函数极限存在的条件

§3 函数极限存在的条件

教学目的：通过本次课的学习，使学生掌握函数极限的归结原则和柯西准则并能加以应用解

决函数极限的相关问题。

教学方式：讲授。

教学过程：

我们首先介绍0x x →这种函数极限的归结原则（也称Heine 定理）。

定理3.8（归结原则）。A x f x x =→)(lim 0

存在的充要条件是：对任何含于);('0δx U o 且以0x 为极限的数列}{n x ，极限)(lim n n x f ∞

→都存在且等于A 。 证：[必要性] 由于A x f x x =→)(lim 0

，则对任给的0>ε，存在正数)('δδ≤，使得当δ<-<||00x x 时，有。

另一方面，设数列}{n x ?);('0δx U o 且以0x 为极限，则对上述的0>δ，存在0>N ，当N n >时有δ<-<||00x x n ，从而有ε<-|)(|A x f 。这就证明了A x f n n =∞

→)(lim 。 [充分性] 设对任何数列}{n x ?);('0δx U o 且以0x 为极限，有A x f n n =∞

→)(lim 。现用反证法推出A x f x x =→)(lim 0

。事实上，倘若当0x x →时f 不以A 为极限，则存在某00>ε，对任何0>δ（无论多么小），总存在一点x ，尽管δ<-<||00x x ，但有0|)(|ε≥-A x f 。现依次取 ,,,,'

'2'n δδ

δδ=，则存在相应的点 ,,,,21n x x x ，使得

n n x x '||00δ

<-<，而 ,2,1,|)(|0=≥-n A x f n ε

显然数列}{n x ?);('0δx U o 且以0x 为极限，但当∞→n 时)(n x f 不趋于A 。这与假设相矛盾，故必有A x f x x =→)(lim 0。 注：（1）归结原则可简述为：

A x f x x =→)(lim 0

?对任何)(0∞→→n x x n 且0x x n ≠都有A x f n n =∞→)(lim 。 （2）归结原则也是证明函数极限不存在的有用工具之一：若可找到一个以0x 为极限

的数列}{n x ，使)(lim n n x f ∞

→不存在，或找到两个都以0x 为极限的数列}{'n x ，}{"n x ，使得)(lim 'n n x f ∞→，)(lim "n n x f ∞→都存在而不相等，则)(lim 0

x f x x →不存在。 （3）对于-∞→+∞→∞→→→-+x x x x x x x ,,,,00这几种类型的函数极限的归

结原则，有类似的结论。（让学生课堂练习，教师加以评正。）

例1设x x f 1sin )(=，0≠x ，证明极限)(lim 0

x f x →不存在。 证：设n x 1

'=，21"π

π+=n n x ),2,1 =n （，则显然有)(0,0"'∞→→→n x x n n ，但 )(11)(,00)("'∞→→=→=n x f x f n n 。故由归结原则即得结论。

对于-∞→+∞→→→-+x x x x x x ,,,00这几种类型的函数极限，除有类似于定理3.8

的归结原则外，还可以表述为更强的形式。

定理 3.9 设函数f 在);('00δx U +内有定义。A x f x x =+→)(lim 0

的充要条件是：对任何含于);('00δx U +且以0x 为极限的递减数列}{n x ，极限)(lim n n x f ∞

→都存在且等于A 。 证：仿照定理3.8的证明，但在运用反证法证明充分性时，对δ的取法要适当的修改。

相应于数列极限的单调有界定理，关于函数的单侧极限也有相应的定理。现以+→0

x x 这种类型为例阐述如下：

定理 3.10 设函数f 是定义在);('00δx U +上的单调有界函数，则右极限)(lim 0

x f x x +→存在。

证：具体证明见教材。主要应用确界原理，确界的定义和单侧极限的定义加以证明。

最后，我们叙述并证明关于函数极限的柯西准则。

定理3.11 设函数f 是定义在);('0δx U o 内有定义，A x f x x =→)(lim 0

存在的充要条件是：任给0>ε，存在正数)('δδ<，使得对任何),(",'0δx U x x o ∈有ε<-|)"()'(|x f x f 。

证明：[必要性] 设A x f x x =→)(lim 0

，则对任给0>ε，存在正数)('δδ<，使得对任何),(0δx U x o ∈有2

|)(|ε

<-A x f 。于是对任何),(",'0δx U x x o ∈有 ε<-+-≤-|)"(||)'(||)"()'(|A x f A x f x f x f 。

[充分性] 设数列}{n x ?且以0x 为极限。按假设，对任给的0>ε，存在正数)('δδ<，

使得对任何),(",'0δx U x x o ∈有ε<-|)"()'(|x f x f 。由于，对上述的0>δ，存在0>N ，当N m n >,时有);(,0δx U x x o m n ∈，从而有

ε<-|)()(|m n x f x f 。

于是，按数列的柯西收敛准则，)}({n x f 数列的极限存在，记为 A ，即A x f n n =∞

→)(lim 。

设另一数列}{n y ?);(0δx U o 且0lim x y n n =∞→，则如上所证，)(lim n n y f ∞

→存在，记为B 。现证明A B =，为此，考虑数列

,,,,,:}{11n n n y x y x z

易见?}{n z );(0δx U o 且0lim x z n n =∞

→。故如上所证，)}({n z f 也收敛。于是，作为)}({n z f 的两个子列，)}({n x f ，)}({n y f 必有相同的极限，故由归结原则推得A x f x x =→)(lim 0

注：（1）对于-∞→+∞→∞→→→-+x x x x x x x ,,,,00这几种类型的函数极限的柯

西准则，有类似的结论。（让学生课堂练习，教师加以评正。）

（2）对于-∞→+∞→∞→→→→-+x x x x x x x x x ,,,,,000这几种类型的函数

极限的柯西准则的否命题，学生也必须掌握。比如例1就可以应用柯西准则的否命题解决。