任意角的尺规等分
任意角的尺规等分
湖南娄底华达技校黄正洪
从平面几何常识中，我们知道任何一段弧都是某个已知圆周的一部分，言下之意即为，每段弧都有相应的圆心角，且由此而知弧的任意等分即为相应圆心角的任意等分，而圆心角的任意等分即为任意角的任意等分。遗憾的是好几个世纪以来，关于角的等分情结，把个本就不怎么平静的数学港湾闹腾得沸沸扬扬，但尺规作图的业绩却仍然局限在无法将任意角进行3等分、5等分、7等分、9等分……面对解不开的迷团，叫人伤感不已，但天下不心服之士，一代接一代，弄得头昏脑胀于其间，累得疾病缠身于其后，辛然失落，不堪回首。有意思的是当我驻足于山重水复的大自然间，面对蓝的天，绿的地，灵感突然涌动，我想到，若把尺规作图的作业放入三维的空间，在多一个维度的配合下，多一份思绪的搓揉，也许比在二维的平面上更容易收获心中之苦果。巧的是我从遐想里真的觅到了“藏宝”，因感觉其表述还算清晰，如图之示的内容就留给有缘诸君。
（一）、由于/2
?……都是?的2n等分角、这
?、/16
?、/4
?、/8
些角是我们能用尺规作图的方法画得出来的，而在?的2n等分角之间还存在诸如/3
?、/7
?……这些角是我们目前还不能用尺规?、/6
?、/5
作图的方法画出来的。为解决此问题，本文把以隐形的1为分子，以连续的自然数为分母的?的分数系数都简称为?的真分数系数。
（二）、在某平面上选取适当长的AB为底，分别以/2
?
?、/8
?、/4
为顶角，作各自独立的等腰三角形OAB、CAB、DAB。由于这组三角
形松散地处在平面上，既无规律，又无联系，人们实在不知如何对其进行利用，这就是本文考虑将其放入空间直角坐标系的原因。
（三）、设顶角为/2
?、底边长为AB的等腰三角形OAB的顶点O与坐标系的原点O重合，腰OA与OY轴重合，底边AB落在水平象限。定义此一特定位置的三角形为本文的基础三角形。定义过O且垂直于水平象限的OZ轴叫立轴。定义OX轴叫水平轴。如此操作之后，我们研究的对象便在空间直角坐标系中有了一个特殊的家。
（四）、现在我们要将顶角为C，C为/4
?的等腰三角形CAB移进空间特殊的家，移进的方法是：以基础三角形OAB的底AB不动作为三角形CAB的底边，以A为圆心，以独立的等腰三角形CAB的腰为半径，画弧交立轴于C，连接CA、CB（由于在立体几何中对 CA = CB的证明很是容易，故我们在此惜墨且加以认定），如此操作之后，顶角为/4
?的等腰三角形CAB就移进了空间特殊的家，其顶角点C则同基础三角形的顶角点O的情形一样在立轴上进入攀升排队。
（五）、与以上（四）的操作过程完全相同。现在我们要将顶角为/8
?的等腰三角形DAB也移进空间特殊的家，此说即为，以上三个等腰三角形在水平象限都同底为AB，而其顶角点D则同顶角点O和C 的情形一样在立轴上进入攀升排队。
由于底边相等的等腰三角形，顶角越小的其高越长，于是我们看到O、C、D在立轴上的位置一点比一点高。面对立轴上排队顶点之攀升，我们的心中产生了一种特别的数学想象，此想象即为，我们要把D到O之间的距离看成一个特殊弹簧，并将之向下压缩，且要压缩
到与C到O之间的距离一样长为止。在该过程中我们要理解：所有排序的顶角点都是在随势而下压，而所有下压的顶角点对应的等腰三角形的腰也是在随势而缩短，且要缩短到符合于新位置的等腰三角形的自然腰长为止。在此一数学想象的操控下，对应于D的/8
?顶角点已按要求被压缩而增大到了对应于C的/4
?的顶角点的位置上。由于C 在下压其间顶角点也是在随之而增大的，那么我们要问，对应于C的?的真分数系数此时变为了多大呢？以下是本文的求作过程。
（六）、欲求顶角点C在下压后对应的?的真分数系数变为了多大，就必须求出C在压缩而成的影像段中的具体位置。为此我们要在水平轴上找一点E，使O E O C
=，此找点使得本来在立轴上的OD在压缩之后的影像成为了水平轴上的一段距离，由前面的操作知这段距离的端点E相当于立轴上/4
?顶角点。因O是基础三角形的顶角点，知其对应于/2
?，由于在/2
?之间还存真分数系数顶点/3
?，那么
?到/4
?表示的是什么意思？对此我们的数理共识是：既然影像段的段段/3
及点点都是由压缩而来，说明它们与立轴上两个攀升段的段段及点点就一定保持着一一对应的关系，由于OC和CD的分界点是真分数系数点/4
?，进而知压缩后的对应点无疑是一个随压缩而增大了的真分数系数点，由于影像段之中只存在唯一的真分数系数点/3
?，于是由对应关系知/3
?就是这个影像段的分界点。为便于叙述，设此分界点为F，且拟定如下用语：立轴上的OD是压缩前的全长、OC是压缩前的局部，水平轴上的OE是影像段的全长、OF是影像段中的对应于OC的局部。根据影像缩放理念知：压缩前的局部/ 压缩前的全长= 影像
段中的对应局部/ 影像段的全长。于是可得比例式：
OC OD OF OE（1）:= :
影像的缩放功能其实就是几何学中的比例，本文的这种想象压缩正是基于此一数学理念而设计，但在此一设计中存在着F点位置不明的缺点，显然此缺点是本文的心病。所幸的是由于空间相交两轴已夹出了一个角形平面，这平面促使我们想到要去构造出一个辅助三角形，于是以攀升段和影像段为边的空间三角形ODE飘然而出。有此辅助三角形凌空傲世，本文就有充分的条件来完成余下的作图过程：（七）、在三角形ODE中，过OD边上的C点作DE的平行线交OE 于G，即有CG DE
// ，于是由平行线分线段成比例定理可得下式：:= :
OC OD OG OE（2）将（1）代入（2）于是可得：
OG OE OF OE（3）:= :
由（3）可解得：
OG OF（4）=
由（4）而知G与F重合，此言下之意即为，由平行线的画作而确定的G即为顶角点/3
?。此位置一旦明了，我们的心中马上想到G对应于立轴的情形。由于整个求作过程处在同一空间坐标系中，于是知这情形可由两种方案释疑：1》、以O为圆心，以OG为半径画弧，设其交立轴的OC于H，则知H即为对应于G的/3
?顶角点，这其实就是将水平轴按反时钟方向旋转0
90而使G和H重合的情形，此说的另一层意思即为，H就是顶角为/3
?的等腰三角形的攀升顶角点。2》、如
果不旋转水平轴，而是将基础三角形绕OA边也按顺时钟方向旋转0
90，那么此时的水平轴就变成了换一个方向视看的“立轴”，不言而喻，这新的位置关系与之前的设计一脉相承，因现时的“立轴”添增了人们所希望的信息，已然身价百倍，故我们感觉到2》的方案更容易被人们理解。总之以上两种方案都能达画作的最终目的。为将就人们的视看习惯，本文还是以有过信息补充的立轴为准来完成画作。
（八）、连接AH、BH，则顶角为/3
?的等腰三角形HAB已名正言顺地进入了空间的家，其顶角点H亦理所当然地参与攀升排队。
（九）、在那个某平面上，以AB为底，分别以A、B为圆心，以空间的HA或HB之长为半径，画弧交于I点，连接IA、IB则等腰三角形IAB的顶角I即为/3
?。至此我们已三等分了任意角?。
（十）、在三等分任意角?的基础之上，我们发现了一种任意角的任意等分的简便方法。不妨就以/5
?的尺规画作来表述这一操作情形。命令：所有已知和未知的等腰三角形的真分数系数顶点都必须实际或虚拟而在立轴上进入攀升排队。然后过欲求点/5
?前一点C，即过/4
?点作水平轴CX。CX轴存在的另一含义为：等腰三角形CAB已成为了新的、提高了一个位置的基础三角形（后文中遇此情形不再另作说明）。现在我们从新基础三角形的顶角点出发，在立轴上向上数出以/5
?为端点的四个段来向下进行压缩。为什么
?、/8
?、/6
?、/7
要取四个段来进行压缩呢？这是因为四个段可看成两个大段，而两大段的分界点一定是偶数分母已知点，譬如：此处的/6
?就是本文的偶数分母已知点（它是/3
?的二分点），设此点为J。由前之所证同一情
形，知J 对应于压缩段的欲求点，如此便为本文的求证工作创造了条件。由于第四段的端点D 对应/8?，当我们将D 向下压缩且压缩到/6?为止时，则知D 的/8?顶点已增大而成/6?顶角点了，由于J 在此其间是随之而下压的，那么J 的/6?顶角点在下压时的增大的情形又是怎样的呢？为此我们要在CX 轴上找一点K 使得CK CJ =，当然我们知此
K 即为CX 轴上的/6?顶角点，
因已知C 对应于/4?，且知在/6?到/4?之间还存在/5?顶角点，这一情形，理同于前文中的三等分任意角的画作，于是我们知这个点就是压缩而成的两个段的分界点，设这个分界点为L ，则知L 即为/5?，虽然此点的真分数系数为已知，但其具体位置却不知，而这未明位置点的求作过程正是我们之前所看重过的欲求点的求作过程，于是根据影像缩放的设计理念可得：
:= CL :CJ CD CK （5） 由于空间两轴已确定了一个平面，这使我们想到要去连接DK ，于是以被压缩段和压缩段为边的空间三角形CDK 飘然而出，于是我们就有了求此欲求点的手段：过J 作DK 的平行线交CX 轴的CK 于M 点，即有JM DK // ，由平行线分线段成比例定理可得下式：
:= CM :CJ CD CK （6） 将（5）代入（6）于是可得：
CL := CM :CK CK （7） 由（7）可解得：
CL = CM （8） 由（8）知L 与M 重合，此言下之意即为，由平行线的画作而确定的
?顶角点。此位置一旦明了，我们的心中马上想到M点对M点即为/5
应于立轴的情形。由于整个求作过程处在同一空间坐标系中……于是按之前操作过的同一模式，我们能在平面上画出这个顶角为/5
?的等腰三角形，此情形即为本文已五等分了任意角?。
（十一）、与以上（十）的求作过程完全相同。过对应于/6
?（此点是/3
?的二分已知点）的顶角点J作水平轴JX，同时从立轴的J开始向上数四个段，即以/7
?（未参与
?（欲求点）、/8
?（已知点）、/9
运算点）、/10
?（此点是/5
?的二分已知点）为端点的四段来进行压缩……此情形即为本文已七等分了任意角?。
（十二）、与以上（十一）的求作过程完全相同。过对应于/10
?（此点是/5
?的二分已知点）的顶点N作水平轴NX，同时从立轴的N开始向上数四个段，即以/11
?的二分已
?（欲求点）、/12
?（此点是/6
知点）、/13
?（此点是/7
?的二分已知点）为?（未参与运算点）、/14
端点的四段来进行压缩……此情形即为本文已十一等分了任意角?。
以上证明过程一脉相承，都是用已知点画求未知点的方式层层推进。如此如此之后，十三等分、十七等分……及所有欲求顶角点都会逐一变成画作已知点。我们能层层推进的理由是：由于欲求点的上下点的?系数的分母是偶数，而偶数至少可改写成某数的2倍，则知分出的奇数小于正在画作的未知分母，言下之意即为，此某数者必为已画求过的已知点，故用上述方法我们可逐一求得所有欲求真分数系数顶角点。至此?角的任意等分的画作表述完毕，请有缘审阅诸君为之雕圆补润，从而使此一尺规作图作业能以更完美的姿态面世。
任意锐角的三等分
任意锐角的三等分 【摘要】：任意角的三等分问题是几何学的三大难题之一，数学家们认为用尺规三等分任意角是不可能的.本文试图用初等几何知识证明任意角是可以三等分的.角有锐角和 钝角之分，而钝角都可以等分成锐角，所以锐角的等分问题如果得到解决，则钝角和圆（360°）的等分问题也就会得到解决.所以，本文先从锐角的等分开始进行了研究. 【关键词】三等分；圆周角；圆心角；弦切角任意角的三等分问题是几何学的三大难题之一，两千八百年来，数学家们都认为用尺规三等分任意角是不可能的（特殊角除外），认为这是一个“作图不能”的问题.近百年来，数学界的老前辈们还是认为只要是任意角，仅用尺规三等分是不可能的.这些前辈们是用解析几何作解的（即用公式做题）. 为什么用解析几何作解呢？是因为“惊讶之处是初等几何没能对此问题提供解答” ，所以“我们必须求助于代数和高等分析”（引自：高等教育出版社出版，丘成桐主编《初等几何的著名问题》2005 年版第2 页）. 实际上，如果用上述数学方法解几何问题，有些问题只 能以近似的方式来解决?比如，以a为直径作一个圆，会容易
做出来；但如果是计算一下周长S,这时候问题就来了，因为我们要使用n值来计算，所以计算出来的周长S计只能是S~ S计且 S z S计，或表示为S=S计土8 , 3可以很小，但是毕竟是个“差”呀.再比如，1 m=3 市尺，那么1尺等于多少厘米呢？计算不出来，只能表示为：1市尺=33 cm，而这是一个近似值.计算不出来，如何分开呢？但用几何的方法就分开了.所以用几何的方法解决几何问题，才是真正的可行之道. 本文试图用初等几何知识证明任意角是可以三等分的. 在作图之前，首先要明确一下任意角的概念：任意角是 指0° < a < 360 °,不包含负角和超过360 °的角.另外，角 有锐角和钝角之分，而钝角都可以等分成锐角，所以锐角的等分问题如果得到解决，则钝角和圆（360°）的等分问题也就会得到解决.所以我先从锐角的等分开始进行了研究. 下面即将以初等几何知识以及纯几何的手工操作，通过尺规作图来三等分任意锐角. 题给条件：0< a = / xOy<90 °（参照图1）. 求解：三等分a . 一、作图（参照图2） （1 ）在Ox 边上任取一点A ，然后在Ox 边上取 OA=AA2=A2A3. （2）以O 为圆心，以OA 为半径，作AB ，此时OA=OB
三大尺规作图问题
引人入胜的千古难题 ——三大尺规作图问题 尺规作图是我们熟知的内容。尺规作图对作图的工具——直尺和圆规的作用有所限制。直尺和圆规所能作的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆的交点。 公元前五世纪的希腊数学家，已经习惯于用不带刻度的直尺和圆规（以下简称尺规）来作图了。在他们看来，直线和圆是可以信赖的最基本的图形，而直尺和圆规是这两种图形的具体体现，因而只有用尺规作出的图形才是可信的。于是他们热衷于在尺规限制下探讨几何作图问题。数学家们总是对用简单的工具解决困难的问题备加赞赏，自然对用尺规去画各种图形饶有兴趣。尺规作图是对人类智慧的挑战，是培养人的思维与操作能力的有效手段。所谓三大几何作图难题就是在这种背景下产生的。 传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。起初，人们并没有认识到满足这一要求会有多大困难，但经过多次努力还不能办到时，才感到事态的严重。人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图经过慎重的思考，也感到无能为力。这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。用数学语言表达就是：已知一个立方体，求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的两倍。 任意给定一个角，仅用直尺和圆规作它的角平分线是很容易的，这就是说，二等分任意角是很容易做到的。于是，人们自然想到，任意给定一个角，仅用直尺和圆规将它三等分，想必也不会有多大困难。但是，尽管费了很大的气力，却没能把看来容易的事做成。于是，第二个尺规作图难题——三等分任意角问题产生了。 正方形是一种美丽的直线形，圆是一种既简单又优美的曲线图形，它们都有面积，能不能用直尺和圆规作一个正方形，使它的面积等于一个给定的圆的面积？这就是尺规作图三大难题的第三个问题——化圆为方问题。 古希腊三大几何问题既引人入胜，又十分困难。希腊人为解决三大几何问题付出了许多努力，后来许多国家的数学家和数学爱好者也一再向这三大问题发起攻击，可是，这三大问题却在长达2000多年的漫长岁月里悬而未决。问题的妙处在于它们从形式上看非常简单，似乎应该可以用尺规作图来完成，而实际上却有着深刻的内涵。它们都要求作图只能使用圆规和无刻度的直尺，而且只能有限次地使用直尺和圆规。某个图形是可作的就是指从若干点出发，可以通过有限个上述基本图形复合得到。这一过程中隐含了近代代数学的思想。
直尺与圆规三等分任意一个角的证明方法
5、将C点与D点相连形成线段CD 6、作CD的中垂线交AB的延长线于N 以N为圆心，以CN为半径划弧CD ,交∠AOB的弧（弧Ⅰ）于F点，分出的弧FB是∠A OB的弧（弧Ⅰ）的三分之一 7、连接FB,以FB为半径，以A为圆心划弧交弧Ⅰ于G, 连接GO和FO,则∠AOG=∠GOF=∠FOB 二、证明 在上法三等分任意角∠AOB图的基础上连接GF和AG(见图二) 2、把该弧的弦AB 用平行线法分成3等分，使AL=LC=CB（作法略） 3、用圆规找出AB的中点O′，以O′为圆心，以A O′ 为半径划弧Ⅱ，它实际上是平角∠A O′B的弧（也是以AB为直径的半圆的弧） 4、以B点为圆心，以B O′为半径划弧交平角∠A O′B的弧（弧Ⅱ）于D 5、将C点与D点相连形成线段CD 6、作CD的中垂线交AB的延长线于N 以N为圆心，以CN为半径划弧CD ,交∠AOB的弧（弧Ⅰ）于F点，分出的弧FB是∠A OB的弧（弧Ⅰ）的三分之一 7、连接FB,以FB为半径，以A为圆心划弧交弧Ⅰ于G, 连接GO和FO,则∠AOG=∠GOF=∠FOB 二、证明 在上法三等分任意角∠AOB图的基础上连接GF和AG(见图二) 2、把该弧的弦AB 用平行线法分成3等分，使AL=LC=CB（作法略） 3、用圆规找出AB的中点O′，以O′为圆心，以A O′ 为半径划弧Ⅱ，它实际上是平角∠A O′B的弧（也是以AB为直径的半圆的弧） 4、以B点为圆心，以B O′为半径划弧交平角∠A O′B的弧（弧Ⅱ）于D 5、将C点与D点相连形成线段CD 6、作CD的中垂线交AB的延长线于N 以N为圆心，以CN为半径划弧CD ,交∠AOB的弧（弧Ⅰ）于F点，分出的弧FB是∠A OB的弧（弧Ⅰ）的三分之一 7、连接FB,以FB为半径，以A为圆心划弧交弧Ⅰ于G, 连接GO和FO,则∠AOG=∠GOF=∠FOB 二、证明 在上法三等分任意角∠AOB图的基础上连接GF和AG(见图二)
尺规三等分角不能的向量证明
定义：设S={Z 0=1 ， Z 1， ... Z n }是n+1个复数，将 (1) Z 0=1 ， Z 1， ... Z n 叫做S-点； (2) 过两个不同的S-点的直线叫S-直线，以一个S-点为圆心、任意两个S-点之间的距离为半径的圆叫S-圆； (3) 由S-直线与S-直线、S-直线与S-圆、S-圆与S-圆相交的点也叫S-点。 上面这个定义完全刻画了尺规作图过程，如果以P表示全体S-点的集合，那么P 也就是从S={Z 0=1 ， Z 1， ... Z n }出发通过尺规作图所得到的全部复数。 定理：设Z 1，... Z n (n≥0)为n个复数。设F= Q(Z 1， ... Z n， Z 1 ' ， ... Z n ')，(Z'代 表共轭复数)，那么，一个复数Z可由S={Z 0=1 ， Z 1， ... Z n }作出的充要条件是 Z 属于F(u 1，... u n )。其中u 1 2属于F, u i 2属于F(u 1 ，... u i-1 )。换言之， Z 含于F的 一个2次根号扩张。 系：设S={Z 0=1 ， Z 1， ... Z n }，F= Q(Z 1， ... Z n， Z 1 ' ， ... Z n ')，Z为S-点，则 [ F(z) ： F] 是2的方幂。 以下证明三等分任意角不可能性，证明尺规作图不能三等分60度角： 证明：所谓给了60度角，相当于给了复数Z1=1/2+√3/2 i。从而S={Z0=1, Z1}，F=Q(z1, z1')=Q(√-3)。如果能作出20度角，当然也能得到cos20，但是cos20满足方程 4x3-3x-1/2=0，即8x3-6x-1=0。由于8x3-6x-1在Q[x]中不可约，从而[Q(cos20)：Q]=3，于是 6=[ Q(cos20, √-3)：Q] = [F(cos20)：Q]=[F(cos20)：F] [F：Q] 由于[F：Q]=[Q(√-3)：Q]=2，所以[F(cos20)：F]=3，根据上面的系可知cos20不是S-点，从而20度不可能三等分。证毕
尺规作图三大几何难题教学提纲
尺规作图三大几何难 题
安溪六中校本课程之数学探秘 尺规作图三大几何问题 一、教学目标 1．让学生了解尺规作图三大几何问题如何产生的？ 2．经历探索尺规作图三大几何问题如何解决的过程，进一步体会数学方法思想。 3．学生通过自主探究、合作交流体会尺规作图三大几何问题有什么教育价值？ 二、问题背景 传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图也感到无能为力。这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。用数学语言表达就是：已知一个立方体，求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的两倍。另外两个著名问题是三等分任意角和化圆为方问题。古希腊三大几何问题既引人入胜，又十分困难。问题的妙处在于它们从形式上看非常简单，而实际上却有着深刻的内涵。它们都要求作图只能使用圆规和无刻度的直尺，而且只能有限次地使用直尺和圆规。但直尺和圆规所能作的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆的交点。某个图形是可作的就是指从若干点出发，可以通过有限个上述基本图形复合得到。这一过程中隐含了近代代数学的思想。经过2000多年的艰苦探索，数学家们终于弄清楚了这3个古典难题是
“不可能用尺规完成的作图题”。认识到有些事情确实是不可能的，这是数学思想的一大飞跃。然而，一旦改变了作图的条件，问题则就会变成另外的样子。比如直尺上如果有了刻度，则倍立方体和三等分任意角就都是可作的了。数学家们在这些问题上又演绎出很多故事。直到最近，中国数学家和一位有志气的中学生，先后解决了美国著名几何学家佩多提出的关于“生锈圆规”(即半径固定的圆规)的两个作图问题，为尺规作图添了精彩的一笔。或描述如下: 这是三个作图题，只使用圆规和直尺求出下列问题的解，直到十九世纪被证实这是不可能的： 1.立方倍积，即求作一立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍。 2.化圆为方，即作一正方形，使其与一给定的圆面积相等。 3.三等分角，即分一个给定的任意角为三个相等的部分。 三、问题探秘 1.立方倍积 关于立方倍积的问题有一个神话流传：当年希腊提洛斯（Delos）岛上瘟疫流行，居民恐惧也向岛上的守护神阿波罗（Apollo）祈祷，神庙里的预言修女告诉他们神的指示：“把神殿前的正立方形祭坛加到二倍，瘟疫就可以停止。”由此可见这神是很喜欢数学的。居民得到了这个指示后非常高兴，立刻动工做了一个新祭坛，使每一稜的长度都是旧祭坛稜长的二倍，但是瘟疫不但没停止，反而更形猖獗，使他们都又惊奇又惧怕。结果被一个学者指出了错误：「棱二倍起来体积就成了八倍，神所要的是二倍而不是八倍。」大家都觉得这个说法很对，於是改在神前并摆了与旧祭坛同形状同大小的两个祭坛，可是瘟
利用渐开线三等分任意角的方法和证明
利用渐开线三等分任意角的方法和证明 要求：如果所示，以园心为A，半径为AC的园的渐开线作为辅助线，现在要把∠CAB三等分。 操作：利用渐开线三等分任意角∠CAB的尺规作图步骤： 1、以B点做切线，和渐开线相交于E； 2、在BE线段上做三等分点F，即BF=BE/3； 3、以A点为圆心，AF长为半径，相交渐开线于G； 4、以G点为圆心，BF长为半径，相交基圆于D； 5、连接AD，∠CAD即为∠CAB的三等分角。
证明： 1、先证明△BAF与△DAG全等 根据作图，BE是垂直于AB的圆上点B的切线，所 以∠FBA是直角，BF2=FA2-AB2，DG是垂直于AD的圆上点D的切线，所以∠ADG是直角，DG2=GA2-AD2,其中，AB=AD为园A的半径，且AF=AG，所 以BF=DG，△BAF与△DAG全等。 2、根据渐开线的性质，直线BE的长度=园弧BDC的长度，直线DG的长度 =园弧DC的长度，又因为DG=BF=BE/ 3，所以园弧DC的长度=园弧BDC的长度/3，因 此，∠CAD即为∠CAB的三等分角 总结： 伽罗瓦所证明的是，在不使用任何辅助线或用到除尺规外其他工具的前提下，不能在有限次操作内，使用尺规作图法三等分任意角，也就是说这三个限制只要有一个不成立，那么不能三等分任意角就不成立。 实际上只要引入渐开线，在有限次操作内，使用尺规作图法N等分任意角都是可行的，而且这种方法也同样可以解决化圆为方的问题。这样，通过引入渐开线就一举解决的三大几何作图问题中的两个“不可能”的难题，并且渐开线在物理上是很容易得到的，它的本质是绕基圆展开的线，或者说大家常用的卷尺，就是渐开线所对应的物理实物。
关于三等分任意角的方法探究
三等分任意角的方法探究 西工大附中 孙开锋 三等分任意角的方法探究 摘要：三等分角是古希腊几何三大作图问题之一，本文 关键词： 只准用直角和圆规，你能将一个任意的角进行两等分吗？这可太简单了，几千前的数学家们就会做。 纸上任意画一个角，以其顶点O为圆心，任意选一个长度为半径画弧，找出弧与角的两边的交点，分别命名为A和B。然后分别以A点和B点为圆心，以同一个半径画弧，这个半径要大于A、B之间距离的一半。找出两段弧的相交点C，用直尺把O和C连接起来，那么直线OC就将角AOB 平分成了两部分。 用同样的方法，我们可以把一个角任意分成4等分、8等分、16等分……，也就是说，只要你有耐心，可以把任意一个角等分为2的任意次方。 但是，如果只用直尺和圆规，并且，这直尺还不能有刻度，你能将任意一个角三等分吗？ 早在公元前5世纪，古希腊的巧辩学派就提出了在只用直尺画直线、圆规画弧的限定下，将任意给定的角三等分的命题。很多伟大的数学家如阿基米德、笛卡儿、牛顿等都试图拿起直尺和圆规挑战自己的智力，但终于都以失败告终。直至公元1837年，法国数学家闻脱兹尔宣布：“只准使用直尺与圆规，想三等分一个任意角是不可能的！”, 才暂时了结了这宗长达几千年的数学悬案。 但是，如果没有几何作图法的限制，任意角三等分问题当然可以解决，不妨举几个例子以共享。 一、利用工具三等分任意角
如图1所示，叫做“三等分仪” 吧 ， CE=EG=DG,ME ⊥CD,弧ED 是以G 为圆心的半圆，故ME 与半圆G 相切于点E. 具体操作：将该仪器置于 ∠AOB 的内部，使得点C 落在OA 上，ME 经过点O,半圆G 与OB 相切于点F,则OE,OG 为∠AOB 的三等分线。 数理证明：分别连接OG,GF,故GF ⊥OB,而EG ⊥OE,所以易证：△GOE ≌△GOF;同理可证△GOE ≌△COE;故可得到：∠COE=∠GOE=∠FOG.所以，OE 、OG 为∠AOB 的三等分线。 二、中考中的三等分角 题目：（广东佛山市）三等分一任意角是数学史上一个著名的问题，用尺规不可能“三等分一任意角”。下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法：将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上，边OA 与函数y x =1的图象交于点P ，以P 为圆心，以2OP 为半径作弧交函数y x =1的图象于点R ，分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两直线交于点M ，连结OM 得到∠MOB ，则∠=∠MOB AOB 13 。要明白帕普斯的方法，请研究以下问题。 （1）设P （a a ,1），R （b b ,1）求直线OM 对应的函数表达式（用含a b 、的代表式表示）； （2）分别过点P 和R 作y 轴与x 轴的平行线，两直线相交于点Q ，请证明点Q 在直线OM 上，并据此证明∠=∠MOB AOB 1 3 ；
MathStudio36 阿基米德螺线与三等分任意角
MathStudio for iPad 使用方法入门 （36） 阿基米德螺线与 三等分任意角 2016年6月16日
★三等分任意角是几何作图三大难题之一，不能只用直尺圆规三等分任意角是早有的定论。 ★免除“只用尺规作图”的限制，就能三等分任意角吗？ ★现在就探讨借助阿基米德螺线来三等分任意角吧
直线y=cx=7x c=7 X轴与直线夹角φ =tan-1(c)=tan-1(7)=1.4289 同心圆C1 ρ1=r1=0.5 r1=0.5 同心圆C2 ρ2=r2= 1 r2=1 同心圆C3ρ3=r3=1.5 r3=1.5 阿基米德螺线ρ=aθ 螺线与同心圆C1 的交点P1(x1,y1) , OP1与X轴夹角=θ1螺线与同心圆C2 的交点P2(x2,y2) OP2与X轴夹角=θ2螺线与同心圆C3 的交点P3(x3,y3) OP3与X轴夹角=θ3 θ3= φ =1.4289 a=ρ3/θ3=r3/tan-1(c)=1.5/1.4289=1.0498 计算得θ2=ρ2/a=θ3×ρ2/ρ3=θ3×1/1.5=θ3×2/3=0.9526 θ1=ρ1/a=θ3×ρ1/ρ3=θ3×0.5/1.5=θ3×1/3=0.4763
首先画出过极点斜率为7的直线其次画出以极点为中心的 3个同心圆 半径为0.5、1、1.5 即同心圆的半径比为1:2:3 在同一帧图里 再画出与3 个同心圆相交的 阿基米德螺线 a=r3/atan(c)=1.0498
P3 P 2 P 1 P3的数据 X3=0.211 Y3=1.486 θ3=1.429（弧度） =1.429×180/π=81.9° r3=sqrt(X32 +y32) =sqrt(0.2112 +1.4862) =1.5 O
三等分角帕普斯函数( 答案)
数学家帕普斯“三等分角” “三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）： 将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R 作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM得到∠MOB，则∠MOB= ∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题： （1）设、，求直线OM对应的函数表达式（用含的代数式表示）． （2）分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q 点在直线OM上，并据此证明∠MOB=∠AOB． （3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）． 解：（1）设直线OM的函数关系式为．……………1分则∴．……………2分 ∴直线OM的函数关系式为．……………3分
（2）∵ 的坐标满足，∴点在直线OM上． （或用几何证法，见《九年级上册》教师用书191页）……………4分∵四边形PQRM是矩形，∴SP=SQ=SR=SM=PR． ∴∠SQR=∠SRQ．……………5分 ∵PR=2OP，∴PS=OP=PR．∴∠POS=∠PSO．……………6分 ∵∠PSQ是△SQ R的一个外角， ∴∠PSQ=2∠SQR．∴∠POS=2∠SQR．……………7分 ∵QR∥OB，∴∠SOB=∠SQR．……………8分 ∴∠POS=2∠SOB．……………9分 ∴∠SOB= ∠AOB．……………10分 （3）以下方法只要回答一种即可． 方法一：利用钝角的一半是锐角，然后利用上述结论把锐角三等分的方法即可． 方法二：也可把钝角减去一个直角得一个锐角，然后利用上述结论把锐角三等分后，再将直角利用等边三角形（或其它方法）将其三等分即可． 方法三：先将此钝角的补角（锐角）三等分，再作它的余角．……………
三等分角器
“三等分角器”是利用阿基米德原理做出的。如图，∠AOB为要三等分的任意角，图中AC，OB两滑块可在角的两边内滑动，始终保持有OA=OC=PC. 求证：∠APB=13∠AOB. 考点： 等腰三角形的性质 已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥BC. 考点： 等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质 如图所示，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥BC.证明：延长AO交BC于D 在△ABO和△ACO中?????AB=AC()OB=OC()AO=AO() ∴△ABO≌△ACO(___) ∴∠BAO=∠CAO 即∠BAD=∠CAD(___) ∴AD⊥BC,即AO⊥BC(___)
考点： 全等三角形的判定 如图,已知△ABC的面积为12,AD平分∠BAC,且AD⊥BD于点D,则△ADC的面积是() A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 考点： [角平分线的性质] 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE=AC. (1)求证：AD⊥BC.
(2)若∠BAC=75°，求∠B的度数。 考点： 等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质 如图,在△ABC中,∠BAC=120°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC 的延长线上，且CE=CA. (1)试求∠DAE的度数。 (2)如果把题中“AB=AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗? (3)若∠BAC=α°,其它条件与(2)相同，则∠DAE的度数是多少? 考点： [等腰三角形的性质, 三角形内角和定理, 三角形的外角性质]
尺规作图方法大全(正式)
【知识回顾】 1、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。 2、五种基本作图: 1、作一条线段等于已知线段; 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线； (1)题目一：作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段 a . 求作：线段AB,使AB = a . 作法： (1)作射线AP (2)在射线AP上截取AB=a . a ! A rB-P 尺规作图 则线段AB就是所求作的图 形。 (2)题目二：作已知线段的中点。 已知：如图，线段MN. 求作：点0,使M0=N Q即0是MN的中点). 作法： (1)分别以M N为圆心，大于 的相同线段为半径画弧，两弧相交于P, Q (2)连接PQ交MN于0. 则点0就是所求作的MN的中点。 (3)题目三：作已知角的角平分线。 已知：如图，/ A0B 求作：射线0P,使/ A0P=Z BOP(即卩0P平分/ A0B 。作法： (1)以0为圆心，任意长度为半径画弧，分别交0A 0B于 M, N; (2)分别以M N为圆 心，大于f的线I段长为半径画弧，两弧交/ A0B内于P; (3)作射线0P A M P 则射线0P就是/ A0B的角平分线。 (4)题目四：作一个角等于已知角。已知：如图，/ A0B 求作：/ A 0 B',使A' 0 B' =/A0B 作法： (1)作射线0' A'; ,最常用的尺规作图，通常称基本作图。
(2) (3) (4) (5) 以O 为圆心，任意长度为半径画弧，交 OA 于M 交OB 于N; 以O 为圆心，以 OM 的长为半径画弧，交 O A '于M ; 以M 为圆心，以 MN 的长为半径画弧，交前弧于 连接O N' 并延长到B 'o N'; 则/ A O' B '就是所求作的角。 (5)题目五：经过直线上一点做已知直线的垂线。 已知：如图，P 是直线 AB 上一点。 求作：直线 CD,是CD 经过点P,且CD 丄ABo 作法: (1) AB 于M N ； (2) 以P 为圆心，任意长为半径画弧，交 1 分别以M N 为圆心，大于-MN 的长为半径画弧, 2 两弧交于点 Q; (3) 则直线CD 是求作的直线。 (6)题目六：经过直线外一点作已知直线的垂线 已知： 求作： 过D Q 作直线CD 作法: (1) (2) 如图，直线 AB 及外一点P 。 直线CD,使CD 经过点P, 且 CDL ABo 以P 为圆心，任意长为半径画弧，交 AB 于M N; 1 分别以M N 圆心，大于丄MN 长度的一半为半径画弧，两弧交于点 2 (3) 则直线CD 就是所求作的直线。 (5) 已知 求作 作法 (1) (2) 过P 、Q 作直线CD 题目七：已知三边作三角形。 如图，线段 a , b , c. △ ABC 使 AB = c , AC = b , BC = a. 作线段AB = c ; 以A 为圆心，以b 为半径作弧, 以B 为圆心，以a 为半径作弧与 前弧相交于C; 连接AC, BC (3) 则厶ABC 就是所求作的三角形。 题目八：已知两边及夹角作三角形。 已知 求作 作法 (1) (2) (3) 如图，线段 m n, / . △ ABC 使/ A=z , AB=m AC=n. 作/ A=Z ; 在AB 上截取AB=m ,AC=n ； 连接BC, A Q 则厶ABC 就是所求作的三角 形。
尺规法三等分任意角到底可行吗
尺规法三等分任意角到底可行吗？ 1965年以前，数学家华罗庚曾写文章告诫青少年——用直尺和圆规三等分任意角是不可能的，不要为这道难题花费精力。近日在2013年出版的文集中见到《尺规作图破解世界千古三大几何难题》一文，该文是作者（简称黄先生）历时七年的研究成果。该文所说难题之一就是用尺规三等分任意角（另两道难题是倍立方和画圆为方）。为了证明他的方法是近似的，我用他的方法三等分100°角，看看误差有多大。 如图，DG长度为AD的二分之一，G点到E点的直线距离为AG的二分之一，穿过A、E两点的直线与圆弧相交于F点，黄先生认为D、F两点连线所对圆心角θ一定等于图中100°角的六分之一。我们来计算一下θ角的度数（计算过程保留8个有效数）。 设圆半径为1，借助三角函数和勾股定理可算出A、G、E三点坐标。 A点坐标（?0.76604444，?0.64278761） G点坐标（0.38302222，1.8213938） E点坐标（0 ，0.51700505）
设连接A、E两点的直线方程为 y = ax + b，根据A、E两点坐标可求出该直线方程为 y = 1.5140018x + 0.51700505 根据该直线方程与圆方程x2 + y2 =1，可求出F点横坐标x = 0.29052884 所以sinθ= 0.29052884，θ角不小于16.8896°，误差大于 0.2229° 用该方法三等分100°角，误差大于0.4458° 令CE = AE可算出C点坐标。黄先生认为C、B两点连线与圆弧的交点就是F点，其实不然。根据C、B两点坐标可算出C、B两点连线与圆弧的交点坐标。该交点横坐标x = 0.2849388，将该交点视为F点，可算出θ角为16.5552°，少了0.1115°，用该方法三等分100°角，误差大于0.2229°
古希腊三个著名问题之一的三等分角
古希腊三个著名问题之一的三等分角，现在美国就连许多没学过数学的人也都知道．美国的数学杂志社和以教书为职业的数学会员，每年总要收到许多“角的三等分者”的来信；并且，在报纸上常见到：某人已经最终地“解决了”这个不可捉摸的问题．这个问题确实是三个著名的问题中最容易理解的一个，因为二等分角是那么容易，这就自然会使人们想到三等分角为什么不同样的容易呢？ 用欧几里得工具，将一线段任意等分是件简单的事；也许古希腊人在求解类似的任意等分角的问题时，提出了三等分角问题；也许(更有可能)这问题是在作正九边形时产生的，在那里，要三等分一个60°角． 在研究三等分角问题时，看来希腊人首先把它们归结成所谓斜向(verging problem)问题．任何锐角ABC(参看图31)可被取作矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角．考虑过B点的一条线，它交CA于E，交DA之延长线于F，且使得EF=2(BA)．令G为EF之中点，则 EG=GF=GA=BA， 从中得到：
∠ABG=∠AGB=∠GAF+∠GFA=2∠GFA=2∠GBC， 并且BEF三等分∠ABC．因此，这个问题被归结为在DA的延长线和AC之间，作一给定长度2(BA)的线段EF，使得EF斜向B点． 如果与欧几里得的假定相反，允许在我们的直尺上标出一线段 E’F’=2(BA)，然后调整直尺的位置，使得它过B点，并且，E’在AC 上，F’在DA的延长线上；则∠ABC被三等分．对直尺的这种不按规定的使用，也可以看作是：插入原则(the insertion principle)的一种应用．这一原则的其它应用，参看问题研究4．6． 为了解三等分角归结成的斜向问题，有许多高次平面曲线已被发现．这些高次平面曲线中最古老的一个是尼科梅德斯(约公元前240年)发现的蚌线．设c为一条直线，而O为c外任何一点，P为c上任何一点，在PO的延长线上截PQ等于给定的固定长度k．于是，当P沿着c移动时，Q的轨迹是c对于极点O和常数k的蚌线(conchoid)(实际上，只是该蚌线的一支)．设计个画蚌线的工具并不难①，用这样一个工具，就可以很容易地三等分角．这样，令∠AOB 为任何给定的锐角，作直线MN垂直于OA，截OA于D，截OB于L(如图32所示)．然后，对极点O和常数2(OL)，作MN的蚌线．在L点作OA的平行线，交蚌线于C．则OC三等分∠AOB．
初中尺规作图详细讲解(含图)
初中数学尺规作图讲解 初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条： ⑴经过两已知点可以画一条直线； ⑵已知圆心和半径可以作一圆； ⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点； 以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题. 历史上，最著名的尺规作图不能问题是： ⑴三等分角问题：三等分一个任意角； ⑵倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍； ⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积. 这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径1 r=时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题. 若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书. 还有另外两个著名问题： ⑴正多边形作法 ·只使用直尺和圆规，作正五边形. ·只使用直尺和圆规，作正六边形. ·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的. ·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的. ·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决 了两千年来悬而未决的难题. ⑵四等分圆周 只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战. 尺规作图的相关延伸： 用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图 1.只用直尺及生锈圆规作正五边形 2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA ==. 3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点. 4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表 达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图.1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！.
三等分角
题目：三等分任意角 地点：北京师大二附中 主讲人：徐超 主持人：我们从上午九点四十到下午三点钟结束，在整个报告过程中，因为我了解到今天参加报告的同学大部分是高一的，在听报告过程中有些地方会觉得稍稍困难些，但是我们学数学的就是这样的，我们会经历些我们感觉会比较困难的过程，我们只要坚持下去，就会在数学中发现许多乐趣，发现数学内在让我们感动的东西，希望大家能够珍惜我们今天讲座的机会，认真的体会，在听的过程中会有些问题留下来，将来通过大家的努力，一定能很好的解决。下面我们就有请徐超先生。 徐超：三等分任意角教科书上写清楚是不可能的，我们今天给出严格的证明是不可能的，而且这个证明是高一学生所能接受的。在过去在没有找到这个证明之前所有人都认为是大学二年级学完所谓的抽象代数这门课后才能理解为什么是不可能的，实际这个证明可以很初等的给出来，为什么三等分角这件事情惹了这么多麻烦呢？我举一个例子，我是1956年到的中科院数学研究所，这个时候，不断的有各个地方的人写信来，说我解决了三等分角，这种信每个月都有一沓，作者当初给的证明实际上是错的，实际上他要证明三等分任意角都可以，他以为用平面几何的知识就可以解决，但实际上很难，这个问题偶尔到现在还能收到所谓的人民来信说他解决了三等分角，原因在哪里？就是一直没有一个初等证明使得能说服他，现在讲的证明是从分析三等分角究竟是怎么回事开始的。那么我从历史讲起。三等分角是什么意思呢？首先我们先讲尺规作图。先下定义，尺规作图就是用不带刻度的尺画直线，用不带度量的圆规画圆，用的这两个东西不能量大小，不能够我给你60度的角，量一量画出两条线，这是不允许的，所以说一般的直尺和圆规不带刻度有限次作图，给它画出来。什么叫作图，举个例子给了一条直线BB ’和线外一点A ，作它的平行线，这就叫作图。那么怎么作呢？以B 为圆心以r （r 可以为任意长度）为半径画圆，连接BA 并延长至C ，再以A 为圆心r 为半径画圆，用圆规在A 点作'CAA ∠，令'2CAA ∠=∠，使21∠=∠，利用同位角相等可以知道'//'AA BB 。（注意这两个圆的半径是一样的） 21 这就叫圆规直尺作图，现在教科书中关于作图题极少，关于作图题几乎是没有的，我念中学的时候作图是重要的，最后讲的一个作图题和一个轨迹题，平面几何的。尺规作图就是用不 带刻度的尺画直线，用不带度量的圆规画圆，有限次作图，在给出基础点以后画图做出来。 尺规作图有多少年历史呢？有四千年历史，提出三个问题，这三个问题在历史上是可以查出来的。中国是发明造纸的，希腊是把草压扁了在上面写，就叫做草书。两千五百年前草书上，记载的三大问题，尺轨作图的三大问题。刚才我已经把尺规作图的定义讲清楚了。
九年级数学三等分角问题
“三等分角”是数学史上一个著名问题，但仅用尺规不可能“三等分角” .下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角“的方法（如图），将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上、边OA 与函数1y x = 的图象交于点P ，以P 为圆心，以2OP 为半径作弧交图象于点R .分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM 得到得到∠MOB ，则13MOB AOB ∠=∠. 要明白帕普斯的方法，请你研究以下问题： （1）设1(,)P a a 、1(,)R b b ，求直线OM 相对应 的函数解析式（用含a,b 的代数式表示）. （2）分别过P 和R 作y 轴和x 轴的平行线，两直 线相交于点Q ，请说明Q 点在直线OM 上，据此证明13 MOB AOB ∠=∠. （3）应用上述方法得到结论，你如何三等分一个 钝角（用文字简要说明）. 解：（1）设直线OM 的函数关系式为 )1,(),1,(,b b R a a P kx y =． 则),1,(a b M ∴ab b a k 11=÷=． ∴直线OM 的函数关系式为x ab y 1=． （2）∵Q 的坐标)1,(b a 满足x ab y 1=，∴点Q 在直线OM 上． （或用几何证法，见《九年级上册》教师用书191页） ∵四边形PQRM 是矩形，∴SP=SQ=SR=SM=2 1PR ． ∴∠SQR=∠SRQ ． ∵PR=2OP ，∴PS=OP=2 1PR ．∴∠POS=∠PSO ． ∵∠PSQ 是△SQR 的一个外角， ∴∠PSQ=2∠SQR ．∴∠POS=2∠SQR ． ∵QR ∥OB ，∴∠SOB=∠SQR ． ∴∠SOB=3 1∠AOB ． （3）以下方法只要回答一种即可． 方法一：利用钝角的一半是锐角，然后利用上述结论把锐角三等分的方法即可． 方法二：也可把钝角减去一个直角得一个锐角，然后利用上述结论把锐角三等分后，再将直角 利用等边三角形（或其它方法）将其三等分即可． 方法三：先将此钝角的补角（锐角）三等分，再作它的余角
尺规作图典型例题
尺规作图典型例题
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典型例题 例1 、求作等腰直角三角形，使它的斜边等于已知线段 已知：线段 求作：，使∠A＝90°，AB＝AC，BC＝分析：由于等腰直角三角形比较特殊，内角依次为45°，45°，90°，故有如下几种作法： 作法一：1、作线段BC＝ 2、分别过点B、C作BD、CE垂直于BC 3、分别作∠DBC、∠ECB的平分线，交于A点 即为所求 作法二：作线段BC＝ 2、作∠MBC＝45° 3、作∠NCB＝∠MBC，CN与BM交于A点 即为所求 作法三：1、作线段BC＝
2、作∠MBC＝45° 3、过C作CE⊥BM于A 即为所求 作法四：1、作线段BC＝ 2、作BC的中垂线，交BC于O点 3、在OM上截取OA＝OB，连结AB，AC 即为所求 说明：几种作法中都是以五种基本作图为基础， 不要求写出基本作图的作法和证明。 例2、已知三角形的两边和其中一边上的中线长，求作这个三角形. 已知：线段a、b为两边，m为边长b的中线 求作：，使BC=a，AC=b，且AM=MC，BM=m. 分析：先画草图，假定为所求的三角形，则有BC=a，AC=b，设M为AC边的中点，则MB=m,而，故的三边为已知作出，然后再作出 . 作法：（1）作，使BC=a，，MB=m； （2）延长线段CM至A，使MA=CM;
（3）连接BA，则为所求作的三角形. 小结：本题的突破口是找与所求的的关系.由于的三边已知，故 即可顺利作出. 例3、如图，A、B、C三点表示三个村庄，为解决村民就近入学问题，计划新建一所小学，要使学校到这三个村庄的距离相等，请你在图中用尺规确定学校的位置P. 分析：分两步：先作到A、B两点距离相等的点的图形，再作到B、C两点等距离的点的图形，两图形的交点，这就是所求作的点. 作法：（1）连结AB，做线段AB的垂直平分线DE； （2）连结BC，作线段BC的垂直平分线FG，交DE与点P. 则点P为所求作的学校位置. 小结：由于不能直接确定到三点距离相等的点的位置，可以分解为先求到A，B相等的所有点，再求作到B，C相等的所有点，交点即所求. 扩展资料 三大几何作图问题 三大几何作图问题是：倍立方、化圆为方和三等分任意角。由于限制了只能使用直尺和圆规，使问题变得难以解决并富有理论魁力，刺激了许多学者投身研究。早期对化圆为方作出贡献的有安纳萨戈拉斯（Anaxagoras，约500B.C.～428B.C.），希波克拉底（Hippocrates of chios，前5世纪下半叶）、安蒂丰（Antiphon，约480B.C.～411B.C.）和希比亚斯（Hippias of Elis，400B.C.左右）等人；从事倍立方问
部分特殊角和任意角简易角三等分尺规作图
部分特殊角和任意角简易角三等分尺规作图 上次我用尺规作图已将120°角三等分了，下面我用一本180例简易大小各不相等的角三等分尺规作图中的部分特殊角和任意角三等分尺规作图来验证角三等分确实有解。 一. 用尺规作图将30°角三等分（一） 以O点为圆心，以任意长为半径画弧，在弧上任取一点为D,连接OD,在弧上作OD=DE,连接OE,∠EOD=60°,作∠COE=∠EOA=∠AOH=∠HOB=∠BOD=∠DOK=15°,∠AOB=∠α=30°,将∠α=30°角三等分。连接CK交OA线上G点，连接BG並延长交OC线上P点，连接AP交CK线上F点，连接BC交OH线上H1点，连接BF交OH线上b2点，连接GH1、Gb2、AH1、 AB、AC,ABGC为菱形，H1G=AH1=H1B,则∠H1BG=∠H1GB=1/2∠α=15°,∠H1Gb2=∠a1Ga2=∠a2Ga3=∠a3Ga4=1/3×1/2∠α=5°，证明省略，∠AOm=∠mON=∠NOB=1/3∠α=1/3∠AOB=∠a1Ga3=10°,即将30°角三等分。该图和编号就是一本180例简易大小各不相等的角三等分尺规作图中的一张图和编号。图号和页号是3-1-15 , 15。应该注意的是如果∠α大于或等于60°时，必须将大于或等于60°的角缩小偶数倍的角小于60°后才能进行角三等分。如果60°≤∠α＜120°时，∠α缩小两倍，如果120°≤∠α＜240°时，∠α缩小四倍。值得注意的是角的所在区域相同，角的尺规作图方式也应相同。∠α缩小偶数倍的角已被分成三等分的角扩大同样偶数倍后的角才是∠α被分成三等分的角，∠α是否需要缩小和缩小多少偶数倍可用圆的半径来确定。 一. 用尺规作图将60°角三等分（二） 以O点为圆心，以任意长为半径画弧，在弧上任取一点为A,连接OA ,在弧上作AB=OA,连接OB, ∠AOB=∠A1OA4=60°=∠α,∠α应该缩小两倍方可以进行角三等分。作∠CO A=∠AOE=∠EOH=∠HOD=∠DOB=∠BOK=15°=1/4∠α,将∠AOB=∠α=60°角三等分。连接CK交OE线上G点，连接DG並延长交OC线上P点，连接EP交CK 线上F点，连接CD交OH线上H1点，连接DF交OH线上b2点，连接GH1、Gb2、EH1、 ED、EC, CEDG为菱形，H1G=H1E=H1D, ∠H1DG=∠H1GD=1/4∠α=15°,则∠H1Gb2=∠a1Ga2=∠a2Ga3=∠a3Ga4=∠a4Ga6=1/3×1/2×1/2∠α=5°,证明省略，∠A1OA2=∠A2OA3=∠A3OA4=1/3∠A1OA4=1/3∠AOB=∠a1Ga6=1/3∠α=20°.即把∠α=60°角三等分。该图和编号就是一本180例简易大小各不相等的角三等分尺规作图中的一张图和编号。图号和页号是3-2-1 ，61。 一. 用尺规作图将120°角三等分（三） 用尺规作图将120°角三等分上次已作过了，这里就不重复了。 二. 用尺规作图将任意角三等分（一） ∠α为任意一个角，用尺规作图将∠α角三等分，以∠α角顶点O为圆心，以任意长为半径画弧交∠α两边分别是A点和B点，即∠α=∠AOB=∠A1OA4。用半径OA来确定∠α是否需要缩小和应该缩小多少偶数倍，而120°＜∠α＜240°，∠α应该缩小四倍。所以该角三等分尺规作图方式与120°角三等分尺规作图方式相同，只是角的大小之别。作∠AOE=∠EOC=∠Com=∠moH=∠HON=∠NOD=∠DOK=∠KOB=1/8∠α=1/8∠AOB，将∠AOB=∠α角三等分。连接EK交Om线上G点，连接NG並延长交OE线上P点，连接Pm交EK线上F点，连接NE交OH线上H1点，连接NF交OH线上b2点，连接GH1、Gb2、mH1、 mE、mN, mNGE为菱形，H1G=H1m=H1N,∠H1NG= ∠H1GN=1/8∠α,∠H1Gb2=∠a1Ga2=∠a2Ga3=∠a3Ga4=1/3×1/2×1/4∠α，证明省略，则∠A1OA2=∠A2OA3=∠A3OA4=∠a2Ga5=1/3∠AOB=1/3∠A1OA4 =1/3∠α,即将∠α角三等分。该图和编号就是一本180例简易大小各不相等的角三等分尺规作图中的一张图和编号。图号和页号是3-4-51 ，171。