高考数学重难点剖析数论与排列组合
高考数学重难点剖析数论与排列组合高考数学重难点剖析：数论与排列组合
数论与排列组合作为高考数学中的重点难点内容，对很多学生来说常常令人头疼。本文将针对数论与排列组合相关知识进行深入剖析，帮助同学们更好地应对高考数学考试。
一、数论
数论是研究整数的性质和整数运算规律的学科。在高考中，数论常常涉及素数、同余、整除等概念。
1.1 素数
素数是指除了1和它本身外没有其他正整数因数的数。常见的素数有2、3、5、7等。在解题过程中，我们需要掌握素数的性质和判断素数的方法，例如质因数分解、素数的个数等。
1.2 同余
同余是指两个整数除以同一个整数所得的余数相等。同余关系在数论中应用广泛，特别是在模运算中。在解题中，我们需要掌握同余关系的基本性质，如同余定理、同余方程等。
1.3 整除
整除是指一个整数除以另一个整数所得的商恰好是一个整数。整除是数论中常用的概念，在解题过程中需要掌握整除的基本性质和判定方法，如因式分解、约数个数等。
二、排列组合
排列组合是指把若干个元素按照一定的方式进行选择和排列的数学方法。在高考数学中，排列组合常常涉及到阶乘、组合数、排列数等概念。
2.1 阶乘
阶乘是指从1乘到某个正整数的连乘积。在排列组合问题中，阶乘常常用于计算元素的全排列数或部分排列数。例如，n个元素的全排列数可以表示为n!。
2.2 组合数
组合数是指从n个元素中取出m个元素进行组合的情况数。组合数的计算可以通过阶乘的方法，也可以通过组合数公式进行计算，公式为C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)。在解题过程中，我们需要掌握组合数的计算方法和性质，例如杨辉三角等。
2.3 排列数
排列数是指从n个元素中取出m个元素进行排列的情况数。排列数的计算可以通过阶乘的方法，也可以通过排列数公式进行计算，公式为A(n, m) = n! / (n-m)!。在解题过程中，我们需要掌握排列数的计算方法和应用，例如循环排列等。
总结：
数论与排列组合作为高考数学中的重难点内容，对于很多同学来说
是需要花费更多时间和精力去理解和掌握的知识。通过对数论中素数、同余和整除的剖析，以及对排列组合中阶乘、组合数和排列数的剖析，希望可以帮助同学们更好地应对高考数学考试。通过多做题、多总结
规律，相信同学们能够在数论与排列组合这一重难点上取得好成绩。
祝同学们顺利通过高考！
高中数学排列组合教案
高中数学排列组合教案 高中数学排列组合教案（精选篇1） 一．课标要求： 1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理 通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题； 2．排列与组合 通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题； 3．二项式定理 能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。 二．命题走向 本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分；考查内容：（1）两个原理；（2）排列、组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组合的应用；（3）二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。 排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考察。 考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目。 三．要点精讲 1．排列、组合、二项式知识相互关系表 2．两个基本原理 （1）分类计数原理中的分类； （2）分步计数原理中的分步； 正确地分类与分步是学好这一章的关键。
3．排列 （1）排列定义，排列数 （2）排列数公式：系= =n·(n－1)…(n－m+1)； （3）全排列列： =n!； （4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 4．组合 （1）组合的定义，排列与组合的区别； （2）组合数公式：Cnm= = ； （3）组合数的性质 ①Cnm=Cnn-m；② ；③rCnr=n·Cn-1r-1；④Cn0+Cn1+…+Cnn=2n；⑤Cn0-Cn1+…+(-1)nCnn=0，即Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+…=2n-1； 5．二项式定理 （1）二项式展开公式：(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn； （2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是：Tk+1=Cnkan-kbk； 6．二项式的应用 （1）求某些多项式系数的和； （2）证明一些简单的组合恒等式； （3）证明整除性。 ①求数的末位； ②数的整除性及求系数 ；③简单多项式的整除问题； （4）近似计算。当|x|充分小时，我们常用下列公式估计近似值： ①(1+x)n≈1+nx ；②(1+x)n≈1+nx+ x2； （5）证明不等式。 四．典例解析 题型1：计数原理 例1．完成下列选择题与填空题
高考数学中的排列组合相关知识点详解
高考数学中的排列组合相关知识点详解 高中数学的重头戏之一，主要指排列与组合两个内容，对于考 生而言，涉及到排列组合的内容往往是高考数学中难以挑战的一 道坎。因此，本文将从基础概念、题型分析与解题技巧等方面进 行详解，希望读者能够一边阅读，一边理解，增加对该内容的熟 悉和掌握程度。 一、基础概念 排列和组合，其实是两个包含关系的概念。排列是指在不同的 元素中任取若干个进行排列，所得到的结果的总数，称为排列数。组合是指在不同的元素中任取若干个，不区分顺序地取出来的方 案总数，称为组合数。 常用的符号表示如下： 排列：A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)! 组合：C(n,m)=A(n,m)/A(m,m)=n!/(m!(n-m)!)=C(n,n-m)
其中n表示元素数量，m表示需要取出的元素数量。 二、题型分析 1. 线性排列 线性排列即将元素排列成一行的形式，需要注意的是，取出后 的元素不能重复出现。此类题型比较基础，通常分为基本排列和 复杂排列两种情况。基本排列即只对不重复排列的个数统计，比 较简单。而复杂排列则需要考虑元素可重复使用的情况，比如m 件相同的物品取n件，此时就需要采用较为复杂的方法进行推导。 2. 圆排列 圆排列即将元素排列成一个环形，此时考虑到环的形状，即将 循环同构情况进行折叠，最终推导出不重复的组合个数。 3. 组合
组合题目有多种形式，比如问N个人选3个名字的组合个数，或者是将n个不同的物品分配给m个人怎样分配，这些均属于组合范畴。对于组合，我们需要考虑两个方面：是否需要考虑元素顺序，和元素是否能够重复使用。 对于不考虑元素顺序的组合，我们采用简单的组合公式，即 C(n,m)即可。而对于考虑元素顺序的组合，可以通过将元素排列成一行的形式，再根据排列的公式进行推导。 四、解题技巧 1. 借助等式变形 在排列组合问题中，常常可以使用等式变形来简化问题，同时减少漏解之类的情况。比如在组合问题中，我们常常可以将分子分母进行同除同乘等处理，从而简化计算。 2. 画图辅助
高中数学轻松搞定排列组合难题21种方法
高考数学排列组合难题21种方法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,两个位置. 先排末位共有13C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 443
高考数学重难点剖析数论与排列组合
高考数学重难点剖析数论与排列组合高考数学重难点剖析：数论与排列组合 数论与排列组合作为高考数学中的重点难点内容，对很多学生来说常常令人头疼。本文将针对数论与排列组合相关知识进行深入剖析，帮助同学们更好地应对高考数学考试。 一、数论 数论是研究整数的性质和整数运算规律的学科。在高考中，数论常常涉及素数、同余、整除等概念。 1.1 素数 素数是指除了1和它本身外没有其他正整数因数的数。常见的素数有2、3、5、7等。在解题过程中，我们需要掌握素数的性质和判断素数的方法，例如质因数分解、素数的个数等。 1.2 同余 同余是指两个整数除以同一个整数所得的余数相等。同余关系在数论中应用广泛，特别是在模运算中。在解题中，我们需要掌握同余关系的基本性质，如同余定理、同余方程等。 1.3 整除 整除是指一个整数除以另一个整数所得的商恰好是一个整数。整除是数论中常用的概念，在解题过程中需要掌握整除的基本性质和判定方法，如因式分解、约数个数等。
二、排列组合 排列组合是指把若干个元素按照一定的方式进行选择和排列的数学方法。在高考数学中，排列组合常常涉及到阶乘、组合数、排列数等概念。 2.1 阶乘 阶乘是指从1乘到某个正整数的连乘积。在排列组合问题中，阶乘常常用于计算元素的全排列数或部分排列数。例如，n个元素的全排列数可以表示为n!。 2.2 组合数 组合数是指从n个元素中取出m个元素进行组合的情况数。组合数的计算可以通过阶乘的方法，也可以通过组合数公式进行计算，公式为C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)。在解题过程中，我们需要掌握组合数的计算方法和性质，例如杨辉三角等。 2.3 排列数 排列数是指从n个元素中取出m个元素进行排列的情况数。排列数的计算可以通过阶乘的方法，也可以通过排列数公式进行计算，公式为A(n, m) = n! / (n-m)!。在解题过程中，我们需要掌握排列数的计算方法和应用，例如循环排列等。 总结：
高中数学排列组合教案(6篇)
高中数学排列组合教案（6篇）高中数学排列组合教案（精选篇1） 教学主题： 主要涉及到简洁排列组合问题，相同元素和不同元素排列组合问题。 捆绑法插空法特别元素法特别位置法定序法分组安排 教学内容及分析： 排列组合问题是高中数学学问的一个重要组成部分，在高考中也是必考内容，难度一般在中等偏上，只要把握的排列组合的几种典型方法，就能快速理解题型题意，快速找到突破口，对症下药，事半功倍，关键是要把握住什么题型用什么方法，通过题型对比分析相同点和不同点，区分易错的，难点。另外，排列组合在适应新高考有着自然出题优势，由于排列组合更贴近显示生活，可以把我们课本上的抽象概念和数学公式和实际生活联系起来，数学学问走进生活，学问来与是但高于生活，最终回归于生活，才是我们学习学问，专研学问的立足点。本文就对数学中概率统计中的一小点内容——排列组合，做一个简洁的对比分析。 教学对象及特点：
排列组合在高中数学选修2—3。人教版教材，高二的同学在日常生活中，有许多需要用排列组合来解决的学问。作为二班级的同学，已有了肯定的生活阅历及解决问题的力量。因此，在设计中，我通过创设一个完整的、好玩的生活情境来进行教学，力求使同学在经受日常生活最简洁的事例中体验到重要的数学思想方法，从而也感受到数学思想也是依托于生活，来源于生活，是有生命活力的。 教学目标： 基于对教材的理解，我把本节课的教学重点定为：在经受简洁事物排列与组合规律的过程中体会排列与组合的数学思想。教学难点定为：培育同学全面有序的思索问题的意识。通过观看、猜想、比较、试验等活动，培育同学学习初步的观看、分析力量和有序、全面地思索问题的意识。培育同学大胆猜想、乐观思维的学习方法，使同学感受学习数学的欢乐，进一步激发同学学习数学的爱好。 教学过程： 一、排列问题 例1：有4个男生，5个女生站队，在下列条件下，有多少种状况？ （1）9个人全部站成一排； （2）9个人站成两排，前排站4人，后排站5人； （3）9个人全部站一排，全部女生站在一起；（捆绑法）
高考数学的排列组合问题解析
高考数学的排列组合问题解析高中数学作为高考考试的一大门类，其中排列组合的题目难度也属于数学中较高的一种。排列组合的知识点应用范围广泛，打好基础会帮助我们解决很多问题，不仅在高考中，还可以在实际生活中得到应用。为了解决数学考试中的排列组合问题，我们需要对概念、性质及其应用有清晰的认识。 1. 排列组合的概念 排列是指从n个不同元素中取出m个元素并排成一排的方式。其中，n为总元素数，m为选出的元素个数。排列的总数为A(n, m)。 组合是指从n个不同元素中取出m个元素组成一组的方式。其中，n为总元素数，m为选出的元素个数。组合的总数为C(n, m)。 2. 排列组合的性质 排列组合有两个基本性质：
（1）交换律：P(n, m) = P(m, n)，C(n, m) = C(m, n)，即选出m 个元素在n个元素中排列（组合）的次序与选出n-m个元素在n 个元素中排列（组合）的次序等效。 （2）加法原理：将任务分为若干个不相交的部分，分别完成后累加起来即可得到总数。对于排列组合而言，此处的“任务”即为元素的选择。 3. 解决排列组合问题的步骤 求解排列组合的问题一般可以分为以下几个步骤： （1）明确题意，确定题目的目标。 （2）根据题目的具体要求，判断是排列还是组合问题。 （3）确定排列或组合的顺序，并列出方案，列出排列组合的公式，求出答案。
（4）按照公式计算出结果，最后回答问题，检查答案。 下面，我们来看几个高考数学中的排列组合问题： 【例一】从6人中选3人，选出一名队长，问共有多少种情况。这是一个排列问题，首先需要考虑选出3名队员，之后再确定队长。对于6人中选取3人，有C(6, 3) = 20种选法。之后，对于每 种选出的3人分别任命一个为队长，即有3种选择。根据加法原理，我们可以得到总方案数为20 * 3 = 60种。 【例二】在26个字母中任选4个字母排成字母组合，问共有 多少种情况。这是一个组合问题，因为选出的4个字母并不需要 按照特定的顺序排列。根据排列组合的公式，可以计算出共有 C(26,4) = 14,950种组合方案。 【例三】一批货物有A、B、C、D四种货品，要求每一种货品 选择的数量不少于10个，选择的总数不高于40个，则共有多少 种选择方案。首先，因为每种货品的数量均不少于10个，因此我们可以在每类货品中先选择10个，这样剩余的数量即为24个， 可以任意分配。然后，我们可以列出组合的组合数，即：
高考数学排列组合专项知识点讲解知识点总结
高考数学排列组合专项知识点讲解知识点总结 排列组合的知识点重要的是要考虑清楚怎么应用，整理了数学排列组合专项知识点，希望可以帮助到大家! 1.计数原理知识点 ①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM (分步) ②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM (分类) 2. 排列(有序)与组合(无序) Anm=n(n-1)(n-2)(n-3)-…(n-m+1)=n!/(n-m)! Ann =n! Cnm = n!/(n-m)!m! Cnm= Cnn-mCnm+Cnm+1= Cn+1m+1 k?k!=(k+1)!-k! 3.排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排 排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置. 捆绑法(集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑) 插空法(解决相间问题)间接法和去杂法等等 在求解排列与组合应用问题时，应注意：
(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题; (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理; (3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏; (4)列出式子计算和作答. 经常运用的数学思想是： ①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想. 4.二项式定理知识点： ①(a+b)n=Cn0a_+Cn1an-1b1+ Cn2an-2b2+ Cn3an-3b3+…+ Cnran-rbr+-…+ Cn n-1abn-1+ Cnnbn 特别地：(1+_)n=1+Cn1_+Cn2_2+…+Cnr_r+…+Cnn_n ②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn-m 最大二项式系数在中间。(要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项) 所有二项式系数的和：Cn0+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n 小编为大家提供的高考数学排列组合专项知识点讲解到这里了，愿大家都能努力复习，丰富自己，锻炼自己。
2023年高考数学二轮复习讲练测专题09 排列组合高考常见小题全归类(解析版)
专题09排列组合高考常见小题全归类 【命题规律】 排列组合是高考重点考查的内容之一，今后在本节的考查形式依然以选择或者填空为主，以考查基本概念和基本方法为主，难度中等偏下，与教材相当．本节内容与生活实际联系紧密，考生可适当留意常见的排列组合现象，如体育赛事排赛、彩票规则等，培养数学应用的思维意识． 【核心考点目录】 核心考点一：两个计数原理的综合应用 核心考点二：直接法 核心考点三：间接法 核心考点四：捆绑法 核心考点五：插空法 核心考点六：定序问题（先选后排） 核心考点七：列举法 核心考点八：多面手问题 核心考点九：错位排列 核心考点十：涂色问题 核心考点十一：分组问题 核心考点十二：分配问题 核心考点十三：隔板法 核心考点十四：数字排列 核心考点十五：几何问题 核心考点十六：分解法模型与最短路径问题 核心考点十七：排队问题 核心考点十八：构造法模型和递推模型 核心考点十九：环排问题 【真题回归】 1．（2022·全国·统考高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（） A．12种B．24种C．36种D．48种 【答案】B 【解析】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空
方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!2224 ⨯⨯=种不同的排列方式， 故选：B 2．（2021·全国·统考高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A．60种B．120种C．240种D．480种 【答案】C 【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志 愿者中任选2人，组成一个小组，有2 5 C种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有 2 54!240 C⨯=种不同的分配方案， 故选：C． 3．（2020·山东·统考高考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（） A．12B．120C．1440D．17280 【答案】C 【解析】首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有32 43 C C种情况， 再分别担任5门不同学科的课代表，共有5 5 A种情况． 所以共有325 4351440 C C A=种不同安排方法． 故选：C 4．（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（） A．2种B．3种C．6种D．8种 【答案】C 【解析】第一步，将3名学生分成两个组，有12 323 C C=种分法 第二步，将2组学生安排到2个村，有2 22 A=种安排方法 所以，不同的安排方法共有326 ⨯=种 故选：C 5．（2020·海南·统考高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（） A．120种B．90种 C．60种D．30种 【答案】C
高考数学中的排列组合问题
高考数学中的排列组合问题 在高考数学中，排列组合是一个必考的章节，也是一个相对来 说较为重要的部分。排列组合问题设计到数学中常见的一种基本 计数方法，用来解决多种实际问题。如果掌握了排列组合的知识，不仅可以顺利通过高考数学的考试，更可以在数学学习和未来的 实际生活中受益。 一、排列问题 排列问题指的是从 n 个不同元素中任选 m 个元素，按照一定的顺序排列出来的所有情况数，其运算规则是： A(n, m) = n!/(n - m)! 其中，n 表示选取元素的个数，m 表示排列出来元素的个数，n! 表示数学中的阶乘，即 n! = n*(n-1)*(n-2)* (1) 在实际生活中，排列问题的应用极为广泛。比如在一只篮球队中，从 10 名队员中选取 5 名队员排列出比赛阵容的所有情况，就
是一个排列问题。再如，在一个电子密码锁中，可以通过排列问题来计算所有可能的密码组合，以防止密码被人轻易破解。 二、组合问题 组合问题指的是从 n 个不同元素中任选 m 个元素，但是不考虑选取元素的顺序，求出所有情况的总数，其运算规则是： C(n,m) = A(n,m) / m! = n! / [m!*(n-m)!] 组合问题其实就是在排列问题的基础上去掉了顺序这个限制。组合问题的应用也很广泛。比如在一次抽奖活动中，从 50 份礼物中随机抽出 5 份给获奖者，就是一个组合问题。再如，对于一篇文章中的多个字母或单词的排列组合，也可以使用组合问题来解决。 三、应用举例 排列组合问题在实际生活中的应用非常广泛。下面我们通过几个例子来具体说明一下。
1.在一家商场内销售了 4 种不同的商品，其中商品 A 的售价为10 元，商品 B 的售价为 15 元，商品 C 的售价为 20 元，商品 D 的售价为 25 元。假设小明手上有 100 元钱，他想从这四种商品中买 3 种不同的商品，每种商品只买一个，并且不超过 100 元。问小明有多少种选择方案？ 此题是一个排列组合问题。我们需要从 4 种商品中选 3 种商品排列，且总价格不超过 100 元。首先，可以列出总方案数： A(4,3) = 24 然后，只需要把其中不符合题意的方案数去除即可。根据题目条件，可以列出不符合题意的情况有 11 种，包括： （1）只选 A，B 商品的方案； （2）只选 A，C 商品的方案； （3）只选 A，D 商品的方案； （4）只选 B，C 商品的方案；
高考数学中的常见排列组合
高考数学中的常见排列组合在高中数学中，排列组合是一个重要的概念和方法，也是高考中常见的题型之一。掌握排列组合的基本原理和解题方法，对于学生们提高数学成绩，顺利应对高考至关重要。本文将介绍高考数学中常见的排列组合知识点及其解题技巧。 一、排列 排列是指从给定的一组数或对象中按照一定的顺序取出一部分或全部进行排列。常见的排列问题有以下几种情况： 1. 直线排列：假设有n个对象，从这n个对象中按一定顺序排列取出k个，就构成了从n个对象中取出k个对象的直线排列。 直线排列的公式为：A(n, k) = n * (n-1) * (n-2) * ... * (n-k+1)，其中n ≥ k。 2. 圆排列：假设有n个对象，从这n个对象中按一定顺序排列取出k个，构成了从n个对象中取出k个对象的圆排列。 圆排列的公式为：P(n, k) = (n-k+1) * (n-k+2) * ... * n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1，其中n ≥ k。 3. 重复排列：重复排列是指从给定的一组数或对象中，按照一定的顺序取出一部分或全部进行排列，允许重复。 重复排列的公式为：A'(n, k) = n^k，其中n ≥ k。
排列问题在高考中常常涉及选排队、座位、字母、数字等情况，解 题时需要根据具体题目中的条件和要求来确定应用哪种排列公式，并 注意计算时的条件约束。 二、组合 组合是指从给定的一组数或对象中，按照一定的顺序取出一部分或 全部进行组合。与排列不同，组合中的元素的排列顺序不重要。常见 的组合问题有以下几种情况： 1. C(n, k)表示从n个对象中选择k个不同的对象组成一个集合，其 中n ≥ k。 定义组合公式为：C(n, k) = A(n, k) / k! = n! / [(n-k)! * k!]。 2. n个相异对象的m个同类分成若干组，每组可以有0个或者多个，此种情况下共有C(m-1, n)种不同的组合。 组合问题在高考中常常涉及选人、选课、摆放等情况，解题时需要 根据具体题目中的条件和要求来确定应用哪种组合公式，并注意计算 时的条件约束。 三、排列组合的解题方法 在解决高考数学中的排列组合题目时，需要注意以下解题方法： 1. 画图分析：对于涉及座位、排队、摆放等问题，可以通过画图帮 助理清思路，找到规律。
高三数学第一轮复习：高三理科数学排列组合总复习教学案
高三数学第一轮复习：高三理科数学排列组合总复 习教学案 高三数学第一轮复习：高三理科数学排列组合总复习教学案 第十二章排列组合、二项式定理、概率 高考导航考试要求重难点击命题展望排列、组合 1.理解并运用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题； 2.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题； 3.能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 本章重点：排列、组合的意义及其计算方法，二项式定理的应用. 本章难点：用二项式定理解决与二项展开式有关的问题. 排列组合是学习概率的基础，其核心是两个基本原理.高考中着重考查两个基本原理，排列组合的概念及二项式定理.随机事件的概率 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别； 2.了解两个互斥事件的概率加法公式和相互独立事件同时发生的概率乘法公式； 3.理解古典概型及其概率计算公式；会计算一些随机事件所包含的基本事件的个数及事件发生的概率； 4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率，了解几何概型的意义. 本章重点：1.随机事件、互斥事件及概率的意义，并会计算互斥事件的概率；2.古典概型、几何概型的概率计算.本章难点：1.互斥事件的判断及互斥事件概率加法公式的应用；2.可以转化为几何概型求概率的问题. 本部分要求考生能从集合的思想观点认识事件、互斥事件与对立事件，进而理解概率的性质、公式，还要求考生了解几何概型与随机数的意义.在高考中注重考查基础知识和基本方法的同时，还常考查分类与整合，或然与必
然的数学思想方法，逻辑思维能力以及运用概率知识解决实际问题的能力.离散型随机变量 1.理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性； 2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用； 3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题； 4.理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题； 5.利用实际问题的直方图，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 本章重点：1.离散型随机变量及其分布列；2.独立重复试验的模型及二项分布.本章难点：1.利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题；2.正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 求随机变量的分布列与期望，以及在此基础上进行统计分析是近几年来较稳定的高考命题态势.考生应注重对特殊分布(如二项分布、超几何分布)的理解和对事件的意义的理解. 知识网络 12.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 典例精析题型一分类加法计数原理的应用在1到20这20个整数中，任取两个数相加，使其和大于20，共有种取法.当一个加数是1时，另一个加数只能是20，有1种取法；当一个加数是2时，另一个加数可以是19,20，有2种取法；当一个加数是3时，另一个加数可以是18,19,20，有3种取法；……当一个加数是10时，另一个加数可以是11,12，…，19,20，有10种取法；当一个加数是11时，另一个加数可以是12,13，…，19,20，有9种取法；……当一个加数是19时，另一个加数只能是20，有1种取法.由分类加法计数原理可得共有1＋2＋3＋…＋10＋9＋8＋…＋1＝100种取法.采用列举法分类，先确定一个加数，再利用“和大于20”确定另一个加数.【变式训练1】(20XX年济南市模拟)从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个
数论与组合数学中的问题
数论与组合数学中的问题 数论和组合数学是现代数学中的两个重要分支，二者相互渗透，有许多相通之处。在这篇文章中，我们将会探讨数论与组合数学 中涉及到的一些问题。 一、素数和质因数分解 素数是数论研究的重要对象之一。素数指除1和本身以外，不 能再被其他正整数整除的自然数。例如，2、3、5、7、11、13、17、19等都是素数。素数有许多神奇的性质，例如，一个大于1 的自然数，如果它的因子都是素数，那么它一定是一个素数。另外，任何一个自然数都可以唯一地拆分为若干个素数的乘积，这 就是质因数分解定理。 二、排列组合问题 排列组合是组合数学中的重要分支，也常常涉及到计数问题。 在组合数学中，我们常常需要算出将n个元素分成k组的方案数，这就是组合问题。另一方面，当我们需要给n个元素排列时，也
需要考虑元素的顺序，这就是排列问题。排列组合的性质非常复杂，许多问题需要借助计算机进行求解。 三、数位问题 数位问题是数学中的一个非常有趣的领域。例如，我们经常需 要判断一个数是几位数，或者将一个数的所有位数加起来得到一 个新的数。除此之外，数位问题还能衍生出一些难题，例如同余 问题。同余问题指的是两个数在模意义下是否相等，例如，对于 任意正整数n，如果n的各位数字之和可以被9整除，那么n模9 的余数就是0。 四、图论中的问题 图论是数学的一个重要分支，常常用于描述网络和关系。例如，社交网络中的好友关系可以用图论来表示。在图论中，我们常常 需要计算各个节点之间的距离和路径。这些问题可以被转化为计 数问题，例如，最短路径问题和最长路径问题。 五、数学中的小定理
数学中有一些小定理，虽然看似简单却非常有用。例如，费马小定理指的是如果p是一个质数，那么对于任意正整数a，a^p-a 模p的余数必定为0。另外，欧拉定理指的是对于任意正整数a和m，如果a和m互质，那么a^φ(m)-1模m的余数必定为1，其中φ(m)表示与m互质的小于等于m的正整数个数。 六、组合数学中的难题 组合数学是一门非常具有挑战性的学科，有许多不为人知的难题。例如，康托猜想指的是对于任意正整数n和k，将1~n的k个排列按字典序排序，必定可以找到一种排序方式，使得相邻排列之间恰好只差1。另外，莫比乌斯反演是组合数学中的重要技巧之一，能够用于解决很多计数问题。 总结 数论与组合数学是两门非常有趣的学科，它们涉及了许多的问题和难题。在数学研究中，我们需要对数论与组合数学有深入的了解，才能够更好地理解数学中的各种问题。
高考数学难点突破数论与排列组合的综合应用
高考数学难点突破数论与排列组合的综合应 用 高考数学难点突破——数论与排列组合的综合应用 高考数学作为考生们最头疼的科目之一，其中数论与排列组合更是被认为是数学难点。在这篇文章中，我们将探讨如何突破数论与排列组合的综合应用，帮助考生们更好地备考高考数学。 一、数论的基本概念和常见问题 数论作为数学的一个重要分支，主要研究整数之间的性质和关系。在高考中，数论题目通常涉及素数、整数性质、同余关系等方面。下面我们来看一个典型的例题： 例题：证明不存在三个连续的正整数都能表示为两个平方数之和。 解析：我们假设存在三个连续的正整数a、b、c，都能表示为两个平方数之和，则可以表示为如下形式： a = p^2 + q^2 b = r^2 + s^2 c = u^2 + v^2 其中p、q、r、s、u、v均为整数。 对于a、b、c三式相加得：a + b + c = 3(p^2 + q^2 + r^2 + s^2 + u^2 + v^2)
由于p^2 + q^2、r^2 + s^2、u^2 + v^2都是非负数，因此3(p^2 + q^2 + r^2 + s^2 + u^2 + v^2)至少大于等于3。 然而，a + b + c = 3(p^2 + q^2 + r^2 + s^2 + u^2 + v^2)，这与不存在 三个连续的正整数都能表示为两个平方数之和的假设矛盾。 因此，不存在三个连续的正整数都能表示为两个平方数之和。 二、排列组合的基本原理和常见应用 排列组合在高考中的应用非常广泛，常见的有乘法原理、加法原理 和二项式定理等。下面我们来看一个与排列组合相关的例题：例题：某公司有10名员工，其中4名员工可以胜任销售工作，6名 员工可以胜任技术工作。现需要从中选出一支由3名员工组成的团队，其中至少有2名可以胜任销售工作和至少有1名可以胜任技术工作。 请问有多少种不同的选择方案？ 解析：根据题意，我们可以将该问题分解为两个子问题，分别为选 出2名销售人员和1名技术人员，以及选出1名销售人员和2名技术人员的情况。 对于选出2名销售人员和1名技术人员的情况，选择方案数为： C(4, 2) × C(6, 1) = 6 × 6 = 36 对于选出1名销售人员和2名技术人员的情况，选择方案数为： C(4, 1) × C(6, 2) = 4 × 15 = 60 因此，总的选择方案数为36 + 60 = 96
高考数学难点突破数论与排列组合的多重综合应用
高考数学难点突破数论与排列组合的多重综 合应用 在高考数学中，数论和排列组合是考生们经常遇到的难点，而这两 个知识点经常会在一道题目中进行综合应用。本文将探讨如何突破这 些难点，以及如何应对多重综合应用的题目。 一、数论的难点及突破方法 数论在高考数学中属于相对较难的部分，主要包括整数性质、最大 公约数、最小公倍数等内容。其中，常见的难点包括同余、递推关系 和整数解的判断等。 首先，我们来看同余的应用。同余是数论中一个重要的概念，它可 以解决一些复杂的问题。在解题过程中，我们可以通过找规律、列方 程或者利用性质等方式进行推导。另外，还要注意掌握同余运算的特性，例如两个数同余于一个数的倍数时，它们的差也是这个倍数。 其次，递推关系是另一个数论的难点。递推关系的表达形式有多种，例如：Sn = Sn-1 + a(n)，其中Sn表示数列的第n项，a(n)为与前面几项相关的式子。要解决这类问题，关键是找到递推关系的规律，并利用 递推公式进行推导和计算。 最后，整数解的判断也是数论的难点之一。当遇到非常复杂的问题时，我们可以利用最大公约数和最小公倍数的性质进行求解。同时， 还需要注意题目中可能出现的取模运算和质因数分解等技巧。
总之，要突破数论的难点，我们需要掌握各种性质和公式，并进行 大量的练习和思考，提高解题能力和思维灵活性。 二、排列组合的难点及突破方法 排列组合是高考数学中另一个常见的难点，主要包括排列、组合、 重复排列、多重集合等内容。其中，常见的难点包括计数原理、容斥 原理和应用题的解答等。 首先，计数原理是排列组合中的基础知识，涉及到阶乘、乘法原理、加法原理等概念。在解题时，我们要根据题目的情况选择适用的计数 原理，并灵活运用。 其次，容斥原理是排列组合中的一个重要工具。它可以解决一些重 叠计数的问题，例如某些事件同时满足或者互斥的情况。在应用容斥 原理时，我们要注意构造事件的表达式，并进行交集和并集的计算。 最后，应用题的解答是排列组合的难点之一。在解答应用题时，我 们需要将问题抽象为排列组合的形式，找到问题的结构和规律，并运 用相应的方法进行求解。 总之，要突破排列组合的难点，我们需要熟练掌握计数原理和容斥 原理的使用方法，同时进行大量的实战训练，培养运用知识解决实际 问题的能力。 三、多重综合应用的应对方法
高中数学排列组合难题十一种方法
高考数学排列组合难题解决方法 1.分类计数原理 ( 加法原理 ) 完成一件事，有 n 类办法，在第1类办法中有 m1种不同的方法，在第2类办法中有 m2种不同的方法，⋯，在第 n 类办法中有 m n种不同的方法，那么完成这件事共有： N m1m2m n 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第 1 步有m1种不同的方法，做第 2 步 有 m2种不同的方法，⋯，做第 n 步有 m n种不同的方法，那么完成这件事共有： N m1m2m n 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完 成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事 , 即采取分步还是分类 , 或是分步与分类同时进 行 , 确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题 ( 有序 ) 还是组合 ( 无序 ) 问题 , 元素总数是多少及取出多少个元素 . 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解 题策略 一. 特殊元素和特殊位置优先策略 例 1. 由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数 . 解: 由于末位和首位有特殊要求, 应该优先安排 , 以免不合要求的元素占了这两个位置 . 先排末位共有 C31 然后排首位共有 C41 C41 A 43C31最后排其它位置共有 A43 由分步计数原理得 C41C31 A43288 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法, 若以元素分析为主 , 需先安排特殊元素 , 再处理其它元素 . 若以位置分析为主 , 需先满足特殊位置的要求, 再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件
高考数学讲义排列与组合.参考教案.教师版
要求层次 重难点 加法原理、乘法原理 分类加法计数原理、分步乘法计数原理 B 分类加法计数原理、分步乘法计数原理 ① 理解分类加法计数原理和分类乘法计数原理； ② 会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题． 用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题 C 要求层次 重难点 排列与组合 排列、组合的概念 B 排列与组合 ① 理解排列、组合的概念． ② 能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式． ③ 能解决简单的实际问题． 排列数公式、组合数公 式 C 用排列与组合解决一些简单的实际问题 C 1．基本计数原理 ⑴加法原理 分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++L 种不同的方法．又称加法原理． ⑵乘法原理 分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯L 种不同的方法．又称乘法原理． ⑶加法原理与乘法原理的综合运用 知识内容 高考要求 排列与组合
如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理． 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2． 排列与组合 ⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素） 排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示． 排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+L ，m n +∈N ，，并且m n ≤． 全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=． ⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合． 组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示． 组合数公式：(1)(2)(1)! C !!()! m n n n n n m n m m n m ---+= =-L ，,m n +∈N ，并且m n ≤． 组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：1 1C C C m m m n n n -+=+．（规定0C 1n =） ⑶排列组合综合问题 解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法： 1．特殊元素、特殊位置优先法 元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置； 2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏． 3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法． 4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列． 5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．