2020实验班第二次周考试卷

2020-2021学年高二理科上期第三次周考试卷

数学（实验班）

一、选择题：本大题共18小题,每小题5分，共90分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．下列命题正确的是( )

A ．棱柱的侧面都是长方形

B ．棱柱的所有面都是四边形

C ．棱柱的侧棱不一定相等

D ．一个棱柱至少有五个面 2．下列推理错误的是( )

A ,,,A l A

B l B l ααα∈∈∈∈?? B ．,,,A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈?=

C ．,l A l A αα?∈??

D ．,A l l A αα∈??∈

3．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =,E 为1AA 的中点，则异面直线BE 和1CD 所成角的余弦值为( ) A ．

10

B ．310

C ．15

D ．3

5

4．已知ABC ?的平面直观图'''A B C ?是边长为a 的正三角形，那么原

ABC ?的面积为( )

A ．

2

32

a B ．2

34

a C ．2

62

a D ．26a

5．如图，四棱锥P ?ABCD 的底面ABCD 是梯形，AB//CD ，

若平面PAD ∩平面PBC =l ，则( )

A. l//CD

B. l//BC

C. l 与直线AB 相交

D. l 与直线DA 相交

6．若,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面： ①//,m n m n αα⊥?⊥；②//,,//m n m n αβαβ???

③//,//,m n m n αβαβ⊥?⊥；④若,,//m n m n αγβγ==，则//αβ. 则以上说法中正确的个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

7．已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6AB =，

23BC =，则棱锥O ABCD -的体积为( )

A ．83

B ． 6

C ． 43

D ．8 8．圆台的两个底面面积之比为4:9，母线与底面的夹角是60，轴截面的面积为1803，则圆台的母线长l =( )

A ．63

B ．62

C ．123

D ．12 9．已知平面α⊥平面β，l αβ=，点,A A l α∈?，直线//AB l ，直线

AC l ⊥，直线//,//m m αβ，则下列四种位置关系中，不一定成立

的是( )

A ．//A

B m B ．A

C β⊥ C ．//AB β

D ．AC m ⊥

10．某几何体的三视图如图所示(实线部分)，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是

( )

A ．28π3

B ．32π3

C ．52π3

D ．56π3

11．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =,123AA =，D ，F 分

别是棱AB ，1AA 的中点，E 为棱AC 上的动点，则DEF ?的周长的最小值为( )

A ．222+

B ．232+

C ．62+

D ．72+

12．如图，已知矩形ABCD 中，2AB AD =,E 为边AB 的中点，将ADE ?沿直线DE 翻折成1A DE ?，若M 是线

段1A C 的中点，则ADE ?在翻折过程中，下列命题：

①线段BM 的长是定值；②存在某个位置，使1DE A C ⊥;

③点M 的运动轨迹是一个圆；④存在某个位置，使得MB ⊥面

1A DE ．正确的个数是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

13.在平面四边形ABCD 中，AC ⊥BC ，BC =1，AB=2，将△ABC 沿对角线AC 所在的直线折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，则直线AB 与平面

ACD 所成角为( )

A ．3π

B ．6

π C ．56π D ．23

π

14..一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为( )

A. 63π m 3

B. 85

π m 3 C . 8

3π m 3 D. 94

π m 3

15．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面

三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( ) A. √

5?14

B. √

5?12

C. √

5+14

D. √

5+12

16．已知三棱锥S ?ABC 的底面ABC 是等边三角形，点A 在侧

面SBC 上的射影H 是△SBC 的垂心，则下列结论①SC ⊥

SB ②AS ⊥BC ③SC ⊥平面AHB ④CH ⊥平面SAB ⑤SA =SB =SC ，其中一定正确的是

A. ②③⑤

B. ②③

C. ①②③

D. ②③④⑤ 17 在三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB=PC=,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（ ）

A ． B. C. 4 D.

18 已知四面体P －ABC 的外接球的球心O 在AB 上,且PO ⊥平面ABC,

23AC AB =, 若四面体P －ABC 的体积为

3

2

,则该球的体积为（ ） A ．43π B ．

43π C ．83π D ．83

π 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)

19．一个横放的圆柱形水桶，桶内的水漫过底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度的比为________． 20. 三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为3,2,1则该三棱锥的外接球的表面积

21．已知平面α外两点,A B 到平面α的距离分别是2和22，,A B 在平面α内的射影之间的距离为6，则线段AB 的长度为_______

3π3

ππ43π

22．在正三棱锥S ABC

-中，点M是SC的中点，且AM SB

⊥，底面边长

22

AB=，则正三棱锥S ABC

-的外接球的表面积为

____________

23．如图，在三棱锥S ABC

-中，SA SB SC

==，且

π

2

ASB BSC CSA

∠=∠=∠=，M N

、分别是AB和SC的中点，则异

面直线SM与BN所成的角的余弦值为______，直线SM与平面

SAC所成角的大小为_________.

三解答题

24.（11分）如图，在四棱锥P ABCD

-中，PA⊥底面ABCD，AB AD

⊥，

AC CD

⊥，60

ABC?

∠=，PA AB BC

==，E是PC的中点．

（1）求PB和平面PAD所成的角的大小；

（2）求二面角A PD C

--的正弦值．

25．（12分）已知四棱锥P ABCD

-中，底面ABCD为菱形，60

DAB

∠=?，

平面PAD⊥平面ABCD，2

PA PD AD

===，点E，F分别为PD，AB

上的一点，且2

PE ED

=，2BF FA

=．

（1）求证：AE//平面PFC；

（2）求PB与平面PCD所成角的正弦值．

22．（12分）如图，在四棱锥P ABCD

-中，ABCD是边长为2的菱形，且60

DAB?

∠=，

,4

PB PC PD

==，,E F分别为,

AD PA的中点。

（1）证明：AD⊥平面BEF；

（2）若二面角P AD B

--的大小是30?，求点D到平面PBC的距离。

答案理科数学实验班3

1~5．DCBCD 6~10． BADBB 11~15． DBBCC

16-18 CDA

19(π－2)∶4π 20 6π 21 2226

或

22 12π 23略

24. (1)解在四棱锥P—ABCD中，

因为PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，

故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，从而AB⊥平面PAD，

故PB在平面PAD内的射影为PA，从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．

在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°.

所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°. ................................................4分(2)证明在四棱锥P—ABCD中，

因为PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，

故CD⊥PA.由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC.

又AE?平面PAC，∴AE⊥CD.

由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.

∵E是PC的中点，∴AE⊥PC. 又PC∩CD＝C，综上得AE⊥平面PCD. ...............................................8分过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，如图所示．

由(2)知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，

则可证得AM⊥PD.

因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角．

由已知，可得∠CAD＝30°.

设AC＝a，可得

PA＝a，AD＝

23

3

a，PD＝

21

3

a，AE＝

2

2

a.

在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM·PD＝PA·AD，

则AM＝

PA·AD

PD

＝

a·

23

3

a

21

3

a

＝

27

7

a.

在Rt△AEM中，sin∠AME＝

AE

AM

＝

14

4

.

所以二面角A—PD—C的正弦值为14

4

........................12分

………………12分

25．（12分）已知四棱锥P ABCD

-中，底面ABCD为菱形，60

DAB

∠=?，平面PAD⊥平面ABCD，2

PA PD AD

===，点E，F分别为PD，AB 上的一点，且2

PE ED

=，2BF FA

=．

（1）求证：AE //平面PFC ；

（2）求PB 与平面PCD 所成角的正弦值． 解:（1）取PC 边上点G ，使得2PG GC =，连接,EG FG ．

因为2PG PE

GC ED ==，所以EG CD ∥，且23EG CD =．

又2BF FA =，所以AF CD ∥，且2

3

AF CD =．

所以EG FA ∥，且EG FA =， 所以四边形EGFA 为平行四边形，则

//AE FG ． (4)

分

又AE ?平面PFC ，FG ?平面PFC ，所以AE //平面

PFC ．………………5分

（2）取AD 中点O ，由PA PD =，所以PO AD ⊥， 又平面PAD ⊥平面ABCD ，交线为AD ，且PO AD ⊥， 所以PO ⊥平面

ABCD ． (6)

分

以O 为原点建系，以OA ，OB ，OP 为x 轴，y 轴，z 轴． 所以(0,0,3)P ，(0,3,0)B ，(2,3,0)C -，(1,0,0)D -， 所以(2,3,3)PC =--，(1,0,3)PD =--，

(0,3,3)PB =-． …

……………7分

设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，

则233030PC x y z PD x z ??=-+-=???=--=??

n n ，

可取

(3,1,1)=-n ， ……

…………9分 所以

2310

cos ,65

PB ??=

=?n ………………11分

设PB 与平面PCD 所成角为θ， 则sin θ=

10|cos ,|5

PB ??=

n ．

26（1）取BC 的中点G ，连接GD,GP,BD,在BCD 中，BC=CD,60DCB DAB ∠=∠= ,所以BCD 为正三角形，又因为G 是BC 中点，BC DG ⊥ ,因为PB PC = ,所以

BC PG ⊥,又DG PG G =,故BC DGP ⊥面,因为E,F 分别为AD,PA 的中点，所以

//,//EF PD BE DG ,又BE

EF E =,所以平面//BEF PDG 面 ,又//AD BC ,故

AD BEF ⊥面 ......................4分

（2）因为AD BEF ⊥面，所以,AD EF AD BE ⊥⊥.则FEB ∠为二面角P—AD—B 的平面角，即30FEB ∠=，因为PD=4,所以EF=2,因为AB=2AE=2,且60DAB ∠=,所以

3BE = ,BF=1,且BF BE ⊥,因为AD BEF ⊥面，所以AD BF ⊥,所以BF ABCD ⊥面,所以三棱锥P—BCD 的高为2.

于是三棱锥P—BCD

的体积112232P BCD V -=

??=, ......................6分

在ABF 中，BF=1,AB=2,BF AB ⊥,

所以AF =

cos FAB ∠=

,

则在ABP 中，

2

22

2

2

2

22,cos 2PB AP AB PB

AP AB PAB AP AB +-+-==∠===

?

所以PB PC ==, 于是PBC

的面积

1

22

PBC

S

=?=

设点D 到平面PBC 的距离为d ，三棱锥P—BCD 的体积与三棱锥

D—PBC 的体积相

等。所以1

d 33

=

，故d 7

= ........................12分