最新2001年高考数学试题(全国理)及答案

2001年全国普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

(1)若0cos sin >θθ，则θ在

(A)第一、二象限 (B)第一、三象限 (C)第一、四象限 (D)第二、四象限

(2)过点A(1，-1)，B(-1，1)且园心在直线x+y-2=0上的圆珠笔的方程是

(A)(x-3)2+(y+1)2=4 (B)(x+3)2+(y-1)2=4

(C)(x-1)2+(y-1)2=4 (B)(x+1)2+(y+1)2=4

(3)设{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是

(A)1 (B)2 (C)4 (D)6

(4)若定义在区间(-1，0)内的函数f (x )= log 2a (x ＋ 1)满足f (x )＞ 0，则 a 的取值范围是

(A)(0，21) (B) (0，21] (C) (21，+∞) (D) (0，+∞)

(5)极坐标方程)4sin 2π

θρ+=的图形是

(6)函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是

(A) )20)(1arccos(≤≤--=x x y (B) )20)(1arccos(≤≤--=x x y π

(C) )20)(1arccos(≤≤-=x x y (D) )20)(1arccos(≤≤-+=x x y π

(7)若椭圆经过原点，且焦点为F 1(1，0)，F 2(3，0)，则其离心率为

(A) 43 (B) 32 (C) 21 (D) 4

1 (8)若b a =+=+<

<<ββααπβαcos sin ,cos sin ,40，则 (A)a b

(A)ab <1 (D)ab >2 (9)在正三棱柱ABC －A 1 B 1C 1中，若AB =2BB 1，则AB 与C 1B 所成的角的大小为

(A)60° (B)90° (C)105° (D)75°

(10)设f (x )、g (x )都是单调函数，有如下四个命题：

①若f (x )单调速增，g (x )单调速增，则f (x )-g (x ))单调递增;

②若f (x )单调速增，g (x )单调速减，则f (x )-g (x ))单调递增;

③若f (x )单调速减，g (x )单调速增，则f (x )-g (x ))单调递减;

④若f (x )单调速减，g (x )单调速减，则f (x )-g (x ))单调递减; 其中，正确的命题是

(A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④

(11)一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3．

若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则

(A)P 3>P 2>P 1 (B) P 3>P 2=P 1 (C) P 3=P 2>P 1 (D) P 3=P 2=P 1

(12)如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表承它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的

路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为

(A)26； (B)24； (C)20； (D)19

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．

(13)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是_________．

(14)双曲线116

92

2=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上．若PF ⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为_________。 (15)设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．若{S n }是等差数列，则q ＝＿．

(16)园周上有几个等分点(n ＞ 1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为________．

三．解答题：本大题共6小题共74分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．

(17)(本小题满分12分)

如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中，∠ABC =90°，

SA ⊥面ABCD ，SA ＝ AB ＝ BC= 1，AD=2

1． ( I)求四棱锥S-ABCD 的体积；

( 11)求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值．

(18)(本小题满分12分)

已知复数z 1= i (1-i)3

(I)求arg z 1及| z 1|

(II)当复数z 满足|z|＝l ，求|z-z 1|的最大值．

(19)(本小题满分12分)

设抛物线y 2=2pc (p >0)的焦点为 F ，经过点 F 的直线交抛物线于A 、B 两点．点 C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明直线AC 经过原点O ．

(20)(本小题满分12分)

已知i ，m ，n 是正整数，且1＜i ≤m ＜n

(I)证明n i p i m ＜m i p i n ；

门)证明(1+m )n >(1+n )m ．

(21)(本小题满分12分)

从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投

入800万元，以后每年投入将比上年减少

5

1．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41． (I)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元．写出 a n ，b n 的表达式； (II)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？

(22)(本小题满分14分)

设f (x )是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线x ＝ 1对称，对任意x 1；，x 2 ∈[0，

21]，都有 f (x 1+x 2)=f (x 1)f (x 2)．

(I)求f (2

1)及f (41)； (II)证明f (x )是周期函数； (III)记 a n = f (2n +

n 21)，求)(ln lim n n a ∞→．

数学试题(理工农医类)参考答案及评分标准

一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．

(1)B (2)C (3)B (4)A (5)C

(6)A (7)C (8)A (9)B (10)C

(11)D (12)D

二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分．满分16分．

(13)2π (14) 516 (15)1 (16)2n (n －1)

三．解答题．

(17)本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分． 解：(I)直角梯形ABCD 的面积是

M 底面= 21 ( BC +AD )AB ＝4

3125.01=?+ ……2分 ∴四棱推S-ABCD 的体积是

113113344

V SA M =??=??=底面 ……4分 (II)延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱 ……6分

∵AD ∥BC ，BC =2AD ∴EA =AB =SA ，∴SE ⊥SB

∵SA ⊥面ABCD ，得面ASB ⊥面ESC ，EB 是交线，

又BC ⊥EB ，∴BC ⊥面SEB ，

故SB 是CS 在面SEB 上的射影，

∴CS ⊥SE ，

所以∠BSC 是所求二面角的平面角． ……10分

1,2BC SB BC BC SB tg BSC SB ∴===⊥∴∠=

= 即所求二面角的正切值为22。

……12分 (18)本小题考查复数的基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．满分12分．

231111*********:()||(1)223777,sin ),,||444

()cos sin ,(cos 2)(sin 2)||(cos 2)(sin 2)9)94sin()1,||94

I z z z i i i

z z i arcz z II z i z z i

z z z z πππααααπαααπα-=-=-=∴===+-=-++-=-++=+++=-+解分将化成三角形式得设则分

当时取最大值

1||112z z -到的最大值为分 (19)本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分12分． 证明一：

因为抛物线y 2=2pc (p >0)的焦点为F (0,2p )，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为x =my +2p 代人抛物线方程得 y 2-2pcmy -p 2=0

若记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，y 2是该方程的两个根，所以