高一对数函数知识点总复习
高一数学 对数与对数函数
一、 知识要点
1、 对数的概念
(1)、对数的概念:
一般地,如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N, 就是 N a b
=,那么数 b 叫做 以a 为底 N
的对数,记作 b N a =log ,a 叫做对数的底数,N 叫做真数
(2)、对数的运算性质:
如果 a > 0,a ≠ 1,M > 0, N > 0 有:
)
()()
(3R)M(n nlog M log 2N log M log N
M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+=
(3)、重要的公式
①、负数与零没有对数; ②、01log =a ,log =a a ③、对数恒等式N a
N
a =log
(4)、对数的换底公式及推论:
I 、对数换底公式:
a
N
N m m a log log log =
( a > 0 ,a ≠ 1 ,m > 0 ,m ≠ 1,N>0)
II 、两个常用的推论:
①、1log log =?a b b a , 1log log log =??a c b c b a
② 、b m
n
b a n
a m log log =( a,
b > 0且均不为1)
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2、 对数函数
(1)、对数函数的定义
函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数; 它是指数函数x a y = )10(≠>a a 且的反函数对数函数x y a log = )10(≠>a a 且的定义域为),0(+∞,值域为,(+∞-∞
(2)、对数函数的图像与性质
log (01)a y x a a =>≠且的图象和性质
3、 例题分析
题型一:对数的运算
【例题1】、将下列指数式写成对数式:
(1)4
5=625 (2)6
2-=
641 (3)a
3=27 (4) m )(3
1=5.73
【练习1】、将下列对数式写成指数式:
(1)416log 2
1-=; (2)2log 128=7; (3)lg0.01=-2; (4)ln10=2.303
【例题2】、(1)5log 25, (2)4.0log 1, (3)2log (74×5
2), (4)lg 5100
【练习2】、求下列各式的值:
(1)2log 6-2log 3 (2)lg 5+lg 2
(3)5log 3+5log 3
1
(4)3log 5-3log 15
【例题3】、已知 2log 3 = a , 3log 7 = b, 用 a, b 表示42log 56
【练习3】、计算:①3log 12.05- ② 2
194log 2log 3log -?
题型二:对数函数
【例题4】、求下列函数的定义域
(1)2log x y a =; (2))4(log x y a -=; (3))9(log x y a -=
【练习4】、求下列函数的定义域
(1)y=3log (1-x) (2)y=
x
2log 1
(3)y=x 311log 7- x y 3log )4(=
【例题5】、比较下列各组数中两个值的大小:
⑴ 5.8log ,4.3log 22; ⑵7.2log ,8.1log 3.03.0; ⑶1,0(9.5log ,1.5log ≠>a a a a
【练习5】、比较下列各组中两个值的大小:
⑴ 6log ,7log 76; ⑵ ⑵.0log ,log 23π
⑶ 5.0log 3
1与2.6log 3
1
⑷ 8log 3与8log 2 ⑸ 3log 2与8.0log 5.0 ⑹ 3.2log 1.1与2.2log 2.1
二、 家庭作业详细讲解……
一、选择题:
1、已知32a
=,那么33log 82log 6-用a 表示是( )
A 、2a -
B 、52a -
C 、23(1)a a -+
D 、 2
3a a - 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+,则
N
M
的值为( ) A 、
4
1
B 、4
C 、1
D 、4或1 3、已知221,0,0x y x y +=>>,且1
log (1),log ,log 1y a a
a x m n x
+==-则等于( ) A 、m n + B 、m n - C 、()12m n + D 、()1
2
m n -
4、如果方程2lg (lg5lg7)lg lg5lg70x x +++= 的两根是,αβ,则αβ 的值是( )
A 、lg5lg 7
B 、lg 35
C 、35
D 、35
1 5、已知732log [log (log )]0x =,那么1
2
x -等于( )
A 、
1
3 B C D
6、函数(21)log x y -=的定义域是( ) A 、()2,11,3??+∞
??? B 、()1,11,2??+∞ ??? C 、2,3??+∞ ??? D 、1,2??+∞ ???
7、若log 9log 90m n <<,那么,m n 满足的条件是( )
A 、 1 m n >>
B 、1n m >>
C 、01n m <<<
D 、01m n <<< 8、2
log 13
a
<,则a 的取值范围是( ) A 、()20,
1,3??+∞ ??? B 、2,3??+∞ ??? C 、2,13?? ??? D 、220,,33????
+∞ ? ?????
9、已知不等式为
2733
1<≤x ,则x 的取值范围
(A )321<≤-
x (B )32
1
<≤x (C )R (D )
3
1
21<≤x 10、函数12
+=-x a y (0>a ,且1≠a )的图象必经过点
(A)(0,1) (B)(1,1) (C) (2, 0) (D) (2,2)
二、填空题认真分析:
11、()
[]
=++-+??
? ??----
-
2
175
.03
43
3
101.016
254064.0________
12、若2log 2,log 3,m n a a m n a +=== 。 13、函数(-1)log (3-)x y x =的定义域是 。 14、2lg 25lg 2lg50(lg 2)++= 。
15、函数)
()lg f x x =是 (奇、偶)函数。
三、解答题:
16、已知函数x
x x x e
e e e x
f --+-=)(,判断()f x 的奇偶性和单调性。
17、已知),(,log )(1011≠>-+=a a x
x
x f a
(Ⅰ)求f(x)的定义域;
(Ⅱ)证明f(x)的图象关于原点对称 (Ⅲ)求使f(x)>0的x 取值范围.
三、 加强题型练习
题型三:加强例题
【例题1】、求下列函数的值域。
(1))1lg(2++=x x y (2))13lg(2++=x x y
【例题2】、求下列函数的定义域
(1)232log 2
2
--=+x x y x (2))
32lg(4
2
2-+-=x x x y (3))432(log 12x x y -=+
【例题3】、设21)(+=
x x f x
x
+-+11lg (1)判断函数单调性并证明。 (2)若)(x f 的反函数为)(1
x f
-,证明:0)(1=-x f 有唯一解。
(3)解关于x 的不等式2
1
)]21([<-x x f
【例题4】、 定义在R 上的奇函数1
21
)(+-=x a x f ,要使1)(1
<-x f ,求x 的取值范围。
【例题5】、求函数)4
3
(log 2
2+-=x x y 的定义域,值域,单调区间。
一. 选择题认真冷静:
1. 若)](log [log log 237x )45(tan log 5?=,则2
1-x 等于( )
A.
3
1
B.
3
21 C.
3
31 D. 以上都不对
2. 函数])8,0((log 2
1∈=x x y 的值域是( )
A. ),3[∞+-
B. ),3[∞+
C. )3,(--∞
D. ]3,(-∞
3. 若函数x a y )1lg(2-=在),(∞+-∞内是减函数,则a 满足的条件是( ) A. 1||>a B. 2||a D. 2||1< 4. 函数12 .0+=-x y 的反函数是( ) A. 1log 5+=x y )1(>x B. )2(15log >+=x y x C. )1()1(log 5>-=x x y D. 1log 5-=x y )0(>x 二. 填空题: 1. )(log log 2 12x y =的定义域是 。 2. 函数)34ln(2 x x y -+=的单调递增区间是 。 3. 若21< 4. (1)2.2log 3.2log 1.11.1 (2)224 log 5 三. 解答题充分利用: 1. 求函数)23(log 2 2 1x x y -+=的单调区间和值域。 2. 已知函数)12lg()(2++=x ax x f ,(1)若定义域为R ,求a 的范围;(2)若值域为R ,求a 的范围。 3. 已知x 满足2562≤x ,21log 2≥ x ,求函数2 log 2 log )(2 2x x x f ?=的最大值和最小值,并指出取得最值时x 的值。 专题:对数函数知识点总结 1.对数函数的定义: 一般地,函数 x y a log =( )叫做对数函数 .定义域是 2. 对数函数的性质为 思考:函数log a y x =与函数x y a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系? ___________________________________________________________________________ 对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。 一般的,函数y=a x 与y=log a x (a>0且a ≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称 y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f -1 (x) 如:f(x)=2x ,则f -1 (x)=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关 于直线y=x 对称 函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称 专题应用练习 一、求下列函数的定义域 (1)0.2log (4);y x =-; (2)log 1a y x =- (0,1).a a >≠; (3)2(21)log (23)x y x x -=-++ (4)2log (43)y x =- (5) y=lg 1 1 -x (6) y=x 3log =log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________ = )8lg(2x - 的定义域是_______________ 3.求函数2log (21)y x =+的定义域___________ 4.函数y=13 log (21)x -的定义域是 5.函数y =log 2(32-4x )的定义域是 ,值域是 . 6.函数5log (23)x y x -=-的定义域____________ 7.求函数2 log ()(0,1)a y x x a a =->≠的定义域和值域。 8.求下列函数的定义域、值域: (1)2log (3)y x =+; (2)2 2log (3)y x =-; (3)2log (47)a y x x =-+(0a >且1a ≠). 9.函数f (x )=x 1 ln (432322+--++-x x x x )定义域 10.设f(x)=lg x x -+22,则f )2 ()2(x f x +的定义域为 11.函数f(x)=)1(lo g 1 |2|2---x x 的定义域为 12.函数f(x)= 2 29)2(1x x x g --的定义域为 ; 13.函数f (x )= x 1 ln (432322+--++-x x x x )的定义域为 14 2 2 2 log log log y x =的定义域是 1. 设f (x )=lg(ax 2 -2x +a ), (1) 如果f (x )的定义域是(-∞, +∞),求a 的取值围; (2) 如果f (x )的值域是(-∞, +∞),求a 的取值围. 15.已知函数)32(log )(22 1+-=ax x x f (1)若函数的定义域为R ,数a 的取值围 (2)若函数的值域为R ,数a 的取值围 对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为底..N 的对数,记作:N x a log =(a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式) 说明:○1 注意底数的限制0>a ,且1≠a ; ○2 x N N a a x =?=log ; ○3 注意对数的书写格式. 两个重要对数: ○ 1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○ 2 自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln . (二)对数的运算性质 如果0>a ,且1≠a ,0>M ,0>N ,那么: ○ 1 M a (log ·=)N M a log +N a log ; ○ 2 =N M a log M a log -N a log ; ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈. 注意:换底公式 a b b c c a log log log = (0>a ,且1≠a ;0>c ,且1≠c ;0>b ). 利用换底公式推导下面的结论 (1)b m n b a n a m log log = ; (2)a b b a log 1log =. (二)对数函数 1、对数函数的概念:函数0(log >=a x y a ,且)1≠a 叫做对数函 数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 注意:○1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如:x y 2log 2=,5 log 5x y = 都不是对数函数,而只能称 其为对数型函数. ○ 2 对数函数对底数的限制:0(>a ,且)1≠a . 对数函数·例题解析 例1.求下列函数的定义域: (1)2log x y a =; (2))4(log x y a -=; (3))9(log 2 x y a -=. 一、指数的性质 (一)整数指数幂 1.整数指数幂概念: a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2.整数指数幂的运算性质:(1)(),m n m n a a a m n Z +?=∈ (2)()(),n m mn a a m n Z =∈ (3)()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=, ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? . 3.a 的n 次方根的概念 一般地,如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1,那么这个数叫做a 的n 次方根, 即: 若a x n =,则x 叫做a 的n 次方根, ()* ∈>N n n ,1 例如:27的3次方根3273=, 27-的3次方根3273-=-, 32的5次方根2325=, 32-的5次方根2325-=-. 说明:①若n 是奇数,则a 的n 次方根记作n a ; 若0>a 则0>n a ,若o a <则0 ⑤式子n a 叫根式,n 叫根指数,a 叫被开方数。 ∴ n a =. . 4.a 的n 次方根的性质 一般地,若n 是奇数,则a a n n =; 若n 是偶数,则?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n . 5.例题分析: 例1.求下列各式的值: (1)() 338- (2) ()210- (3)()44 3π- (4) ()()b a b a >-2解:略。 例2.已知,0<N n n ,1, 化简:()()n n n n b a b a ++-. 解:当n 是奇数时,原式a b a b a 2)()(=++-= 当n 是偶数时,原式a b a a b b a b a 2)()(||||-=--+-=++-= 所以,()()n n n n b a b a ++-22a n a n ?=? -?为奇数 为偶数 . 例3.计算:407407-++ 解:407407-++52)25()25(22=-++= 例4.求值: 54 925-+. 解:549 25-+4 25254 5 49252 )(-+=-+= 452622525+=-+= 2 1 54152 += +=)( (二)分数指数幂 1.分数指数幂: ()10 2 5 0a a a ==> ()124 3 0a a a ==> 即当根式的被开方数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式; 如果幂的运算性质(2)() n k kn a a =对分数指数幂也适用, 例如:若0a >,则3 223233a a a ???== ??? ,4 554544a a a ???== ???, 23a = 4 5 a =. 即当根式的被开方数不能被根指数整除时,根式也可以写成分数指数幂的形式。 规定:(1)正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m n a a m n N n *=>∈>; (2)正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1m n m n a a m n N n a -* == >∈>. 2.分数指数幂的运算性质:整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用 专题:对数函数知识点总结 1.对数函数的定义: 一般地,函数 x y a log =( )叫做对数函数 .定义域是 2. 对数函数的性质为 思考:函数log a y x =与函数x y a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系? ___________________________________________________________________________ 对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。 | 一般的,函数y=a x 与y=log a x (a>0且a ≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称 y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f -1 (x) 如:f(x)=2x ,则f -1 (x)=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关 于直线y=x 对称 函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称 专题应用练习 一、求下列函数的定义域 (1)0.2log (4);y x =-; (2 )log a y =(0,1).a a >≠; (3)2 (21)log (23)x y x x -=-++ (4 )y = ? (5) y=lg 1 1 -x (6) y=x 3log =log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________ = )8lg(2x - 的定义域是_______________ 3.求函数2log (21)y x =+的定义域___________ 4.函数 的定义域是 5.函数y =log 2(32-4x )的定义域是 ,值域是 . 6.函数5log (23)x y x -=-的定义域____________ { 7.求函数2 log ()(0,1)a y x x a a =->≠的定义域和值域。 8.求下列函数的定义域、值域: (1)2log (3)y x =+; (2)2 2log (3)y x =-; (3)2log (47)a y x x =-+(0a >且1a ≠). 9.函数f (x )=x 1 ln (432322+--++-x x x x )定义域 10.设f(x)=lg x x -+22,则f )2 ()2(x f x +的定义域为 对数函数知识点及典型例题讲解 1.对数: (1) 定义:如果,那么称为,记作,其中称为对数的底,N称为真数. ①以10为底的对数称为常用对数,记作___________. ②以无理数为底的对数称为自然对数,记作_________. (2) 基本性质: ①真数N为 (负数和零无对数);②;③; ④对数恒等式:. (3) 运算性质: ① log a(MN)=___________________________; ② log a=____________________________; ③ log a M n= (n∈R). ④换底公式:log a N= (a>0,a≠1,m>0,m≠1,N>0) ⑤ . 2.对数函数: ①定义:函数称为对数函数,1) 函数的定义域为( ;2) 函数的值域为; 3) 当______时,函数为减函数,当______时为增函数; 4) 函数与函数互为反函数. ② 1) 图象经过点( ),图象在;2) 对数函数以为渐近线(当时,图象向上无限接近y轴;当时,图象向下无限接近y轴); 4) 函数y=log a x与的图象关于x轴对称. ③函数值的变化特征: ①②③①②③ 例1 计算:(1) (2)2(lg)2+lg·lg5+; (3)lg-lg+lg. 解:(1)方法一利用对数定义求值设=x,则(2+)x=2-==(2+)-1,∴x=-1.方法二利用对数的运算性质求解 = =(2+)-1=-1. (2)原式=lg(2lg+lg5)+=lg(lg2+lg5)+|lg-1| =lg+(1-lg)=1. (3)原式=(lg32-lg49)-lg8+lg245 = (5lg2-2lg7)-×+ (2lg7+lg5) =lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5 =lg(2×5)= lg10=. 变式训练1:化简求值. (1)log2+log212-log242-1; (2)(lg2)2+lg2·lg50+lg25; (3)(log32+log92)·(log43+log83). 解:(1)原式=log2+log212-log2-log22=log2 (2)原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. (3)原式=( 例2 比较下列各组数的大小. (1)log3与log5;(2)log1.10.7与(3)已知logb<loga<logc,比较2b,2a,2c的大小关系.解:(1)∵log3<log31=0,而log5>log51=0,∴log3<log5. (2)方法一∵0<<1,<,∴0>, ∴, 即由换底公式可得log1.10.7<方法二作出y=与y=的图象. 如图所示两图象与x=相交可知log1.10.7<为减函数,且, ∴b>a>c,而y=2x是增函数,∴2b>2a>2c. 变式训练2:已知0<a<1,b>1,ab>1,则log a的大小关系是() B. C. D. 解: C 例3已知函数f(x)=log a x(a>0,a≠1),如果对于任意x∈[3,+∞)都有|f(x)|≥1成立,试求a的取值范围. 解:当a>1时,对于任意x∈[3,+∞),都有f(x)>0. 所以,|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x在[3,+∞)上为增函数, ∴对于任意x∈[3,+∞),有f(x)≥log a3. 因此,要使|f(x)|≥1对于任意x∈[3,+∞)都成立. 只要log a3≥1=log a a即可,∴1<a≤3. 当0<a<1时,对于x∈[3,+∞),有f(x)<0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f(x)=log a x在[3,+∞)上为减函数, ∴-f(x)在[3,+∞)上为增函数. ∴对于任意x∈[3,+∞)都有 基本初等函数知识点 知识点一:指数及指数幂的运算 1.根式的概念 的次方根的定义:一般地,如果,那么叫做的次方根,其中 当为奇数时,正数的次方根为正数,负数的次方根是负数,表示为;当为偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数可以表示为. 负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0. 式子叫做根式,叫做根指数,叫做被开方数. 次方根的性质: (1)当为奇数时,;当为偶数时, (2) 3.分数指数幂的意义: ; 注意:0的正分数指数幂等与0,负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质: (1)(2)(3) 知识点二:指数函数及其性质1.指数函数概念 一般地,函数叫做指数函数,其中是自变量,函数的定义域为. 2.指数函数函数性质: 函数名称指数函数 定义函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点图象过定点,即当时,. 奇偶性非奇非偶 单调性在上是增函数在上是减函数 函数值的变化情况 变化对图象的影响在第一象限内,从逆时针方向看图象,逐渐增大;在第二象限内,从逆时针方向看图象,逐渐减小. 知识点三:对数与对数运算 1.对数的定义 (1)若,则叫做以为底的对数,记作,其中叫做底数,叫做真数. (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化:. 2.几个重要的对数恒等式 ,,. 3.常用对数与自然对数 常用对数:,即;自然对数:,即(其中…). 4.对数的运算性质 如果,那么①加法:②减法:③数乘: ④⑤ ⑥换底公式: 知识点四:对数函数及其性质 1.对数函数定义 一般地,函数叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域. 2.对数函数性质: 函数名称对数函数 定义函数且叫做对数函数图象 高一数学 对数与对数函数 一、 知识要点 1、 对数的概念 (1)、对数的概念: 一般地,如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N, 就是 N a b =,那么数 b 叫做 以a 为底 N 的对数,记作 b N a =log ,a 叫做对数的底数,N 叫做真数 (2)、对数的运算性质: 如果 a > 0,a ≠ 1,M > 0, N > 0 有: ) ()() (3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= (3)、重要的公式 ①、负数与零没有对数; ②、01log =a ,1log =a a ③、对数恒等式N a N a =log (4)、对数的换底公式及推论: I 、对数换底公式: a N N m m a log log log = ( a > 0 ,a ≠ 1 ,m > 0 ,m ≠ 1,N>0) II 、两个常用的推论: ①、1log log =?a b b a , 1log log log =??a c b c b a ② 、b m n b a n a m log log =( a, b > 0且均不为1) 佛山学习前线教育培训中心 2、 对数函数 (1)、对数函数的定义 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数; 它是指数函数x a y = )10(≠>a a 且的反函数对数函数x y a log = )10(≠>a a 且的定义域为),0(+∞,值域为),(+∞-∞ (2)、对数函数的图像与性质 log (01)a y x a a =>≠且的图象和性质 对数与对数函数 1.对数 (1)对数的定义: 如果a b =N (a >0,a ≠1),那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N =b . (2)指数式与对数式的关系:a b =N log a N =b (a >0,a ≠1,N >0).两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的,并且可以互化. (3)对数运算性质: ①log a (MN )=log a M +log a N . ②log a N M =log a M -log a N . ③log a M n =n log a M .(M >0,N >0,a >0,a ≠1) ④对数换底公式:log b N =b N a a log log (a >0,a ≠1, b >0,b ≠1,N >0). 2.对数函数 (1)对数函数的定义 函数y =log a x (a >0,a ≠1)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 注意:真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零,底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢? 在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。但是,根据对数定义: log a a=1;如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实 数(比如log 1 1也可以等于2,3,4,5,等等)第二,根据定义运算公式:log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 (比如,log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4;一个等于1/16,另一个等于-1/16) (2)对数函数的图象 x y > O x y 高一数学必修一对数及对数函数知识点总 结 数学是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。以下是查字典数学网为大家整理的高一数学必修一对数及 对数函数知识点,希望可以解决您所遇到的相关问题,加油,查字典数学网一直陪伴您。 对数定义 如果a的x次方等于N(a>0,且a不等于1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN。其中,a叫做对数的底数,N叫做真数。 注: 1.以10为底的对数叫做常用对数,并记为lg。 2.称以无理数e(e=2.71828...)为底的对数称为自然对数,并记为ln。 3.零没有对数。 4.在实数范围内,负数无对数。在复数范围内,负数是有对数的。 对数公式 0,且a≠1)叫做对数函数,也就是说以幂(真数)为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数,叫对数函数。/p p其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞)。它实际上就是指数函数的反函数,可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定, 同样适用于对数函数。/p p对数函数性质/p p align=" center="" img="" /> 定义域求解:对数函数y=logax的定义域是{x丨x>0},但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解,除了要注意大于0以外,还应注意底数大于0且不等于1,如求函数y=logx(2x-1)的定义域,需同时满足x>0且x≠1和2x-1>0,得到x>1/2且x≠1,即其定义域为{x丨x>1/2且x≠1} 值域:实数集R,显然对数函数无界。 定点:函数图像恒过定点(1,0)。 单调性:a>1时,在定义域上为单调增函数; 奇偶性:非奇非偶函数 周期性:不是周期函数 对称性:无 最值:无 零点:x=1 注意:负数和0没有对数。 两句经典话:底真同对数正,底真异对数负。 要练说,得练听。听是说的前提,听得准确,才有条件正确模仿,才能不断地掌握高一级水平的语言。我在教学中,注意听说结合,训练幼儿听的能力,课堂上,我特别重视教师的语言,我对幼儿说话,注意声音清楚,高低起伏,抑扬有致,富有吸引力,这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼 对数函数的图象及性质例题解析 题型一 判断对数函数 【例1】函数f (x )=(a 2-a +1)log (a +1)x 是对数函数,则实数a =__________. 解析:由a 2-a +1=1,解得a =0,1. 又a +1>0,且a +1≠1,∴a =1. 【例1-1】下列函数中是对数函数的为__________. (1)y =log a >0,且a ≠1);(2)y =log 2x +2;(3)y =8log 2(x +1); (4)y =log x 6(x >0,且x ≠1);(5)y =log 6x . 解析: 题型二 【例2】如图所示的曲线是对数函数y =log a x 的图象.已知a , 43,35,110 中取值,则相应曲线C 1,C 2,C 3,C 4的a 值依次为( ) A 43,35,110 B ,43,110,35 C .43,35,110 D .43110,35 解析:由底数对对数函数图象的影响这一性质可知,C 4的底数<C 3的底数<C 2的底数<C 1 的底数.故相应于曲线C 1,C 2,C 3,C 443,35,110 .答案:A 点技巧 作直线y =1,它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数,由此判断各底数的大小. 题型三 对数型函数的定义域的求解 (1)对数函数的定义域为(0,+∞). (2)在求对数型函数的定义域时,要考虑到真数大于0,底数大于0,且不等于1. 若底数和真数中都含有变量,或式子中含有分式、根式等,在解答问题时需要保证各个方面都有意义. (3)求函数的定义域应满足以下原则: ①分式中分母不等于零; ②偶次根式中被开方数大于或等于零; ③指数为零的幂的底数不等于零; ④对数的底数大于零且不等于1; 第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N * . ◆ 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n 。 当n 是奇数时,a a n n =,当n 是偶数时,???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m , )1,,,0(1 1* >∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3) s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>. (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. 2 注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:(1)在[a ,b]上, )1a 0 a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [; (2)若0x ≠,则1)x (f ≠;)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈; (3)对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且,总有a )1(f =; 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为.底.N 的对数,记作:N x a log =(a — 底数,N — 真数,N a log —对数式) 说明:○1 注意底数的限制0>a ,且1≠a ; ○ 2 x N N a a x =?=log ; ○ 3 注意对数的书写格式. 两个重要对数: ○ 1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○ 2 自然对数:以无理数Λ71828.2=e 为底的对数的对数N ln . ◆ 指数式与对数式的互化 幂值 真数 = b 对数及对数函数 1、对数的基本概念 (1)一般地,如果a (1,0≠>a a )的b 次幂等于N ,就是N a b =,那么数b 叫做以a 为底N 的对 数, 记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数,式子N a log 叫做对数式 (2)常用对数:N 10log ,记作N lg ; 自然对数N e log (e =2.71828…),记作N ln . (3)指数式与对数式的关系:log x a a N x N =?=(0>a ,且1≠a ,0N >) (4)对数恒等式: 2、对数的性质 (1)负数和零没有对数,即0>N ; (2)1的对数是零,即01log =a ; (3)底的对数等于1,即1log =a a 3、对数的运算性质 (1)如果a >0,a ≠1,M >0,N >0,那么 ①N M MN a a a log log )(log +=; ②N M N M a a a log log log -=; ③M n M a n a log log = (2)换底公式: 推论:① b N N b log 1log = ; ② ; ③ 1log log =?a b b a 4、对数函数的定义: 函数 叫做对数函数,其中x 是自变量 (1)研究对数函数的图象与性质: 由于对数函数 与指数函数 互为反函数,所以 的图像和 的图像关于直线 对称。 (2)复习)10(≠>=a a a y x 且的图象和性质 ()010log >≠>=N a a N a N a ,且b N N a a b log log log = b m n b a n a m log log =a y log x =(a 0a 1)>≠且a y log x =x y a =a y log x =x y a =y x = 指数函数和对数函数知识点总结及练习题 一.指数函数 (一)指数及指数幂的运算 n m n m a a = s r s r a a a +=? rs s r a a =)( r r r b a ab =)( (二)指数函数及其性质 1.指数函数的概念:一般地,形如x a y =(0>a 且1≠a )叫做指数函数。 2.指数函数的图象和性质 10<a 6 54321 -1 -4-2 2460 1 6 5 4 3 2 1 -1 -4-2 246 1 定义域 R 定义域 R 值域y >0 值域y >0 在R 上单调递减 在R 上单调递增 非奇非偶函数 非奇非偶函数 定点(0,1) 定点(0,1) 二.对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果N a x =(0>a 且1≠a ),那么x 叫做以a 为底N 的对数,记作N x a log =,其中a 叫做底数,N 叫做真数,N a log 叫做对数式。 2.指数式与对数式的互化 幂值 真数 x N N a a x =?=log 底数 指数 对数 3.两个重要对数 (1)常用对数:以10为底的对数N lg (2)自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数N ln (二)对数的运算性质(0>a 且1≠a ,0,0>>N M ) ①MN N M a a a log log log =+ ②N M N M a a a log log log =- ③M n M a n a log log = ④换底公式:a b b c c a log log log =(0>c 且1≠c ) 关于换底公式的重要结论:①b m n b a n a m log log = ②1log log =?a b b a (三)对数函数 1.对数函数的概念:形如x y a log =(0>a 且1≠a )叫做对数函数,其中x 是自变量。 2对数函数的图象及性质 01 32.5 2 1.51 0.5-0.5 -1-1.5-2-2.5 -1 1 23456780 1 1 32.5 2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -1 1 2345678 1 1 定义域x >0 定义域x >0 值域为R 值域为R 在R 上递减 在R 上递增 定点(1,0) 定点(1,0) 对数函数的图像与性质知识点与习题 一、知识回顾: 1、指数函数)1,0(≠>=a a a y x 与对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的图象与性质 2、指数函数)1,0(≠>=a a a y x 与对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 互为反函数,其 图象关于直线x y =对称 二、例题与习题 1.)35lg(lg x x y -+=的定义域为___ __; 2. 已知函数=-=+-=)(,2 1 )(,11lg )(a f a f x x x f 则若 3.04 1 log 2 12≤-x ,则________∈x 4.函数)2(log )(π≤≤=x x x f a 的最大值比最小值大1,则__________∈a 5.若函数m y x +=+-1 2 的图象不经过第一象限,则m 的取值范围是 ( ) (A )2-≤m (B )2-≥m (C )1-≤m (D )1-≥m 6.函数x x f a )1(2log )(-=是减函数,则实数a 的取值范围是 . 7.若13 2 log >a ,则a 的取值范围是 8.已知函数)(x f y =是奇函数,则当0≥x 时,13)(-=x x f ,设)(x f 的反函数是)(x g y =,则=-)8(g 9.方程lgx -x +1=0的实数解有______个. 10.)2lg(2 x x y +-=的递增区间为___________ ,值域为 . 11.求)1,0() (log ≠>-=a a a a y x a 的定义域。 12.已知3log 1)(x x f +=,2log 2)(x x g =,试比较)(x f 与)(x g 的大小关系。 13.已知函数)10)(1(log )1(log )(≠>--+=a a x x x f a a 且, (1)讨论)(x f 的奇偶性与单调性; (2)若不等式2|)(| 高考指数函数和对数函数 一.基础知识 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方 根,其中n >1,且n ∈N * . 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n 。 当n 是奇数时,a a n n =,当n 是偶数时,? ??<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1 *>∈>= = -n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3) s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>. (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. 注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a ,b]上,)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)] b (f ),a (f [ 或)]a (f ),b (f [; (2)若0x ≠,则1)x (f ≠;)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈; (3)对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且,总有a )1(f =; 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为底..N 的对数,记作:N x a log =(a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式) 说明:○1 注意底数的限制0>a ,且1≠a ; ○ 2 x N N a a x =?=log ; ○ 3 注意对数的书写格式. 两个重要对数: ○ 1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○ 2 自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln . 指数式与对数式的互化 幂值 真数 对数 (二)对数的运算性质 如果0>a ,且1≠a ,0>M ,0>N ,那么:○1 M a (log ·=)N M a log +N a log ;○ 2 =N M a log M a log -N a log ; ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈. 注意:换底公式 a b b c c a log log log = (0>a ,且1≠a ;0>c ,且1≠c ;0>b ). 利用换底公式推导下面的结论 (1)b m n b a n a m log log =;(2)a b b a log 1log =. (二)对数函数 1、对数函数的概念:函数0(log >=a x y a ,且)1≠a 叫做对 ●高考明方向 1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用. 2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点. 3.知道对数函数是一类重要的函数模型. 4.了解指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数(a>0,且a≠1). ★备考知考情 通过对近几年高考试题的统计分析可以看出,本节内容在高考中属于必考内容,且占有重要的分量,主要以选择题的形式命题,也有填空题和解答题.主要考查对数运算、换底公式等.及对数函数的图象和性质.对数函数与幂、指数函数结合考查,利用单调性比较大小、解不等式是高考的热点. 一、知识梳理《名师一号》P27 注意: 知识点一对数及对数的运算性质 1.对数的概念 一般地,对于指数式a b=N,我们把“以a为底N的对数b”记作log a N,即b=log a N(a>0,且a≠1).其中,数a叫做对数的底数,N叫做真数,读作“b等于以a为底N的对数”. 注意:(补充)关注定义---指对互化的依据 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么 ①log a(MN)=log a M+log a N; ②log a M N=log a M-log a N; ③log a M n=nlog a M(n∈R); ④log a m M n=n m log a M. (2)对数的性质 ①a logaN =N ;②log a a N =N (a>0,且a≠1). (3)对数的重要公式 ①换底公式:log b N =log a N log a b (a ,b 均大于零且不等于1); ②log a b =1 log b a ,推广log a b·log b c·log c d =log a d. 注意:(补充)特殊结论:log 10, log 1a a a == 知识点二 对数函数的图象与性质 1.对数函数的图象与性质(注意定义域!) 指数函数y =a x 与对数函数y =log a x 互为反函数, 它们的图象关于直线y =x 对称. (补充) 设y =f(x)存在反函数,并记作y =f -1(x), 1) 函数y =f(x)与其反函数y =f -1(x)的图象 关于直线y x =对称. 指数函数与对数函数知识点总结 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次 方根,其中n >1,且n ∈N * . 当n 是奇数时, a a n n =,当n 是偶数时, ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 3.实数指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3)s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>. (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为底..N 的对数, 记作:N x a log =(a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式) 两个重要对数: ○ 1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○ 2 自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln . 指数式与对数式的互化 幂值 真数 (二)对数的运算性质 如果0>a ,且1≠a ,0>M ,0>N ,那么: ○ 1 M a (log ·=)N M a log +N a log ; ○ 2 =N M a log M a log -N a log ; ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈. 注意:换底公式 a b b c c a log log log = (0>a ,且1≠a ;0>c ,且1≠c ; 0>b ). 利用换底公式推导下面的结论 (1)b m n b a n a m log log =; (2)a b b a log 1log =. (二)对数函数 指数函数、对数函数知识点 知识点内容典型题 整数和有理指数幂的运算 a 0=1(a≠0);a-n= 1 a n (a≠0, n∈N*) a m n=n a m(a>0 , m,n∈N*, 且n>1) (a>0 , m,n∈N*, 且n>1) 当n∈N*时,(n a)n=a 当为奇数时,n a n=a 当为偶数时,n a n=│a│= a (a≥0) -a (a<0) 运算律:a m a n=a m + n (a m)n=a m n (ab)n=a n b n 1.计算: 2-1×6423=. 2. 224282=; 333363= . 3343427=; 393 36 = . 3.? - - + +-45 sin 2 )1 2 ( )1 2 (0 1 4. 指数函数的概念、图象与性质1、解析式:y=a x(a>0,且a≠1) 2、图象: 3、函数y=a x(a>0,且a≠1)的性质: ①定义域:R ,即(-∞,+∞) 值域:R+ , 即(0,+∞) ②图象与y轴相交于点(0,1). ③单调性:在定义域R上 当a>1时,在R上是增函数 当0<a<1时,在R上是减函数 ④极值:在R上无极值(最大、最小值) 当a>1时,图象向左与x轴无限接近; 当0<a<1时,图象向右与x轴无限接 近. ⑤奇偶性:非奇非偶函数. 5.指数函数y=a x(a>0且a≠1)的图象过 点(3,π) , 求f (0)、f (1)、f (-3)的值. 6.求下列函数的定义域: ①2 2x y- =;② 2 4 1 5- = - x y. 7.比较下列各组数的大小: ①1.22.5 1.22.51 , 0.4-0.10.4-0.2 , ②0.30.40.40.3, 233322. ③(2 3 )- 1 2,( 2 3 )- 1 3,( 1 2 )- 1 2 8.求函数 17 6 2 2 1+ - ? ? ? ? ? = x x y的最大值. 9.函数x a y)2 (- =在(-∞,+∞)上是减函数, 则a的取值范围( ) A.a<3 B.c C.a>3 D.2<a<3 10.函数x a y)1 (2- =在(-∞,+∞)上是减函 数,则a适合的条件是( ) A.|a|>1 B.|a|>2 C.a>2 D.1<|a|<2专题:对数函数知识点总结及类型题归纳
对数函数知识点总结(供参考)
《指数函数和对数函数》知识点汇总及习题详解)
专题:对数函数知识点总结及类型题归纳
对数函数知识点及典型例题讲解
指数、对数函数基本知识点
(完整版)高一对数函数知识点总复习
对数与对数函数知识点及例题讲解
高一数学必修一对数及对数函数知识点总结
对数函数图象及其性质知识点及例题解析
基本初等函数I知识点总结
对数及对数函数知识点总结及题型分析
指数函数和对数函数知识点总结
对数函数的图像与性质知识点与习题
高考学生指数与对数函数知识点小结及典型例题
对数与对数函数知识点与题型归纳
指数函数与对数函数知识点总结
高中数学-指数函数对数函数知识点