【高中数学】第2章 2.4 曲线与方程【新教材】人教B版(2019)高中数学选择性必修第一册讲义

2.4曲线与方程

学习目标核心素养1．了解曲线上的点与方程的解之间的

一一对应关系．

2．理解曲线的方程和方程的曲线的概念．(重点、易混点)

3．学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及掌握相互转化的思想方法．

4．掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤．5．掌握求轨迹方程的几种常用方法．(重点、难点)

6．初步学会通过曲线的方程研究曲线的几何性质．1．通过曲线与方程概念学习，培养数学抽象素养．

2．借助数形结合理解曲线的方程和方程的曲线，提升直观想象和逻辑推理素养．

3．通过由方程研究曲线的性质，培养直观想象素养．

4．借助由曲线求它的方程，提升逻辑推理、数学运算素养．

我国著名的数学家华罗庚先生对数形结合思想非常重视，他曾经说过数缺形来少直观，形缺数则难入微，可见，数形结合是中学数学非常重要的数学思想，在前面我们学习了直线和圆的方程．对数形结合思想有了初步的了解，本节内容我们将进一步学习曲线与方程的概念，了解曲线与方程的关系，进一步体会数形结合思想的应用．

1．曲线与方程的概念

一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．

一个二元方程总可以通过移项写成F(x，y)＝0的形式，其中F(x，y)是关于

x ，y 的解析式．

在平面直角坐标系中，如果曲线C 与方程F (x ，y )＝0之间具有如下关系： ①曲线C 上点的坐标都是方程F (x ，y )＝0的解； ②以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．

那么，方程F (x ，y )＝0叫做曲线的方程；曲线C 叫做方程的曲线． 思考1：如果曲线与方程仅满足“以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上”，会出现什么情况？举例说明．

[提示] 如果曲线与方程仅满足“以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上”，有可能扩大曲线的边界．如方程y ＝1－x 2表示的曲线是半圆，而非整圆．

思考2：如果曲线C 的方程是F (x ，y )＝0，那么点P (x 0，y 0)在曲线C 上的充要条件是什么？

[提示] 若点P 在曲线C 上，则F (x 0，y 0)＝0；若F (x 0，y 0)＝0，则点P 在曲线C 上，所以点P (x 0，y 0)在曲线C 上的充要条件是F (x 0，y 0)＝0．

2．两条曲线的交点坐标

曲线C 1：F (x ，y )＝0和曲线C 2：G (x ，y )＝0的交点坐标为方程组⎩⎨⎧

F (x ，y )＝0，

G (x ，y )＝0

的实数解． 3．解析几何研究的主要问题 (1)由曲线求它的方程． (2)利用方程研究曲线的性质． 4．求曲线的方程的步骤

5．利用曲线的方程研究曲线的对称性及画法

(1)由已知曲线的方程讨论曲线的对称性

设曲线C的方程为：f(x，y)＝0，一般有如下规律：

①如果以－y代替y，方程保持不变，那么曲线关于x轴对称；

②如果以－x代替x，方程保持不变，那么曲线关于y轴对称；

③如果同时以－x代替x，以－y代替y，方程保持不变，那么曲线关于原点对称．

另外，易证如果曲线具有上述三种对称性中的任意两种，那么它一定还具有另一种对称性．例如，如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称．事实上，设点P(x，y)在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P1(x，－y)必在曲线上；因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点的对称点P2(－x，y)必在曲线上．因为P(x，y)，P2(－x，y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称．

(2)根据曲线的方程画曲线

①对于这类问题，往往要把方程进行同解变形．注意方程的附加条件和x，y的取值范围，有时要把它看作y＝f(x)的函数关系，利用作函数图像的方法画出图形．

②对于变形过程一定要注意其等价性，否则作出的曲线与方程不符．

③注意方程隐含的对称性特征，并充分予以运用，从而减少描点量．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线上，则方程f(x，y)＝0，即为曲线C的方程．()

(2)方程x＋y－2＝0是以A(2,0)，B(0,2)为端点的线段的方程．

()

(3)在求曲线方程时，对于同一条曲线，坐标系的建立不同，所得的曲线方程也不一样．()

(4)求轨迹方程就是求轨迹．()

[答案](1)×(2)×(3)√(4)×

[提示](1)×曲线的方程必须满足两个条件．

(2)×以方程的解为坐标的点不一定在线段AB上，如M(－4,6)就不在线段

AB 上．

(3)√ 对于曲线上同一点，由于坐标系不同，该点的坐标就不一样，因此方程也不一样．

(4)× 求轨迹方程得出方程即可，求轨迹还要指出方程的曲线是什么图形． 2．点P (a ＋1，a ＋4)在曲线y ＝x 2＋5x ＋3上，则a 的值为( ) A ．1或－5 B ．－1或－5 C ．－2或3

D ．2或－3

B [由点P (a ＋1，a ＋4)在曲线y ＝x 2＋5x ＋3上，得a ＋4＝(a ＋1)2＋5(a ＋1)＋3，即a 2＋6a ＋5＝0得a ＝－1或a ＝－5．]

3．方程xy 2－x 2y ＝2x 所表示的曲线( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称

D ．关于直线x －y ＝0对称

C [将(－x ，－y )代入xy 2－x 2y ＝2x 方程不变，故选C ．]

4．平面上有三点A (－2，y )，B ⎝ ⎛

⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )若AB →⊥BC →，则动点C 的轨

迹方程为 ．

y 2

＝8x (x ≠0) [AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2，BC →＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ，y 2，由AB →⊥BC →

得2x －y 24＝0，即y 2

＝8x (x ≠0)．]

曲线与方程关系的应用

【例1(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫

m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求m 的值．

[解] (1)∵12＋(－2－1)2＝10， (2)2＋(3－1)2＝6≠10，

∴点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上， 点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．

(2)∵点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫

m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，∴x ＝m 2，y ＝－m

适合上述方程，

即⎝ ⎛⎭⎪⎫

m 22

＋(－m －1)2＝10，解得m ＝2或m ＝－185， ∴m 的值为2或－18

5．

1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．

2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．

[跟进训练]

1．若曲线y 2＝xy ＋2x ＋k 通过点(a ，－a )(a ∈R )，则k 的取值范围是 ． ⎣⎢⎡⎭⎪⎫

－12，＋∞ [由曲线y 2＝xy ＋2x ＋k 通过点(a ，－a )， 所以(－a )2＝a ×(－a )＋2×a ＋k ， 即k ＝2a 2

－2a ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122

－12，

所以k ≥－1

2．]

由方程研究曲线的性质

【例242下列三个结论：

①曲线C 关于原点对称； ②曲线C 关于直线y ＝x 对称； ③曲线C 所围成的区域的面积大于π． 其中，所有正确结论的序号是 ．

[思路探究] 分析关于原点对称的两个点(x ，y )，(－x ，－y )，是否都在曲线

上，可判断①；分析关于直线y ＝x 对称的两个点(x ，y )，点(y ，x )，是否都在曲线上，可判断②；求出曲线C 所围成的区域面积，可判断③．

①③ [将方程中的x 换成－x ，y 换成－y 方程不变，所以曲线C 关于原点对称，故①正确；

将方程中的x 换成y ，y 换成x ，方程变为y 4＋x 2＝1与原方程不同，故②错误；

在曲线C 上任取一点M (x 0，y 0)，x 4

0＋y 20＝1，∵|x 0|≤1， ∴x 40≤x 20，

∴x 20＋y 20≥x 40＋y 20＝1，即点M 在圆x 2＋y 2＝1外，

故③正确．

故正确的结论的序号是①③．]

讨论曲线的几何性质一般包括以下几个方面：

(1)研究曲线的组成和范围，即看一下所求的曲线是由哪一些基本的曲线组成的，在某些情况下可以根据方程求得方程所表示曲线的大致范围；

(2)研究曲线与坐标轴是否相交，如果相交，求出交点的坐标，因为曲线与坐标轴的交点是确定曲线位置的关键点；

(3)研究曲线的对称性(关于x 轴、y 轴、原点)；

(4)研究曲线的变化趋势，即y 随x 的增大或减小的变化情况；

(5)根据方程画出曲线的大致形状，在画曲线时，可充分利用曲线的对称性，通过列表、描点的方法先画出曲线在一个象限的图像，然后根据对称性画出整条曲线．

[跟进训练]

2．画出方程y ＝x 2－2|x |＋1的曲线．

[解] ∵y ＝x 2－2|x |＋1＝(|x |－1)2＝||x |－1|，易知x ∈R ，y ≥0． 用－x 代替x ，得||－x |－1|＝||x |－1|＝y ，所以曲线关于y 轴对称． 当x ≥0时，y ＝|x －1|＝⎩⎨⎧

x －1(x ＞1)，1－x (0≤x ≤1)，

分段画出该方程的图像，即为y轴右侧的图像，再根据对称性，便可以得到方程y＝x2－2|x|＋1的图像，如图所示．

直接法求曲线方程

【例3】一个动点到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍，求动点的轨迹方程．

[思路探究]利用动点到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍列等式，化简即可求出动点的轨迹方程．

[解]设动点P(x，y)，

由题意，|x－8|＝2(x－2)2＋y2，

两边平方可得：x2－16x＋64＝4x2－16x＋16＋4y2．

整理得：x2

16＋

y2

12＝1．

所以动点的轨迹方程为：x2

16＋

y2

12＝1．

直接法求轨迹方程的2种常见类型及解题策略

直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐标(x，y)，然后根据题目中的等量关系列出x，y之间的关系并化简．主要有以下两类常见题型．

(1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程．

(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．

提醒：求出曲线的方程后要注意验证方程的纯粹性和完备性．

[跟进训练]

3．如图，线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|＝2a(a＞0)，|CD|＝2b(b ＞0)，动点P满足|P A|·|PB|＝|PC|·|PD|，求动点P的轨迹方程．

[解] 以O 为坐标原点，直线AB ，CD 分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系(图略)，则A (－a ，0)，B (a,0)，C (0，－b )，D (0，b )，设P (x ，y )是曲线上的任意一点，

由题意知，|P A |·|PB |＝|PC |·|PD |，

(x ＋a )2＋y 2·(x －a )2＋y 2＝x 2＋(y ＋b )2·x 2＋(y －b )2，

化简得x 2－y 2＝a 2－b

2

2．

故动点P 的轨迹方程为x 2－y 2＝a 2－b

22．

代入法求曲线方程

[1．当所求动点P 的运动很明显地依赖于一已知曲线上的动点Q 的运动时，怎样求P 点的轨迹？

提示：设所求动点P 的坐标为(x ，y )，再设与P 相关的已知点坐标为Q (x 0，y 0)，找出P 、Q 之间的坐标关系，并表示为x 0＝f (x )，y 0＝f (y )，根据点Q 的运动规律得出关于x 0，y 0的关系式，把x 0＝f (x )，y 0＝f (y )代入关系式中，即得所求轨迹方程．

2．求得曲线方程后，如何避免出现“增解”或“漏解”？

[提示] 在化简的过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“漏解”或“增解”．

【例4】 已知动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3,0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程．

[思路探究] 所求动点与已知曲线上动点相关，可通过条件确定两动点的坐标间的关系求得．

[解] 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，∵P 为MB 的中点．

∴⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝x 0＋32，y ＝y 0

2，

即⎩⎨⎧

x 0＝2x －3，

y 0＝2y ，

又∵M 在曲线x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋4y 2＝1， ∴P 点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1．

1．(变换条件)本例中把条件“M 和定点B (3,0)连线的中点为P ”改为“MP →

＝2PB →

”，求P 点的轨迹方程．

[解] 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，

则MP →＝(x －x 0，y －y 0)，PB →

＝(3－x ，－y )， 由MP →＝2PB →得⎩⎨⎧

x －x 0＝(3－x )×2，y －y 0

＝－2y ，

即⎩⎨⎧

x 0＝3x －6，

y 0＝3y ，又∵M 在曲线x 2＋y 2＝1上， ∴(3x －6)2＋9y 2＝1，

∴点P 的轨迹方程为(3x －6)2＋9y 2＝1．

2．(变换条件)本例中把条件“M 和定点B (3,0)连线的中点为P ”改为“一动点P 和定点B (3,0)连线的中点为M ”，试求动点P 的轨迹方程．

[解] 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，∵M 为PB 的中点． ∴⎩⎪⎨⎪⎧

x 0＝x ＋32，y 0＝y

2

，又∵M 在曲线x 2＋y 2＝1上，

∴⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋322

＋⎝ ⎛⎭⎪⎫

y 22

＝1，即(x ＋3)2＋y 2＝4， ∴P 点轨迹方程为(x ＋3)2＋y 2＝4．

代入法求解曲线方程的步骤

(1)设动点P (x ，y )，相关动点M (x 0，y 0)；

(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系⎩⎨⎧

x 0＝f (x ，y )，

y 0＝g (x ，y )；

(3)代入相关动点的轨迹方程； (4)化简、整理，得所求轨迹方程．

其步骤可总结为“一设、二找、三代、四整理”．

1．曲线的方程和方程的曲线必须满足两个条件：

曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上． 2．点(x 0，y 0)在曲线C 上的充要条件是点(x 0，y 0)适合曲线C 的方程． 坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同．

3．一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x ，y )，而不要设成(x 1，y 1)或(x ′，y ′)等．

4．方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程f (x ，y )＝0化成x ，y 的整式．如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点．求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线，求轨迹方程则不必说明．

5．“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状．

1．下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是( )

A B C D

D [对于A ，点(0，－1)满足方程，但不在曲线上，排除A ；对于B ，点(1，－1)满足方程，但不在曲线上，排除B ；对于C ，曲线上第三象限的点，由于x ＜0，y ＜0，不满足方程，排除C ．]

2．若M (1,2)在曲线x 2＋ay 2＝2上，则a 的值为( )

A ．14

B ．4

C ．13

D ．3

A [因为M (1,2)在曲线x 2＋ay 2＝2上，代入曲线方程可得a ＝14．]

3．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是 ．

4个点 [由方程得⎩⎨⎧ x 2－4＝0，y 2－4＝0，

表示4个点．] 4．曲线y ＝1－x 2和y ＝－x ＋2公共点的个数为 ．

1 [由⎩⎨⎧ y ＝1－x 2，y ＝－x ＋2，

得－x ＋2＝1－x 2，两边平方并整理得(2x －1)2

＝0，所以x ＝22，y ＝22，故公共点只有一个⎝ ⎛⎭⎪⎫22

，22．] 5．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，RA →＝AP →，求

点P 的轨迹方程．

[解] 由RA →＝AP →知，R 、A 、P 三点共线，且A 为RP 的中点，设P (x ，y )，

R (x 1，y 1)，由RA →＝AP →，得(1－x 1，－y 1)＝(x －1，y )，

得⎩⎨⎧

1－x 1＝x －1，－y 1＝y ，

即x 1＝2－x ，y 1＝－y ，代入直线y ＝2x －4中，得y ＝2x ． 即点P 的轨迹方程为y ＝2x ．

高考数学：试卷答题攻略

一、“六先六后”，因人因卷制宜。

考生可依自己的解题习惯和基本功，选择执行“六先六后”的战术原则。1.先易后难。2.先熟后生。3.先同后异。先做同科同类型的题目。4.先小后大。先做信息量少、运算量小的题目，为解决大题赢得时间。5.先点后面。高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，步步为营，由点到面。6.先高后低。即在考试的后半段时间，如估计两题都会做，则先做高分题;估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”。

二、一慢一快，相得益彰，规范书写，确保准确，力争对全。

审题要慢，解答要快。在以快为上的前提下，要稳扎稳打，步步准确。假如速度与准确不可兼得的话，就只好舍快求对了。

三、面对难题，以退求进，立足特殊，发散一般，讲究策略，争取得分。

对于一个较一般的问题，若一时不能取得一般思路，可以采取化一般为特殊，化抽象为具体。对不能全面完成的题目有两种常用方法：1.缺步解答。将疑难的问题划分为一个个子问题或一系列的步骤，每进行一步就可得到一步的分数。2.跳步解答。若题目有两问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，完成第二问。

四、执果索因，逆向思考，正难则反，回避结论的肯定与否定。

对一个问题正面思考受阻时，就逆推，直接证有困难就反证。对探索性问题，不必追求结论的“是”与“否”、“有”与“无”，可以一开始，就综合所有条件，进行严格的推理与讨论，则步骤所至，结论自明。理综求准求稳求规范第一：认真审题。审题要仔细，关键字眼不可疏忽。不要以为是“容易题”“陈题”就一眼带过，要注意“陈题”中可能有“新意”。也不要一眼看上去认为是“新题、难题”就畏难而放弃，要知道“难题”也可能只难在一点，“新题”只新在一处。

第二：先易后难。试卷到手后，迅速浏览一遍所有试题，本着“先易后难”的原则，确定科学的答题顺序，尽量减少答题过程中的学科转换次数。高考试题的组卷原则是同类题尽量按由易到难排列，建议大家由前向后顺序答题，遇难题千万不要纠缠。

第三：选择题求稳定。做选择题时要心态平和，速度不能太快。生物、化学选择题只有一个选项，不要选多个答案;对于没有把握的题，先确定该题所考查的内容，联想平时所学的知识和方法选择;若还不能作出正确选择，也应猜测一个答案，不要空题。物理题为不定项选择，在没有把握的情况下，确定一个答案后，就不要再猜其他答案，否则一个正确，一个错误，结果还是零分。选择题做完后，建议大家立即涂卡，以免留下后患。

第四：客观题求规范。①用学科专业术语表达。物理、化学和生物都有各自的学科语言，要用本学科的专业术语和规范的表达方式来组织答案，不能用自造的词语来组织答案。②叙述过程中思路要清晰，逻辑关系要严密，表述要准确，努力达到言简意赅，切中要点和关键。③既要规范书写又要做到文笔流畅，不写病句和错别字，特别是专业名词和概念。④遇到难题，先放下，等做完容易的题后，再解决，尽量回忆本题所考知识与我们平时所学哪部分知识相近、平时老师是怎样处理这

类问题的。⑤尽量不要空题，不会做的，按步骤尽量去解答，努力抓分。记住：关键时候“滥竽”也是可以“充数”的。