浙教版九年级数学下册第二章

【知识梳理1：切线的判定】

1. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线

2. 切线判定的三种方法：

（1）和圆只有一个公共点的直线

（2）圆心到直线的距离等于圆的半径的直线 （3）切线判定定理 例题讲解

例1 下列说法中，不正确的是（ ）

A.与圆只有一个交点的直线是圆的切线

B.经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线

C.与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线

D.垂直于半径的直线是圆的切线

例2 如图，AB 是⊙O 的直径，下列条件中，不能判定直线AT 是⊙O 的切线的是（ ）

A. AB ＝4，AT ＝3，BT ＝5

B. ∠B ＝45°，AB ＝AT

C. ∠B ＝55°，∠TAC ＝55°

D. ∠ATC ＝∠B

第2题 第3题

例3 如图，已知AB 是⊙O 的弦，半径OC 经过AB 的中点D ，CE ∥AB ，点F 在⊙O 上，连结OA ，CF ，BF ，则下列结论中，不正确的是（ ）

A. ∠F ＝1

2∠AOC B. AB ⊥BF C. CE 是⊙O 的切线 D. AC ︵＝BC ︵

例4如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB 与CD 交于点E ，CE ＝DE ，过点B 作BF ∥CD ，交AC 的延长线于点F ，求证：BF 是⊙O 的切线.

【变式训练】

1. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，则点B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ）

A.点(0，3)

B.点(2，3)

C.点(5，1)

D.点(6，1)

(第1题) (第2题)

2. 如图，已知∠ABC ＝90°，O 为射线BC 上一点.以点O 为圆心，1

2BO 长为半径作⊙O .当射

线BA 绕点B 按顺时针方向旋转______________(不超过360°)时与⊙O 相切.

3. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，以对角线BD 为直径作⊙O ，分别与BC ，AD 交于点E ，F .

（1）求证：四边形BEDF 为矩形.

（2）若BD 2＝BE ·BC ，试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由.

4. 如图，在△AOB 中，∠AOB ＝90°，OD ⊥AB 于点D.以点O 为圆心，OD 长为半径的圆交OA 于点 E ，在BA 上截取BC ＝OB ，连结CE .求证： CE 是⊙O 的切线.

5. 如图，⊙O 的直径为AB ，点C 在圆周上(不与点A ，B 重合)，AD ⊥C D. （1）若BC ＝3，AB ＝5，求AC 的长.

（2）若AC 是∠DAB 的平分线，求证：直线CD 是⊙O 的切线.

【知识梳理2：切线的性质】

1. 切线的性质：经过切点的半径垂直于切线

2. 只要知道以下其中两个性质就可以推出第三个：①过圆心；②过切点；③垂直于切线 例题讲解

例1 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上的一点，且BC=OB ，CD 切⊙O 于点D. 则∠A =（ ）

A. 15°

B. 30°

C. 60°

D. 75°

第1题 第2题

例2 如图，以点O 为圆心的两个圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，OA 交小圆于点D.若OD ＝2，tan ∠OAB ＝1

2

，则AB 的长是（ ）

A. 4

B. 2 3

C. 8

D. 4 3

例3 如图，AB 为⊙O 的直径，PQ 切⊙O 于点T ，连结AT ，AC ⊥PQ 于点C ，交⊙O 于点D.

（1）求证：AT 平分∠BA C.

（2）若AO ＝2，AT ＝2 3，求AC 的长.

例4如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＋BC ＝8，O 是斜边AB 上一点，以点O 为圆心的⊙O 分别与AC ，BC 相切于点D ，E . （1）当AC ＝2时，求⊙O 的半径.

（2）设AC ＝x ，⊙O 的半径为y ，求y 关于x 的函数表达式.

【变式训练】

1. 如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连结A C.若∠A＝30°，PC＝3，则BP的长为_________.

第1题第2题

2. 如图，半圆O与等腰直角三角形ABC的两腰CA，CB分别切于D，E两点，直径FG在AB上.若BG＝2－1，则△ABC的周长为__________

3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（）

A. 13

3 B.

9

2 C.

4

313 D. 2 5

第3题第4题

4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4 3.若动点D在线段AC上(不与点A，C重合)运动，过点D作DE⊥AC交AB边于点E.

（1）当点D运动到线段AC的中点时，DE＝___________.

（2）若点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE＝__________时，⊙C 与直线AB相切.

5. 如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，F是DA延长线上的一点，AC平分∠F AB交⊙O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为E.

（1）求证：CE是⊙O的切线.

（2）若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径.

6. 如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D，A分别作⊙O的切线交于点G，并与AB的延长线交于点E.

（1）求证：∠1＝∠2.

（2）若OF∶OB＝1∶3，⊙O的半径为3，求AG的长.

【综合例题讲解】

例1如图，公路MN与公路PQ在点P处交会，且QPN＝30°，在点A处有一所中学，AP ＝160 m.假设拖拉机行驶时，周围100 m以内会受噪音影响，那么拖拉机在公路交会处沿PN方向行驶时，学校是否会受噪音影响？如果不受影响，请说明理由；如果受影响，且已知拖拉机的速度为18 km/h，则学校受影响的时间为多少秒？

例2如图，在平面直角坐标系中，原点为O，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(－1，0)，以AB的中点P为圆心，AB长为直径作⊙P交y轴正半轴于点C.

（1）求经过A，B，C三点的抛物线所对应的函数表达式.

（2）设M为(1)中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数表达式.

（3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论.

【变式训练】

1. 如图①，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点D，且ED⊥A C.

（1）试判断△ABC的形状，并说明理由.

（2）如图②，若线段AB，DE的延长线交于点F，∠C＝75°，CD＝2－3，求⊙O的半径和BF的长.

2. 如图，射线QN 与等边三角形ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC ∥QN ，AM ＝MB ＝2cm ，QM ＝4cm.动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1cm 的速度向右移动，经过t (s)，以点P 为圆心，3cm 为半径的圆与△ABC 的边相切(切点在边上)，请求出t 可取的一切值

2.2

知识要点：切线长定理】

1. 切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等

2. 注意切线和切线长两个不同的概念 【例题讲解】

例1 如图，从⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线P A ，PB ，切点分别为A ，B.如果∠APB ＝60°，P A ＝8，那么弦AB 的长是（ ）

A. 4

B. 8

C. 4 3

D. 8 3

例1图 变式1图 【变式训练】

1. 如图，P A ，PB ，CD 分别与⊙O 相切于点A ，B ，E ，若P A ＝7，则△PCD 的周长为_________

2. 如图，P A ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交P A ，PB 于点C ，D.若⊙O 的半径为r ，△PCD 的周长为3r ，连结OA ，OP ，则OA

P A

的值是_________

变式2图 变式3图

3. 如图，⊙O 与△ABC 中AB ，AC 的延长线及BC 边相切，且∠ACB ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边长依次为3，4，5，则⊙O 的半径是___________.

例2如图，P A ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，连结OP 与⊙O 交于点C ，连结AC ，B C.

求证：AC ＝B C.

【变式训练】

1. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点E ，EF ⊥AB ，垂足为F . （1）求证：DE ＝12

B C.

（2）若AC ＝6，BC ＝8，求S △ACD ∶S △EDF 的值.

2. 如图，O 是△ABC 内一点，⊙O 与BC 相交于F ，G 两点，且与AB ，AC 分别相切于点D ，E ，DE ∥BC ，连结DF ，EG . （1）求证：AB ＝A C.

（2）若AB ＝10，BC ＝12，求当四边形DFGE 是矩形时⊙O 的半径.

3. 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，M 是BC 的中点，P 是线段MC 上的一个动点(不与点M ，C 重合)，以AB 为直径作⊙O ，过点P 作⊙O 的切线交AD 于点F ，切点为E .求四边形CDFP 的周长.

【综合例题讲解】

1. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于点C ，BE ∥CO . （1）求证：BC 是∠ABE 的平分线；

（2）若DC ＝8，⊙O 的半径OA ＝6，求CE 的长．

2. 如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 切⊙O 于点D ，AM ⊥CD 于点M ，BN ⊥CD 于点N . （1）求证：∠ADC ＝∠ABD ； （2）求证：AD 2＝AM ·AB ；

（3）若AM ＝185，sin ∠ABD ＝3

5

，求线段BN 的长．

2.3【知识要点：三角形的内切圆】 1. 三角形内、外心的区别

2. 注意“接”与“切”，“内”与“外”的区别，任意一个三角形都有________的内切圆和外接圆，但圆有__________个外切三角形和内接三角形. 解题小技巧：

（1）已知△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，三边长为a ，b ，c ，则有： S=1

2（a+b+c ）r

（2）已知Rt △ABC 两直角边为a ，b ，斜边为c ，则该直角三角形的内切圆半径： r=1

2（a+b+c ）

例题讲解

例1给出下列说法：

①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆； ②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形； ③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆； ④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形． 其中正确的有（ ）

A ．1个

B ．2 个

C ．3个

D ．4个 【变式训练】

1. 下列说法中，不正确的是( )

A ．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点

B ．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部

C ．垂直于半径的直线是圆的切线

D ．三角形的内心到三角形的三边的距离相等

例2如图，△ABC 是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB ＝15，AC ＝9，BC ＝12，阴影部分是△ABC 的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（ ）

A. 16

B. π6

C. π8

D. π5

例2图 变式1图 【变式训练】

1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，⊙O 为△ABC 的内切圆，D 是斜边AB 的中点，则tan ∠ODA ＝（ ）

A.

33 B. 3

2

C. 3

D. 2 例3如图，在平面直角坐标系中，有一正方形AOB C.反比例函数y ＝k

x 的图象经过正方形AOBC

对角线的交点，半径为4－22的圆内切于△ABC ，求k 的值.

【变式训练】

1. 如图，⊙O 是以∠ACB 为直角的△ABC 的内切圆，切点分别是D ，E ，F . （1）填空：当_____________时，EF ∥AB （填上符合题目要求的一个条件即可）. （2）当EF ∥AB 时，设⊙O 的半径r ＝1，DE ，AC 的延长线交于点G ，求GF 的长.

2. 如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，I 为△ABC 的内心，O 为BC 上一点，过B ，I 两点的⊙O 交BC 于点D ，tan ∠CBI ＝1

3，AB ＝6.

（1）求线段BD 的长. （2）求线段BC 的长.

【链接中考】

1. △ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则 ∠AIB 的度数是（ ）

A ．120°

B ．125°

C ．135°

D ．150°

2. 一个钢管放在V 形架内， O 为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm ，∠MPN = 60?，则OP =________.

3. 如图，在△ABC 中，，cos B ．如果⊙O

cm

，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm ．

4. . 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=16，点O 为△ABC 的内心，M 为斜边AB 的中点，求OM 的长

【综合例题讲解】

例1如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠CAB ＝α(定值)，⊙O 的圆心O 在AB 上，并分别与AC ，BC 相切于点P ，Q .

（1）求∠POQ 的度数(用含α的代数式表示).

（2）设D 是CA 延长线上的一个动点，DE 与⊙O 相切于点M ，点E 在CB 的延长线上，试判断∠DOE 的度数是否保持不变，并说明理由.

（3）在（2）的条件下，如果AB ＝m(m 为已知数)，cos α＝3

5，设AD ＝x ，DE ＝y ，求y 关

于x 的函数表达式（并指出自变量x 的取值范围）.

5cm AB AC ==3

5

=

例2 在Rt △ABC ，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD ⊥AB 于点D ，以D 为坐标原点，CD 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系. （1）求A ，B ，C 三点的坐标；

（2）若⊙O 1、⊙O 2分别为△ACD ，△BCD 的内切圆，求直线O 1O 2的函数表达式

【课后作业】

1. 如图，AB 是⊙O 的直径，CO ⊥AB ，CD 切⊙O 于D ，AD 交CO 于E.求证：CD ＝CE.

2. 如图，⊙D 的半径为3，A 是⊙D 外一点，且AD ＝5，AB ，AC 分别与⊙D 相切于B ，C 两点，G 是BC ︵

上任意一点，过点G 作⊙D 的切线，交AB 于点E ，交AC 于点F . （1）求△AEF 的周长.

（2）当G 为线段AD 与⊙D 的交点时，连结CD ，求五边形DBEFC 的面积.

3. 如图，直线l 与⊙O 相交于A ，B 两点，且与半径OC 垂直，垂足为H ，已知AB ＝16 cm ，

cos ∠OBH ＝4

5.

（1）求⊙O 的半径；

（2）如果要将直线l 向下平移到与⊙O 相离的位置，平移的距离应满足什么条件？

4. 如图①，在四边形ABCD 中，∠D ＝∠C ＝90°，AB ＝4，BC ＝6，AD ＝8.点P ，Q 同时从A 点出发，分别做匀速运动，其中点P 沿AB ，BC 向终点C 运动，速度为每秒2个单位，点Q 沿AD 向终点D 运动，速度为每秒1个单位．当这两点中有一点到达终点时，另一点也停止运动．设这两点运动了t 秒．

（1）动点P 与Q 哪一点先到达终点？此时t 为何值？(直接写出结果) （2）当0＜t ＜2时，求证：以PQ 为直径的圆与AD 相切(如图②)．

（3）以PQ 为直径的圆能否与CD 相切？若能，求出t 的值或取值范围；若不能，请说明理由．