新北师大版一次函数讲义

第四章一次函数

1、函数的概念

一般地，设在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于x每一个确定的值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。

对函数概念的理解：

（1）有两个变量（2）一个变量的数值随着另一个变量的变化而变化

（3）自变量每确定一个值，函数有一个并且只有一个值与之对应（或多个x的值可以对应一个y 值但不能一个x值对应多个y值，如y=x2和x2=y）

2、自变量的取值范围

自变量的取值必须使含自变量的代数式都有意义。

（1）关系式为整式时，自变量的取值为全体实数；

（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；

（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

（5）实际问题中，自变量的取值还要和实际情况相符合，使之有意义。

如：中，r表示圆的半径时，r>0

3、一次函数和正比例函数

一次函数y=kx+b 特征：?k≠0 ? x的次数是1 ?常数项b是任意实数正比例函数：y=kx 特征：?k≠0 ? x的次数是1 ?常数项b=0

正比例函数是一种特殊的一次函数。

4、一次函数图像性质

一次函数y=kx＋b的图象的画法.

经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选

取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.

k 表示直线y=kx+b(k ≠0)向上的方向与x 轴正方向夹角大小，即直线倾斜的程度； b 表示直线y=kx+b （k ≠0）与y 轴交点的纵坐标

一次函数Y=kx+b k ≠0的图象，当b>0时，图象与y 轴的交点在x 轴的上方； 当b<0时，图象与y 轴的交点在x 轴的下方；

两直线y= k 1x+ b 1（k ≠0）的图象与y= k 2x+ b 2（k ≠0）的位置关系： （1） 当k 1= k 2时，且b 1

b 2时，两直线平行

（2） 当k 1= k 2时，且b 1=b 2时，两直线重合 （3） 当k 1≠k 2时，两直线相交

（4） 当k 1≠k 2时，且b 1=b 2时，两直线交于y 轴上一点（0，b 1）或（0，b 2）

【巩固训练】 选择题

1、下列各图给出了变量x 与y 之间的函数是：

2、已知油箱中有油25升，每小时耗油5升，则剩油量P (升)与耗油时间t (小时)之间的函数关系式为 ( )

A ．P =25+5t

B ．P =25－5t

C ．P =t

525

D ．P =5t －25

3、函数y ＝3x ＋1的图象一定通过点( )．

x y o A

x y o B x y o D x y o C

A ．(3,5)

B ．(－2,3)

C ．(2,7)

D ．(4,10)

4、下列函数关系式:①x y -=; ②;112+=x y ③12++=x x y ; ④x

y 1

=. 其中一次函数的个数是( ) A. 1个 个 个 个 5、如果y=x －2a ＋1是正比例函数，则a 的值是（ ）

(A)21 (B)0 (C)－21

(D)－2

6.一次函数y=kx+b 图象如图，准确的是（ ） （A ）k>0，b >0 （B ）k>0，b <0 （C ）k<0，b>0 （D ）k<0，b <0

7．已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数

的解析式为（ ） A ．y=-x-2 B ．y=-x-6 C ．y=-x+10 D ．y=-x-1

8、若直线m

n

x y -=不经过第四象限，则 （ ）

＞0，n ＜0 ＜0，n ＜0 C.m ＜0，n ＞0 ＞0，n ≤0

9＜0 y y y y

o x o x o x o x[

A. B. C. D.

10、若函数y =2x +3与y =3x －2b 的图象交x 轴于同一点，则b 的值为 ( )

A ．－3

B ．－23

C ．9

D ．－4

9

11一次函数y=kx+6，y 随x 的增大而减小，则这个一次函数的图象不经过（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 12如图,直线b kx y +=经过A(0,2)和B(3,0)两点,那么 这个一次函数关系式是( )

A.32+=x y

B.23

2

+-=x y C.23+=x y D.1-=x y

13．李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，?中途由于自行车发生故

障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，如果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出他行进的路程y?（千米）与行进时间t （小时）的函数图象的示意图，同学们画出的图象如图所示，你认为正确的是（ ）

14、一次函数y=ax+b ，若a+b=1，则它的图象必经过点（ ） A 、(-1,-1) B 、(-1, 1) C 、(1, -1) D 、(1, 1) 15、已知点（-4，y 1），（2，y 2）都在直线y=- 1

2 x+2上，则y 1 y 2大小关系是( )

（A ）y 1 >y 2 （B ）y 1 =y 2 （C ）y 1

2

3

时的函数值．

17、已知，函数()1321y k x k =-+-，试回答： （1）k 为何值时，图象交x 轴于点（3

4

，0） （2）k 为何值时，y 随x 增大而增大

18、如图，是某汽车行驶的路程S (km)与时间t (min)的函数关系图.观察图中所提供的信息，解答下列问题： （1）汽车在前9分钟内的平均速度是 （2）汽车在中途停了多长时间 （3）当16≤t ≤30时，求S 与t 的函数关系式.

9 16

30

t /min

S /km

40

12

19、某自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，若某用户居民每月应交水费y （元）是用户量x （方）的函数，其图象如图所示，根据图象回答下列问题：

（1）分别求出x ≤5和x>5时，y 与x 的函数关系式； （2）自来水公司的收费标准是什么

（3）若某户居民交水费9元，该月用水多少方

20.如图信息，l 1为走私船，l 2为我公安快艇，航行时路程与时间的函数图象，问：（1）在刚出发时我公安快艇距走私船多少㎞

（2）计算走私船与公安快艇的速度分别是多少 （3）写出l 1 , l 2的解析式.

（4）问6分钟时两艇相距几千米。

（5）猜想，公安快艇能否追上走私船，若能追上，那么在几分钟追上

x （方） y(元) 5 8 3 t()

y(千米

) 4 6 9 o

5 L 1 L 2 6

【课后练习】

一次函数习题

一、仔细选一选

1、下面哪个点不在函数y = -2x+3的图象上（ ）

A ．（-5，13） B.（，2） C.（3，0） D.（1，1） 2、如图，在直角坐标系中，直线l 对应的函数表达式是（ ）

A. 1-=x y

B.1+=x y

C. 1--=x y

D. 1+-=x y 3、一次函数y = -2x -3不经过（ ）

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

4、直线b kx y +=经过A(0,2)和B(3,0)两点,那么这个一次函数关系式是( )

A. 32+=x y

B.23

2

+-=x y C. 23+=x y D. 1-=x y

5、下列函数中，y 的值随x 的值增大而增大的是（ ） A. y= -3x B. y=2x - 1 C. y= -3x+10 D. y= -2x+1 7、已知点（-4，y 1），（2，y 2）都在直线y=- 1

2

x+2上，则y 1 与y 2的大小关系

x y l 2

l 1 x y x y

x

y l 1

l 1 l 1

l 2

l 2

l 2 l 2 是( )

A. y 1 >y 2

B. y 1 =y 2

C. y 1

D. 不能比较 8、直线y=k x ＋b 经过一、二、四象限,则k 、b 应满足 ( )

A. k>0, b<0

B. k>0,b>0

C. k<0, b<0

D. k<0, b>0 、如下图，同一坐标系中，直线l 1: y=2x-3和l 2: y=-3x+2的图象大致可能是

）。

（A ）

10、作出函数x y 33-=的图象，并根据图象回答下列问题：

（1）y 的值随x 的增大而 ；

（2）图象与x 轴的交点坐标是 ；与y 轴的交点坐标是 ； （3）当x 时，y ≥0 ； （4）函数x y 33-=的图象与坐标轴所围成的三角形的面积是________________.

填空

1、已知一次函数1)2(++=x m y ,函数y 的值随x 值的增大而增大,则m 的取值范 围是 .

2、在函数2

1

-=

x y 中，自变量x 的取值范围是 。 3.函数2+-=x y 中,y 的值随x 值的减小而 ,且函数图像与x 轴、y 轴 的交点坐标分别是 ， 。

4、已知自变量为x 的函数y=mx+2-m 是正比例函数，则m=________，?该函数的解析式为_________

5、若一次函数y=kx+b 交于y?轴的负半轴，?且y?的值随x?的增大而减少，?则k____0，b______0．（填“>”、“<”或“＝”

6、若直线y=kx ＋b 平行直线y=3x ＋4，且过点（1，-2），则k=

7、汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量y （升）与行驶时间t （时）的函数关系用图象表示应为下图中的（ ）

8、假定甲乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的关系如图所示，那么可以知道：这是一次__________ m赛跑；甲、乙两人中先到达终点的是__________；乙在这次赛跑中的速度为__________m/s.（3分）

9．根据下列条件，确定函数关系式：

（1）y与x成正比，且当x=9时，y=16；

（2）y=kx+b的图象经过点（3，2）和点（-2，1）．

10、某种拖拉机的油箱可储油40L，加满油并开始工作后，?油箱中的余油量y （L）与工作时间x（h）之间为一次函数关系，如图所示．

（1）求y与x的函数解析式．（2）一箱油可供拖位机工作几小时

11、今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法．若某户居民每月应交电费y(元)与用电量x(度)的

函数图像是一条折线(如图所示)，根据图像解答下列问题：

(1)分别写出0≤x≤100和x≥100时，y与x的函数关系式；

(2)利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；

（D）不能比较

12、已知：一个正比例函数和一个一次函数的图像交于点P（-2、2）且一次函

数的图像与y轴的交点Q的纵坐标为4。

（1）求这两个函数的解析式；

（2）在同一坐标系中，分别画出这两个函数

的图像；

（3）求△PQO的面积。

、某地区的电力资源丰富，并且得到了较好的开发。该地区一家供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费。月用电量x（度）与相应电费y （元）之间的函数图像如图所示。

（1）月用电量为100度时，应交电费元；

（2）当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；

（3）月用电量为260度时，应交电费多少元

20、有一种节能型轿车的油箱最多可装天燃气50升，加满燃气后，油箱中的剩余燃气量y（升）与轿车行驶路程x（千米）之间的关系如

图所示，根据图象回答下列问题：

（1）一箱天燃气可供轿车行驶多少千米

（2）轿车每行驶200千米消耗燃料多少升

（3）写出y与x之间的关系式；（0≤x≤1000）