星形电路与三角形电路等效变换公式的简便方法
星形电路与三角形电路等效变换公式的简便方法摘要：介绍导出星形电路与三角形电路等效变换公式的一种简便方法
关键词：星形电路三角形电路等效变换
星形电路与三角形电路间的等效变换（简称Y—△等效变换）是电路分析和计算过程中经常需用到的一种变换。因变换公式推导过程复杂，故在解决有关问题时，人们通常直接套用有关公式。然而，由于变换公式形式比较繁锁，记忆不便，每次计算通常都需查找电路方面的有关书籍，给Y—△等效变换带来了不便。最近有人已进行了一些研究，试图解决这一问题。在本文中，作者提出了一种导出Y—△等效变换公式的简便方法。利用该法，可非常迅速地写出Y—△等效变换公式，给电路的Y—△等效变换带来了方便。
为了说明本文方法，先以电阻电路为例，列写出Y—△等效变换公式。设图1（a）和图1（b）两电路互为等效电路，则两电路的电阻间存在以下关系。
R1= （1）R2= （2）R3= （3）R12= + + （4）R23= + + （5）R31= + +（6）
若星形电路的三个电阻相等，即R1= R2 =R3= RY，则等效的三角形电路有三个电阻也相等，即R12= R23 =R31= R△。将这些关系停薪留职入（1）式和（4）式可得
RY= R△（7）R△=3RY （8）
以上（1）—（8）式即为Y—△等效变换用到的有关公式。本文提出的导出上述各公式的方法是首先通过对称Y形和△形电路导出（7）、（8）两式，然后根据Y—△等效变换公式的基本形式对（7）、（8）两式进行变化，最后利用电路元件位置的对称性，通过变化了的（7）、（8）两式直接写出（1）—（6）式。下面介绍这一方法。
设图2（a）和图2（b）互为等效电路，从两电路的1端流入的电流均为I，并且该电流分为两等份分别从2、3端流出。因图2（a）和图2（b）互为等效电路，故两电路的1、2端间的电压相等，所以有
RYI+RY• I=R△• I（9）由此得RY= R△（10）
这样即导出了（7）式，根据Y—△等效变换公式的基本形式，可将（10）式变为
星形电阻网络与三角形电阻网络的等效变换
§ 2-2 星形电阻网络与三角形电阻网络的等效变换图2-2-1（a）（b）所示三端电阻网络分别称为星形（Y 形）电阻网络和三角形（△形）电阻网络。 图2-2-1 星形电阻网络与三角形电阻网络 星形电阻网络与三角形电阻网络可以根据需要进行等效变换。 （1）、由三角形电阻网络变为等效星形电阻网络 星形网络中①、②两端间的端口等效电阻（③端开路）由与串联组成，三角形网络中①、②两端间的等效电阻（③端开路）由与串联后再与并联组成。令此两等效电阻相等，即得 （③端开路）（2-2-1）
同理（①端开路）（2-2-2） （②端开路）（2-2-3） 由式（2-2-1）至（2-2-3）联立得 （2-2-4） （2-2-5） （2-2-6） 以上三式是由三角形电阻网络变为等效星形电阻网络时计算星形网络电阻的 公式。这三个公式的结构规律可以概括为：星形网络中的一个电阻，等于三角形网络中联接到对应端点的两邻边电阻之积除以三边电阻之和。 （2）、由星形电阻网络变为等效三角形电阻网络 可将式（2-2-4）、（2-2-5）、（2-2-6）对、和联立求解 得（2-2-7） （2-2-8）
（2-2-9） 这是由星形电阻网络变换为等效三角形电阻网络时计算三角形网络电阻的公 式。这三个公式的结构规律可以概括为：三角形网络中一边的电阻，等于星形网络中联接到两个对应端点的电阻之和再加上这两个电阻之积除以另一电阻。 （3）、对称三端网络（symmetrical three –terminal resistance network）三个电阻相等的三端网络称为对称三端网络。 对称三端电阻网络的等效变换： 已知三角形网络电阻为 变换为等效星形电阻网络的等效电阻为 相反的变换是 就是说：对称三角形电阻网络变换为等效星形电阻网络时，这个等效星形电阻网络也是对称的，其中每个电阻等于原对称三角形网络每边电阻的。对称星形电阻网络变换为等效三角形电阻网络时，这个等效三角形电阻网络也是对称的，其中每边的电阻等于原对称星形网络每个电阻的3倍。
电阻的星形和三角形连接的等效变换
电阻的星形和三角形连接的等效变换 1、电阻的星形和三角形连接 三个电阻元件首尾相连接，连成一个封闭的三角形，三角形的三个顶点接到外部电路的三个节点，称为电阻元件的三角形连接简称△连接，如图2.7（a ）所示。三个电阻元件的一端连接在一起，另一端分别连接到外部电路的三个节点，称为电阻元件的星形连接，简称Y 形连接，如图2.7（b ）所示。 三角形连接和星形连接都是通过三个节点与外部电路相连，它们之间的等效变换是要求它们的外部特性相同，也就是当它们的对应节点间有相同的电压12U 、23U 、31U 时，从外电路流入对应节点的电流1I 、2I 、3I 也必须分别相等，即Y-△变换的等效条件。 一种简单的推导等效变换方法是：在一个对应端钮悬空的同等条件下，分别计算出其余两端钮间的电阻，要求计算出的电阻相等。 悬空端钮3时，可得：12233112122331()R R R R R R R R ++= ++ 悬空端钮2时，可得：31122331122331()R R R R R R R R ++= ++ 悬空端钮1时，可得：23123123122331 ()R R R R R R R R ++=++ 联立以上三式可得：1231112233112232122331 3123 3122331R R R R R R R R R R R R R R R R R R = ++=++= ++ （2-2）
式（2-2）是已知三角形连接的三个电阻求等效星形连接的三个电阻的公式。
从式（2-2）可解的： 1212123232323131 31312R R R R R R R R R R R R R R R R R R =++ =++ =++ （2-3） 以上互换公式可归纳为： =Y ??形相邻电阻的乘积 形电阻形电阻之和 = Y ?形电阻两两乘积之和 形电阻Y 形不相邻电阻 当Y 形连接的三个电阻相等时，即123Y R R R R ===,则等效△形连接的三个电阻也相等，它们等于 1223313Y R R R R R ?==== 或 1=3Y R R ? （2-4） 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！
电路的等效变换.
电路的等效变换 执教：金陵中学：范世民 一、教学目标 1、知识与技能：通过对比较复杂的组合电路的简化，了解电路等效变换的方法，学会看懂电路。 2、过程与方法：列举法、感受假设、理想化方法、归纳法、等效法等科学方法在电路分析中的应用，体验科学方法对解决实际问题的重要性。 3、价值观与情愿态度：生活中离不开用电器，用电器工作状态是受电路控制的，电路的设计，离不开对电路的分析与计算。明白电路的基本规律已经成为现代生活和科技的基础，增强创新意识。 二、学情分析：看懂电路——能确定电路中各用电器间的串、并联关系是正确分析和计算简单电路的前提，是关键。对电路进行等效变换就是在不改变电路中各用电器上的电压和电流的前提下对电路进行改画，以使用电器间的串、并联 关系一目了然。 由于学生已了解了串、并联电路的特点和基本规律，所以，可充分利用学生已有的知识与技能引导学生对实际电路进行分析和设计，感受列举法、假设、理想化方法、归纳法、等效法等科学方法在电路分析中的应用，感悟电路等效变换的方法。 三、教学重、难点 重点：学会用电路等效变换的方法看懂电路。难点：节点电流法。 四、教学过程设计 1、导入 展示电吹风和电冰箱电路图，说明生活中离不开用电 R I 器，用电器工作状态是受电路控制的，电路的设计，离不开 对电路的分析与计算。 引例1、请同学们用学过的串联和并联电路的特点， 求如图所示电路中电压表和电流表的示数。 已知ab 间的电压为24V，R2=R3=2R I=20Q, R4=30Q。 引例2：P.47示例。 请学生对 其中一个电路作计算。与引例1 比较，谈体会。
对电路进行分析与计算，关键是要看得懂用电器的连接方式，才好利用串、并联的基规律解析。本节课我们就来探索看得懂电路的方法一一电路的等效变换。 对电路进行等效变换就是在不改变电路中各用电器上的电压和电流的前提下对电路进行改画，以使用电器间的串、并联关系一目了然。 试一试：请说一说上图中各电阻间的连接方式。 2、等效电路的方法： 方法一、按电路层次逐步等效，化繁为简。 （前提：每一部分电阻间的关系一目了然。）试一试：如 图所示的电路中，R仁100Q，ac 间电压为10V。be间电压 为40V。虚线框内电路结构及电阻均不知道，则a、b间的 总电阻为_ Q o（500Q） 引例3:如图所示电路中，R I=R2=R3=8Q， 电压恒为2.4V，则电流表的示数为 ______ A，电压表 的示数为______ V o若将电压表与电流表的位置互换，则电 流表的示数为_ A， 电压表的示数为_____ V o 是谁的电流、电压呢? 2、如果将电路中的电压表拿掉，电流表用导线替代，会引起各电阻上的电流和电 设问：1、你能看懂该电路中各电阻间的关系吗？电流表、电压表分别测的 压较大变化吗？（理想化方法）这样做有什么好处呢？ 方法二、在简化电路时，将理想电压表拿掉，而理想电流表用导线替代，可 使电路中各电阻间的关系变得一目了然。引例4、如图所示电路中，R i=2Q，R2=3Q, R3=6Q, U=2.4V，求两只电流表的示数。 设问：1、用导线替代理想电流表后各电阻间的关系
三相电的星形与三角形接法
把三相电源三个绕组的末端、X、Y、Z连接在一起，成为一公共点O，从始端A、B、C引出三条端线，这种接法称为“星形接法”又称“Y形接法”。三相电源是由频率相同、振幅相等而相位依次相差120°的三个正弦电源以一定方式连接向外供电的系统。三相电源的联接方式有Y形和△形两种。 星形接法 三相电的星形接法 是将三相电源绕组或负载的一端都接在一起构成中性线，由于均衡的三相电的中性线中电流为零，故也叫零线：三相电源绕组或负载的另一端的引出线，分别为三相电的三个相线。远程输电时，只使用三根相线，形成三相三线制。到达用户的电路，往往涉及220V和380V 两种电压，需三根相线和一根零线，形成三相四线制。用户为避免漏电形成的触电事故，还要添加一根地线，这时就有三根相线，一根零线和一根地线，故也有三相五线制的说法。常用的接法对称三相四线Y－Y系统是常见常用的系统，有三条火线、一条中线。星形接法的三相电，线电压是相电压的根号3倍，而线电流等于相电流。当三相负载平衡时，即使连接中性线，其上也没有电流流过。三相负载不平衡时，应当连接中性线，否则各相负载将分压不等。 星形接法主要应用在高压大型或中型容量的电动机中，定子绕组只引出三根线。对于星形接法，各相负载平衡，则任何时刻流经三相的电流矢量和等于零。 星形(Y)接法和三角形(△)接法关系密切，其负载相电压、相电流与对称三相线电压、线电流关系如下：
星形接法和三角形接法 星形接法： I线＝I相，U线＝√3×U相， P相＝U相×I相， P＝3P相＝√3×U线×I相=√3×U线×I线； 三角接法： I线＝√3×I相，U线＝U相， P相＝I相×U相， P＝3P相＝√3×I线×U相=√3×I线×U线。 说明：三角(△)联接，Iab=Ia向量+Ib向量=(Ia+Ib)×cos30°=2Ia×√3/2=√3×Ia，线电流是相电流的根号三倍。 另一个重要的应用是电阻的星形联接。 电阻若构成星—三角式(Y —△)联接，则不能用串、并联公式进行等效化简，但它们之间可以用互换等效公式进行等效变换：（1、2、3是节点，R12表示1、2节点之间的电阻，是三角形联接的电阻。）
电路原理习题答案第二章电阻电路的等效变换练习
第二章电阻电路的等效变换 等效变换”在电路理论中是很重要的概念，电路等效 变换的方法是电路问题分析中经常使用的方法。 所谓两个电路是互为等效的，是指（1）两个结构参数 不同的电路再端子上有相同的电压、电流关系，因而可以互代换的部分）中的电压、电流和功率。 相代换；（2）代换的效果是不改变外电路（或电路中未由此得出电路等效变换的条件是相互代换的两部分电 路具有相同的伏安特性。等效的对象是外接电路（或电路未变化部分）中的电压、电流和功率。等效变换的目的是简化电路，方便地求出需要求的结果。 深刻地理解“等效变换” 的思想，熟练掌握“等效变换” 的方法在电路分析中是重要的。 2-1 电路如图所示，已知。若：（1）；（2）；（3）。试求以上3 种情况下电压和电流。 解：（1）和为并联，其等效电阻， 则总电流分流有 2）当，有
3），有 2-2 电路如图所示，其中电阻、电压源和电流源均为已知，且为正值。求：（1）电压和电流；（2）若电阻增大，对哪些元件的电压、电流有影响？影响如何？ 解：（1）对于和来说，其余部分的电路可以用电流源 等效代换，如题解图（a）所示。因此有 2）由于和电流源串接支路对其余电路来说可以等效为 个电流源，如题解图（b）所示。因此当增大，对及的电 流和端电压都没有影响。 但增大，上的电压增大，将影响电流源两端的电压， 因为 显然随的增大而增大。 注：任意电路元件与理想电流源串联，均可将其等效 为理想电压源，如本题中题解图（a）和（b）o但应该注意等效是对外部电路的等效。图（a）和图b) 中电流源两端 的电压就不等于原电路中电流源两端的电压。同时，任意电
高考真题_三角函数与解三角形真题(加答案)
全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析 三角函数 一、三角恒等变换（3题） 1.（2015年1卷2）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A ） （B （C ）12- （D ）12 【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=1 2 ，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式. 2.（2016年3卷）（5）若3 tan 4 α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625 【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34 sin ,cos 55αα=-=-，所以 2161264 cos 2sin 24252525 αα+=+?=，故选A ． 考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式． 3.（2016年2卷9）若π3 cos 45α??-= ???，则sin 2α= （A ） 7 25 （B ）15 （C ）1 5 - （D ）725 - 【解析】∵3cos 45πα??-= ???，2ππ 7sin 2cos 22cos 12425ααα????=-=--= ? ????? ，故选D ． 二、三角函数性质（5题） 4.（2017年3卷6）设函数π ()cos()3 f x x =+，则下列结论错误的是（） A ．()f x 的一个周期为2π- B ．()y f x =的图像关于直线8π 3 x =对称 C ．()f x π+的一个零点为π6x = D ．()f x 在π (,π)2 单调递减 【解析】函数()πcos 3f x x ? ?=+ ?? ?的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到， 如图可知，()f x 在π,π2?? ??? 上先递减后递增，D 选项错误，故选D.
第2章电阻电路的等效变换习题及答案解析
第2章 习题与解答 2－1试求题2－1图所示各电路ab 端的等效电阻ab R 。 2Ω 3Ω (a) (b) 题2－1图 解：（a ）14//(26//3)3ab R =++=Ω （b ）4//(6//36//3)2ab R =+=Ω 2－2试求题2－2图所示各电路a b 、两点间的等效电阻ab R 。 a b 8Ω a b 8Ω (a) (b) 题2－2图 解：（a ）3[(84)//6(15)]//108ab R =++++=Ω （b ）[(4//48)//104]//94 1.510ab R =++++=Ω 2－3试计算题2－3图所示电路在开关K 打开和闭合两种状态时的等效电阻ab R 。
8Ω a b (a) (b) 题2－3图 解：（a ）开关打开时(84)//43ab R =+=Ω 开关闭合时4//42ab R ==Ω （b ）开关打开时(612)//(612)9ab R =++=Ω 开关闭合时6//126//128ab R =+=Ω 2－4试求题2－4图（a ）所示电路的电流I 及题2－4图（b ）所示电路的电压U 。 6Ω6Ω (a) (b) 题2－4图 解：（a ）从左往右流过1Ω电阻的电流为 1I 21/(16//123//621/(142)3A =++++=）= 从上往下流过3Ω电阻的电流为36 I 32A 36 = ?=+ 从上往下流过12Ω电阻的电流为126 I 31A 126 = ?=+ 所以 312I I -I =1A = （b ）从下往上流过6V 电压源的电流为66 I 4A 1.5 = ==（1+2）//（1+2）
从上往下流过两条并联支路的电流分别为2A 所以 U 22-12=2V =?? 2－5试求题2－5图所示各电路ab 端的等效电阻ab R ，其中121R R ==Ω。 2Ω (a) (b) 题2－5图 解：（a ）如图，对原电路做△-Y 变换后，得一平衡电桥 1 a 所以 111 //11332 ab R =++=Ω（）（） （b ）将图中的两个Y 形变成△形，如图所示 2Ω a b 即得
2015届高考数学文二轮专题训练专题三第2讲三角变换与解三角形
第2讲 三角变换与解三角形 考情解读 1.高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用，常和同角三角函数的关系、诱导公式结合.2.利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等，经常和三角恒等变换结合进行综合考查． 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1?tan αtan β . 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α. (2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝2tan α 1－tan 2α. 3．三角恒等式的证明方法 (1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简． (2)等式的两边同时变形为同一个式子． (3)将式子变形后再证明． 4．正弦定理 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R . a ∶ b ∶ c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 5．余弦定理 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 2 2ac ， cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab .
(精心整理)三角变换与解三角形
第2讲 三角变换与解三角形 一、选择题 1．(2010·福建卷)计算1－2sin 222.5°的结果等于 ( ) A.12 B.22 C.33 D.32 解析：1－2sin 222.5°＝cos 45°＝22 . 答案：B 2．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝ ( ) A ．－43 B.54 C ．－34 D.45 解析：sin 2θ＋sin θ·cos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2 tan 2θ＋1，又 tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45. 答案：D 3．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为 ( ) A ．75° B ．60° C ．45° D ．30° 解析：由题知，12×4×3×sin C ＝33，∴sin C ＝3 2. 又0
解析：∵a >0，∴tan α＋tan β＝－4a <0，tan α·tan β＝ 3a ＋1>0，又∵α、β∈? ?? ??－π2，π2， ∴α、 β∈? ????－π2，0，则α＋β2∈? ???? －π2，0，∴tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan α·tan β＝－4a 1－(3a ＋1) ＝ 43 ，∴tan(α＋β)＝2tan α＋β 2 1－tan 2 α＋β 2 ＝4 3，整理得2tan 2α＋β2＋3tan α＋β2－2＝0，解得tan α＋β2 ＝－2或1 2 (舍去)．故选B. 答案：B 5．(2010·北京卷)某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它 由腰长为1，顶角为α的四个 等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成．该八 边形的面积为 ( )
电机三角形连接和星形连接的区别培训课件
电机三角形连接和星形连接的区别
精品资料 电机三角形连接和星形连接的区别 三角形连接和星形连接从电机外部看是没有任何区别的，你可以把电机看成一个黑盒子，外面看就是三根进线，通以互差120度的电流。 要说到电机三角形连接和星形连接的区别，只是在电机本体设计的时候会关注，我们知道，教科书上写星形连接的线电压是相电压的1.732倍，三角形的线电压等于相电压，在电机设计阶段，都会折算成等效三个等效单相，因为三相电机的等效电路是等效成单相的。对于一个输入线电压为380V的电机而言，如果设计成星形，那么就按220V计算单相电路，如果设计成角形，那么就按380V计算单相电路，但相电流减小。这个时候体现在电机上就是三角形的线用得长些细些，星形的线短些粗些，但理论上用的材料是一样多。一旦电机做好后，从外部看，理论上三角形连接和星形连接是没区别的，你也没有办法单纯从外部三根线去区分二者的区别。 这里可能有同学想问，为什么电机要分成三角形和星形连接这么麻烦。原则上讲，星形电机内部不会产生环流，理论上比三角形好，因为实际上三相绕组不可能绝对平衡，三相电压总有微小差异，这样在三角形内部会形成环流造成发热和效率降低（当然这个影响实际上很小）。做成三角形连接是有历史原因的，那就是没有变频器的时候，电机启动时可以利用接触开关改变连接，将其接成星形，这样每个绕组的电压由380将为220，大大减小了启动冲击电流，待启动后切换成三角形。这就是所谓的星-三角启动。星-三角启动可以成比例降低启动电流，但是会成平方降低启动转矩，所以只能用在轻载或空载启动。大家看到的风机水泵用星-三角启动没问题，但是起重机上肯定没有用星-三角启动的，起重机都是用绕线转子串电阻启动，为什么搞这么麻烦，都是有原因的。 电动机连接组别: 1. 当三相电机的三相绕组按△方式接线时，即绕组按U1-W2、U2-V1、V2-W1顺序连接后，引出线U1 V1 W1接于三相电源，此时每相绕组U1-U2 V1-V2 W1-W2上承受的是三相电源的线电压也就是380V.这样的接法使得电机的输出转矩较大。 2.如果改为Y形连接，即绕组U2 V2 W2封在一起，三相绕组的另外一端U1 V1 W1分别与三相电源连接，则绕组U1-V1 V1-W1 W1-U1间的电压为电源电压380V,如果绕组U2 V2 W2封在一起后有引出线即中性点引出线O,那么每相绕组即U1-O V1-O W1-O 间的电压为电源电压的相电压也就是380V/1.732=220V. 相对于△形接线是电机输出的转矩较小。 通常三相交流电动机的额定功率在3千瓦以下的多采用星形接法，而3千瓦以上的功 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2
电工试卷(电路的等效变换、戴维南、叠加原理)
科目：专业基础 适用班级： 班 班级： 姓名： 学籍号： ----------------------------------------------------密-------------------封----------------------线------------------------------------------------------ ―――――――――――考――生――答――题――不――得―――过―――此―――线――――――――――――― 郑州电子信息中等专业学校2013—2014学年上学期 《电工基础》10月考试卷 本试题使用班级:11（2） 1．试将下图电路化简为电流源。 2．试用戴维宁定理，求通过R 1中的电流。 3．用电源等效变换法，将下图电路等效变换成电压源模型或电流源模型。 4．计算下图电路中的电压U 。
班级： 姓名： 学籍号： ----------------------------------------------------密-------------------封----------------------线------------------------------------------------------ ―――――――――――考――生――答――题――不――得―――过―――此―――线――――――――――――― 5．已知下图电路中，Us 1＝Us 2＝10V ，R 1＝R 2＝R 3=10欧，试用戴维宁定理求I 3。 6．将下图化为最简形式 7．求下图所示电路中的电流I 。 8．如下图，已知Us 1=40V ，Us 2=20V ，Us 3=18V ，R 1=4欧，R 2=2欧，R 3＝3欧，试用支路电 流法求解各支路上的电流。
三角变换与解三角形
知识改变命运，学习成就未来 第六讲：三角恒等变换与解三角形 1.cos300?=（ ） A.2- 12- C.1 2 D.2 2.已知α是第二象限的角,1 tan 2 α=- ，则cos α=__________ 3.计算sin 43cos13sin13cos43??-??的值等于（ ） A ． 12 B C D 4.sin163sin 223sin 253sin313??+??等于（ ） A.12- B.1 2 C. 5.若12cos()(0)6 132 π π αα+= <<，则cos α= 6．若(4tan 1)(14tan )17αβ+-=，则tan()αβ-的值为（ ） A.14 B.1 2 C.4 D.12 7.若02 π α<< ，02π β- <<，1cos()43πα+=，cos()423πβ-= ，则cos()2 β α+=（ ） A ． 3 B ．3- C ． 9 D ．9 - 8.(sin 75sin15)(cos15cos75)?-??+?的值是（ ） A. 1 2 2 D.1 9.求值：（1）5cos cos 12 12 π π =
（2）2 12sin 22.5-?= （3） 2 1tan 12tan 12 π π -= 等于（ ） A.2cos5-? B.2cos5? C.2sin5-? D.2sin5? 11.若tan 3α=，则 2sin 2cos a α 的值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 12.已知2 sin 3 α= ，则cos(2)πα-=（ ） A.3- B.19- C.1 9 D.3 13.设1 sin( )43π θ+=，则sin 2θ=（ ） A.79- B.19- C.19 D.79 14.已知a 是第二象限的角，4 tan(2)3 a π+=-，则tan a = 15.已知α为第三象限的角，3cos 25α=-,则tan(2)4 π α+= 16.已知1sin cos 2α= +α，且0,2πα∈()，则 cos 2sin()4 πα α-的值为_______ 17.记cos(80)k -?=,那么tan100?=（ ） 18.下列函数中，周期为π，且在[ ,]42 ππ 上为减函数的是（ ）
高中数学经典解题技巧和方法三角变换与解三角形
高中数学经典解题技巧：三角变换与解三角形 【编者按】三角变换与解三角形是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这两个部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下集合跟常用逻辑用语的经典解题技巧。 首先，解答三角变换与解三角形这两个方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题： 1． 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。 2． 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式。 3． 能利用两角差的余弦公式导出两角各的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。 4． 能运用和与差、二倍角的三角函数公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）。 5． 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 6． 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题。 好了，搞清楚了三角变换与解三角形的上述内容之后，下面我们就看下针对这两个内容的具体的解题技巧。 一、三角变换及求值 考情聚焦：1．利用两角和差的三角函数公式进行三角变换、求值是高考必考内容。 2．该类问题出题背景选择面广，解答题中易出现与新知识的交汇题。 3．该类题目在选择、填空、解答题中都有可能出现，属中、低档题。 解题技巧： 1．在涉及两角和与差的三角函数公式的应用时，常用到如下变形 （1）21sin (sin cos )22αα α±=±； （2）角的变换()βααβ=--； （3）sin cos )a b θθθ?+=+。 2．利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题，常见有以下三种类型： （1）“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值； （2）“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值； （3）“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角。
2013届高考数学专题训练11 三角变换与解三角形、平面向量 理
高考专题训练十一 三角变换与解三角形、平面向量 班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：75分 总得分________ 一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上． 1．a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC → ＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( ) A ．λ1＝λ2＝－1 B ．λ1＝λ2＝1 C ．λ1λ2＋1＝0 D ．λ1λ2－1＝0 解析：只要AC →，AB →共线即可，根据向量共线的条件即存在实数λ使得AC →＝λAB → ， 即a ＋λ2b ＝λ(λ1a ＋b )，由于a ，b 不共线，根据平面向量基本定理得1＝λλ1且λ2 ＝λ，消掉λ得λ1λ2＝1. 答案：D 2．(2011·辽宁)若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋ b － c |的最大值为( ) A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2 解析：a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0， 即a ·b －(a ·c ＋b ·c )＋c 2 ≤0 ∴a ·c ＋b ·c ≥1. 又|a ＋b －c |＝a ＋b －c 2 ＝a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ＝3－2a ·c ＋b ·c ≤1. 答案：B 3．(2011·全国)设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝ －12，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c |的最大值等于( ) A ．2 B. 3 C. 2 D ．1 解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，OC → ＝c
电阻电路的等效变换习题解答第2章
第二章(电阻电路的等效变换)习题解答 一、选择题 1．在图2—1所示电路中，电压源发出的功率为 B 。 A ．4W ； B ．3-W ； C ．3W ； D ．4-W 2．在图2—2所示电路中，电阻2R 增加时，电流I 将 A 。 A ．增加； B ．减小； C ．不变； D ．不能确定 3．在图2—3所示电路中，1I = D 。 A ．5.0A ； B ．1-A ； C ．5.1A ； D ．2A 4．对于图2—4所示电路，就外特性而言，则 D 。 A ． a 、b 等效； B ． a 、d 等效； C ． a 、b 、c 、d 均等效； D ． b 、c 等效 5．在图2—5所示电路中，N 为纯电阻网络，对于此电路，有 C 。 A ．S S I U 、 都发出功率； B ．S S I U 、都吸收功率； C ．S I 发出功率，S U 不一定； D ．S U 发出功率，S I 不一定 二、填空题 1． 图2—6（a ）所示电路与图2—6（b ）所示电路等效，则在图2—6（b ）所示电路 中，6=S U V ，Ω=2R 。
2．图2—7（a ）所示电路与图2—7（b ）所示电路等效，则在图2—7（b ）所示电路中，1=S I A ,Ω=2R 。 3．在图2—8所示电路中，输入电阻Ω=2ab R 。 4．在图2—9所示电路中，受控源发出的功率是30-W 。 5．在图2—10所示电路中，2A 电流源吸收的功率是20-W 。 三、计算题 1．对于图2—11所示电路，试求：1)．电压1U 、2U ；2)．各电源的功率， 并指出是吸收还是发出。
电路的等效变换及应用
电路的等效变换及应用 王 永 强 等效电路是电路分析中一个很重要的概念，应用它通过等效变换，可以把多元件组成的电路化简为只有少数几个元件组成的单回路或一对节点的电路，甚至单元件电路。它是化繁为简、化难为易的钥匙。下面将介绍无源二端电阻串、并联网络的等效，无源三端网络T 形和π形的等效变换以及简单有源二端网络的等效变换。希望能提高大家求解电路题和解决实际问题的能力。 一、无源二端电阻串、并联网络的等效 单个二端元件是二端网络最简单的形式。无论是二端元件还是二端网络均有用各自的端钮间电压和端钮上电流所表示的伏安关系。 1、 n 个电阻串联所组成的二端网络N 1 如图1所示，根据KVL ，其端钮上伏安关系为： u =(R 1+R 2+···+R n ) i =Ri 故得等效二端网络N 2，如图2所示，其等效电阻： R=R 1+R 2+···+R n N 1和N 2等效，则外接同一电压u ，两者吸收相同的功率，即 P=( R 1+R 2+···+R n )i 2=Ri 2 电阻串联存在着分压规律，分压公式为： u k =u R R k 2、n 个电导的并联所组成的二端网络 如图3所示，根据KCL ，其端钮上伏安关系为： i =(G 1+G 2+···+G n )u=Gu 故得等效二端网络N 2，如图4所示，其等效电导为： G = G 1+G 2+···+G n N 1和N 2等效，则外接同一电流i ，两者吸收相同的功率： P =(G 1+G 2+···+G n )u 2
电导并联存在着分流规律，分流公式为： i k =i ×G G k 3．应用举例及化简要领 例：求图5所示的二端电阻网络的等效电阻R af （图中各电阻均为1Ω）。 解：所求电路为正六面体，具有结构对称性。设一电流从a 端流入，可看出节点c 、d 、e 和b 、g 、h 分别等电位，原图可转化为图6，进而由串并联转化为图7，图8。得： R af =Ω6 5 由以上举例分析可见，无源二端电阻网络的结构很灵活，解题时应注意以下几点： （1） 研究电路结构是否对称； （2） 让一电流从待求端口流进和流出，弄清连接关系及等电位点； （3） 电位相等的节点重合或用短路线连通； （4） 无电流的支路开路，阻值不计。 这样就能对复杂电阻网络进行正确的等效化简。 二、无源三端网络T 形和π形的等效变换 二端网络的等效原则可在三端网络推广。如图9所示：图a （T 形），图b （π形）。
专题一 三角恒等变换与解三角形
三角恒等变换与解三角形 高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中关键是利用两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题 . 真 题 感 悟 1.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC 中，cos C 2＝5 5，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( ) A.4 2 B.30 C.29 D.2 5 解析 因为cos C 2＝55，所以cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2× ? ?? ??552 －1＝－3 5. 于是，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos C ＝52＋12－2×5×1× ? ???? －35＝32.所以AB ＝4 2. 答案 A 2.(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈? ????0，π2，tan α＝2，则cos ? ? ? ??α－π4 ＝________. 解析 ∵α∈? ?? ?? 0，π2，且tan α＝2，∴sin α＝2 cos α， 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝255，cos α＝5 5 . 所以cos ? ? ???α－π4＝22(cos α＋sin α)＝31010. 答案 310 10 3.(2018·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5. (1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .
解 (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝AB sin ∠ADB ，即5sin 45°＝2 sin ∠ADB ， 所以sin ∠ADB ＝ 25 . 由题设知，∠ADB <90°， 所以cos ∠ADB ＝ 1－ 225＝235 . (2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25 . 在△BCD 中，由余弦定理得 BC 2＝BD 2＋DC 2－2·BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×2 5 ＝25. 所以BC ＝5. 4.(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ? ????－3 5，－45. (1)求sin(α＋π)的值； (2)若角β满足sin(α＋β)＝ 5 13 ，求cos β的值. 解 (1)由角α的终边过点P ? ?? ??－3 5，－45， 得sin α＝－4 5 ， 所以sin(α＋π)＝－sin α＝4 5 . (2)由角α的终边过点P ? ????－3 5，－45，得cos α＝－35 ， 由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±12 13. 由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－ 5665或cos β＝1665 . 考 点 整 合 1.三角函数公式 (1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β；
电路的等效变换.
电路的等效变换 执教：金陵中学：范世民 一、 教学目标 1、 知识与技能： 方法，学会看懂电路。 2、 过程与方法： 通过对比较复杂的组合电路的简化，了解电路等效变换的 列举法、感受假设、理想化方法、归纳法、等效法等科学 方法在电路分析中的应用，体验科学方法对解决实际问题的重要性。 3、 价值观与情愿态度：生活中离不开用电器，用电器工作状态是受电路控 制的，电路的设计，离不开对电路的分析与计算。明白电路的基本规律已经成为 现代生活和科技的基础，增强创新意识。 二、 学情分析：看懂电路——能确定电路中各用电器间的串、 并联关系是正 确分析和计算简单电路的前提，是关键。对电路进行等效变换就是在不改变电路 中各用电器上的电压和电流的前提下对电路进行改画， 关系一目了然。 由于学生已了解了串、并联电路的特点和基本规律， 已有的知识与技能引导学生对实际电路进行分析和设计， 以使用电器间的串、并联 想化方法、归纳法、等效法等科学方法在电路分析中的应用， 的 方法。 三、 教学重、难点 重点：学会用电路等效变换的方法看懂电路。 难点：节点电流法。 四、 教学过程设计 1、导入 展示电吹风和电冰箱电路图，说明生活中离不 开用电器，用电器工作状态是受电路控制的，电路 的设计，离不开对电路的分析与计算。 引例1、请同学们用学过的串联和并联电路 的特点，求如图所示电路中电压表和电流表的示数。 已知 ab 间的电压为 24V ，R 2=R 3=2R 1=2O Q, R 4=3O Q 。 所以，可充分利用学生 感受列举法、假设、理 感悟电路等效变换 Ri 引例2： P.47示 例。 请学生对 其中一个电路作计算。 与
电路的简化和等效变换
第一部分电路的等效变化 在处理较复杂的混联电路问题时，常常因不会画等效电路图，难以求出等效电阻而直接影响解题。为此，向同学们介绍一种画等效电路图的方法《快速三步法》。 快速三步法画等效电路图的步骤为： ⑴ 标出等势点。依次找出各个等势点，并从高电势点到低电势点顺次标清各等势点字母。 ⑵ 捏合等势点画草图。即把几个电势相同的等势点拉到一起，合为一点，然后假想提起该点“抖动”一下，以理顺从该点向下一个节点电流方向相同的电阻，这样逐点依次画出草图。画图时要注意标出在每个等势点处电流“兵分几路”及与下一个节点的联接关系。 ⑶ 整理电路图。要注意等势点、电阻序号与原图一一对应，整理后的等效电路图力求规范，以便计算。 例1、图1所示电路中，R1=R2=R3=3Ω，R4=R5=R6=6Ω，求M、N两点间的电阻。 解：该题是一种典型的混联电路，虽然看上去对称、简单，但直接看是很难认识各个电阻间的联接关系的，因此必须画出等效电路图。下面用快速三步法来解。 1.在原电路图上标了等势点a、b、c。 2.捏合等势点画草图。从高电势点M点开始，先把两个a点捏合到一起，理 顺电阻，标出电流在a点“兵分三路”，分别经R1、R2、R3流向b点； 再捏合三个b点，理顺电阻，标出电流在b点“兵分三路”，分别经R4、R5、R6流向c点；最后捏合c点，电流流至N点。（见图2）
3.整理电路图如图3所示。从等效电路图图3可以清楚地看出原电路各电 阻的联接方式，很容易计算出M、N两点间的电阻R=3Ω。 ◆练习：如图4所示，R1=R3=4Ω，R2=R5=1Ω，R4=R6=R7=2Ω，求a、d两点间的电阻。 解：（1）在原电路图上标出等势点a、b、c、d （2）捏合等势点画草图，首先捏合等势点a，从 a点开始，电流“兵分三路”，分别经R2流向b 点、经R3和R1流向d点；捏合等势点b，电流 “兵分两路”，分别经R5流向c点，经R4流向d点；捏合等势点c， 电流“兵分两路”，分别经R6和R7流向d点。 （3）整理电路如图7所示
三角恒等变换与解三角形(学生版)
高考微点六 三角恒等变换与解三角形 牢记概念公式，避免卡壳 1.三角恒等变换的主要公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos βsin αsin β； tan(α±β)＝tan α±tan β1tan αtan β ； sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2 α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α . 2.正弦定理与余弦定理 (1)正弦定理 ①a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . ②sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R . ③a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 注：R 是三角形的外接圆半径. (2)余弦定理 ①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 2 2ac ， cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . ②b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ， a 2＋ b 2－ c 2＝2ab cos C . 活用结论规律，快速抢分 1.辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中 ? ??tan φ＝b a . 2.在△ABC 中，A >B sin A > sinB. 3.△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A . 4.设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，则