆线性变换,则也就是可逆线性变换,且 。 证明:(1)设都就是得逆变换,则有,。进而。即得逆变换唯一。 (2)因,都就是上得可逆线性变换,则有 ,同理有 由定义知就是可逆线性变换,为逆变换,有唯一性得。 习题7、1、6设就是上得线性变换,向量,且,,,都不就是零向量,但。证明,,,线性无关。 证明:设,依次用可得 ,得,而,故;同理有:,得,即得;依次类推可得,即得,进而得。 有定义知,,,线性无关。 习题7、1、7设就是上得线性变换,证明就是可逆线性变换得充要条件为既就是单射线性变换又就是满射线性变换,即就是一一变换。
第七章线性变换.
第七章线性变换 计划课时：24 学时.（P 307—334） §7.1 线性变换的定义及性质（ 2 学时） 教学目的及要求：理解线性变换的定义，掌握线性变换的性质 教学重点、难点：线性变换的定义及线性变换的性质 本节内容可分为下面的两个问题讲授. 一. 线性变换的定义（P307） 注意：向量空间V到自身的同构映射一定是V上的线性变换，反之不然。 二. 线性变换的性质 定理7.1.1 （P309） 定理7.1.2 （P309） 推论7.1.3 （P310） 注意： 1.定理7.1.2 给出了在有限维向量空间构造线性变换的方法，且说明了一个线性变换完全被它对基向量的作用所决定。 2. 两个线性变换相等当且仅当它们对任意一个向量的作用结果相等，推论7.1.3 （P310）告诉我们，只要这两个线性变换对某个基中的每个基向量的作用结果相等即可。 作业：习题七P330 1 ，2， 3. §7.2 线性变换的运算（ 4 学时） 教学目的及要求：掌握线性变换的运算及线性变换可逆的条件教学重点、难点：线性变换的运算及线性变换可逆的条件 本节内容分为下面四个问题讲授： 一. 加法运算 定义 1 （P310） 注意：+ 是V的线性变换. 二. 数乘运算 定义 2 （P311） 显然k 也是V的一个线性变换. 定理7.2.1 L（V）对于线性变换的加法与数乘运算构成数域F上的一个向量空间. 三. 乘法运算 （1）. 乘法运算 定义 3 （P311-312）
注意：线性变换的乘法适合结合律，但不适合交换律及消去律. 两个非零线性变换的乘积可能是零变换. (2). 线性变换的方幂 四. 可逆线性变换定义 4 ( P313) 线性变换可逆的充要条件例 2 ( P314) 线性变换的多项式的概念( 阅读 内容). 作业：P330 习题七4， 5. §7.3 线性变换的矩阵( 6 学时) 教学目的及要求：理解线性变换关于一个基的矩阵的定义，掌握与( ) 关于同一个基的坐标之间的关系、线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系、 同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的理论，掌握L(V)与M(F)的同构理 论。 教学重点、难点： 1. 线性变换关于一个基的矩阵的定义。 2. L(V)与M(F)的同构理论，线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系。 本节内容分为下面四个问题讲授： 一.线性变换关于基的矩阵 定义 ( P316) 。 注意：取定n维向量空间V的一个基之后，对于V的每一个线性变换，有唯一确定的n阶矩阵与 它对应. 例 1 ( P316 ) 注意：一个线性变换在不同基下的矩阵通常是不同的. 例 2 ( P317) 例 3 ( P317) 二.与( )关于同一个基的坐标之间的关系. 定理7.3.1 例 4 ( P318 ) 三? L(V)与M(F)的同构 定理7.3.2 (P320) 定理7.3.3 (P320) 注意：1.定理732 ( P320)的证明是本章的难点，在证明之前应复习证明所用到的知识点。 2. 由于L(V) 同构于M n ( F ) ，所以就把研究一个很复杂的向量空间L(V) 的问题转化成研究一个很直观具体的向量空间M n(F) 的问题。同构是高等代数课程的一个基本概念。 3. 定理7.3.3 不仅给出了在有限维向量空间判定一个线性变换可逆的方法，而且给出了求 逆变换的方法。 四. 同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系定理7.3.4 （P321）. 作业：P331 习题七6，9，12，17.
第七章线性变换(小结)
第七章 线性变换(小结) 本章的重点: 线性变换的矩阵以及它们对角化的条件和方法. 本章的难点: 不变子空间的概念和线性变换与矩阵的一一对应关系. 线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内在联系起着重要作用.线性变换的概念是解析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是与之相适应的矩阵理论和方法)在解析几何、微分方程等许多其它应用学科,都有极为广泛的应用. 本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变换与矩阵对应和相互转换. 一、线性变换及其运算 1. 基本概念: 线性变换,可逆线性变换与逆变换; 线性变换的值域与核，秩与零度; 线性变换的和与差, 乘积和数量乘法, 幂及多项式. 2. 基本结论 (1) 线性变换保持零向量、线性组合与线性关系不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组 (2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换. (3) 线性变换的基本运算规律(略). (4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法与数量乘法作成一个线性空间. (5) 线性空间V 的线性变换A 的象Im(A )= A V 与核ker A = A -1(0) (a) A 的象Im(A )= A V 与核ker A = A -1(0)是V 的(A -)子空间. (b)若dim(V )=n ,则Im(A )由V 的一组基的象生成: 即设V 的一组基 n ααα,...,,21, Im(A )= A V =L(A α1, A α2,… ,A αn )={ A α|α∈V }. ker A = A -1(0)= { α∈V | A α=0}. (c)A 的秩(dim Im(A ))+A 的零度(dim ker A )=n . (d)A 是双射?A 是单射? Ker(A )={0}?A 是满射.
1.什么是线性空间什么是线性变换线性变换
1. 什么是线性空间？什么是线性变换？线性变换的秩如果小于空间的维数将会怎样？平方的秩？ 2. 描述一下密度矩阵的特征，纯态和混合态的区别（表现在密度矩阵的秩） 3. 什么是U 变换，U 变换对应的矩阵满足什么样的特点。U 矩阵一定是可对角化的吗？对应欧氏空 间的正交变换有什么特点？正交变换对应的矩阵的矩阵元一定是实的吗？ 4. 什么是厄米算符，厄米算符的物理意义？对应的矩阵具有什么样的特点？厄米算符的本征值具有 什么样的特征？厄米算符对应的矩阵的矩阵元是实的吗？厄米算符是否可以表示成实矩阵，特点是什么？互相对易的厄米算符具有共同的本征态，具有共同本征态的算符一定是对易的吗？具有共同本征值的呢？厄米算符的和是厄米算符吗？厄米算符的乘积呢？直积呢？不对易的厄米算符一定不可交换吗？ 5. exp （A ）exp （B ）＝exp （A+B ）？LnA 怎么计算？ 6. 简单介绍一下三种picture 的物理意义，态的特征，算符的特征。为什么采用这三种picture ，只有 这三种picture 吗？你觉得相互作用picture 可以用在什么地方？Heisenberg picture 的波函数不随时间演化，本征态呢？与哈密顿量对易算符的本征态呢？本征值怎么样？ 7. 传播子的物理意义？路径积分与惠更斯原理有什么联系吗？两个光子能够叠加吗？最小作用原 理和路径积分的联系。 8. 什么是态的纠缠？什么是直积态？ 9. 量子力学的五大假设是什么？什么是测量假设？测量假设可以从量子力学的其它假设推导出来 吗？能够从态演化过程推导出来吗？它是一个物理过程吗？ 10. EPR 佯谬讲了一些什么内容？说明了什么物理本质？ 11. Bell 不等式怎么写？它有什么作用？2),(),(),(),(≤-++=''''b a b a b a b a u u E u u E u u E u u E S 12. 在quantum teleportation 中，对于粒子1的初态10βαψ+=，如果根据粒子1和2的Bell 基测 量结果推知粒子3的量子态为10βαψ-=，10αβψ+=以及10αβψ-=，怎么样才能是粒子3的态恢复到粒子1原来的量子态？ 13. 什么是定态？ 第二次作业中的2.2题中的(e)小问, 为什么在上一次测量x μ得到0μ+之后隔一个时间间隔t ?再测量x μ，得到0μ+的几率并不完全等于1？ 1). 若体系的H 不显含时间t ，在初始时刻（t=0）体系处于某一个能量本征态)()0,(E ψψ=，其中),(),(t r E t r H E E ψψ=，则 ]/exp[)(),( iEt t E -=ψψ
线性变换和矩阵
§3 线性变换和矩阵 一、线性变换关于基的矩阵 设V 是数域P 上n 维线性空间.n εεε,,,21 V 的一组基，现在建立线性变换与矩阵关系. 空间V 中任意一个向量ξ可以被基n εεε,,,21 线性表出，即有关系式 n n x x x εεεξ+++= 2211 (1) 其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性关系不变，因而在ξ的像A ξ与基的像A 1ε,A 2ε,…，A n ε之间也必然有相同的关系： A ξ=A （n n x x x εεε+++ 2211） =1x A (1ε)+2x A (2ε)+…+n x A (n ε) (2) 上式表明，如果知道了基n εεε,,,21 的像，那么线性空间中任意一个向量ξ的像也就知道了，或者说 1. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，如果线性变换?与?在这组基上的作用相同，即 A i ε= B i ε， ,,,2,1n i = 那么A = B . 结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是 2. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，对于任意一组向量n ααα,,,21 一定有一个线性变换?使 A i ε=i α .,,2,1n i = 定理1 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，n ααα,,,21 是V 中任意n 个向量.存在唯一的线性变换?使
A i ε=i α .,,2,1n i = 定义2 设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是V 中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出： ?? ? ?? ? ?+++=+++=+++=. , , 22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεε 用矩阵表示就是 A （n εεε,,,21 ）=（A (1ε)，A ?(2ε)，…， A (n ε)） =A n ),,,(21εεε (5) 其中 ??? ??? ? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 矩阵A 称为线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵. 例 1 设m εεε,,,21 是n )(m n >维线性空间V 的子空间W 的一组基，把它扩充为V 的一组基n εεε,,,21 .指定线性变换A 如下 ?? ?+====. ,,1,0,,,2,1,n m i A m i A i i i εεε 如此确定的线性变换A 称为子空间W 的一个投影.不难证明 A 2=A 投影A 在基n εεε,,,21 下的矩阵是