数理统计试题

<数理统计>试题

一、填空题

1．设1621,,,X X X 是来自总体X ),4(~2σN 的简单随机样本，2

σ已知，令

∑==16

1161i i X X ，则统计量σ

-164X 服从分布为 （必须写出分布的参数）。

2．设),(~2

σμN X ，而1.70，1.75，1.70，1.65，1.75是从总体X 中抽取的样本，则μ的矩估计值为 。

3．设]1,[~a U X ，n X X ,,1 是从总体X 中抽取的样本，求a 的矩估计为 。 4．已知2)20,8(1.0=F ，则=)8,20(9.0F 。

5．θ?和β?都是参数a 的无偏估计，如果有 成立 ，则称θ?是比β?有效的估计。

6．设样本的频数分布为

则样本方差2s =_____________________。

7．设总体X~N （μ，σ2），X 1，X 2，…，X n 为来自总体X 的样本，X 为样本均值，则D （X ）＝________________________。

8．设总体X 服从正态分布N （μ，σ2），其中μ未知，X 1，X 2，…，X n 为其样本。若假设

检验问题为1H 1H 2120≠?σσ：＝：，则采用的检验统计量应________________。 9．设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H 0成立时，样本值（x 1,x 2, …，x n ）落

入W 的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为_____________________。

10．设样本X 1，X 2，…，X n 来自正态总体N （μ，1），假设检验问题为：，

：＝：0H 0H 10≠?μμ 则在H 0成立的条件下，对显著水平α，拒绝域W 应为______________________。

11．设总体服从正态分布

(,1)N μ，且μ未知，设1,,n X X 为来自该总体的一个样本，记

1

1n

i

i X X n ==∑，则μ的置信水平为1α-的置信区间公式是 ；若已知10.95α-=，

则要使上面这个置信区间长度小于等于0.2，则样本容量n 至少要取__ __。

12．设n X X X ,,,21 为来自正态总体2(,)N μσ的一个简单随机样本，其中参数μ和2σ均

未知，记11n i i X X n ==∑，2

2

1()n

i i Q X X ==-∑，则假设0H ：0μ=的t 检验使用的统计

量是 。（用X 和Q 表示）

13．设总体

2

~(,)X N μσ，且μ已知、2σ未知，设123,,X X X 是来自该总体的一个样本，则21231

()3X X X σ+++，12323X X X μσ++，

222

123X X X μ++-，(1)2X μ+中是统计量的有 。

14．设总体X 的分布函数()F x ，设n X X X ,,,21 为来自该总体的一个简单随机样本，

则

n X X X ,,,21 的联合分布函数 。

15．设总体X 服从参数为p 的两点分布，p （01p <<）未知。设1

,,n X X 是

来自该总体的一个样本，则21

11

1

,(),6,{},max n n

i

i

n i n i n

i i X X

X X X X pX ≤≤==--+∑∑中是统计量

的有 。

16．设总体服从正态分布(,1)N μ，且μ未知，设

1,

,n X X 为来自该总体的一个样本，记

1

1n

i

i X X n ==∑，则μ的置信水平为1α-的置信区间公式是 。

17．设2~(,)X X X N μσ，

2

~(,)Y Y Y N μσ，且X 与Y 相互独立，设1,,m X X 为来自总体

X 的一个样本；设1,,n Y Y 为来自总体Y 的一个样本；2X S 和2

Y S 分别是其无偏样本方差，

则22

22//X X Y Y S S σσ服从的分布是 。

18．设()2

,0.3X N

μ~，容量9n =，均值5X =，则未知参数μ的置信度为0.95的置信

区间是 (查表0.025 1.96Z =）

19．设总体X ～2

(,)N μσ，X 1，X 2，…，X n 为来自总体X 的样本，X 为样本均值，则D （X ）＝________________________。

20．设总体X 服从正态分布N （μ，σ2），其中μ未知，X 1，X 2，…，X n 为其样本。若假

设检验问题为1H 1H 2120≠?σσ：＝：，则采用的检验统计量应________________。

21．设12,,,n X X X ???是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本，μ和2

σ均未知，记

11n i i X X n ==∑,2

21

()n

i i X X θ==-∑,则假设0:0H μ=的t 检验使用统计量T

＝ 。

22．设11m i i X X m ==∑和1

1n i i Y Y n ==∑分别来自两个正态总体211(,)N μσ和2

22(,)N μσ的样本

均值，参数1μ，2μ未知，两正态总体相互独立，欲检验22

012:H σσ= ，应用 检验

法，其检验统计量是 。

23．设总体X ～2(,)N μσ，2

,μσ为未知参数，从X 中抽取的容量为n 的样本均值记为X ，修正样本标准差为*

n S ，在显著性水平α下，检验假设0:80H μ=，1:80H μ≠的拒绝域

为 ，在显著性水平α下，检验假设2200:H σσ=（0σ已知），2110:H σσ≠的

拒绝域为 。

24．设总体X ～12(,),01,,,,n b n p p X X X <

25．设总体X ～[]120,,(,,,)n U X X X θ???是来自X 的样本，则θ的最大似然估计量是 。

26．设总体X ～2

(,0.9)N μ，129,,,X X X ???是容量为9的简单随机样本，均值5x =，则未知参数μ的置信水平为0.95的置信区间是 。

27．测得自动车床加工的10个零件的尺寸与规定尺寸的偏差（微米）如下： +2，+1，-2，+3，+2，+4，-2，+5，+3，+4 则零件尺寸偏差的数学期望的无偏估计量是

28．设1234,,,X X X X 是来自正态总体2

(0,2)N 的样本，令221234()(),Y X X X X =++-

则当C = 时CY ～2

(2)χ。

29．设容量n = 10 的样本的观察值为（8，7，6，9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差=

30．设X 1,X 2,…X n 为来自正态总体2(,)N μσX

的一个简单随机样本，则样本均值

1

1n

i i n =X =X ∑服从

二、选择题

1.

1621,,,X X X 是来自总体），10(N ~X 的一部分样本，设：

2

16292821X X Y X X Z ++=++= ，则

Y

Z

~（ ） )(A )1,0(N )(B )16(t )(C )16(2χ )(D )8,8(F

2.已知n X X X ,,,21 是来自总体的样本，则下列是统计量的是（ ）

X X A +)( +A ∑=-n i i X n B 12

11)( a X C +)( +10 13

1)(X a X D ++5 3.设81,,X X 和101,,Y Y 分别来自两个相互独立的正态总体)2,1(2

-N 和)5,2(N 的样本,

21S 和22S 分别是其样本方差，则下列服从)9,7(F 的统计量是( )

)(A 222152S S )(B 222

145S S )(C 222154S S )(D 2

2

2125S S 4.设总体),(~2

σμN X ，n X X ,,1 为抽取样本，则∑=-n i i X X n 1

2

)(1是（ ）

)(A μ的无偏估计 )(B 2σ的无偏估计 )(C μ的矩估计 )(D 2σ的矩估计

5、设n X X ,,1 是来自总体X 的样本，且μ=EX ，则下列是μ的无偏估计的是（ ）

)(A ∑-=111n i i X n )(B ∑=-n i i X n 111 )(C ∑=n

i i X n 2

1 )(D ∑-=-1111n i i X n 6．设n X X X ,,,21 为来自正态总体2

(,)N μσ的一个样本，若进行假设检验，当__ __时，

一般采用统计量

X t =

(A)220μσσ未知，检验＝ (B)22

0μσσ已知，检验＝ (C)20σμμ未知，检验＝ (D)

20σμμ已知，检验＝ 7．在单因子方差分析中，设因子A 有r 个水平，每个水平测得一个容量为i

m 的样本，则下

列说法正确的是___ __

(A)方差分析的目的是检验方差是否相等 (B)方差分析中的假设检验是双边检验

(C)方差分析中

2

11.()i

m r e ij i i j S y y ===-∑∑包含了随机误差外,还包含效应间的差异

(D)方差分析中

2

.1

()r

A i i i S m y y ==-∑包含了随机误差外,还包含效应间的差异

8．在一次假设检验中，下列说法正确的是______ (A)既可能犯第一类错误也可能犯第二类错误

(B)如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误 (C)增大样本容量，则犯两类错误的概率都不变

(D)如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误

9．对总体

2

~(,)X N μσ的均值μ和作区间估计，得到置信度为95%的置信区间，意义是指这个区间

(A)平均含总体95%的值 (B)平均含样本95%的值

(C)有95%的机会含样本的值 (D)有95%的机会的机会含μ的值 10．在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（ ） (A)在H 0不成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 (B)在H 0不成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 (C)在H 00成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 (D)在H 0成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 11. 设总体X 服从正态分布()2

1

2

,,,,

,n N X X X μσ是来自X 的样本，则2σ的最大似然

估计为

（A ）()211n i i X X n =-∑ （B ）()2111n i i X X n =--∑ （C ）2

1

1n i i X n =∑ （D ）2X 12.X 服从正态分布，1-=EX ，25EX =，),,(1

n X X 是来自总体X 的一个样本，则

∑==n

i i

n

X X 1

1

服从的分布为___ 。

(A)N (1-,5/n) (B)N (1-,4/n) (C)N (1-/n,5/n) (D)N (1-/n,4/n)

13．设n X X X ,,,21 为来自正态总体

2

(,)N μσ的一个样本，若进行假设检验，当___ __

时，一般采用统计量

X U =

(A)220μσσ未知，检验＝ (B)22

0μσσ已知，检验＝ (C)20σμμ未知，检验＝ (D)

20σμμ已知，检验＝ 14．在单因子方差分析中，设因子A 有r 个水平，每个水平测得一个容量为i m 的样本，则

下列说法正确的是____ _

(A)方差分析的目的是检验方差是否相等 (B)方差分析中的假设检验是双边检验

(C) 方差分析中

2

11.()i

m r e ij i i j S y y ===-∑∑包含了随机误差外,还包含效应间的差异

(D) 方差分析中

2

.1

()r

A i i i S m y y ==-∑包含了随机误差外,还包含效应间的差异

15．在一次假设检验中，下列说法正确的是___ ____ (A)第一类错误和第二类错误同时都要犯

(B)如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误 (C)增大样本容量，则犯两类错误的概率都要变小

(D)如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误

16．设?θ是未知参数θ的一个估计量，若?E θθ≠，则?

θ是θ的___ _____

(A)极大似然估计 (B)矩法估计 (C)相合估计 (D)有偏估计

17．设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H 0成立时，样本值（x 1,x 2, …，x n ）

落入W 的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为__________。 (A) 0.1 (B) 0.15 (C) 0.2 (D) 0.25

18.在对单个正态总体均值的假设检验中，当总体方差已知时，选用

（A ）t 检验法 （B ）u 检验法 （C ）F 检验法 （D ）2

χ检验法 19.在一个确定的假设检验中，与判断结果相关的因素有

（A ）样本值与样本容量 （B ）显著性水平α （C ）检验统计量 （D ）A,B,C 同时成立 20.对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在显著水平0.05下接受00:H μμ=，那么在显著水平0.01下，下列结论中正确的是

（A ）必须接受0H （B ）可能接受，也可能拒绝0H （C ）必拒绝0H （D ）不接受，也不拒绝0H

21.设12,,,n X X X ???是取自总体X 的一个简单样本，则2

()E X 的矩估计是

（A ）2

21

11()1n i i S X X n ==--∑（B ）2

221

1()n i i S X X n ==-∑

（C ）221S X + （D ）2

22

S X + 22.总体X ～2

(,)N μσ，2

σ已知，n ≥ 时，才能使总体均值μ的置信水平为0.95

的置信区间长不大于L

（A ）152σ/2L （B ）15.36642σ/2L （C ）162σ/2

L （D ）16

23.设12,,,n X X X ???为总体X 的一个随机样本，2

(),()E X D X μσ==，

1

2

211

()n i i i C X X θ-+==-∑为 2σ的无偏估计，C ＝

（A ）1/n （B ）1/1n - （C ） 1/2(1)n - （D ） 1/2n - 24.设总体X 服从正态分布()2

1

2

,,,,

,n N X X X μσ是来自X 的样本，则2σ的最大似然

估计为

（A ）()211n i i X X n =-∑ （B ）()2111n i i X X n =--∑ （C ）2

1

1n i i X n =∑ （D ）2X 25.设X ～(1,)p β 12,,,,,n X X X ???是来自X 的样本，那么下列选项中不正确的是 (A)当n 充分大时，近似有X ～(1),

p p N p n -??

???

(B){}(1),k k

n k n P X k C p p -==-0,1,2,,k n =???

(C ）{}(1)

,k k n k

n k

P X C p p n

-==-0,1,2,,k n =???

(D ）{}(1),1k k n k

i n P X k C p p i n -==-≤≤

26.若X ～()t n 那么2

χ～

(A ）(1,)F n (B ）(,1)F n (C ）2()n χ (D ）()t n

27.设n X X X ,,21为来自正态总体),(2

σμN 简单随机样本，X 是样本均值，记

212

1

)(11X X n S n i i --=∑=，2122)(1X X n S n i i -=∑=，2

1

23

)(11μ--=∑=n i i X n S ， 224

1

1()n

i i S X n μ==-∑，则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是

(A) 1

/1--=

n S X t μ (B) 1

/2--=

n S X t μ (C) n

S X t /3μ-=

(D) n

S X t /4μ-=

28.设X 1,X 2,…X n ，X n+1, …,X n+m 是来自正态总体2

(0,)N σ的容量为n+m 的样本，则统计量

212

1n

i i n m

i i n m V n =+=+X =

X ∑∑服从的分布是

(A) (,)F m n (B) (1,1)F n m -- (C) (,)F n m (D) (1,1)F m n -- 29．设 ()

2

~,X N

μσ，其中μ已知,2

σ未知,1234,,,X X X X 为其样本， 下列各项不

是统计量的是＿＿＿＿

(Ａ)4

1

14i i X X ==∑ (Ｂ)142X X μ+-

(Ｃ)4

2

211

()i i K X X σ==-∑ (Ｄ)4

2

1

1()3i i S X X ==-∑

30. 设 ()

2~,N

ξμσ，其中μ已知，2

σ未知，123,,X X X 为其样本， 下列各项不是 统计量的是（ ）

(A)2221232

1()X X X σ

++ (Ｂ)13X μ+

(Ｃ)123max(,,)X X X (D)123

1()3

X X X ++

三、计算题

1.已知某随机变量X 服从参数为λ的指数分布，设n X X X ,,,21 是子样观察值，求λ的极大似然估计和矩估计。（10分）

2.某车间生产滚珠，从某天生产的产品中抽取6个，测得直径为：14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 已知原来直径服从)06.0,(N μ，求：该天生产的滚珠直径的置信区间。给定（05.0=α，645.105.0=Z ，96.1025.0=Z ）（8分）

3.某包装机包装物品重量服从正态分布)4,(2

μN 。现在随机抽取16个包装袋，算得平均包装袋重为900=x ，样本均方差为22

=S ，试检查今天包装机所包物品重量的方差是否有

变化？（05.0=α）（488.2715262.6)15(2

025.02975.0==）（，χχ）（8分）

4.设某随机变量X 的密度函数为?

??+=0)1()(λλx x f 其他1

0<

（6分）

5.某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为

04.02=σ，从某天生产的产品中随机抽取9个，测得直径平均值为15毫米，试对05

.0=α求出滚珠的平均直径的区间估计。（8分）)96.1,645

.1(025.005.0==Z Z

6.某种动物的体重服从正态分布)9,(μN ，今抽取9个动物考察，测得平均体重为3.51公斤，问：能否认为该动物的体重平均值为52公斤。（05.0=α）（8分）

（96.1645

.1025.005.0==Z Z ）

7.设总体X 的密度函数为：?

??+=0)1()(a

x a x f 其他10<

样本，求a 的矩估计量和极大似然估计。（10分）

8.某矿地矿石含少量元素服从正态分布，现在抽样进行调查，共抽取12个子样算得2.0=S ，

求σ的置信区间（1.0=α，68.19)11(2

2

=αχ，57.4)11(22

1=-αχ）

（8分） 9．某大学从来自A ，B 两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生，测其身高（单位：cm ）

后算得x ＝175.9，y ＝172.0；1.9s 3.11s 2

221==，。假设两市新生身高分别服从正态分布X-N(μ1，σ2

)，Y-N （μ2，σ2

）其中σ2

未知。试求μ1－μ2的置信度为0.95的置信区间。（t 0.025(9)=2.2622,t 0.025(11)=2.2010）

10．（10分）某出租车公司欲了解：从金沙车站到火车北站乘租车的时间。

随机地抽查了9辆出租车，记录其从金沙车站到火车北站的时间，算得20x =（分钟），无

偏方差的标准差3s =。若假设此样本来自正态总体2(,)N μσ，其中2

,μσ均未知，试求σ

的置信水平为0.95的置信下限。

11．（10分）设总体服从正态分布

2

(,)N μσ，且μ与2σ都未知，设1,,n X X 为来自总体

的一个样本，其观测值为1,

,n x x ，设11n i i X X n ==∑，2

2

1

1()n n i i S X X n ==-∑。求μ和σ的

极大似然估计量。

12．（8分）掷一骰子120次，得到数据如下表

若我们使用检验，则x 取哪些整数值时，此骰子是均匀的的假设在显著性水平0.05

α=下被接受？

13.（14分）机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从2

~(,)X N μσ正态分布，

规定每袋标准重量为1μ=kg,方差22

0.02σ≤。某天开工后，为检验其机器工作是否正常，

从装好的食盐中随机抽取抽取9袋，测得净重（单位：kg ）为：0.994,1.014,1.02,0.95,1.03,0.968,0.976,1.048,0.982算得上述样本相关数据为：均值

为0.998x =，无偏标准差为0.032s =，

2

1

()

0.008192

n

i

i x x =-=∑。

问(1)在显著性水平0.05α=下，这天生产的食盐的平均净重是否和规定的标准有显著差异？

(2) 在显著性水平0.05α=下，这天生产的食盐的净重的方差是否符合规定的标准？ (3)你觉得该天包装机工作是否正常？ 14．（8分）设总体X 有概率分布

现在观察到一个容量为3的样本,

1,2,3。求θ的极大似然估计值?

15．（12分）对某种产品进行一项腐蚀加工试验，得到腐蚀时间X （秒）和 腐蚀深度Y （毫米）的数据见下表：

X 5 5 10 20 30 40 50 60 65 90 120 Y 4 6 8 13 16 17 19 25 25 29 46

假设Y 与X 之间符合一元线回归模型

01Y X ββε=++

（1）试建立线性回归方程。

（2）在显著性水平0.01α=下，检验01

:0H β=

16. (7分）设有三台机器制造同一种产品，今比较三台机器生产能力，记录其五天的日产量

17.（10分）设总体X 在),0(θ)0(>θ上服从均匀分布，n X X ,,1

为其一个

样本，设}

,,max{1)(n n X X X =

(1)

)

(n X 的概率密度函数()

n p x (2)求

()[]

n E X

18.（7分）机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从

2

~(,)X N μσ正态分布，规定每袋标准重量为1μ=kg,方差22

0.02σ≤。某天开工后，为检验其机器工作是否正常，从装好的食

盐中随机抽取抽取9袋，测得净重（单位：kg ）为：

0.994,1.014,1.02,0.95,1.03,0.968,0.976,1.048,0.982算得上述样本相关数据为：均值为0.998x =，无偏标准差为0.032s =，在显著性水平0.05α=下，这天生产的食盐的净重的方差是否符合规定的标准？

19.（10分）设总体X 服从正态分布

2

(,)N μσ，1,,n X X 是来自该总体的一个样本，记

1

1(11)

k

k i i X X k n k ==≤≤-∑，求统计量1

k k X X +-的分布。 20．某大学从来自A ，B 两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生，测其身高（单位：cm ）后算得x ＝175.9，y ＝172.0；1.9s 3.11s 2

221==，。假设两市新生身高分别服从正态分布X-N(μ1，σ2

)，Y-N （μ2，σ2

）其中σ2

未知。试求μ1－μ2的置信度为0.95的置信区间。（t 0.025(9)=2.2622,t 0.025(11)=2.2010）

<概率论>试题参考答案

一、填空题

1． （1） C B A （2） C B A C B A C B A

（3） B A C A C B 或 C B A C B A C B A C B A

2． 0.7， 3．3/7 ， 4．4/7! = 1/1260 ， 5．0.75， 6． 1/5， 7．1=a ，=b 1/2， 8．0.2， 9．2/3， 10．4/5， 11．5/7， 12．F(b,c)-F(a,c)， 13．F (a,b)， 14．1/2， 15．1.16， 16．7.4，

17．1/2， 18．46， 19．85 20．2

2

(,

),(0,1),(,

),(0,1)N N N N n

n

σσμμ； 21．22μσ+， 22，1/8 ，

23．X =7，S 2

=2 ， 24．2N ,n σμ??

??

?，

二、选择题

1．A 2．D 3．B 4．D 5．D 6．C 7．B 8．B 9．C 10 ．C 11．C 12．A 13．C 14．C 1 5．B 16．B 17．C 18．B 19．A 20 ．C 21．C 22．B 23．A 24．B 25．C

三、解答题

1. 8/15 ；

2. （1）1/15， （2）1/210， （3）2/21;

3. （1） 0.28, （2）0.83, （3） 0.72;

4. 0.92;

5. 取出产品是B 厂生产的可能性大。

6. m/(m+k);

7.（1）

1

{}(3/13)(10/13)k P X K -== （2）

8. （1）A ＝1/2 ， （2）1

1(1)2e -- ， （3）1,02()11,02

x

x e x F x e x ?

9. 1/32/3

330()161()(),()36

6f x x x a b b a π

ππ-?

?

=???∈???

-???

其他

， 10. 4≥n

11. 提示：99.0}{01.0}{≥<≤≥h x P h x P 或，利用后式求得31.184=h （查表

(2.33)0.9901φ=）

12. ○

1A=1/2，B=1π

； ○2 1/2； ○3 f (x)=1/[π(1+x 2

)] 13.

14. （1）2

1

,B π=

；（3） 独立 ； 15. (1) 12; (2) (1-e -3

)(1-e -8

)

16. （1）24A =

（2）4322432

34000

3812(/2)010(,)3861014301111

x y y y x x y x y x F x y y y y x y x x x x y x y <

?-+-≤<≤

=++≥≤

≥≥??

或 17. （1）212(1),01()0,x x x x f x ?-≤≤=??其他 ； 212(1),01

()0,y y y y f y ?-≤≤=??

其他

（2）不独立

18. 22,0,01

()0,

Y X y

y x x f y x x ?<<<

2

2(1)

,1,01

(1)

()0,X Y x y x y y f x y -?≤<<

其他

19. 12

24(),()7

49

E X D X ==

20. 丙组 21. 10分25秒 22. 平均需赛6场

23. 2(1)(1)

(),()212

k n k n E X D X +-== ; 24. k = 2, E(XY)=1/4, D(XY)=7/144 25. 0.9475

j P

3/4 i

P

1/8

26. 0.9842 27. 537 28. (1)t n - 29. 16

30. 提示：利用条件概率可证得。

31. 提示：参数为2的指数函数的密度函数为

220

()00x

e x

f x x -?>=?

≤? ，

利用21x

Y e

-=-的反函数??

???--=0)

1ln(2

1y x 即可证得。

<数理统计>试题参考答案

一、填空题

1．)1,0(N ， 2．∑=n i i X n 1

1=1.71， 3．121-∑=n

i i x n ， 4．0.5， 5．)?()?(β<θ

D D 6．2 ， 7．n 2σ， 8．(n-1)s 2

或∑=n 1i 2i )x -(x ， 9．0.15 ， 10．????

??>2u |u |σ，其中

n x u =

11．

2

1X u α

-±,

385； 12．

X t =

13．

222123X X X μ++-， (1)2X μ+ ； 14．

1(,,)n F x x 为1()n

i i F x =∏，

15．

211

1

,(),6,{}

max n n

i

i

n i i n

i i X X

X X X ≤≤==--∑∑ ； 16．

2

1X u α

-±，

17． (,)F m n ， 18．(4.808，5.196)， 19．

n

2

σ

， 20．(n-1)s 2

或

∑=n 1

i 2i

)x -(x

，

21．

T =

， 22．F ，2

1

2

1

(1)()(1)()m

i i n

i i n X X F m Y Y ==--=--∑∑ ，

23．

__

22

2211

22100222()()(1),(1)(1)n n i i i i n x x x x t n n n αααχχσσ==-????--??????????≥->-?<-???????

????

?????????

∑∑， 24．2

,1X S n p p X

∧

∧==- ， 25．12max{,,,}n X X X θ=??? ， 26．[4.412,5.588]， 27．2 ， 28．1/8 ， 29．X =7， S 2

=2， 30．2N ,n σμ??

??

?

二、选择题

1．D 2．B 3．B 4．D 5．D 6．C 7．D 8．A 9．D 10．C 11．A 12．B 13．D 14．D 15．C 16．D 17．B 18．B 19．D 20．A 21．D 22．B 23．C 24．A 25．B 26．A 27．B 28．C 29．C 30．A

三、计算题

1．（10分）

解：设n X X X ,,,21 是子样观察值 极大似然估计： ∑?==

=-=-∏n

i i

i

x n n

i x e

e L 1

1

)(λ

λ

λλλ

∑=-?=n

i i

n n x

l n L l 1

)(λ

λλ

0)(1

=-=??∑=n

i i n x n L l λλλ x

1=

λ 矩估计：

λ

=

?λ?=?+∞

λ-1)(0

dx e x X E x 样本的一阶原点矩为：∑==n

i i X n X 1

1

所以有：X

X X EX 1?1=λ

?=λ?= 2．（8分）

解：这是方差已知，均值的区间估计，所以有： 置信区间为：],[2

2αασ+σ-

Z n X Z n X 由题得：95.14)1.152.158.149.141.156.14(6

1

=+++++=X 696

.105

.0025.0===αn Z

代入即得：]96.16

06

.095.14,96.1606.095.14[?-?-

所以为：]146.15,754.14[ 3．（8分） 解：统计量为：

)1(~)1(22

2

--n X S n σ

0H ：22024==σσ，1H ：2

02σσ≠

16=n ，22=S ，224=σ代入统计量得

875.116

2

15=? 262.6)15(875.12

975.0=<χ

所以0H 不成立，即其方差有变化。 4．（6分）

解：极大似然估计：

λλ

λλλ)()1()1(),,(1

1

1∏∏==+=+=n

i i n

n i i n X X X X L ；

∏=++=n

i i X n L 1

ln )1ln(ln λλ

0ln 1ln 1

=++=∑=n

i i X n

d L d λλ 得 ∑∑==+-=n

i i

n

i i

X

X n 1

1

ln ln ?λ

5．（8分）

解： 这是方差已知均值的区间估计，所以区间为：

],[2

2αασ+σ-

Z n x Z n x 由题意得：

905

.004

.015

2==α=σ=n x 代入计算可得

]96.19

2.015,96.192.015[?+?-

化间得：]131.15,869.14[ 6．（8分）

解：52:00==μμH ，01:μμ≠H

7.09

3

52

3.51-=-=

-n

x σ

μ

96.12

=αμ

96.17.0|7.0|025.0=μ<=-

所以接受0H ，即可以认为该动物的体重平均值为52。 7．（10分） 解： 矩估计为：

21

0121)1()(21

++=++=+?=+?a a x a a dx x a x X E a a

样本的一阶原点矩为：∑==n

i i x n X 1

1

所以有：

X

X a X a a --=?=++11

2?21

极大似然估计：

∏∏==?+=+=n

i i a n

i n

i a

n x a x a x x x f 11

21)1(])1[(),,,(

两边取对数：∑=++=n

i i

n x a

a n x x f 1

1)ln()1ln(),,(ln

两边对a 求偏导数：

=??a

f

ln ∑=++n

i i x a n 1)ln(1=0 所以有：∑=--=n

i i

x n

a

1

)

ln(1?

8．（8分） 解：由2

2

2

2

22

1)1(α

α

χσχ

≤-≤

-

S n 得 22

2

2

)1(α

χσ

S n -≥

，22

12

2

)1(α

χ

σ

-

-≤

S n

所以σ的置信区间为：[)11()1(22

2αχS n -，)

11()1(2

2

12

αχ--S n ] 将12=n ，2.0=S 代入得 [15.0，31.0]

9．解：这是两正态总体均值差的区间估计问题。由题设知，

2

-n n 1)s -(n 1)s -(n s .05.01

.9s 3.11s 172y 9.175x 6,n 5,n 2122

22

11w 222

121++=

=======α，，，， (2分)

=3.1746, （4分） 选取t 0.025(9)=2.2622,

则21μμ－置信度为0.95的置信区间为： ?????

?+++++21w 212

21w

212

n 1n 12)s -n (n t y -x ,n 1n 12)s -n (n t -y -x αα (8分) ＝[-0.4484,8.2484]. (10分) 注：置信区间写为开区间者不扣分。 10． 解：由于μ未知，故采用

2

2

22

(1)~(1)

n S n χχσ

-=

-作枢轴量 （2分）

要求

()1L P σσα≥=- （2分）

这等价于要求

22

()1L P σσα≥=-， 也即

2

2

2

2

(1)(1)(

)1L

n S n S P α

σ

σ

--≤

=- （2分）

而

2

212

(1)(

(1))1n S P n αχα

σ--≤-=- （2分）

所以

2

212(1)(1)L

n S n α

χ

σ

--=-，故

2

22

1(1)(1)L

n S n ασχ--=- （1分）

故σ的置信水平为1α-

的置信下限为

L σ=

由于这里9n =，0.05α=，2

0.95

(8)15.507χ=

所以由样本算得

? 2.155L σ= （1分）

即σ的置信水平为0.95的置信下限为2.155。 11． 解：写出似然函数

2

21

2

2

2

()()2

222(,)(2)n

i i i n x x n

i L e

μμσσμσπσ=----

-=∑== （4分）

取对数

2

2

2

2

2

1

1ln (,)ln(2)()

2n

n

i

i L x μσπσμσ==--

-∑ （2分）

求偏导数，得似然方程

2

21231ln 1()0ln 1()0n i i n i i L x L n x μμσμσ

σσ==??=-=???

???=-+-=???∑∑ （3分）

解似然方程得：?X μ=

，?σ= （1分）

12．解：设第i 点出现的概率为i p ，1,

,6i =

101266

:H p p p ==

==，1126:,,

,H p p p 中至少有一个不等于1

6 (1分)

采用统计量 2

2

1()r

i i i i n np np χ=-=∑

(1分)

在本题中，6r =，0.05α=，

20.95

(5)11.07χ= (1分)

所以拒绝域为

2

{11.107}W χ=≥ (1分) 算实际的2χ值，由于

1

612020i np =?=，所以 22222

6

2

1()(20)4(2020)(20)(20)2010i i i i n np x x x np χ=--+-+--===

∑ (1分)

所以由题意得2

(20)011.107

10x -≤<时被原假设被接受

即9.4630.54x <<，故x 取[10,30]之间的整数时， (2分) 此骰子是均匀的的假设在显著性水平0.05α=下被接受。(1分)

13. 解：“这几天包装是否正常”，即需要对这天包装的每袋食盐净重的期望与方差分别作

假设检验

(1)（检验均值，总共6分）0:1H μ=，1:1H μ≠

选统计量，并确定其分布

~(1)X t t n =

-

确定否定域

2

1{||}{|| 2.306}

W t t t α-=≥=≥

统计量的观测值为0.1875x t =

=

因为

2

1||0.1875 2.306t t α

-=<=，所以接受

0:1H μ=。

(2)（检验方差，总共6分）

220:0.02H σ≤，220:0.02H σ>

选统计量

2

222

1

1

()~(1)

0.02n

i

i X

X n χχ==--∑

确定否定域

2221{(1)}{15.5}W n αχχχ-=≥-=≥ 统计量的观测值为22

2

22

1180.032()20.480.020.02n i i x x χ=?=-==∑

因为22120.4815.5(1)n αχχ-=>=-，所以拒绝22

0:0.02H σ≤

(3)（2分）结论：综合(1)与(2)可以认为，该天包装机工作是不正常的。 14．解：此时的似然函数为

123123()(1,2,1)(1)(2)(1)L P X X X P X P X P X θ======== （2分）

即 2

2

5

()2(1)2(1)L θθθθθθθ=?-?=- （2分） ln ()ln 25ln ln(1)L θθθ=++- （1分）

ln ()51

1d L d θθθθ=-- （1分） 令 ln ()

0d L d θθ= （1分）