导数的基本概念及性质应用

导数的基本概念及性质

应用

Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

导数的基本概念及性质应用

考点：1、掌握导数的基本概念及运算公式，并能灵活应用公式求解 2、能运用导数求解单调区间及极值、最值

3、理解并掌握极值及单调性的实质，并能灵活应用其性质解题。 能力：数形结合 方法：讲练结合

新授课：

一、 知识点总结：

导数的基本概念与运算公式

１、导数的概念

函数y =)(x f 的导数

)(x f '，就是当Δx →0时，函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比x Δ y

Δ的极限，即

)(x f '＝0

x Δlim

→x

Δ y

Δ＝

x Δlim

→x

Δf(x)

-x) Δ(+x f

说明：分子和分母中间的变量必须保持一致 ２、导函数

函数y =)(x f 在区间( a, b )内每一点的导数都存在，就说在区)(x f 间( a, b )内可导，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做)(x f 的导函数，记作)(x f '或x y '，

函数)(x f 的导函数)(x f '在0x x =时的函数值)(0x f '，就是)(x f 在0x 处的导数。

３、导数的几何意义

设函数y =)(x f 在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的切

线斜率。 ４、求导数的方法 （１）基本求导公式

0='c )()(1Q m mx x m m ∈='-

x x cos )(sin =' x x sin )(cos -=' x x e e =')( a a a x x ln )(=' x

x 1

)(ln =

' a

x x

a ln 1)(log =

'

（２）导数的四则运算

v u v u '±'='±)( v u v u uv '+'=')(

)0()(2

≠=

''

-'v v v u v u v u

（３）复合函数的导数

设)(x g u

=在点x 处可导，y =在点)(x f 处可导，则复合函数)]([x g f 在点x 处可导，

)()())(('''x u f x f x ??=

导数性质：

1、函数的单调性

⑴设函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为增函数；若)(x f '＜0则为减函数。

⑵求可导函数单调区间的一般步聚和方法。 ①确定函数)(x f 的定义区间

②求)(x f '，令)(x f '＝0，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根。 ③把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间。

④确定)(x f '在各小开区间内的符号，根据)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相应小开区间内的增减性。

说明：原函数单调性与导函数单调性无关，只与导函数正负号有关 2．可导函数的极值 ⑴极值的概念

设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近的所有点都有)(x f ＜)(0x f （或 )(x f ＞)(0x f ），则称)(0x f 为函数的一个极大（小）值点。称0x 为极大（小）值点。 ⑵求可导函数极值的步骤。

①求导数)(x f ' ②求方程)(x f '＝0的根

③检验)(x f '在方程)(x f '＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得极小值。

说明：极值点的导数为0，导数为0的点不一定是极值点（隐含条件，说明某点

是极值点，相当于给出了一个)(x f '＝0的方程

3．函数的最大值与最小值

⑴设y ＝)(x f 是定义在区间[a ,b ]上的函数，y ＝)(x f 在(a ,b )内有导数，求函数y ＝

)(x f 在[a ,b ]上的最大值与最小值，可分两步进行。

①求y ＝)(x f 在(a ,b )内的极值。

②将y ＝)(x f 在各极值点的极值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。

⑵若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调增加，则)(a f 为函数的最小值，)(b f 为函数的最大值；若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调减少，则)(a f 为函数的最大值，)(b f 为函数的最小值。

说明：极大值小于等于最大值，极小值大于等于最小值

二、 例题讲解 题型一导数的概念

【例1】设f(x)在点x 0处可导，a 为常数，则x

x a x f x a x f x ??--?+→?)

()(lim 000

等于

( )

(x 0) (x 0) (x 0) 【变式】设)(x f 在0x 处可导__lim

)

()(0

00=?-?-→?x x f x x f x

题型二导数的几何意义、物理意义

【例2】（1）求曲线1

22

+=

x x

y 在点（1，1）处的切线方程； （2）运动曲线方程为2221

t t

t S +-=，求t=3时的速度。

分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在0x 处的导数就

是曲线y=f(x)在点),(00y x p 处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数。

题型三利用导数求单调区间

【例3】求下列函数单调区间

（1）522

1)(2

3+--==x x x x f y

（2）x

x y 1

2-=

（3）x x

k y +=2

)0(>k

（4）αln 22-=x y

题型四：利用导数求函数的最（极）值

【例4】求函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的极值、最大值、最小值

题型五：原函数图像与导函数图像

【例5】 1、设f '(x )是函数f (x )的导函数，y =f '(x )的图象

如右图所示，则y =f (x )的图象最有可能的是

(

A)

(B)

(C) (D)

2、函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ） A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ． 4个

题型六：利用极值的本质及单调性求解析式

【例6】已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值。

(I)讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值； (II)过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线，求此切线方程。

【例7】已知函数()32f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数()y f x '=的图象经过点（1，0），（2，0）如图所示.求： （1）0x 的值；（2）a 、b 、c 的值.

【例8】已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx +c ，当x =－1时，取得极大值7；当x =3时，取得

极小值．求这个极小值及a 、b 、c 的值

【例9】已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是

2y x =-（1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间

题型七：含参数的讨论

【例10】（1）如果函数f (x )=x 3+ax 的图象上各点处的切线斜率都为正数，则实数a 的

取值范围是

( )

A.(0,+? )

B.[0,+? )

C.(3,+? )

D.[3,+? )

（2）如果函数f (x )=x 3+ax 的图象上有平行于x 轴的切线，则实数a 的取值范围是

________________

【例11】已知函数()322f x ax x bx =-++(),,0a b c R a ∈≠且在区间(),0-∞上都是增函

数，在（0，4）上是减函数.

（1）求b 的值； （2）求a 的取值范围

题型八：综合应用

【例12】平面向量13

(3,1),(,)2a b =-=，若存在不同时为0的实数k 和t ，使

2(3),,x a t b y ka tb =+-=-+且x y ⊥，试确定函数()k f t =的单调区间

例题答案：

【例1】解：

)(2)

()(lim )()(lim )()()()(lim )()(lim

0/00000000000000x af x a x f x a x f a x a x f x a x f a x

x a x f x f x f x a x f x

x a x f x a x f x a x a x x =?--?-+?-?+=??--+-?+=??--?+→?-→?→?→? 故选(C)

【变式】：-1

【例2】（1）22

2

222)

1(22)1(22)1(2'+-=+?-+=x x x x x x y ， 04

2

2|'1=-=

=x y ，即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0 因此曲线1

22+=x x

y 在（1，1）处的切线方程为y=1

（2）)'2('1'2

2t t t S +??

? ??-=t t t t t t t t 4214)1(232

42++-=+--= 27

26

111227291|'3=++-==t S 。

【例3】（1）232--='x x y )1)(23(-+=x x )3

2

,(--∞∈x ),1(∞+ 时0>'y

)1,3

2(-∈x 0<'y ∴ )32,(--∞，),1(∞+↑ )1,32

(-↓

（2）221

x x y +=' ∴ )0,(-∞，),0(∞+↑

（3）22

1x

k y -=

∴ ),(k x --∞∈),(∞+k 0>'y ),0()0,(k k x -∈ 0<'y ∴ ),(k --∞，↑∞+),(k )0,(k -，),0(k ↓

（4）x

x x x y 1

4142-=-=' 定义域为),0(∞+

)21,0(∈x 0<'y ↓ ),2

1

(∞+∈x 0>'y ↑

【例4】略，注意强调学生的步骤完整性 【例5】1、C 2、 A

【例6】分析：（1）分析x =±1处的极值情况，关键是分析x =±1左右f '（x ）的符号.

（2）要分清点A （0，16）是否在曲线上.

解：（1）f '（x ）=3ax 2+2bx －3，依题意，f '（1）=f '（－1）=0，即

?

?

?=--=-+.0323,

0323b a b a 解得a =1，b =0.

∴f （x ）=x 3－3x ，f '（x ）=3x 2－3=3（x +1）（x －1）. 令f '（x ）=0，得x =－1，x =1.

若x ∈（－∞，－1）∪（1，+∞），则f '（x ）＞0，

故f （x ）在（－∞，－1）上是增函数，f （x ）在（1，+∞）上是增函数. 若x ∈（－1，1），则f '（x ）＜0，故f （x ）在（－1，1）上是减函数. 所以f （－1）=2是极大值，f （1）=－2是极小值.

（2）曲线y =x 3－3x ，点A （0，16）不在曲线上，设切点M （x 0，y 0），则y 0=x 03－3x .

∵f '（x 0）=3x 02－3，

∴切线方程为y －y 0=3（x 02－1）（x －x 0）.

代入A （0，16）得16－x 03+3x 0=3（x 02－1）（0－x 0）. 解得x 0=－2，∴M （－2，－2），切线方程为9x －y +16=0.

评述：过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键 【例7】解：函数()f x 的增减变化如下表：

（1）()f x 在x =1处由增变减，故()1f 为极大值，即0x =1. （2）由于()232f x ax bx c '=++，

()()()103202201240915512

f a b c a f a b c b f a b c c '=++==??????'=?++=?=-??????=++==???

【例8】解：f ′（x ）=3x 2+2ax +b ．据题意，－1，3是方程3x 2+2ax +b =0的两个根，由韦

达定理得

∴a =－3，b =－9 ∴f （x ）=x 3－3x 2－9x +c ∵f （－1）=7，∴c =2

极小值f （3）=33－3×32－9×3+2=－25 ∴极小值为－25，a =－3，b =－9，c =2

【例9】解：（1）c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，则1c =，

???

???

?

=?--=+-3313231b a

'3'()42,(1)421,f x ax bx k f a b =+==+=

切点为(1,1)-，则c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(1,1)-

得59

1,,22

a b c a b ++=-==-得

4259

()122

f x x x =-+

（2）'3()1090,0,1010

f x x x x x =->-

<<>或

单调递增区间为(,0),()1010

-

+∞ 【例10】（1）A （2）(-? ，0］

【例11】解：⑴由条件知0x =是函数()y f x =的极值点.

∵()232f x ax x b '=-+，令()00f '=，得0b =.

⑵已求0b =，∴()232f x ax x '=-.令()0f x '=，得20,3x a

=.由条件知0x =

为极大值点，则23x a

=应为极小值点.又知曲线在区间（0，4）上是减函数.

∴

243a ≥，6103a a -?≤，得10,6a ??

∈ ???

【例12】解：由13

(3,1),(,)2a b =-=得0,2,1a b a b ===

22222[(3)]()0,(3)(3)0a t b ka tb ka ta b k t a b t t b +--+=-+--+-=

33311

430,(3),()(3)44

k t t k t t f t t t -+-==-=-

'233()0,1,144f t t t t =-><->得或；233

0,1144

t t -<-<<得

所以增区间为(,1),(1,)-∞-+∞；减区间为(1,1)-。

三、 课堂演练：

1. 若曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线方程为2x －y －1=0，则 A ．f ′（x 0）>0

B ．f ′（x 0）<0

C ．f ′（x 0）=0

D ．f ′（x 0）不存在

2. 函数231()23

f x x x =-在区间[0,6]上的最大值是（ ）

A ．

323

B ．

163

C ．12

D ．9

3．函数y =x 3－3x 的极大值为m ，极小值为n ，则m +n 为

A ．0

B ．1

C ．2

D ．4

4.已知函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则实数a 的值是（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

5.在函数38y x x =-的图象上，其切线的倾斜角小于4

π

的点中，坐标为整数的点的个数是（）

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

6.三次函数y =f （x ）=ax 3+x 在x ∈（－∞，+∞）内是增函数，则

A ．a >0

B ．a <0

C ．a =1

D ．a =3

1

7. 与直线2x －6y +1=0垂直，且与曲线y =x 3+3x 2－1相切的直线方程是___________． 8. 已知a 为实数，))(4()(2a x x x f --=。

⑴求导数)(x f '；

⑵若0)1(=-'f ，求)(x f 在[－2，2] 上的最大值和最小值； ⑶若)(x f 在(－∞，－2)和[2，+∞]上都是递增的，求a 的取值范围

1-6AAADAA ，+y+2=0

8. 解：⑴由原式得,44)(23a x ax x x f +--=∴.423)(2--='ax x x f

⑵由0)1(=-'f 得21=

a ,此时有43)(),21

)(4()(22--='--=x x x f x x x f . 由0)1(=-'f 得3

4

=x 或x=-1 ,

又,0)2(,0)2(,2

9

)1(,2750)34(==-=--=f f f f

所以f(x)在[－2,2]上的最大值为,29最小值为.27

50

-

⑶解法一:423)(2--='ax x x f 的图象为开口向上且过点(0,－4)的抛物线,由条件 得 ,0)2(,0)2(≥'≥-'f f 即{

480840a a +≥-≥ ∴－2≤a ≤2.

所以a 的取值范围为[－2,2].

解法二:令0)(='x f 即,04232=--ax x 由求根公式得

:

1,212)x x x =<

所以.423)(2--='ax x x f 在(]1,x ∞-和[)+∞,2x 上非负. 由题意可知,当x≤-2或x≥2时, )(x f '≥0, 从而x 1≥-2, x 2≤2,

即?????+≤+-≤+6

122.

6122a a a a 解不等式组得－2≤a ≤2.

∴a 的取值范围是[－2,2].

四、 课堂小结：

导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值。

知识点需要熟悉，但是更重要的是掌握其本质，并能灵活应用于各种题型。

五、 课下作业：

1、函数3

y

x x 的递增区间是（ ）

A ．),0(+∞

B ．)1,(-∞

C ．),(+∞-∞

D ．),1(+∞

2、32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ） A ．

3

19 B ．

316 C ．313 D ．3

10 3、 函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）

A ．72

B ．36

C ．12

D ．0

4、 曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________；

5、函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

答案：1、C ； 2、D ； 3、D ； 4、34π； 5、5

(,),(1,)3

-∞-+∞