异面直线所成的角测试题(含答案)
异面直线所成的角
一、单选题(共10道，每道10分)
1.如图，E，F分别是三棱锥P-ABC的棱AP，BC的中点，PC=8，AB=6，EF=5，则异面直线AB 与PC所成的角是( )
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：异面直线及其所成的角
2.如图，在长方体中，，G是的中点，则直线
所成角的大小是( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：异面直线及其所成的角
3.如图，在正方体中，点P在线段上运动，则异面直线CP与所成的角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：异面直线及其所成的角
4.如图，在正方体中，O是上底面的中心，若正方体的棱长为2，则OB与CD所成角的余弦值是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：异面直线及其所成的角
5.如图，在直三棱柱中，∠ACB=90°，，AC=BC=1，则异面直线与AC所成角的余弦值是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：异面直线及其所成的角
6.如图，在正四面体SABC中，D为SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：异面直线及其所成的角
7.如图，在正方体中，O是底面ABCD的中心，E是的中点，则异面直线OE与所成角的余弦值是( )
高三数学说课稿之《异面直线所成角习题课》
高三数学说课稿之《异面直线所成角习题课》 高三数学说课稿之《异面直线所成角习题课》 高中各科目的学习对同学们提高综合成绩非常重要，大家一定要认真掌握，精品小编为大家整理了高三数学说课稿之《异面直线所成角习题课》，希望同学们学业有成! 《异面直线所成角》是高中数学《立体几何》一章中的第二节《空间两直线》中的重要内容.《立体几何》是高中数学教学中相对独立的一章,而本节内容恰是把平面内的直线扩展为空间任两条直线的位置关系问题,是培养学生建立空间想象力的关键,下面就从以下四个方面说课. *第一方面:教学设计意图: 高中《数学教学大纲》要求学生具有良好的空间想象力和一定的作图识图能力,本节教学也要求培养学生对空间两直线所成角这一立体概念的理解,在此基础上,再依据对学生进行素质教育的目标制定了以下教学目标: 1.认知目标:理解空间两异面直线所成角的概念,并会作出,求出两异面直线所成角. 2.能力目标:培养学生的识图,作图能力,在习题讲解中,培养学生的空间想象力和发散思维. 3.德育目标:在对学生进行创造性思维培养的同时,激发学生对科学文化知识的探求热情和逻辑清晰的辩证主义观点. 本节课的重,难点: 教学重点:对异面直线所成角的概念的理解和应用. 教学难点:如何在实际问题中求出异面直线所成角. *第二方面:教法的选定 本节内容作为《立体几何》中两大重要概念之一角的初次接触,就要求学生能牢固的落实两异面直线所成角的概念及作法,并能对具体问题求出所成角,这样才能真正提高其空间想象力,根据上述目标要求和学生思维模式缺乏立体性这一特点,我采用了练习教学法 ,从习题入手,辅以计算机软件,将平面图形立起来,为学生创设较好的思维空间,增强了教学的直观性,再利用问题中心式教
异面直线所成的角练习题
A B C S E F A B C D D 1 C 1 B 1 A 1 M N N M F E D C B A 高二数学练习（二） 一、选择题 1．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是 （ ） （A ）不平行的直线 （B ）不相交的直线 （C ）相交直线或平行直线 （D ）既不相交又不平行直线 2．已知EF 是异面直线a 、b 的共垂线，直线l ∥EF ，则l 与a 、b 交点的个数为 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）0或1 （D ）0，1或2 3．两条异面直线的距离是 （ ） （A ）和两条异面直线都垂直相交的直线 （B ）和两条异面直线都垂直的直线 （C ）它们的公垂线夹在垂足间的线段的长 （D ）两条直线上任意两点间的距离 4．设a, b, c 是空间的三条直线，下面给出三个命题：① 如果a, b 是异面直线，b, c 是异面直线，则a, c 是异面直线；② 如果a, b 相交，b, c 也相交，则a, c 相交；③ 如果a, b 共面，b, c 也共面，则a, c 共面．上述命题中，真命题的个数是 （ ） （A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个 5．异面直线a 、b 成60°，直线c ⊥a ，则直线b 与c 所成的角的范围为 （ ） （A ）[30°，90°] （B ）[60°，90°] （C ）[30°，60°] （D ）[60°，120°] 6．如图:正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于 （ ） （A ）90°（B ）45°（C ）60°（D ）30° 7．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和的 中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是 （ ） （A ）23（B ）1010（C ）5 3（D ）54 8．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中， ①BM 与ED 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ②③CN 与BM 成ο60角；④DM 与BN 垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ） （A ）①②③ （B ）②④ （C ）③④ （D ）②③④ 9．梯形ABCD 中AB//CD ，AB ?平面α，CD ?平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是 （ ）（A ）平行 （B ）平行和异面 （C ）平行和相交 （D ）异面和相交 10．在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，且AE ：EF ＝AF ：FD ＝1 ：4，又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则 （ ） （A ）BD//平面EFGH 且EFGH 是矩形 （B ）EF//平面BCD 且EFGH 是梯形 （C ）HG//平面ABD 且EFGH 是菱形 （D ）HE//平面ADC 且EFGH 是平行四边形 二、填空题 11．如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 12．在四面体ABCD 中，若AC 与BD 成60°角，且AC ＝BD ＝a ，则连接AB 、BC 、CD 、DA 的中点的四边形面积为 ．
最新异面直线所成角习题集答案
一．选择题 1.没有公共点的两条直线的位置关系是( ) (A)平行 (B)异面 (C)平行或异面 (D)不能确定 2.分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是( ) (A)异面 (B)平行 (C)平行或异面 (D)平行或异面或相交 3.两条异面直线指的是( ) (A)在空间不相交的两条直线(B)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 (C)分别位于两个不同平面的两条直线 (D)不同在任一平面内的两条直线 4.a 、b 是异面直线，b 、c 也是异面直线，那么a 、c 的位置是( ) (A)异面 (B)异面或平行 (C)异面或相交 (D)相交、平行或异面 5.说出正方体中各对线段的位置关系： (1) AB 和CC 1； (2)A 1C 和BD 1； (3)A 1A 和CB 1； (4)A 1C 1和CB 1； (5)A 1B 1和DC ； (6)BD 1和DC. 答案：1(C)；2(D)；3(D)；4(D)．5．(2)相交，(5)平行，其余异面； 6.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是( ) 3 10 3 2()()()()21055A B C D 答案：(D)，取AB 中点M ，CC 1中点N ，连B 1E 和B 1F ； 7.如图，A 1B 1C 1—ABC 是直 三棱柱(三侧面为矩形)，∠BCA=90°，点D 1、F 1 分别是A 1B 1、A 1C 1的中点若BC=CA=CC 1，则 BD 1与AF 1所成角的余弦值是( ) 30 1 30 15()()()()2A B C D 答案：(A)，延长B 1A 1至M ，使A 1M ＝A 1D 1，连MA ，取AB 中点N ． 8.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与AC (A)相交且垂直 (B)相交但不垂直 (C)异面且垂直 (D)异面但不垂直 9.设a 、b 、c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ①如果a ⊥b 、b ⊥c ，则a ∥c ； ②如果a 和b 相交，b 和c 相交，则a 和c 也相交； ③如果a 、b 是异面直线，c 、b 是异面直线，则a 、c 也是异面直线； ④如果a 和b 共面，b 和c 共面，则a 和c 也共面 在上述四个命题中，真命题的个数是( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 (E)0 10.如果直线l 和n 是异面直线，那么和直线l 、n 都垂直的直线 (A)不一定存在 (B)总共只有一条 B 1 (第6题) A 1 C 1 D 1 C D (第7题) F 1 A B C D 1 C 1 A 1 B 1 B 1 (第6题) A 1 A B C 1 D 1 C D M N
异面直线所成的角训练题习题经典例题
异面直线所成的角2015.10.13 7．如图1—28的正方体中，E 是A ′D ′的中点 (1)图中哪些棱所在的直线与直线BA ′成异面直线? (2)求直线BA ′和CC ′所成的角的大小； (3)求直线AE 和CC ′所成的角的正切值； (4)求直线AE 和BA ′所成的角的余弦值 8.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和 BB 1的中点，求直线AM 与CN 所成角的余弦值 1., 1111111(2)(3)11141(5),111ABCD A B C D BA CC BA CB AC BD E AD EC CB M N A B B B AM CN -如图：正方体中（）求异面直线和所成的角。 求异面直线和所成的角。和所成的角 （）为中点，求异面直线和所成的角。 若分别为和的中点， 求和所成的角的余弦值。 13,72A BCD AE BF AB CD EF ED FC AB CD -=====2.如图：在四面体中，Ｅ，F 分别为AD,BC 上的点点，且，已知求异面直线和所成的角。1A 1 B 1 C 1 D B C D 1A 1B 1C 1D B C D 1A 1B 1C 1D B C D 1A 1B 1 C 1 D A B C D A BCD B CD -3.正四面体中，求对棱A 和所成的角。,,A BCD AF C E A F CE -4.如图：棱长为a 的正四面体中，Ｅ，F 分别为AD,BC 的中点点，连接求异面直线和所成的角的余弦值。1A 1B 1C 1D B C D
5 ， A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA=90°，点D 1、F 1 分别是 A 1B 1、A 1C 1的中点若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成角的余弦值 9如图，四面体SABC 的各棱长都相等，如果E 、F 分别为SC 、 AB 的中点，求异面直线EF 与SA 所成的角 00000,,,E F BC A 6：在空间四边形ABCD 中,AB=CD,且AB 与CD 所成的角为40分别是Ｄ的中点，则EF 与AB 所成的角为（ ） A.70 B.20 C.70或20 D.以上都不对17在上题中，若改EF=,则AB 与CD 所成的角的余弦值为______ ,,E F BC A AB CD 7.在四面体A-BCD 中,AB=6,CD=4,分别是Ｄ的中点，EF ＝3，则与所成的角的余弦值为____. A B C E S 0,,E F B CD 8.在四面体A-BCD 中,分别是A 的中点，若BD,AC 所成的角为60,且BD=AC=1，求EF 的长度.
异面直线所成角练习
1．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A D 与1BC 所成的角为 A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 【答案】D 【解析】 试题分析：如图所示，连接B 1C ， 则B 1C ∥A 1D ，B 1C ⊥BC 1，∴A 1D ⊥BC 1，∴A 1D 与BC 1所成的角为90°． 故选：D ． 考点：异面直线及其所成的角 2．已知平行六面体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，则异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值（ ） A ． 3 ．7 C ．5 D ．5 【答案】B 【解析】 试题分析：设向量 1,,AB a AD b AA c === ，则11 ,AC a b c AD b c =++=- ，11AC A D ∴== 111111cos ,AC A D AC A D AC A D ?<>== 。 考点：空间向量的集合运算及数量积运算。 3．正方体1111ABCD A BC D -中，,,,E F G H 分别是1AA , AB ,1BB ,11B C 的中点，则直线EF 与GH 所成的角是（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
【答案】C 【解析】 试题分析：由三角形中位线可知11,EF A B GH BC ，所以异面直线所成角为11A BC ∠，大小为60° 考点：异面直线所成角 4．在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是11B C 的中点，则异面直线1DC 与BE 所成角的余弦值为（ ） A ． 5 ．5．5 10 - D ．5- 【答案】B 【解析】 试题分析：取BC 中点F ，连结1,FD FC ，则1 D CF ∠为异面直线所成角，设边长为2 ，11C F DC DF ∴== 1cos 5 DC F ∴∠= 考点：异面直线所成角 5．如图，正四棱柱ABCD A B C D ''''-中（底面是正方形，侧棱垂直于底面），3AA AB '=，则异面直线A B '与AD '所成角的余弦值为（ ） A 、910 B 、45 C 、710 D 、3 5 【答案】A 【解析】 试题分析：连结'BC ，异面直线所成角为''A BC ∠，设1AB = ,在'' A BC ?中 ''''AC A B BC ===''9 cos 10 A BC ∴∠= 考点：异面直线所成角 6．点P 在正方形ABCD 所在平面外，PA ⊥平面ABCD ，AB PA =，则PB 与AC 所 成的角是 A ．?60 B ．?90 C ．?45 D ．?30 【答案】A 【解析】 试题分析：作出空间几何体如下图所示：设正方形的边长为2，
高中数学《两条异面直线所成的角》练习
高中数学两条异面直线所成的角练习 一、选择题： １．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别是棱AB、BC、CD、CC1的中点，直线MN与PQ 所成的度数是（） （A）（B）（C）（D） 2．下列命题中，正确的命题是（） （A）直线a、b异面，过空间任一点O，作OA∥a，OB∥a，则∠AOB叫做异面直线a和b所成的角 （B）如果∠CBA=∠BAD，那么BC∥AD （C）和两条异面直线都垂直的直线，叫做这两条异面直线的公垂线 （D）两条异面直线所成的角只能是锐角或直角 3．已知a、b为两条异面直线，在a上有3个点，在b上有5个点，这些点最多可确定平面的个数是（） （A）8 （B）15 （C）24 （D）30 4．AB为异面直线a、b的公垂线，直线l∥AB，则l与a、b两直线交点的个数是（）（A）0个（B）1个（C）最多一个（D）最多两个 5．已知a、b、c是两两互相垂直的异面直线，d为b、c公垂线，则（） （A） d与a是不互相垂直的异面直线
（B） d与a是相交直线 （C） d与a是平行直线 （D） d与a是互相垂直的异面直线 6．空间三条直线满足条件a∥b，a⊥c，则b与c的位置关系是（） （A）垂直（B）平行（C）相交（D）异面 7．如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角（） （A）相等（B）相等或互补（C）相交（D）无确定的关系 8．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分别为AB、BC、CC的中点，则EF与BG所成角的余弦值为（） （A）（B）（C）（D）- 二、填空题： 1．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则BD1与CC1所成角的正切值为＿＿＿＿＿，BD1与CC1的距离为＿＿＿＿＿． 2．长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=2a，ＡＡ1＝a，Ｍ、Ｎ分别是Ａ1Ｂ1、ＢＢ1的中点，则Ａ1Ｄ与ＭＮ所成角的余弦值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ３．已知异面直线a与b所成的角为，Ｐ为空间一定点，则过点Ｐ且与a、b所成的角都是的直线有且仅有＿＿＿＿＿条． ４．对于已知直线a，如果直线b满足条件：与a为异面直线，与a所成的角为定值θ
最新异面直线所成角习题集答案
一．选择题 1.没有公共点的两条直线的位置关系是( ) (A)平行 (B)异面 (C)平行或异面 (D)不能确定 2.分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是( ) (A)异面 (B)平行 (C)平行或异面 (D)平行或异面或相交 3.两条异面直线指的是( ) (A)(B)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 (C) (D)不同在 4.a、b是异面直线，b、c也是异面直线，那么a、c的位置是( ) (A)异面 (B)异面或平行 (C)异面或相交 (D)相交、平行或异面 5.说出正方体中各对线段的位置关系： (1) AB和CC1；(2)A1C和BD1；(3)A1A和CB1； (4)A1C1和CB1；(5)A1B1和DC；(6)BD1和DC. 答案：1(C)；2(D)；3(D)；4(D)．5．(2)相交，(5)平行，其余异面； 6.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点， 那么直线AM与CN所成角的余弦值是( ) 32 ((()() 55 A B C D 答案：(D)，取AB中点M，CC1中点N，连B1E和B1F ； 7.如图，A1B1C1—ABC是直 三棱柱(三侧面为矩形)，∠BCA=90°，点D1、F1 分别是A1B1、A1C1BC=CA=CC1，则 BD1与AF1所成角的余弦值是( ) 105 (() 20 A B 答案：(A)，延长B1A1至M，使A1M＝A1D1，连MA，取AB中点N． 8.正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BC1与AC (A)相交且垂直(B)相交但不垂直(C)异面且垂直(D)异面但不垂直 9.设a、b、c是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ①如果a⊥b、b⊥c，则a∥c； ②如果a和b相交，b和c相交，则a和c也相交； ③如果a、b是异面直线，c、b是异面直线，则a、c也是异面直线； ④如果a和b共面，b和c共面，则a和c也共面 在上述四个命题中，真命题的个数是( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 (E)0 10.如果直线l和n是异面直线，那么和直线l、n都垂直的直线 (A)不一定存在(B)总共只有一条 B1 (第6题) A1 A B C1 D1 C D (第7题) F1 A B C D1 C1 A1 B1 B1 (第6题) A1 A B C1 D1 C D M N
异面直线典型例题
典型例题一 例1 若b a //，A c b = ，则a ，c 的位置关系是（ ）． A ．异面直线 B ．相交直线 C ．平行直线 D ．相交直线或异面直线 分析：判断两条直线的位置关系，可以通过观察满足已知条件的模型或图形而得出正确结论． 解：如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，设a B A =11，b AB =，则b a //． 若设c B B =1，则a 与c 相交．若设c BC =，则a 与c 异面． 故选D ． 说明：利用具体模型或图形解决问题的方法既直观又易于理解．一般以正方体、四面体等为具体模型．例如，a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 的位置 b 异面，b ， c 异面，则 关系是相交、平行或异面．类似地；a ， a ，c 的位置关系是平行、相交或异 面．这些都可以用正方 体模型来判断． 典型例题二 例2 已知直线a 和点A ，α?A ，求证：过点A 有且只有一条直线和a 平行． 分析：“有且只有”的含义表明既有又惟一，因而这里要证明的有两个方面，即存在性和惟一性． 存在性，即证明满足条件的对象是存在的，它常用构造法（即找到满足条件的对象来证明）；惟一性，即证明满足条件的对象只有．．一个，换句话说，说是不存在第二个满足条件的对象．
因此，这是否定性．．．命题，常用反证法． 证明：（1）存在性． ∵ a A ?，∴ a 和A 可确定一个平面α， 由平面几何知识知，在α内存在着过点A 和a 平行的直线． （2）惟一性 假设在空间过点A 有两条直线b 和c 满足a b //和a c //．根据公理4，必有c b //与 A c b = 矛盾， ∴ 过点A 有一条且只有一条直线和a 平行． 说明：对于证明“有且只有”这类问题，一定要注意证明它的存在性和惟一性． 典型例题三 例3 如图所示，设E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且 λ==AD AH AB AE ，μ==CD CG CB CF ，求证： （1）当μλ=时，四边形EFGH 是平行四边形； （2）当μλ≠时，四边形EFGH 是梯形． 分析：只需利用空间等角定理证明FG EH //即可． 证明：连结BD ， 在ABD ?中，λ==AD AH AB AE ，∴ BD EH //，且BD EH λ=． 在CBD ?中，μ==CD CG CB CF ，∴ BD FG //，且BD FG μ=． ∴ FG EH //， ∴ 顶点E ，F ，G ，H 在由EH 和FG 确定的平面内． （1）当μλ=时，FG EH =，故四边形EFGH 为平行四边形； （2）当μλ≠时，FG EH ≠，故四边形EFGH 是梯形． 说明：显然，课本第11页的例题就是本题（2）的特殊情况．
异面直线所成的角求法 答案
异面直线所成的角的两种求法 初学立几的同学,遇到的第一个难点往往便是求异面直线所成的角。难在何处？不会作！ 下面介绍两种求法 一．传统求法--------找、作、证、求解。 求异面直线所成的角，关键是平移点的选择及平移面的确定。 平移点的选择：一般在其中一条直线上的特殊位置，但有时选在空间适当位置会更简便。 平移面的确定：一般是过两异面直线中某一条直线的一个平面，有时还要根据平面基本性质将直观图中的部分平面进行必要的伸展，有时还用“补形”的办法寻找平移面。 例1 设空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点，若AB ＝122，CD ＝4 2，且四边形EFGH 的面积为12 3， 求AB 和CD 所成的角. 解? 由三角形中位线的性质知，HG∥AB，HE∥CD， ∴ ∠EHG 就是异面直线AB 和CD 所成的角. ∵? EFGH 是平行四边形，HG ＝2 1 AB ＝62， H G F E D C B A
HE ＝2 1 ，CD ＝23， ∴? S EFGH ＝HG·HE·sin∠EHG＝126 sin∠EHG,∴ 12 6sin∠EHG＝123. ∴? sin∠EHG＝ 2 2 ,故∠EHG＝45°. ∴? AB 和CD 所成的角为45° 注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。 例2.点A 是BCD 所在平面外一点，AD=BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF=2 2 AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角。（如图） 解：设G 是AC 中点，连接DG 、FG 。因D 、F 分别是AB 、CD 中点，故EG∥BC 且EG= 2 1 BC ，FG∥AD，且FG=2 1 AD ，由异面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线AD 、BC 所成角，即∠EGF 为 所求。由BC=AD 知EG=GF=2 1 AD ，又EF=AD ，由余弦定理可得cos∠EGF=0，即∠EGF=90°。 注：本题的平移点是AC 中点G ，按定义过G 分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG 中求角。通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系。 例3.已知空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。 求：AM 与CN 所成的角的余弦值； A B C G F E D
14.2异面直线所成的角练习题
14.2异面直线所成角 异面直线的取值范围： 一．选择题： 1．直线a , b 是异面直线是指 ① a ∩b =?, 且a 与b 不平行；② a ?面α，b ?面β，且平面α∩β=?；③ a ?面α，b ?面β，且a ∩b =?；④ 不存在平面α，能使a ?α且b ?α成立。上述结论正确的有 （A ）①④ （B ）②③ （C ）③④ （D ）②④ 2．直线a , b 都垂直于直线l ，则直线a , b 的位置关系是 （A ）平行 （B ）相交 （C ）异面 （D ）三种可能都有 3.两条直线a , b 异面垂直，两条直线b , c 也异面垂直，则a , c 的位置关系是 （A ）平行 （B ）相交、异面 （C ）平行、异面 （D ）相交、平行、异面 4.图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A D 与1BC 所成的角为 A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 5.方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别是1AA ,AB ,1BB ,11B C 的中点，则直线 EF 与GH 所成的角是（ ） A ．30° B．45° C．60° D．90° 6.正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11B C 的中点，则异面直线1DC 与BE 所成角的余弦值为（ ） A ． 25 B ．10 C ．5 10- D ．25 - 7.正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别为BC AB 、中点，则异面直线EF 与1AB 所成角的余弦值为 A ． 23 B ．33 C ．22 D ．2 1 8.图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB 的中点为M ，DD 1的中点为N ，则异面直线B 1M 与CN 所成的角是（ ） A. ο0 B. ο 45 C. ο 60 D. ο 90
异面直线所成的角经典例题
异面直线所成的角D C11BAD1C111,中B1.如图：正方体ABCD?ACD B1111A11所成的角。1CC）求异面直线BA和（D11C所成的角和(2)求异面直线BACB所成的角。BDAC和(3)D111C BA。所成的角）（4E为AD CBEC和中点，求异面直线1BA的中点，和A(5)若M,N分别为BBB111CN求AM和所成的角的余弦值。 DC11BA11 DC BADDCC1111BBAA1111 DDCC BBAA 4 / 41 / 1 2.如图：在四面体A?BCD中，Ｅ，F分别为AD,BC上的点AEBF17?CD?点，且3,?EF?AB，已知?2FCED所成的角。求异面直线AB 和CD
所成的角。CD A B和A3.正四面体?BCD中，求对棱 090,?ACB=B5.如图：直三棱柱ABC?AC中，111,BC=CA=CC,ABAC 的中点,若FD，分别为1111111所成的角的余弦值。求异面直线AFBD和11 的中点分别为?如图：棱长为4.a的正四面体ABCD中，Ｅ，FAD,BC所成的角的余弦值。CE和求异面直线CEAF点，连接,,AF 4 / 42 / 2 所成与CD：在空间四边形ABCD中,AB=CD,且AB6 0的角为Ｄ的中点，则EF与AB40BC,E,F分别是,A所成的角为（）0000以上都不对或 B.20 C.70D.A.7020Ｄ的中 点，,ABC,AB=6,CD=4,E,F分别是在四面体7.A-BCD中____.所成的角的余弦值为AB与CD，则EF＝3 所CD则,AB与17在上题中，若改EF=______成的角的余弦值为4 / 43 / 3
异面直线所成的角练习题[1]
B C S E F A B C D D 1 C 1 B 1 A 1 M N N M F E D C B A B A C D A 高二数学练习（二） 一、选择题 1．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是 （ ） （A ）不平行的直线 （B ）不相交的直线 （C ）相交直线或平行直线 （D ）既不相交又不平行直线 2．已知EF 是异面直线a 、b 的共垂线，直线l ∥EF ，则l 与a 、b 交点的个数为 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）0或1 （D ）0，1或2 3．两条异面直线的距离是 （ ） （A ）和两条异面直线都垂直相交的直线 （B ）和两条异面直线都垂直的直线 （C ）它们的公垂线夹在垂足间的线段的长 （D ）两条直线上任意两点间的距离 4．设a, b, c 是空间的三条直线，下面给出三个命题：① 如果a, b 是异面直线，b, c 是异面直线，则a, c 是异面直线；② 如果a, b 相交，b, c 也相交，则a, c 相交；③ 如果a, b 共面，b, c 也共面，则a, c 共面．上述命题中，真命题的个数是 （ ） （A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个 5．异面直线a 、b 成60°，直线c ⊥a ，则直线b 与c 所成的角的范围为 （ ） （A ）[30°，90°] （B ）[60°，90°] （C ）[30°，60°] （D ）[60°，120°] 6．如图:正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于 （ ） （A ）90°（B ）45°（C ）60°（D ）30° 7．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和的 中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是 （ ） （A ）23（B ）1010（C ）5 3 （D ）54 8．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中， ①BM 与ED 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ②③CN 与BM 成 60角；④DM 与BN 垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ） （A ）①②③ （B ）②④ （C ）③④ （D ）②③④ 9．梯形ABCD 中AB//CD ，AB ?平面α，CD ?平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是 （ ）（A ）平行 （B ）平行和异面 （C ）平行和相交 （D ）异面和相交 二、填空题 11．如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 12．在四面体ABCD 中，若AC 与BD 成60°角，且AC ＝BD ＝a ，则连接AB 、BC 、CD 、DA 的中点的四边形面积为 ． 13．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝3，AA 1＝4，则异面直线AB 1与 A 1D 所成的角的余弦值 为 ． 14．把边长为a 的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，
立体几何异面直线成角求法习题
构造异面直线所成角的几种方法 异面直线所成角的大小，是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的．准确选定角的顶点，平移直线构造三角形是解题的重要环节．本文举例归纳几种方法如下，供参考． 一、抓异面直线上的已知点 过一条异面直线上的已知点，引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行)，往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标． 例1(2005年全国高考福建卷)如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（ ） 二、抓异面直线(或空间图形)上的特殊点 考察异面直线上的已知点不凑效时，抓住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径. 例2(2005年全国高考浙江卷)设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________． 三、平移(或构造)几何体 有些问题中，整体构造或平移几何体，能简化解题过程. 例3(2005年全国高考天津卷)如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=?且 PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于_____． 1. 解：连B 1G ，则A 1E ∥B 1G ，知∠B 1G F 就是异面直线A 1E 与GF 所成的角．在 △B 1GF 中，由余弦定理，得 cos B 1GF ＝2221112B G GF B F B G GF +-= ?＝0， 故∠ B 1 G F ＝ ，应选(D)． 2评注：本题是过异面直线FG 上的一点G ，作B 1G ，则A 1E ∥B 1G ，知∠B 1G F 就是所求的 角，从而纳入三角形中解决． 解：取AE 中点G, 连结GM 、BG ∵GM ∥ED ，BN ∥ED ，GM ＝21ED ，BN ＝2 1 ED ． ∴ GM ∥BN ，且GM ＝BN ． ∴BNMG 为平行四边形，∴MN//BG ∵A 的射影为B ． ∴AB ⊥面BCDE ． P B C A
补充构造异面直线所成角的几种方法
一. 异面直线所成角的求法 1、正确理解概念 （1）在异面直线所成角的定义中，空间中的点O 是任意选取的，异面直线a 和b 所成角的大小，与点O 的位置无关。 （2）异面直线所成角的取值范围是（0°，] 90? 2、熟练掌握求法 （1）求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一作二证三计算。 （2）求异面直线所成角的步骤： ①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊点。 ②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。 ③因为异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。 3、“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。 例1如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线B 1E 与GF 所成角的余弦是 。 E F 1 A 1 B 1 C 1 D A B C D G E F 1 A 1 B 1 C 1 D A B C D G
例2已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC， 且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝ 2 π， M 、N分别是AB和SC的中点． 求异面直线SM与BN所成的角的余弦值． 例3长方体ABCD—A1B1C1D1中，若AB=BC=3，AA1=4，求异面直线B1D与BC1所成角的大小。 B M A N C S B M A N C S B M A N C S
异面直线所成的角练习题
3 A B C S E F A B C D D 1 C 1 B 1 A 1 M N N M F E D C B A 高二数学练习（二） 一、选择题 1．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是 （ ） （A ）不平行的直线 （B ）不相交的直线 （C ）相交直线或平行直线 （D ）既不相交又不平行直线 2．已知EF 是异面直线a 、b 的共垂线，直线l ∥EF ，则l 与a 、b 交点的个数为 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）0或1 （D ）0，1或2 3．两条异面直线的距离是 （ ） （A ）和两条异面直线都垂直相交的直线 （B ）和两条异面直线都垂直的直线 （C ）它们的公垂线夹在垂足间的线段的长 （D ）两条直线上任意两点间的距离 4．设a, b, c 是空间的三条直线，下面给出三个命题：① 如果a, b 是异面直线，b, c 是异面直线，则a, c 是异面直线；② 如果a, b 相交，b, c 也相交，则a, c 相交；③ 如果a, b 共面，b, c 也共面，则a, c 共面．上述命题中，真命题的个数是 （ ） （A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个 5．异面直线a 、b 成60°，直线c ⊥a ，则直线b 与c 所成的角的范围为 （ ） （A ）[30°，90°] （B ）[60°，90°] （C ）[30°，60°] （D ）[60°，120°] 6．如图:正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于 （ ） （A ）90°（B ）45°（C ）60°（D ）30° 7．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和的 中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是 （ ） （A ）23（B ）1010（C ）53（D ）5 4 8．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中， ①BM 与ED 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ②③CN 与BM 成 60角；④DM 与BN 垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ） （A ）①②③ （B ）②④ （C ）③④ （D ）②③④ 9．梯形ABCD 中AB//CD ，AB ?平面α，CD ?平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是 （ ）（A ）平行 （B ）平行和异面 （C ）平行和相交 （D ）异面和相交 10．在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，且AE ：EF ＝AF ：FD ＝1 ：4，又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则 （ ） （A ）BD//平面EFGH 且EFGH 是矩形 （B ）EF//平面BCD 且EFGH 是梯形 （C ）HG//平面ABD 且EFGH 是菱形 （D ）HE//平面ADC 且EFGH 是平行四边形 二、填空题 11．如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 12．在四面体ABCD 中，若AC 与BD 成60°角，且AC ＝BD ＝a ，则连接AB 、BC 、CD 、DA 的中点的四边形面积为 ．
两条异面直线所成的角练习
两条异面直线所成的角（B）一、选择题： １．在正方体ABCD—A 1B 1 C 1 D 1 中，M、N、P、Q分别是棱AB、BC、CD、CC 1 的中点，直线MN与PQ 所成的度数是（） （A）（B）（C）（D） 2．下列命题中，正确的命题是（） （A）直线a、b异面，过空间任一点O，作OA∥a，OB∥a，则∠AOB叫做异面直线a和b所成的角 （B）如果∠CBA=∠BAD，那么BC∥AD （C）和两条异面直线都垂直的直线，叫做这两条异面直线的公垂线 （D）两条异面直线所成的角只能是锐角或直角 3．已知a、b为两条异面直线，在a上有3个点，在b上有5个点，这些点最多可确定平面的个数是（） （A）8 （B）15 （C）24 （D）30 4．AB为异面直线a、b的公垂线，直线l∥AB，则l与a、b两直线交点的个数是（）（A）0个（B）1个（C）最多一个（D）最多两个 5．已知a、b、c是两两互相垂直的异面直线，d为b、c公垂线，则（） （A） d与a是不互相垂直的异面直线
（B） d与a是相交直线 （C） d与a是平行直线 （D） d与a是互相垂直的异面直线 6．空间三条直线满足条件a∥b，a⊥c，则b与c的位置关系是（）（A）垂直（B）平行（C）相交（D）异面 7．如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角（）（A）相等（B）相等或互补（C）相交（D）无确定的关系 8．正方体ABCD—A 1B 1 C 1 D 1 中，E、F、G分别为AB、BC、CC的中点，则EF与BG所成角的余弦值 为（） （A）（B）（C）（D）-二、填空题： 1．正方体ABCD—A 1B 1 C 1 D 1 的棱长为1，则BD 1 与CC 1 所成角的正切值为＿＿＿＿＿，BD 1 与CC 1 的 距离为＿＿＿＿＿． 2．长方体ABCD—A 1B 1 C 1 D 1 中，AB=BC=2a，ＡＡ 1 ＝a，Ｍ、Ｎ分别是Ａ 1 Ｂ 1 、ＢＢ 1 的中点，则Ａ 1 Ｄ与ＭＮ所成角的余弦值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ３．已知异面直线a与b所成的角为，Ｐ为空间一定点，则过点Ｐ且与a、b所成的角都是 的直线有且仅有＿＿＿＿＿条． ４．对于已知直线a，如果直线b满足条件：与a为异面直线，与a所成的角为定值θ
异面直线所成的角训练题,习题,经典例题
异面直线所成的角2015.10.13 7．如图1—28的正方体中，E是A′D′的中点 (1)图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线? (2)求直线BA′和CC′所成的角的大小； (3)求直线AE和CC′所成的角的正切值； (4)求直线AE和BA′所成的角的余弦值 8.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和 BB1的中点，求直线AM与CN所成角的余弦值 1., 1111 1 11 (2)(3) 111 4 1 (5), 111 ABCD A B C D BA CC BA CB AC BD E AD EC CB M N A B B B AM CN - 如图：正方体中 （）求异面直线和所成的角。 求异面直线和所成的角。和所成的角 （）为中点，求异面直线和所成的角。 若分别为和的中点， 求和所成的角的余弦值。 1 3, 2 A BCD AE BF AB CD EF ED FC AB CD - ===== 2.如图：在四面体中，Ｅ，F分别为AD,BC上的点 点，且，已知 求异面直线和所成的角。 1 A1B 1 C 1 D B C D 1 A1B 1 C 1 D B C D 1 A1B 1 C 1 D B C D 1 A1B 1 C 1 D A B C D A BCD B CD - 3.正四面体中，求对棱A和所成的角。 ,, A BCD AF CE AF CE - 4.如图：棱长为a的正四面体中， Ｅ，F分别为AD,BC的中点点，连接 求异面直线和所成的角的余弦值。 1 A1B 1 C 1 D B C D B' A' A B C' D' C D F E B1 A1 A B C1 D1 C D M N
异面直线所成的角经典例题
异面直线所成的角 111,1111 11(3)1111ABCD A B C D BA CC BA CB AC BD EC CB A B B B -1.如图：正方体中（1）求异面直线和所成的角。(2)求异面直线和所成的角。和所成的角 （4）E 为AD 中点，求异面直线和所成的角所成的角的余弦值。。(5)若M,N 分别为和的中点，求AM 和 CN 13,2 A BCD AE BF A B CD EF ED F C AB C D -=====2.如图：在四面体中，Ｅ，F 分别为AD,BC 上的点点，且，已知求异面直线和所成的角。1 A 1 B 1 C 1 D A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D B C D 1 A 1 B 1 C 1 D A B C D 1A 1B 1C 1D A B C D A BCD B CD -3.正四面体中，求对棱A 和所成的角。,,A BCD AF C E A F CE -4.如图：棱长为a 的正四面体中，Ｅ，F 分别为AD,BC 的中点 点，连接求异面直线和所成的角的余弦值。1A 1B 1C 1D A B C D
111 ,, 1111111 11 ABC A B C A B A C BD AF -∠ 5.如图：直三棱柱中，ACB=, D，F分别为的中点,若BC=CA=CC 求异面直线和所成的角的余弦值。 90 0000 ,,, E F BC A 6：在空间四边形ABCD中,AB=CD,且AB与CD所成 的角为40分别是Ｄ的中点，则EF与AB 所成的角为（ ） A.70 B.20 C.70或20 D. 以上都不对 在上题中，若改则AB与CD所 成的角的余弦值为______ ,, E F B CD 8.在四面体A-BCD中,分别是A的中点， 若BD,AC所成的角为60,且BD=AC=1，求EF的长度. ,, E F BC A AB CD 7.在四面体A-BCD中,AB=6,CD=4,分别是Ｄ的中点， EF＝3，则与所成的角的余弦值为____. C