行列式按行(列)展开
第四节 行列式按行(列)展开
分布图示
★ 引例 ★ 余子式与代数余子式 ★ 例1 ★ 引理 ★ 行列式按行（列）展开 ★ 例2 ★ 例3 ★ 应用按行（列）展开法则计算行列式
★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8
★ 拉普拉斯定理 ★ 例9 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-4
内容要点
一、行列式按一行(列)展开
定义1 在n 阶行列式D 中,去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后,余下的1-n 阶行列式,称为D 中元素ij a 的余子式, 记为ij M , 再记
ij j i ij M A +-=)1(
称ij A 为元素ij a 的代数余子式.
引理 一个n 阶行列式D , 若其中第i 行所有元素除ij a 外都为零，则该行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即
ij ij A a D =
定理1 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即
),,,2,1(2211n i A a A a A a D in
in i i i i =+++= 或 ).,,2,1(2211n j A a A a A a D nj
nj j j j j =+++=
推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即
,,02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++
或 .,02211j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++
综上所述, 可得到有关代数余子式的一个重要性质:
?
??≠===∑=;,0,
,1j i j i D D A a ij n
k kj ki 当当δ 或 ?
??≠===∑=.
,
0,,1
j i j i D D A a ij n
k jk ik 当当δ
其中，??
?≠==j
i j
i ij ,
0,
1δ
二、行列式的计算
直接应用按行(列)展开法则计算行列式, 运算量较大, 尤其是高阶行列式. 因此, 计算行列式时，一般可先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素, 再按此行(列)展开,化为低一阶的行列式, 如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式.
例题选讲
例1 设有5阶行列式: 1
5131
31200011231
45201
3101-----=D .
(1),111=a 其余子式,1
513
312
001121452
11----=
M 其代数余子式
.)1()1(11112111111M M M A =-=-=+
(2),134=a 其余子式1
13
13
2
001520110
134---=
M , 其代数余子式
.)1()1(34347344334M M M A -=-=-=+
例2求下列行列式的值:
（1）214
121
312
-- （2）1
20250723
解 (1) 2
13
142131)1(211222
1
4
121
312
-?+-?--?=-- .272856)61(4)32()14(2-=--=--+--+-=
(2) .3)45(31
22
531
20250
7
23=-=?
=
例3 (E01) 试按第三列展开计算行列式.50
2
1
01
1321014321---=
D
解 将D 按第三列展开，则有
,4343333323231313A a A a A a A a D +++= 其中,313=a ,123=a ,133-=a ,043=a
13A 3
1)1(+-=5
210132
01--,19= 33A 3
3)1(+-=5
212014
21-,18= 23A 3
2)1(+-=521013421-- ,63-= 43A 34)1(+-=0
132014
21-,10-=
所以 )63(1193-?+?=D )10(018)1(-?+?-+.24-=
例4 (E02) 计算行列式 .50
2
1
01
1321014321
---=
D
解 5
2
1
011321014321
---=
D 313
422r r r r ++
5
20
7
1
1321
014107
----
52721
1
417
)1()1(23---?-=+
212
32r r r r -+ 1
0921
1
2
6-
.241861
92
6)
1(12
2-=--=--?=+
例5 (E03) 计算行列式 .0
532004140013202
52
7
1
02135----=D
解 5
3204
1401
3202
1352
)1(0
53200
4140013
2
02
527
10213552-----=----=+D 5324141
3
2
52---?-=
121
3)2(r r r r -++6
60
270
1
3210---
.1080)1242(206
6
27)
2(10-=--=--?-=
例6 (E04) 求证 21)1(11213112
2
1
1
132114321-+-=---n n x x x x x x x n x x n x
n n .
证 D
322
1143r r r r r r r r n
n ----- 1
1
1111111
1000011000
11100
11110
11110
x
x
x
x x x x ----
.)1(1
10
000000100
010
00010000)1(211-++-=-----=n n n x x
x
x x x x x x
例7 (E05) 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
,)(1111
1121
1
2
22
2
1
2
1
∏≥>≥----==j i n j i n n
n n n
n
n x x x x x x x x x x x D
其中记号“П”表示全体同类因子的乘积.
证 用数学归纳法. 2D 2
1
11x x =
12x x -=,)(1
2∏≥>≥-=
j i j
i
x x
∴当2=n 时(1)式成立. 假设(1)式对于1-n 时成立，则
)
()()(0
)()
()
(0
011111213231222113312211312x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x D n n n n n n n n n ---------=---
=)
())((11312x x x x x x n --- 2232
2
32111---n n
n n n x x x x x x
n D ∏≥>≥----=2
11312)()
())((j i n j
i
n x x x x x x x x ∏≥>≥-=1
).(j i n j
i
x x
例8 设,3
142
3
1
3
150111253
------=
D D 中元素ij a 的余子式和代数余子式依次记作ij M 和ij A ,
求14131211A A A A +++及41312111M M M M +++.
解 注意到14131211A A A A +++等于用1,1,1,1代替D 的第1行所得的行列式,即
3142
3
1
3
150111111
14131211-----=
+++A A A A
341
3r r r r +-
11
20
2
25
0111111
---
1
1
222511---= 1
2c c + .42
05
20
1
202
511
=-=--
又按定义知,
3
1413
1
3
1
50111251
4131211141312111-------=
-+-=+++A A A A M M M M
3
4r r +
3
1
1
501121)1(0
10
31
3
15
0111251
---=----
3
12r r - .03
1
150
15
01=-----
例9 用拉普拉斯定理求行列式 2
100321003210032 的值.
解 按第一行和第二行展开 2
100321003210032=
2132)1(21322121+++-?2031)1(31023121+++-?+2
03
0)1(32033221+++-?+ 0121+-=.11-=
例10 计算n 2阶行列式.22
n
n d
c d c b a b
a D =
(其中未写出的元素为0).
解 把n D 2中的第n 2行依次与第12-n 行,…,第2行对调(作22-n 次相邻对换),再把第n 2列依次与第12-n 列, …,第2列对调,得
.)(0
00
0000)
1()1(2)1(21)
22(22----==-=n n n n D bc ad D D d
c
d
c b a b
a d c
b a D
以此作递推公式,得
.)()()(21)1(22n n n n bc ad D bc ad D bc ad D -=-==-=--
课堂练习
1. 计算行列式 .33
5
1
110243152113
------=
D
2. 讨论当k 为何值时
.02002
000110
011≠k
k
k
3.设n 阶行列式 ,00103010
2
1
321n n D n
=求第一行各元素的代数余子式之和
.11211n A A A +++
第2讲行列式按行(列)展开及计算
授课时间 第 周 星期 第 节 课次 2 授课方式 （请打√） 理论课□ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 其他□ 课时 安排 2 授课题目（教学章、节或主题）： 第二讲 行列式按行（列）展开及计算 教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）： 熟练掌握行列式按行（列）展开；掌握运用行列式的定义与性质计算行列式；熟悉一些典型行列式的计算；熟悉用数学归纳法证明行列式. 教学重点及难点： 重点：行列式按行（列）展开；利用行列式的定义与性质计算行列式 难点：行列式的计算 教 学 基 本 内 容 备注 一、行列式按行（列）展开 引理 一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除),(j i 元ij a 外都为零， 那么这行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积. 定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 ) ,2,1(,),2,1(,22112211n j A a A a A a D n i A a A a A a D nj nj j j j j in in i i i i =++==++= （按行（列）展开法则） 推论 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 j i A a A a A a D jn in j i j i ≠++=,2211 或 .,2211j i A a A a A a D nj ni j i j i ≠++= 例1、3 2 3 1 11024315211 14----= D
解 法 1:241227 1 51271031251 13 4 312014 260211 14-=?-=---=----=------= D 解法2：244 8 224 8 1112021 2 3 5 010******** 14-=-= ---=-----= D 例2、设2 1 3 12 1014112 5 1 014---=D ，（1）求41312111A A A A +--；（2）444342412A A A A +-+。 解：（1）041312111=+--A A A A （2）4444444342414443424133422A A A A A A A A A A -=-+-+=+-+ 61 11 13 1 011121 13=--=---= 二、行列式的计算 例3、n n n n n b a a a a b a a a a b a D +++= 2 1 2212 1 1，其中021≠n b b b 解：n n n n n n n b a a a a b a a a a b a a a a D D +++==+ 2 1 2 212112 11 0001＝n n b b b a a a 0 0100100112121---
第三讲 行列式按行按列展开
单位：理学院应用数学物理系计算数学教研室 批准：日期：年月日任课教员：刘静 课程名称：线性代数 章节名称：第一章行列式 课题：第三讲行列式按行按列展开 目的、要求： 1. 行列式的按行按列展开法则； 2. 掌握行列式的计算方法。 难点、重点：行列式按行按列展开法则及其应用。 器材设备：多媒体设备 课前检查
教学内容课堂组织
教学内容： 本讲主要介绍： 1. 行列式的按行（列）展开法则； 2. 掌握行列式的计算方法。 教学方法与思路： 1. 首先介绍余子式和代数余子式的概念； 2. 对于三阶行列式，容易验证： 1112132223212321232122231112 13 32 33 31 33 31 33 31 32 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =-+ 可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。 由此容易想到：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n －1 阶行列式来计算？ 3. 给出一个特殊的n 阶行列式的计算方法，从而给出一个引理； 4. 进而介绍行列式的按行（列）展开法则。 教学中运用多媒体手段，讲解、板书与教学课件相结合，以讲解为主。 教学步骤： 教学内容、方法、步骤
教学内容课堂组织 1. 介绍余子式和代数余子式的概念； 2. 引理； 3. 行列式的按行（列）展开法则； 4. 应用举例。 5. 小结并布置作业。
212 n n n nn a a a 中仅含下面形式的项 a M =1 0n ij n nj nn a a a a 行依次与第i-1行，第i-2行，……，第21,1,11,,1 (1)i j j i j i n ij nj n j nn a a a M a a a +-----=-
行列式按行(列)展开
第四节 行列式按行(列)展开 分布图示 ★ 引例 ★ 余子式与代数余子式 ★ 例1 ★ 引理 ★ 行列式按行（列）展开 ★ 例2 ★ 例3 ★ 应用按行（列）展开法则计算行列式 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 拉普拉斯定理 ★ 例9 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-4 内容要点 一、行列式按一行(列)展开 定义1 在n 阶行列式D 中,去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后,余下的1-n 阶行列式,称为D 中元素ij a 的余子式, 记为ij M , 再记 ij j i ij M A +-=)1( 称ij A 为元素ij a 的代数余子式. 引理 一个n 阶行列式D , 若其中第i 行所有元素除ij a 外都为零，则该行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即 ij ij A a D = 定理1 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即 ),,,2,1(2211n i A a A a A a D in in i i i i =+++= 或 ).,,2,1(2211n j A a A a A a D nj nj j j j j =+++= 推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即 ,,02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++ 或 .,02211j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++ 综上所述, 可得到有关代数余子式的一个重要性质:
? ??≠===∑=;,0, ,1j i j i D D A a ij n k kj ki 当当δ 或 ? ??≠===∑=. , 0,,1 j i j i D D A a ij n k jk ik 当当δ 其中，?? ?≠==j i j i ij , 0, 1δ 二、行列式的计算 直接应用按行(列)展开法则计算行列式, 运算量较大, 尤其是高阶行列式. 因此, 计算行列式时，一般可先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素, 再按此行(列)展开,化为低一阶的行列式, 如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式. 例题选讲 例1 设有5阶行列式: 1 5131 31200011231 45201 3101-----=D . (1),111=a 其余子式,1 513 312 001121452 11----= M 其代数余子式 .)1()1(11112111111M M M A =-=-=+ (2),134=a 其余子式1 13 13 2 001520110 134---= M , 其代数余子式 .)1()1(34347344334M M M A -=-=-=+ 例2求下列行列式的值: （1）214 121 312 -- （2）1 20250723 解 (1) 2 13 142131)1(211222 1 4 121 312 -?+-?--?=-- .272856)61(4)32()14(2-=--=--+--+-=