复变函数练习题习题1.4

习题1.4

5.求下列函数的极限，其中0z →. （1）1()Re()/||f z z z z = 解：因为

1000Re()

lim |()|lim ||lim |Re()|0

||

z z z z z f z z z →→→=== 所以由教材1.4节的定理1知

10

lim ()0z f z →=.

另解：设(,R)z x iy x y =+∈，则

2

1Re()()()||z z x iy x x

xy f z i

z +===

+

因为

2

||0||, 0||,

x

xy x x xy ≤

≤≤≤-≤

≤

所以由夹边法则得

2

0000

||lim

0, lim

0,lim

x x x y y y x

xy xy →→→→→→===所以

2

10

000

lim ()lim

lim

000

z x x y y x

xy f z i →→→→→=+=+=

注1：极限存在是对趋向于极限点的任意路径极限都存在，不能仅对特殊路径证明，所以不能设

0y kx =→来证明极限存在！

注2：设(cos sin )z r i θθ=+，则

1000cos lim ()lim lim cos 0?

z z z zr f z z r

θ

θ→→→=== 此处θ与z 有关，不能直接得到极限，需要进一步

将(cos sin )z r i θθ=+带入再求极限.

（2）2()Re()/||f z z z =

解：设(,R)z x iy x y =+∈，当z 沿任意射线

(0)y kx x =>趋向零时有0z x ikx =+→，这时有

2Re()11()||

z x f z z ==

=

→

极限与k 有关，即与路径有关，所以当0z →时，

2()Re()/||f z z z =的极限不存在.

另解：设(cos sin )(,R)z r i r θθθ=+∈，当z 沿任意射线0θθ=趋向零时有00(cos sin )z r i θθ=+0→即0r →，这时有

200

cos Re()()cos cos ||r z f z z r

θθθ===→ 极限与0θ有关，即与路径有关，所以当0z →时，

2()Re()/||f z z z =的极限不存在.

（3）3()Re()/(1)f z z z =+ 解：

3000

Re()

lim ()lim 1limRe() lim(1)0

1

z z z z z f z z

z z →→→→=+=

+==

6.设()f z 在点0z 连续且0()0f z ≠，试证明存在0z 的一个邻域使在该邻域内恒有()0f z ≠.

证明：因为()f z 在点0z 连续，由连续定义知

0,()0,εδε?>?>当0||z z δ-<时，有

0|()()|f z f z ε-<.

因为0()0f z ≠，可取0|()|0,f z ε=>则存在

00(|()|)0,f z δδ=>对于0z 的邻域00{:||}

z z z δ-<中任意一点z ，有00|()()||()|f z f z f z -<.由于

00||()||()|||()()|f z f z f z f z -≤-，则对于上述邻域

中的z ，有

000000 ||()||()|||()|

|()||()||()||()|

0|()|2|()|

f z f z f z f z f z f z f z f z f z -

注：复数不能比较大小，所以出现

0,z >0,z z >0()(),f z f z ε-<0()()f z f z ε->-等

等是极其错误的.