数学广角(重叠问题)案例

数学广角（重叠问题）_湖北省宜昌市西陵区东方红小学傅华云

【教学背景】：

“数学广角”是人教版新课程教材中新增设的内容，其目的主要是向学生介绍和渗透一些数学思想方法，把一些重要的数学思想方法通过学生日常生活中最简单的事例呈现出来，并运用操作、实验、猜想等直观手段解决这些问题。从而使学生能深刻感受数学这本学科的乐趣。

【教学内容】：

义务教育课程标准人教版实验教材三年级下册第108页例1及第110页1、2题。

【教学设计】

一、教学目标：

1、使学生借助直观图，利用集合思想方法解决简单的实际问题。

2、通过实践活动体会集合思想，培养学生观察能力，思考能力，创新能力及评价说理能力。

3、让学生在探究应用知识中体验身边数学的价值。

二、教学重点：利用集合的思想方法解决简单的实际问题。

三、教学难点：对重复部分的理解。

四、教学及教具准备：收集部分学生名单、课件,名字卡片,两个椭圆环及两侧两部分形状图.

【教材分析】：

人教版三年级下册的数学广角内容包括集合和等量代换及相应的练习，共2个例题1个课后练习。本案例是数学广角中的例1，主要是通过重

叠问题让学生体验集合思想方法，并利用集合思想解决生活中的实际问题。【教学方法】：引导观察法，猜测验证法，置疑法，演示法。

【教学过程】：

（一）激趣引入。

师：同学们，老师出一道脑筋急转弯给你们猜,你想不想试一试？(课件出示：两个爸爸和两个儿子去照相，每人单独都照了一张，可照片上只有三个人，这是怎么回事呢？)

生1：我知道，是儿子，爸爸和爷爷。

生2：对，爷爷是爸爸的爸爸，爸爸是儿子的爸爸就是两个爸爸，爸爸又是爷爷的儿子，儿子是爸爸的儿子也就是两个儿子。

师：在这里面，爸爸的身份最特殊，他具有双重身份，既是爷爷的儿子又是儿子的爸爸。生活中还有许多类似的事情。今天我们就一起去数学广角体验一下象这样的重叠问题。——板书：数学广角（重叠问题）

（二）探究新知。

1、体验重叠，初步弄清计算方法。

师：学校马上要举行春季运动会，我们班的同学都勇跃报名参加了，这里我收集了咱们班参加200米和跳高男生人数的报名情况，请看（课件出示）

师：从表中你能得到哪些信息？

生：参加200米的有6人，参加跳高的有7人。

师：你们能很快说出这两个项目一共有多少人吗？

生1：我认为有13人，因为参加200米的有6人，参加跳高有7人，一共

就是13人。6+7=13（人）

生2：不对，我发现黄浩，赵鸿鹏，彭定康两项都参加了，但只能算一个人，所以我把他们三个人减去，就是10人。6+7–3=10（人）

师：到底是13人还是10人，让我们请上参加200米和跳高的运动员，一起来数一数。

每人拿着他们的名字，走到前面。一起数，有10人。

师：两项运动一共有10人，怎么不是13人呢？？

生1：如果把两个项目的人直接加起来，黄浩，赵鸿鹏，彭定康3个人被算了两次，但他们不能算成两个人，所以要减掉一次。

生2：先不看重复的三个人，一共是7个人，再把重复的3个人加上去就是总人数而不会多加了。

面对上台的运动员，师：很高兴认识你们，运动会时要加油哦！请上位。师：哦，也就是说，在计算总人数时，两项都参加的人我们计算了两次，但它只表示一个人就只能计算一次，所以要减掉多算的一次，才是实际的总人数。

2、体验集合思想，得出集合图并解决问题。

师:同学们的思维真活跃,想不想接受新的挑战?老师这里有两个圈,分别表示参加200米和参加跳高的人,我要请刚才的运动员把他们的名字贴在两个圈里适当的位置.（10名运动员拿着名字上台贴黑板上。两项都参加的同学不知贴哪里好。）

师：怎么啦，你们三人？

生：两个圈里都有我，可我只有一个名字。

师: 谁能帮帮他们。

生（上台将两个活动的椭圆交叉拉到一起）说：这样交叉后他们三个人的

其他学生报以热烈的掌声。

3）引导观察：

师：你知道中间这部分表示什么吗？

生1：中间交叉部分表示两项都参加的有3个人。（板书：既参加200米又参加跳高的人）

师：左侧这部分的三个同学表示什么呢？

生1：左侧这部分的三个同学表示只参加200米。（板书：只参加200米）？师：参加200米的学生不是有6人吗？

生1：这里的3人是只参加200米的，而还有3人是两个项目都参加，合起来一共6人。

师：同学们说得太好啦！右侧的4个同学又表示什么呢？

生1：右侧的这4个同学表示只参加跳高而不参加200米的人。

生2：这4个人加上两项都参加的3人，就是参加跳高的7人。

生3：参加跳高的7人包括了只参加跳高的4人，还包括两项都参加的3人。4）课件演示：（点击每一部分并阐述意思）

师：这种图在许多年前是由英国逻辑学家韦恩第一个画出来的，后来人们用他的名字命名叫韦恩图，它能帮助我们很快解决这种重叠问题！

5）列式计算：

师：观察韦恩图，你们能很快写出参加200米跑和跳高的男生一共有多少人吗？并说说你的想法。

生：列式计算 7+6-3=10（人 4+6=10（人）7+3=10 （人） 4+3+3=10（人）师生反馈交流，理解各计算方法的意义（略）

6）归纳总结：

师：同学们，像这样的重叠问题我们可以通过画韦恩图来帮助理解。

3、应用解决生活实际问题。

1、解决导入知识。课件出示导入问题：两个爸爸和两个儿子照相，每个人单独都照一张，可只有三个人的照片，这是怎么回事呢？

师：你能用今天学的知识来解答呢？

生：列式计算2+2-1=3（人） 2+1=3（人）1+1+1=3（人）学生说算理（略）2、师：同学们真了不起，老师突然发现在我们中间有一个组里有一个同学从前往后数是第3个，从后往前数他也是第3个。

师：这个组共有多少人？学生的第一个反应是数，有的学生处于思考状态。师：你是怎么算的？请讲给我们听听。

生1：我想从前面数是三个人，从后面数也是三个人，一共就是6个人，但是这个同学被数了两次就要减去一次，所以6-1=5人。

师：谁来帮他列出算式？

生2：3+3-1=5人。

生3：我是这样想的，先不算这个同学，那么他的前面和后面都有2个人，一共就是4个人，再加上他1个人也是5个人。算式是：2+2+1=5人。

生4：也可以用前面的3个人，再加上不算这个同学后面的2个人。一共也是5个人。算式是：3+2=5人。

生5：那还可以用后面的3个人加上前面不算这个同学的2人，一共也是5人，算式是：3+2=5人。

师：是哪一个组呢？生齐指第三组。

师：说的是哪个同学？

生一起大笑：潘雨博

师：看来，在我们生活中象这样的事例实在太多了，同学们可要仔细思考，不要马虎哦。

（三）应用巩固。

1、师：老师还收集了我们班女生参加跳远和垒球项目的情况。

课件出示：三（2）班女子参加垒球和跳远名单

参加垒球参加跳远

（1）既参加垒球又参加跳远的有几人？（2）只参加垒球的有几人？

（3）只参加跳远的有几人？（4）参加垒球和跳远的女生一共有多少人？学生独立列式，黑板板演：

5+4+7=16（人） 9+7=16（人）

9+11-4=16（人） 5+11=16（人）（学生说算理略）

2、师：同学们真不错。据付老师了解，学校还为获胜运动员准备了奖品呢！课件：110页的第2题（货字改为奖品两字）。

师：从图中你知道哪些信息？请你列式算一算。

生独立列式：5+5-3=7种 3+2+2=7种……

3、课件出示：在运动会上，每个运动项目最多能填报4人，可你们班主任老师只派了6名女同学参加50米跑和100米跑这两个项目，你们知道是怎么回事吗？

生1：我认为不够，两个项目都参加要8个人。

生2：如果有人两样参加呢？对呀，只要有两个人两样都参加不就行了，8-2就是6人啦！（列式：4+4–2=6人）

师：只派6个人参加就要有2个人两个项目都参加。说的真好。

师：如果安排5人参加两个运动项目行吗？4人呢？

生先小组交流，再汇报。

生1：安排5个人，就要有3个人参加两个项目。安排4个人，就是每个人都参加两个项目。

生2：老师，那如果两个项目接着跑不把那4个人累死呀！

师：哦，若让你当小老师，你还会怎么安排运动员？

生1：我会安排8个人，这样每个人跑一次不会太累。

生2：因为要把跑得快得人去参加比赛，所以我想把跑得最快的一个人两个项目都参加，这样就只需安排7个人。

生3：我觉得我们男生跑得最快的有张伟华，熊波，黎瑶三个人，那么他们三个人两个项目都参加，一定会跑赢。哦，这样就一共是8-3等于5个人。

……

（四）课堂小结

师：看来同学们今天学习收获不少，能与我们一起分享吗？

生1：我知道有重复的时候重复部分只能算一次。

生2：我知道了韦恩图。

生3：韦恩图里中间部分表示重复的人。

师：对呀，在以后解决有关重叠问题时，我们可以用韦恩图帮我们理解题意，知道重叠的部分只能算一次，算了两次就要把它减掉一次。

【教学反思】：

集合思想是数学学科最基本的思想，集合理论是数学的基础，在教学中，我采用以下教学策略:

1、正确把握教学内容，合理制定教学目标。

集合理论是比较系统、抽象的数学思想方法，本课教学目的只是让学生通过生活中容易理解的题材初步体验，为今后的学习打下必要的基础，学生只要能用自己的方法解决问题，在解决问题的过程中初步感受集合思想就行了，没有必要使用集合元素、基数、交集、并集等数学语言进行描述。

2、有意识地向学生渗透集合思想，巧妙的培养学生数学思维能力。

向学生渗透集合思想，培养学生数学思维能力是数学教学要达到的重要目标之一。教学时让学生通过观察、操作、实验、猜测、推理和交流等活动，让学生初步感受数学思想方法和体验数学思想的奇妙作用，将学生带入奇妙的数学乐园，同时对学生进行数学思维的训练，逐步形成有序地、严密

地思考问题的意识，达到逐步增强学生解决实际问题能力的目的。

3、联系生活，精心创设问题情境，激发学生的求知欲。

三年级的学生对一些生活现象有一定的好奇心，这就要求教师在教学中要立足现实生活，大胆处理教材，精心设计问题情境，把学生的好奇心转变为求知欲，让学生产生自主探究的欲望。本案例以求二个运动项目总人数为问题，得出了二种不同的答案（13人和10人），引起学生的认知冲突，初建问题情境，使学生产生把问题解决清楚的欲望，为后面的自主探究活动奠定良好基础。

4、精心设计数学活动，让学生自主探索，获得学习成功的体验。

数学思想方法是一种基于数学知识又高于数学知识的隐性数学知识，而学生的思维以具体形象为主，让学生抽象地想像、理解数学思想是有困难的，因此，在教学中需要为学生设计一些生动有趣的数学活动，在活动中开展观察、操作、推理与交流，感受数学思想方法的奇妙与作用，从而训练、发展学生的数学思维能力。本案例中韦恩图的引入，不是教师强加给学生的，而是在精心设计的数学活动中感受到它存在的必要性，在它的帮助，学生才能很好的理解重叠问题，为下一步探究重叠问题的规律打下基础。

5、找准解决问题的切入点，加强解决问题能力的教学。

解决问题是义务教育阶段数学课程的重要目标之一，它既是发展学生数学思维的过程，又是培养学生应用意识、创新意识的重要途径。在数学广角教学中，找准解决问题切入点，是解决问题的关键，它不仅可以使学生获得充分的解决问题的经验，逐步形成从数学的角度理解问题、解决问题的思维习惯，并且为使学生掌握解决问题的基本策略，体验解决问题策

略的多样性提供有效而丰富的资源。本案例解决问题的切入点定位在出现重叠情况后我们该怎样解决这个问题上，通过学生的争论、交流、验证的过程中让学生体验到重叠问题的解决办法，课后从学生的作业情况看，效果很好。

6、在教学思路上多以“问题解决”为中心，以“创设问题——建立模型——探究规律——实践运用”为主要环节来实施教学。

我以求二个运动项目总人数为问题，得出了二种不同的答案（13人和10人），初建问题情景，以韦恩图的形式建立模型，让学生自主探究出重叠问题的方法，感受集合思想，最后用揭示出的规律解答生活中的具体问题。

“数学广角”在整个小学数学教学中内容非常有限，但对学生的今后的发展起到的作用却是无限的。我们的教师应在有限的教材空间内，深刻的去解读、去领悟，让数学学科因它而显得更加美丽﹗