高中数学必修五正余弦定理
姓名____________ 2012年____月_____日 第___次课 正、余弦定理
一。知识回顾:在初中我们知道:(1)在三角形中,大边对大角、大角对大边的边角关系; (2)在直角三角形中,sinA=a c ,sinB=b c ?c=sin a A ,c=sin b B
?sin a A =sin b B ,又Q sinC=1?sin a A =sin b B =sin c C
二。学习提纲: <一>.正弦定理: (1)概念:在一个三角形中,各边与它所对应角的正弦比相等,即:
sin a A =sin b B =sin c C (2)证明: j r C
①几何证明法:(略,同学们自己证明) ②向量证明: 证明:(如图)当?ABC 为锐角三角形时, A B 过A 作单位向量j r ⊥AB u u u r ,则j r 与AB u u u r 的夹角为2π,j r 与BC uuu r 的夹角为2π-B ,j r 与CA u u u r 的夹角为2π+A ; 设AB=a,BC=c,AC=b. Q AB u u u r +BC uuu r +CA u u u r =0r ,∴j r g (AB u u u r +BC uuu r +CA u u u r )=j r g 0r
∴j r g AB u u u r +j r g BC uuu r +j r g CA u u u r =0 ∴|j r |g |AB u u u r |g cos 2π+|j r |g |BC uuu r |g cos(2π-B )+|j r |g |CA u u u r |g cos 2
π+A )=0 ∴asinB=bsinA,即:sin a A =sin b B
同理可得:sin b B =sin c C ,故:sin a A =sin b B =sin c C
当?ABC 为钝角三角形或直角三角形时,同样可证明得到:sin a A =sin b B =sin c C
(3)正弦定理的变形:
①asinB=bsinA; csinB=bsinC; asinC=csinA;
②a :b:c=sinA:sinB:sinC
③sin a A =sin b B =sin c C
=2R (R 为?ABC 外接圆的半径) ?a=2RsinA; b=2RsinB; c=2RsinC ? sinA=2a R sinB=2b R sinC=2c R
(二)余弦定理: (1)概念:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与他们的夹角的余弦的积的两倍,即: 2a =2b +2c -2bccosA; 2b =2a +2c -2accosB; 2c =2a +2b -2abcosC
变形:2sin A=2sin B+2sin C-2sinBsinCcosA 2sin B=2sin A+2sin C-2sinAsinCcosB 2sin C=2sin A+2
sin B-2sinAsinBcosC 求角:cosA=2222bc b c a +- , cosB=2222c a c b a +-, cosC=222
b 2a
c ab
+- 变形:cosA=222sin sin sin 2sin sin A B C A B +-,cosB=222sin sin sin 2sin sin A C B A C +-,cosC=222sin sin sin 2sin sin A B C A B
+- (2)勾股定理:2c =2a +2b
推广:A 为锐角→222a b c <+;A 为直角→222a b c =+;A 为钝角→222a b c >+
(3)三角形的面积公式: ①ABC S ?=12ah ②ABC S ?=12absinC=12bcsinA=12
acsinB
③ABC S ?(p=12(a+b+c) ④ABC S ?=4abc R
(4)对于任意的三角形,都有:sinA>0
①A+B+C=π; sin(A+B)=sinC ;cos(A+B)=-cosC ③sin 2A B +=cos 2
C , cos 2A B +=sin 2C ④sinA>0 ⑤若A>B,则有:sinA>sinB ⑥ CosAcosBcosC>0是△ABC 为锐角三角形的充要条件
⑦ CosAcosBcosC=0是△ABC 为直角三角形的充要条件 ⑧ CosAcosBcosC<0是△ABC 为钝角三角形的充要条件 注意:在三角形中,应该满足成立三角形的条件:
① 任意两边之和大于第三边;
② 大边对大角,小边对小角;最大角要大于60°,最小角要小于60°;
③ A+B+C=π
应用举例:
1.在△ABC 中,若A>B 是sinA>sinB 的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要
2. 在△ABC 中,a=λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数有( )
A. 0
B. 1
C. 2
D.无数个
3. 在△ABC 中,°,则c=_______.
4. 在△ABC =2bsinA,则B=_____.
5.在△ABC 中,,∠A=4π,则∠B=_______.
6.在△ABC 中,AB=4,AC=7,BC 边上的中线AD=
72
, 那么BC=________.
7. 在△ABC 中,bcosA=acosB 则三角形为__________ 8.在△ABC 中,A,B 均为锐角且cosA>sinB, 则△ABC 是________.
9.(bixiu5P10)设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a,b,c ,且a=2bsinA.
(1)求B 的大小 (2)求cosA+sinC 的取值范围
10. (bixiu5P12)(2010山东)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.若,b=2,
,则角A 的大小为__________。
11. (bixiu5P12)(2010山东)已知:在△ABC 中,∠A, ∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c 。
若且∠A=75o,则b=___________
12.在△ABC 中,2cos
2A =2b c c +,试判断△ABC 的形状? 13.设A 为△ABC 的最小角,求sinA+cosA 的取值范围
见证高考:
(2006年,天津)1.在△ABC 中,AC=2,BC=1,cosC=
34 (1)求AB 的值 (2)求sin(2A+C)的值
(2007,上海)3. 在△ABC 中。a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边,若a=2,C=
4π,cos 2
B , 求△AB
C 的面积
.
(新阳教育中心:重庆教学部陈老师供稿)
人教A版高中数学必修五讲义及题型归纳:正余弦定理
解三角形 模块一:正余弦定理 在△ABC 中的三个内角A ,B ,C 的对边,分别用a ,b ,c 表示. 1.正弦定理:在三角形中,各边的长和它所对的角的正弦的比相等,即a sin A =b sin B =c sin C =2R . ① a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C ; ② sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c 2R ; ③ a:b:c =sin A :sin B :sin C . ④ 面积公式:S =1 2 ab sin C =1 2 bc sin A =1 2 ac sin B . 2.正弦定理用于两类解三角形的问题: ① 已知三角形的任意两个角与一边,求其它两边和另一角; ② 已知三角形的两边与其中一边的对角,计算另一边的对角,进而计算出其它的边与角. 3.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍,即:{c 2=a 2+b 2?2ab cos C ,b 2=a 2+c 2?2ac cos B ,a 2=b 2+c 2?2bc cos A. 变形式为:{ cos C =a 2+b 2?c 2 2ab , cos B =a 2+c 2?b 2 2ac ,cos A =b 2+c 2?a 22bc . 4.余弦定理及其变形常用来解决这样两类解三角形的问题: ① 已知两边和任意一个内角解三角形; ② 已知三角形的三边解三角形. 考点1:正弦定理 例1.(1)在ABC ?中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c .若4 A π=,3 B π = ,a =, 则(b = ) A .1 B C .2 D .【解答】解:因为4 A π = ,3 B π = ,a =, 所以,由正弦定理 sin sin a b A B = ,可得:sin sin a B b A ===g
高中数学课本中的定理公式结论的证明
数学课本中的定理、公式、结论的证明 数学必修一 第一章 集合(无) 第二章 函数(无) 第三章 指数函数和对数函数 1.对数的运算性质: 如果 a > 0 , a 1, M > 0 ,N > 0, 那么 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2)log log -log a a a M M N N =; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. 根据指数幂的运算性质证明对数的运算性质 证明:(性质1)设log a M p =,log a N q =,由对数的定义可得 p M a =,q N a =, ∴p q p q MN a a a +=?=, ∴log ()a MN =p q +, 即证得log log log a a a MN M N =+. 证明:(性质2)设log a M p =,log a N q =, 由对数的定义可得 p M a =,q N a =, ∴ q p q p a a a N M -==, ∴q p N M a -=log , 即证得log log -log a a a M M N N =. 证明(性质3)设log a M p =,由对数的定义可得 p M a =, ∴n np M a =, ∴log n a M np =, 即证得log log n a a M n M =.
第四章函数应用(无) 数学必修二 第一章立体几何初步 直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定定理与性质定理的证明. 1、直线与平面平行的判定定理 若平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行. 2、平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
必修五正弦定理和余弦定理
必修五第一讲 正弦定理 知识梳理 1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即a sin A =b sin B =c sin C . 2.解三角形:一般地,把三角形的三个角A 、B 、C 和它们的对边a 、b 、c 叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 题型分析 [例1] 在△ABC 中,已知a [解] A =180°-(B +C )=180°-(60°+75°)=45°.由 b sin B =a sin A 得,b =a sin B sin A =8×sin 60°sin 45°=46,由a sin A = c sin C 得, c =a sin C sin A =8×sin 75°sin 45°=8×2+642 2=4(3+1).∴A =45°,b =46,c =4(3+1). [变式训练]在△ABC 中,已知c =10,A =45°,C =30°,解这个三角形. 解:∵A =45°,C =30°,∴B =180°-(A +C )=105°.由 a sin A =c sin C 得a =c sin A sin C =10×sin 45°sin 30°=10 2. 由 b sin B = c sin C 得b =c sin B sin C =10×sin 105°sin 30°=20sin 75°,∵sin 75°=sin (30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45° =2+64,∴b =20×2+64 =52+5 6. [例2] 在△ABC [解] ∵a sin A =c sin C ,∴sin C =c sin A a =6×sin 45°2=32,∴C =60°或C =120°. 当C =60°时,B =75°,b =c sin B sin C =6sin 75°sin 60°=3+1; 当C =120°时,B =15°,b = c sin B sin C =6sin 15°sin 120°=3-1. ∴b =3+1,B =75°,C =60°或b =3-1,B =15°,C =120°. [变式训练]在△ABC 中,若c =6,C =π3 ,a =2,求A ,B ,b . 解:由a sin A =c sin C ,得sin A =a sin C c =22.∴A =π4或A =34π.又∵c >a ,∴C >A ,∴只能取A =π4 , ∴B =π-π3-π4=5π12,b =c sin B sin C =6·sin 5π12sin π3=3+1.
(经典)高中数学正弦定理的五种全证明方法
(经典)高中数学正弦定理的五种全证明方法
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高中数学正弦定理的五种证明方法 ——王彦文 青铜峡一中 1.利用三角形的高证明正弦定理 (1)当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据锐角三角函数的定义,有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此,得 sin sin a b A B = ,同理可得 sin sin c b C B = , 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. (2)当?ABC 是钝角三角形时,过点C 作AB 边上的高,交AB 的延长线于点D ,根据锐角三角函数的定义,有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ,sin CD b A = 。由此,得 = ∠sin sin a b A ABC ,同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知,在?ABC 中, sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比值相等,即 sin sin a b A B = sin c C = . 2.利用三角形面积证明正弦定理 已知△ABC,设BC =a, CA =b,AB =c,作AD⊥BC,垂足为D 则Rt△ADB 中,AB AD B =sin ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=?同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21 sin 21= ∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2 1 sin 21sin 21== 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==即C c B b A a sin sin sin ==. 3.向量法证明正弦定理 (1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j 与 CB 的夹角为90°-C 由向量的加法原则可得 AB CB AC =+ a b D A B C A B C D b a D C B A
(完整版)必修五正余弦定理习题练习
必修五正余弦定理习题练习 一.选择题(共5小题) 1.(2015?秦安县一模)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列,且c=2a,则cosB=() A.B.C.D. 2.(2016?太原校级二模)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,a=2,,则b的值为() A.B.C. D. 3.(2016?大连一模)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且满足acosA=bcosB,那么△ABC的形状一定是() A.等腰三角形B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形 4.(2016?宝鸡一模)在△ABC,a=,b=,B=,则A等于()A.B.C. D.或 5.(2014?新课标II)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=()A.5 B.C.2 D.1 二.填空题(共6小题) 6.(2015?天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3,b﹣c=2,cosA=﹣,则a的值为______. 7.(2015?重庆)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cosC=﹣,3sinA=2sinB,则c=______. 8.(2015?广东)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sinB=,C=,则b=______. 9.(2015?北京)在△ABC中,a=3,b=,∠A=,则∠B=______.10.(2015?安徽)在△ABC中,AB=,∠A=75°,∠B=45°,则AC=______.11.(2013?福建)如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为______.
高中数学相关定理及证明
高中数学相关定理、公式及结论证明 汉阴中学正弦定理证明 内容:在ABC ?中,c b a ,,分别为角C B A ,,的对边,则.sin sin sin C c B b A a == 证明: 1.利用三角形的高证明正弦定理 (1)当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD , 根据锐角三角函数的定义,有sin CD b A ==sin CD a B 。 由此,得 sin sin a b A B = , 同理可得 sin sin c b C B = , 故有 sin sin a b A B = sin c C = . 从而这个结论在锐角三角形中成立. (2)当?ABC 是钝角三角形时,过点C 作AB 边上的高, 交AB 的延长线于点D ,根据锐角三角函数的定义, 有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ,sin CD b A = 。 由此,得 =∠sin sin a b A ABC ,同理可得 =∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . (3)在ABC Rt ?中,,sin ,sin c b B c a A == ∴ c B b A a ==sin sin , .1sin ,90=?=C C Θ.sin sin sin C c B b A a ==∴ 由(1)(2)(3)可知,在?ABC 中, sin sin a b A B = sin c C = 成立. 2.外接圆证明正弦定理 在△ABC 中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC 的外接圆,O 为圆心, 连结BO 并延长交圆于B ′,设BB ′=2R.则根据直径所对的圆周 角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB ′=90°,∠C =∠B ′, ∴sin C =sin B ′=R c B C 2sin sin ='=. ∴R C c 2sin =. 同理,可得R B b R A a 2sin ,2sin ==.∴R C c B b A a 2sin sin sin ===. 3.向量法证明正弦定理 a b D A B C A B C D b a