浙江历年高考真题导数精选文档

浙江历年高考真题导数

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1. (07浙江高考)已知()221f x x x kx =-++．

(I)若k ＝2，求方程()0f x =的解；

(II)若关于x 的方程()0f x =在(0，2)上有两个解x 1，x 2，求k 的取值范围，并证明12

11

4x x +<

2. （08浙江高考）已知a 是实数，函数()2()f x x x a =-.

（Ⅰ）若f 1(1)=3,求a 的值及曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线

方程；

（Ⅱ）求)(x f 在区间[0，2]上的最大值。

3.（09浙江高考）已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ．

（I ）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值；

（II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围．

4.（10浙江高考）已知函数2()()f x x a =-（a-b ）(,,a b R a ∈

（I ）当a=1，b=2时，求曲线()y f x =在点（2，()f x ）处的切线方程。

（II ）设12,x x 是()f x 的两个极值点，3x 是()f x 的一个零点，且31x x ≠，32x x ≠

证明：存在实数4x ，使得1234,,,x x x x 按某种顺序排列后的等差数列，并求4x

5.（11浙江高考）设函数

22

()ln ,0f x a x x ax a =-+>

（I ）求()f x 的单调区间

（II ）求所有实数a ，使2

1()e f x e -≤≤对[]1,x e ∈恒成立。

注：e 为自然对数的底数。

6.（12浙江高考）已知,a R ∈函数2()42.f x x ax a =-+

⑴求()f x 的单调区间

⑵证明：当01x ≤≤时，()20.f x a +->||

7.（13浙江高考）知a ∈R ，函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax .

(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；

(2)若|a |＞1，求f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值．

1. （Ⅰ）解：（1）当k ＝2时，()221f x x x kx =-++

① 当2

10x -≥时，即x ≥1或x ≤－1时，方程化为22210x x +-=

解得x =1012-+<<，故舍去，所以x =

②当210x -<时，－1＜x ＜1时，方程化为210x +=，解得12

x =-

由①②得当k ＝2时，方程()0f x =的解所以12x -=或1

2

x =-．

(II)解：不妨设0＜x 1＜x 2＜2，

因为()22 1 x 1

1 x 1

x kx f x kx ?+->?=?+≤??

所以()f x 在（0,1］是单调函数，故()0f x =在（0,1］上至多一个解，

若1＜x 1＜x 2＜2，则x 1x 2＝1

2

-＜0，故不符题意，因此0＜x 1≤1＜x 2＜2．

由()10f x =得1

1

k x =-，所以1k ≤-；

由()20f x =得2212k x x =-， 所以7

12

k -<<-；

故当7

12

k -<<-时，方程()0f x =在(0，2)上有两个解．

当0＜x 1≤1＜x 2＜2时，1

1

k x =-，222210x kx +-=

消去k 得2121220x x x x --= 即212112x x x +=，因为x 2＜2，所以12

11

4x x +<．

2. ）解：2'()32f x x ax =-．

因为'(I)323f a =-=，

所以 0a =．

又当0a =时，(I)1,'(I)3f f ==，

所以曲线()(1,(I))y f x f =在处的切线方程为 3x y --2=0．

（II ）解：令'()0f x =，解得1220,3

a x x ==． 当203

a

≤，即a ≤0时，()f x 在[0，2]上单调递增，从而

max (2)84f f a ==-．

当223

a

≥时，即a ≥3时，()f x 在[0，2]上单调递减，从而

max (0)0f f ==．

当2023a <

<，即03a <<，()f x 在20,3a ??????上单调递减，在2,23a ??

????

上单调递增，从而 max 84,0 2.

0,2 3.

a a f a -<≤??=?<

综上所述，max

84, 2.0, 2.

a a f a -≤??=?>??

3. 解析：（Ⅰ）由题意得)2()1(23)(2+--+='a a x a x x f

又???

-=+-='==3)2()0(0)0(a a f b f ，解得0=b ，3-=a 或1=a

（Ⅱ）函数)(x f 在区间)1,1(-不单调，等价于

导函数)(x f '在)1,1(-既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数

即函数)(x f '在)1,1(-上存在零点，根据零点存在定理，有

0)1()1(<'-'f f ， 即：0)]2()1(23)][2()1(23[<+---+--+a a a a a a

整理得：0)1)(1)(5(2<-++a a a ，解得15-<<-a

4. Ⅰ)解：当a=1,b=2时，

因为f’(x)=(x -1)(3x-5)

故f’(2)=1 f(2)=0,

所以f(x)在点（2,0）处的切线方程为y=x-2

（Ⅱ）证明：因为f ′（x ）＝3（x －a ）（x －23

a b

+）， 由于a

故a <

23

a b

+. 所以f （x ）的两个极值点为x ＝a ，x ＝

23

a b

+. 不妨设x 1＝a ，x 2＝

23

a b

+， 因为x 3≠x 1，x 3≠x 2，且x 3是f （x ）的零点，

故x 3＝b .

又因为

23a b +－a ＝2（b －23

a b

+），

x 4＝

12（a ＋23a b +）＝23

a b +， 所以a ，23a b +，23

a b

+，b 依次成等差数列，

所以存在实数x 4满足题意，且x 4＝23

a b

+.

5. （Ⅰ）解：因为22()ln f x a x x ax =-+，其中0x ，

所以2()(2)

'()2a x a x a f x x a x x

-+=+=-。

由于0a ，所以()f x 的增区间为（0，a ）,减区间为（a,+∞）

（Ⅱ）证明：由题意得， (1)11f a c =-≥-，即a c ≥

由（Ⅰ）知()f x 在[1,e]恒成立，

要使21()e f x e -≤≤对[1,]x e ∈恒成立，

只要222

(1)11

()f a e f e a e ae e =-≥-??=-+≤?

解得a e =。

6. （Ⅰ）由题意得2()122f x x a '=-

当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，此时()f x 的单调递增区间为(,).-∞+∞

当0a >

时，()12(f x x x '=此时函数()f x 的

单调递增区间为(,-∞

和),+∞

单调递减区间为[

（Ⅱ）

由于01,x ≤≤故

当2a ≤时，33()|2|422442;f x a x ax x x +-=-+≥-+

当2a >时，

333()|2|42(1)244(1)244 2.f x a x a x x x x x +-=+--≥+--=-+

设32()221,01, ()626(

g x x x x g

x x x x '

=-+≤≤=-=-

则于是

所以，min ()10,g x g ==>所以当01x ≤≤时，32210.x x -+>

故 3()|2|4420.f x a x x +-≥-+>

7. 解：(1)当a ＝1时，f ′(x )＝6x 2－12x ＋6，

所以f ′(2)＝6.

又因为f (2)＝4，所以切线方程为y ＝6x －8. (2)记g (a )为f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值． f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )． 令f ′(x )＝0，得到x 1＝1，x 2＝a .

比较f (0)

＝0和f (a )＝a 2(3－a )的大小可得

g (a )＝23, 3.a a a ??(-)>?

当得综上所述，f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值为g (a )＝231,1,0,13,3, 3.a a a a a a -<-??

<≤??(-)>?