.
10．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若a ＋c ＝0，f (x )在[－1,1]上的最大值为2，最小值为－52
. 求证：a ≠0且????b a <2.
证明：假设a ＝0或????b a ≥2.
①当a ＝0时，由a ＋c ＝0，得f (x )＝bx ，显然b ≠0.
由题意得f (x )＝bx 在[－1,1]上是单调函数，
所以f (x )的最大值为|b |，最小值为－|b |.
由已知条件得|b |＋(－|b |)＝2－52＝－12
， 这与|b |＋(－|b |)＝0相矛盾，所以a ≠0.
②当????b a ≥2时，由二次函数的对称轴为x ＝－b 2a
， 知f (x )在[－1,1]上是单调函数，故其最值在区间的端点处取得 .
所以????? f (1)＝a ＋b ＋c ＝2，f (－1)＝a －b ＋c ＝－52或?????
f (1)＝a ＋b ＋c ＝－52，f (－1)＝a －b ＋c ＝2.
又a ＋c ＝0，则此时b 无解，所以????b a <2.
由①②，得a ≠0且????b a <2.
人教版数学高二A版选修4-5自我小测2.3反证法与放缩法
自我小测 1．设x ，y 都是正实数，则xy －(x ＋y )＝1，则( ) A ．x ＋y ≥2(2＋1) B ．xy ≤2＋1 C ．x ＋y ≤(2＋1)2 D ．xy ≥2(2＋1) 2．设x ＞0，y ＞0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y 1＋y ，则A 与B 的大小关系为( ) A ．A ≥B B ．A ≤B C ．A ＞B D ．A ＜B 3．用反证法证明 “如果a ＞b ，那么3a ＞3b ”的假设内容应是( ) A ．3a ＝3b B ．3a ＜3b C ．3a ＝3b 且3a ＜3b D ．3a ＝3b 或3a ＜3b 4．设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x ，则a ，b ，c 三个数( ) A ．至少有一个不大于2 B ．都小于2 C ．至少有一个不小于2 D ．都大于2 5．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立． 其中判断正确的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 6．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)， 如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|＜|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|＜12 .那么它的假设应该是__________． 7．设a ，b ，c 均为正数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的__________条件． 8．若A ＝1210＋1210＋1＋…＋1211－1 ，则A 与1的大小关系为________． 9．已知数列{b n }是等差数列，b 1＝1，b 1＋b 2＋…＋b 10＝145. (1)求数列{b n }的通项公式； (2)设数列{a n }的通项a n ＝log a ????1＋1b n (其中a ＞0，且a ≠1)，记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与13 log a b n ＋1的大小，并证明你的结论．
§3.2反证法和放缩法
§3.2反证法和放缩法 ☆学习目标：1. 理解并掌握反证法、换元法与放缩法; 2. 会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式?知识情景： 1. 不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)． 20. 综合法和分析法． 30. 反证法、换元法、放缩法 2. 综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发, 通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 又叫由 导 法. 用综合法证明不等式的逻辑关系：12n A B B B B ??? ?? 3. 分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件, 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等), 从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执 索 的思考和证明方法. 用分析法证明不等式的逻辑关系： ?新知建构： 1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤： 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定； 第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果； 第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立. 例1 已知a +b +c > 0，a b +bc +c a >0，a bc >0，求证：a ,b ,c >0 . 例2 设233=+b a ，求证：2≤+b a 。 2.换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性. 常用的换元有三角换元有： 10．已知2 22a y x =+，可设 ， ； 20．已知12 2≤+y x ，可设 ， (10≤≤r )； 30．已知12222=+b y a x ，可设 ， . 例3 设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是（ ） .A 1,)+∞ .B (1]-∞ .C 1,)+∞ .D (1]-∞ 例4 已知22 1x y +=，求证：y ax ≤-≤3. 放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小 由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度. 常用的方法是：①添加或舍去一些项，如：a a >+12，n n n >+)1(， ②将分子或分母放大（或缩小）如：2111(1)(1)n n n n n <<+-
2018_2019高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.3反证法与放缩法导学案新人教A版
2.3 反证法与放缩法 学习目标 1.理解反证法在证明不等式中的应用． 2．掌握反证法证明不等式的方法． 3．掌握放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式. 一、自学释疑 根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。 二、合作探究 探究1．用反证法证明不等式应注意哪些问题？ 探究2．运用放缩法证明不等式的关键是什么？ 1.反证法 对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明．用反证法证明数学命题，实际上是证明逆否命题成立，来代替证明原命题成立，用反证法证明步骤可概括为“否定结论，推出矛盾”． (1)否定结论：假设命题的结论不成立，即肯定结论的反面成立． (2)推出矛盾：从假设及已知出发，应用正确的推理，最后得出与定理、性质、已知及事实相矛盾的结论，从而说明假设不成立，故原命题成立． 2．用反证法证明不等式应注意的问题 (1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的． (2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法． 3．放缩法 放缩法是证明不等式的一种特殊方法，它利用已知的基本不等式(如均值不等式)，或某些函数的有界性、单调性等适当的放缩以达到证明的目的．放缩是一种重要手段，放缩时应目标明确、放缩适当，目的是化繁为简，应灵活掌握．
常见放缩有以下几种类型： 第一，直接放缩； 第二，裂项放缩(有时添加项)； 第三，利用函数的有界性、单调性放缩； 第四，利用基本不等式放缩． 例如：1n 2<1n n －1＝1n －1－1n ，1n 2>1n n ＋1＝1n －1n ＋1；1n >2n ＋n ＋1＝2(n ＋1－n )，1 n <2n ＋n －1＝2(n －n －1)． 以上n ∈N，且n >1. 【例1】 若a 3＋b 3 ＝2，求证：a ＋b ≤2. 【变式训练1】 若假设a ，b ，c ，d 都是小于1的正数，求证：4a (1－b )，4b (1－c )，4c (1－d )，4d (1－a )这四个数不可能都大于1. 【例2】 设x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝a (a >0)，x 2＋y 2＋z 2＝12 a 2.求证：x ，y ，z 都不能是负数或大于23 a 的数． 【变式训练2】 证明：若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，那么方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实根．
2019学年数学人教A版选修4-5优化复习：第二讲 三 反证法与放缩法
[课时作业] [A组基础巩固] 1．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数() A．两个都是偶数 B．一个是奇数，一个是偶数 C．至少一个是偶数 D．恰有一个是偶数 解析：假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少一个为偶数． 答案：C 2．设x>0，y>0，A＝ x＋y 1＋x＋y ，B＝ x 1＋x ＋ y 1＋y ，则A与B的大小关系为() A．A≥B B．A≤B C．A>B D．A1 D．M与1大小关系不定 解析：M是210项求和，M＝ 1 210＋ 1 210＋1 ＋ 1 210＋2 ＋…＋ 1 211－1 < 1 210＋ 1 210＋ 1 210＋…＋ 1 210＝
1，故选B. 答案：B 5．若f (x )＝? ????12x ，a ，b 都为正数，A ＝f ? ????a ＋b 2，G ＝f (ab )， H ＝f ? ?? ??2ab a ＋b ，则( ) A ．A ≤G ≤H B ．A ≤H ≤G C ．G ≤H ≤A D ．H ≤G ≤A 解析：∵a ，b 为正数，∴a ＋b 2≥ab ＝ab ab ≥ab a ＋b 2 ＝2ab a ＋b ， 又∵f (x )＝? ?? ??12x 为单调减函数， ∴f ? ????a ＋b 2≤f (ab )≤f ? ?? ??2ab a ＋b ， ∴A ≤G ≤H . 答案：A 6．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，求证： |f (x 1)－f (x 2)|<12.那么它的假设应该是________． 答案：|f (x 1)－f (x 2)|≥12 7．已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b ||a ＋b | ，则m ，n 之间的大小关系是________． 解析：m ＝|a |－|b ||a －b |≤|a |－|b ||a |－|b | ＝1， n ＝|a |＋|b ||a ＋b |≥|a |＋|b ||a |＋|b | ＝1. 答案：m ≤n 8．设a >0，b >0，M ＝a ＋b a ＋b ＋2，N ＝a a ＋2＋b b ＋2 ，则M 与N 的大小关系是________． 解析：∵a >0，b >0， ∴N ＝a a ＋2＋b b ＋2>a a ＋b ＋2＋b a ＋b ＋2＝a ＋b a ＋b ＋2 ＝M . ∴M 2014年人教A版选修4-5教案 三 反证法与放缩法
三 反证法与放缩法 ☆学习目标： 1. 理解并掌握反证法、换元法与放缩法; 2. 会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式?知识情景： 1. 不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)． 20. 综合法和分析法． 30. 反证法、换元法、放缩法 2. 综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发, 通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 又叫由 导 法. 用综合法证明不等式的逻辑关系：12n A B B B B ????? 3. 分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件, 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等), 从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执 索 的思考和证明方法. 用分析法证明不等式的逻辑关系： ?新知建构： 1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤： 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定； 第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果； 第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立. 分析：反设x y +1≥2，y x +1≥2 ∵x , y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾。 例2 已知a + b + c > 0，a b + bc + c a > 0，a bc > 0，求证：a , b , c > 0 . 12 ( ) n B B B B A ?????结步步寻求不等式已 论成立的充分条件知. 21,1,2,0, 1中至少有一个小于试证且已知例x y y x y x y x ++>+>. ,0,0,0.0.0,0)(,0, 0,00,0)2(.0,0,0,0)1(. 00,0, ,,,:所以原命题成立同理可证综上所述也不可能 相矛盾这和已知于是又可得那么由如果不可能矛盾与则如果两种情况讨论和下面分不妨先设正数即其中至少有一个不是不全是正数假设证明>>><∴>++<++=++>-=+∴>++<><=∴>==<=≤c b a a ca bc ab bc c b a ca bc ab a c b c b a bc abc a a abc abc a a a a c b a
人教版数学高二选修4-5讲义第2讲3反证法与放缩法
三反证法与放缩法 1．掌握用反证法证明不等式的方法．(重点) 2．了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．(难点、易错易混点) [基础·初探] 教材整理1反证法 阅读教材P26～P27“例2”及以上部分，完成下列问题． 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把这种证明问题的方法称为反证法． 如果两个正整数之积为偶数，则这两个数() A．两个都是偶数 B．一个是奇数，一个是偶数 C．至少一个是偶数 D．恰有一个是偶数 【解析】假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少有一个为偶数． 【答案】 C 教材整理2放缩法 阅读教材P28～P29“习题”以上部分，完成下列问题． 证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，
从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． 若|a－c|＜h，|b－c|＜h，则下列不等式一定成立的是() 【导学号：32750039】A．|a－b|＜2h B．|a－b|＞2h C．|a－b|＜h D.|a－b|＞h 【解析】|a－b|＝|(a－c)－(b－c)|≤|a－c|＋|b－c|＜2h. 【答案】 A [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： [小组合作型] 利用反证法证“至 多”“至少”型命题 (1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2； (2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于1 2. 【精彩点拨】(1)把f(1)，f(2)，f(3)代入函数f(x)求值推算可得结论．(2)假设结论不成立，推出矛盾，得结论． 【自主解答】(1)由于f(x)＝x2＋px＋q， ∴f(1)＋f(3)－2f(2)
高中数学选修45反证法与放缩法
2.3反证法与放缩法班级：姓名：小组： 学习目标1.掌握反证法和放缩法证明数学问题； 2.掌握反证法和放缩法在证明不等式中的应用. 学习重点难点重点：反证法和放缩法的应用；难点：综合题型的解决. 学法 指导 本节课通过例题让学生体会反证法和放缩法的思想，通过练习掌握反证法的应用. 课前预习1.反证法的定义：假设不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明，从而证明了，这种证明方法叫做反证法. 2.反证法常见的矛盾类型：反证法的关键是在正确的推理下的出矛盾，这个矛盾可以是与矛盾或与矛盾或与事实矛盾等. 3.放缩法：将所需证明的不等式的值适当（或）使它由繁化简，达到证明目的.如果所要证明的不等式中含有分式，把分母放大，则相应分式的值，反之，把分母缩小，则分式的值 预习评价1.否定“自然数c b a, ,中恰有一个偶数”时，正确的反设为（）A.c b a, ,都是奇数 B.c b a, ,都是偶数 C.c b a, ,中至少有两个偶数 D.c b a, ,中都是奇数或至少两个偶数 2.若两个实数之和为正数，则这两个数（） A.一个是正数，一个是负数 B.都是正数 C.至少有一个是正数 D.都是负数 课堂学习研讨、合作交流（备注：重、难点的探究问题） 一、用反证法证明 例1.已知0 ≠ a，证明x的方程b ax=有且只有一个根.小结：用反证法证明的过程包括下面三个步骤： （1） （2）这个工作可让学生分组负责收集整理，登在小黑板上，每周一换。要求学生抽空抄录并且阅读成诵。其目的在于扩大学生的知识面，引导学生关注社会，热爱生活，所以内容要尽量广泛一些，可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。如此下去，除假期外，一年便可以积累40多则材料。如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料，写起文章来还用乱翻参考书吗?反设：假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真； （3）归谬：由“反设”作为条件出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾； （4）存真：由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立. 二、用放缩法证明 例2.已知R d c b a∈ ,,,，求证：2 1< + + + + + + + + + + + < c a d d d b c c a c b b d b a a 小结：放缩法是不等式证明中最重要的变形之一.放缩时必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，常用的放缩法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等. 当 堂 检 测 （备注：本节课重、难点知识的检测） 1.已知三个正数c b a, ,成等比数列，但不成等差数列，求证：c b a, ,不成等差数列. 2.设()1 3 2 2 1+ +???+ ? + ? =n n S n ，求证：不等式 () 2 1 2 )1 (2 + < < +n S n n n 对所有的正整数n都成立.
反证法与放缩法
三 反证法与放缩法 [学习目标] 1.理解反证法在证明不等式中的作用，掌握用反证法证明不等式的方法.2.掌握放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式． [知识链接] 1．在阅读教材的基础上，想一想哪些命题或不等式适合用反证法证明？ 答案 存在性命题、否定性命题、唯一性命题或结论中出现“至少”、“至多”、“全都”等字词的命题或不等式． 2．用放缩法证明不等式常用的放缩方法有哪些？ 答案 ①添加或舍去一些项； ②将分子或分母放大(或缩小)； ③真分数的性质：若0＜a ＜b ，m ＞0，则a b ＜a ＋m b ＋m ； ④利用基本不等式； ⑤利用函数的单调性； ⑥绝对值不等式：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. ⑦利用函数的有界性：如：|sin x |≤1(x ∈R )；x 2－x ≥－14 (x ∈R )；2x ＞0(x ∈R )． [预习导引] 1．反证法 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质，明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． 2．放缩法 将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小)使它由繁化简，达到证明目的．如果所要证明的不等式中含有分式，把分母放大，则相应分式的值缩小，反之，把分母缩小，则分式的值放大.
要点一 反证法证明不等式 例1 已知：a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0. 求证：a ＞0，b ＞0，c ＞0. 证明 假设a 、b 、c 不全是正数， 即至少有一个小于或等于0. 又abc ＞0，不妨假设a ＜0，则bc ＜0. ∵b ＋c ＞－a ＞0，∴－a (b ＋c )＞0. ∴a (b ＋c )＜0，又∵bc ＜0，∴bc ＋a (b ＋c )＜0. 即ab ＋bc ＋ca ＜0. 这与已知ab ＋bc ＋ca ＞0矛盾． ∴假设不成立． 故a ＞0，b ＞0，c ＞0成立． 规律方法 用反证法证明不等式，其实质是从否定结论出发，通过逻辑推理，导出与已知条件或公理相矛盾的结论，从而肯定原命题成立． 跟踪演练1 已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＞2，求证1＋y x 与1＋x y 中至少有一个小于2. 证明 假设1＋y x ≥2且1＋x y ≥2. ∵x ＞0，y ＞0，∴1＋y ≥2x ① 1＋x ≥2y ② ①＋②得2＋(x ＋y )≥2(x ＋y )， 即x ＋y ≤2，与x ＋y ＞2矛盾． ∴假设不成立，故1＋y x 与1＋x y 中至少有一个小于2. 要点二 放缩法证明不等式 例2 设S n ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)， 求证：不等式n (n ＋1)2＜S n ＜(n ＋1)22 对所有的正整数n 都成立． 证明 ∵S n ＞12＋22＋…＋n 2 ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2 . 且S n ＜1＋22＋2＋32＋…＋n ＋n ＋12 ＝32＋52＋…＋2n ＋12 ＜12＋32＋52＋…＋2n ＋12＝(n ＋1)22
三、反证法与放缩法(优秀经典公开课教案及练习解答)
反证法与放缩法 目的要求：掌握证明不等式的基本的解法之----反证法与放缩法。 重点难点： 掌握反证法和放缩法的使用情景和思考过程 教学设计： （一）、反证法 一、引入： 反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若p 则q ”，而是先肯定命题的条件p ，并否定命题的结论q ，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。 利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤： 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定； 第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果； 第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。 二、范例分析： (): ,","3,.,6,.我们可以这样来证明那么如果对于性质例如事实直接推出本小关系的基有的可以由实数大条性质中可以发现质性本过不等式的基究研前面我们曾经c b c a b a +>+>()().,0,0c b c a b a c b c a b a b a +>+>-=+-+>->所以于是得由()那 如果但对于性质,0"6>>b a (): ."2,这时可以采用如下方法实直接推证出结论事我们很难从条件和已有么≥∈>n N n b a n n .,,n n n n n n b a b a b a <=>或那么必有不成立假设(). ,.0.5,;,成立于是矛盾这些都与有那么由性质如果那么如果n n n n n n b a b a b a b a b a b a >>><<==.21,1,2,0, 1中至少有一个小于试证 且已知例x y y x y x y x ++>+>211.2,2)(22,21 ,21,0,,21,21,21,1:中至少有一个小于与矛盾这与已知条件且即都不小于假设证明x y y x y x y x y x y x x y y x y x x y y x x y y x ++∴>+≤+∴+≥++∴≥+≥+∴>≥+≥+++Θ
三反证法与放缩法.doc
庖丁巧解牛 知识·巧学 一、反证法 1.反证法的意义：先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显 成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法. 反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾.具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的. 记忆要诀 用反证法证明命题“若 p 则 q”的过程可以用下图表示. 2.利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤： 第一步 ,分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 ,作出与所证不等式结论相反的假定； 第三步 ,从条件和假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果； 第四步 ,断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原先要证的不等 式成立 . 辨析比较 常见的结论词与反设词 对所对任 原结等于大于小于意 x 至少至多至少至多 有 x p 或 q p 且 q 论词（ =）(>) (<) 不成一个一个n 个n 个 成立 立 存在存在 一个至多至少p p 反设不等不大不小某个某个至少 都没n-1 n+1 且或 词于 ( ≠)于 ( ≤)于 ( ≥) x 不x 成两个 有个个q q 成立立 3通常在什么情况下用反证法？ 有些不等式，从正面证如果说不清楚，可以考虑反证法 .即先否定结论，然后依据已知条件 以及有关的定义、定理、公理，逐步导出与定义、定理、公理或已知条件等相矛盾或自 相矛盾的结论，从而肯定原有结论是正确的. 学法一得 凡是含“至少”“唯一”或含有否定词的命题，大多适宜用反证法. 不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容相结合.高考解答题中，常渗透不等 式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本难点着重培养大家数学 式的变形能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力. 二、放缩法 1.放缩法的意义：所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法. 也就是说：欲证A≥B，可通过适当地放大或缩小，借助一个或多个中间量使得B≤B， 1
反证法与放缩法 教案
澜沧拉祜族自治县第一中学教案 【反证法与放缩法】 学科：数学 年级：高三 班级：202、203 主备教师：沈良宏 参与教师：郭晓芳、龙新荣、刘世杰 审定教师：刘德清 一、教材分析：在证明不等式的时候，在直接证明遇到困难的时候,可以利用不等式的传递性，把要证明的不等式加强为一个易证的不等式，即欲证A>B ，我们可以适当的找一个中间量C 作为媒介，证明A>C 且C>B,从而得到A>B.我们把这种把B 放大到C(或把A 缩小到 C)的方法称为放缩法.放缩是一种重要的变形手段,但是放缩的对象以及放缩的尺度不易掌握,技巧性较强,这关系到证明的成败,往往需要根据具体的题目经过多次的探索和试验才能成功,因此必须多练. 比较常用的方法是把分母或分子适当放大或缩小（减去或加上一个正数）使不等式简化易证。 二、教学目标： 1、知识与技能：掌握放缩法证明数列不等式的一些常见的放缩类型及其方法。 2、过程与方法：通过例题分析和练习，让学生了解放缩法证明数列中不等式的基本方法，掌握证明数列不等式的多方面技巧，从而培养学生的数学素养，提高学生的解题能力。培养学生发现、分析、解决问题的能力。 3、情感、态度与价值观：在知识的学习过程中，体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察，勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。 三、教学重点：会用放缩法证明问题；了解放缩法的思考过程. 四、教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法. 五、教学准备 1、课时安排：1课时 2、学情分析：在不等式的证明中，放缩法是一种综合性比较强的方法，放缩法证明数列不等式是数列中的难点内容，在近几年的高考中都有所考查，放缩法灵活多变，技巧性要求比较高，这就让同学们很困惑，在掌握了数列求和的基础上，非常有必要给同学们介绍用放缩法证明数列不等式。同学们有一定的能力学习放缩法。 3、教具选择：多媒体 六、教学方法： 启发诱导 合作探究 七、教学过程 1、自主导学： 问题1.已知,0,0,0,,>>++>++abc ca bc ab c b a c b a 为实数， .0,0,0>>>c b a 求证： 【反思】(1)此题用的证明方法有什么特点? (2)利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤： 第一步 分清欲证不等式所涉及到的 ； 第二步 作出与所证不等式 假定；
人教版数学高三选修4-5学业分层测评8反证法与放缩法
学业分层测评（八） (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用() ①结论相反的判断，即假设； ②原命题的条件； ③公理、定理、定义等； ④原结论． A．①②B．①②④C．①②③D．②③ 【解析】由反证法的推理原理可知，反证法必须把结论的相反判断作为条件应用于推理，同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等．【答案】 C 2．用反证法证明命题“如果a＞b，那么3 a＞ 3 b”时，假设的内容是() A.3 a＝ 3 b B.3 a＜ 3 b C.3 a＝ 3 b且 3 a＜ 3 b D.3 a＝ 3 b或 3 a＜ 3 b 【解析】应假设3 a≤ 3 b， 即3 a＝ 3 b或 3 a＜ 3 b. 【答案】 D 3．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0； ②a＞b与a＜b及a≠c中至少有一个成立； ③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．
其中判断正确的个数为() A．0个B．1个C．2个D．3个 【解析】对于①，若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则a＝b＝c，与已知矛盾，故①对； 对于②，当a＞b与a＜b及a≠c都不成立时，有a＝b＝c，不符合题意，故②对；对于③，显然不正确． 【答案】 C 4．若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，设M＝ 8 27－27a ，N＝(a＋c)·(a＋b)， 则() A．M≥N B．M≤N C．M>N D.M
