武汉市PM2.5影响因素多元回归分析

武汉市PM2.5影响因素多元回归分析

摘要

本文对武汉市2013 年1 月—2013 年8 月PM2.5 质量浓度和影响因素数据资料

进行整理统计，对影响大气污染的各个污染指标进行综合分析，分别建立了PM2.5 质量浓度与其他污染指标存在不同的相关性，这类模型具有一定的实际应用价值，分

别采用“强行进入法”“逐步进入法”建立了PM2.5 指标的多元线性回归模型，比较了

对缺失值进行不同的方法处理时，差异不是特别大；还有就是共线性的问题，多重共

线性并没有影响到整个模型的拟合，因而不会对模型得到因变量的点估计值有影响。

通过定性分析，定量计算以及对各物理量之间的相互作用过程研究，得出PM2.5 质

量浓度变化特征和各影响因素之间的关系。结果表明，对于5 个基本指标，两两之

间，出了臭氧与二氧化氮以及臭氧与可吸入颗粒物，其余的指标在0.01 的水平上都

是显著相关的；通过F 假设检验得出在0.01 的水平上，PM2.5 与其余指标均是显著

相关的，其中，PM2.5 与臭氧呈现负相关，与其余量呈现正相关，与一氧化碳的相关

系数最高；在最后进行了检验分析。在进行验证时，我们利用线性模拟，二次模拟分

别与原始数据进行比较，得到的拟合效果比较好，是我们所要的结果；在最后面，根

据线性多元回归模型得到的结果，做出相应的预测并且判断出一氧化碳对PM2.5 的

影响是最大的，提出了一些相应的措施，能够有效地控制大气污染。

关键词：PM2.5 污染特征相关性回归分析

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II

Abstract

In this paper, Wuhan January 2013 2013 August PM2.5 mass concentrations and

factors influencing collate statistical data , effects of atmospheric pollution on various

pollution indicators comprehensive analysis of PM2.5 mass concentrations were established

with other pollution indicators have different correlations such models have some practical

value respectively, using "enter" " stepwise" to establish a multiple

linear regression model

PM2.5 indicators compared to the missing values different approach , the difference is not

particularly large ; there is collinearity problem of multicollinearity does not affect the fit

of the entire model , and thus will not get the model variables because the point estimate

values affected. Through qualitative analysis , quantitative calculation as well as the

physical interaction between the various studies , the relationship between PM2.5 mass

concentration derived characteristics and the influencing factors. The results show that for

the five basic indicators between any two out of ozone and nitrogen dioxide , and ozone and

particulate matter , the rest of the index at the 0.01 level were significantly associated ;

through F hypothesis test results in 0.01 on the level , PM2.5 and other indicators were

significantly correlated , in which , PM2.5 and ozone negatively correlated positively related

to its margin , the highest correlation coefficient with carbon monoxide ; were tested in the

final analysis . Upon verification, we use linear analog, two simulations were compared

with the original data were fitted get better results, we want results; in the final surface,

according to the results obtained by the linear regression model, make the appropriate

predictions and determine the impact of carbon monoxide on PM2.5 is the largest, made a

number of appropriate measures to effectively control air pollution. Key words: PM2.5 Pollution characteristics correlation Regression analysis

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III

目录

摘要................................................................... .......................................... I

Abstract ............................................................ ......................................... II

1 引言

1.1 研究背景与意义................................................................... .. (1)

1.2 国外研究................................................................... (2)

1.3 国内研究................................................................... (2)

2 SPSS相关性分析

2.1 基础理论知识................................................................... . (4)

2.2 数据的预处理................................................................... . (5)

2.3 PM2.5与各因素之间的关系 (8)

2.4 初步结果分析................................................................... .. (10)

3 PM2.5的多元回归模型

3.1 回归模型设定................................................................... .. (11)

3.2 缺失值问题................................................................... (16)

3.3 共线性问题................................................................... (16)

3.4 “强行进入法”下的回归模型 (19)

3.5 “逐步进入法”下的回归模型 (24)

3.6 PM2.5多元线性模型的验证以及预测 (33)

4 总结

致谢................................................................... . (38)

参考文献................................................................... .. (36)

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1

1 引言

1.1 研究背景与意义

前段时间出现的恶劣的天气让人们逐渐的认识到了一个词语:雾霾。雾霾是人

为活动与气候条件共同作用而发生的灾害性天气现象。另外，中国经济的粗放型发

展模式与当前雾霾的产生有很大的关系，在粗放型经济发展模式下，如何处理治理

污染和经济增长是一个问题，要怎样做才能兼顾二者。现在社会要进行可持续发展，建设成一个可持续发展的社会，倘若只是依靠破坏环境，牺牲环境取得的经济

增长又怎么可能是可持续的？灰蒙蒙的天气让越来越多的中国公众注意到PM2.5，它是一个由英文和数字组成的专业术语。它潜伏在空气中，伤害人的健康，更严重

的是它能给社会造成巨大的经济损失。

我们是如何来分辨出PM2.5的呢? 粒子最重要的性质就是气溶胶颗粒物的大

小。按粒径可把颗粒物分为总悬浮颗粒物(TSP)和可吸入颗粒物(PM10和PM2.5)，其

中TSP是指空气动力直径小于或等于100.0 m的颗粒物，PM10是指空气动力学直径

小于或等于10.0 m的颗粒物。PM2.5（也称为可入肺颗粒物）是指空气动力学直径

小于或等于2.5 m的颗粒物。在地球大气成分中，PM2.5含量很少，但它对空气质

量和能见度的影响却很大。另外，粒径小于0.1μm的粒子又被称为超细粒子［1］。PM2.5的主要来源是人为排放。人类不仅排放某些气体污染物（这些气体污染物在

空气中可以转化为PM2.5），有时候也是直接排放PM2.5的。对于直接排放来说，它

们主要来自燃烧过程，比如说，生物质(秸秆、木柴)的燃烧，化石燃料(煤、汽油、柴油)的燃烧，还有就是垃圾的肆意焚烧等。挥发性有机物，氮氧化物和二氧

化硫等这些是属于可以在空气中转化成PM2.5的。另外的那些人为来源包括扬尘，粉尘等。大气中的细颗粒物PM2.5，它对人体的伤害很大，因为它们一般会依附于

氮氧化物，重金属颗粒，还有硫化物等污染因子上[2][3][4]。

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2

1.2 国外研究

在上个世纪下半叶，日本，英国等这些发达国家也出现过重雾霾天气（工业化迅速发展时期），而且造成了很严重的苦果。在过去的20 年里，国外广泛开展了

PM2.5 的研究，主要是涉及PM2.5 的污染特征，排放清单以及PM2.5 对人体健康和大

气能见度的影响等方面，其中在美国加州地区是进行细微颗粒物研究最多的地方。研

究表明，PM2.5 的浓度不是单一因素的后果，它是综合作用的结果，它取决于化学变

化，地理条件，气象条件等复杂因素相互作用；不同的地区PM2.5 的浓度值可能也会

有所不同，对于夏季来说，这个比率在秋季比夏季高171。

现在几十年已经过去，曾经那些饱受污染苦果的国家它们的环境也得到了很大

的改善，比如说，，美国洛杉矶享有“天使之城”的美誉也再度回来，英国曾被称

为“雾都”，如今也已经摘掉了。针对雾霾问题，它们采取了很多行之有效的措施，在这方面很值得我们的学习。它们在治理雾霾方面采取了有效措施，归纳为两

点：一是法治；二是源头治理。治理雾霾，不是一时兴起，不是短暂的行动，其它

国家经过半个多世纪才能取得一定效果，所以我们要做好打长久战的准备

[5][6][7][8]。

1.3 国内研究

国家环保部曾统计过，每年出现灰霾污染的天数达到100 天以上的城市数量不小。PM2.5 污染的影响很大：会给人的身体健康带来很大危险，城市大气中出现的灰

霾现象它也做出了很大的贡献。2011 年末，PM2.5 被纳入了国家的新标准。2012 年，

PM2.5 的信息公开方面都取得了不同程度的进步，但是对于我们国家来说，现在我们

国家进入了一个污染的面积正在扩大的时期。我们关于PM2.5 在很多方面还没有明

确的结论，比如说，它的来源是什么？我们怎么样来治理？对公众造成了什么伤害？

什么时候能处理好PM2.5，让人们可以呼吸上新鲜空气？[9][10][11][12]。

自2006年开始，武汉大学的有关专家已经开始做关于PM2.5的研究，通过他们

设置在武大测绘工程与遥感国家重点实验室楼顶的监测站采样数据显示，从2011年

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3

7月到2012年底，武汉大气中的PM2.5质量浓度平均值（国家质量标准所限的75 g /m3）为167 3 g /m ，远远高于国家所规定的。

PM2.5首次被写入政府工作报告是在2012年全国“两会”上。对PM2.5的关注度正在日

益增大，这也在一方面折射出现如今我国环境污染的严峻性。从2013年9月国务

《大气污染防治行动计划》以来，不少地区加大了对污染空气的违法企业的处罚力

度[13][14][15]。

环境是人的生存之本、发展之基。人们能够在一个良好的环境中生产和生活，可以放心地喝上干净的水，能够呼吸到呼吸新鲜的空气。治理雾霾不能再坐以待毙

了，这一件刻不容缓的大事，导致雾霾形成的各种隐患需要我们彻彻底底地发掘出

来，从而可以一一把它们根除。治理雾霾离不开全民的参与。引起雾霾的主要污染

物之一就是PM2.5，所以研究各个污染物成了刻不容缓的事情。在雾霾面前，我们

每个人都既是受害者，但与此同时我们也都负有一份责任，治理雾霾不是一件简简

单单的事情，需要我们大家共同的努力，所以我们不可能把它推给政府，企业，每

个人都应该贡献自己的力量，积少成多，积小成大。比如，培养节约节能的生活方

式。同时，及时地监督与敦促相关部门与企业在治理雾霾上有所作为也是公民的一

项权利和义务。单个人的小举动微不足道，但是当我们国家13亿人的力量汇聚到一

起时，你就会发现这是一种强大的力量[16][17][18]。

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2 SPSS相关性分析

2.1 基础理论知识[19][20][21][22]

客观事物之间都是存在关系的，而它们之间的关系大致可以分为两大类：

函数关系和统计关系

我们最常接触到的所说的相关分析是指用来分析事物之间统计关系的方法。通常我们在研究一个问题的过程中，一般是先对单变量进行分析，接着再对双变量之间

的关系进行分析，最后拓展到对多变量之间的关系进行分析。然而多变量分析与单变

量的分析却有一个最大的不同之处，那就是：客观事物之间的关联性开始被慢慢披露

出来。我们在统计学的学习或者研究中，研究客观事物之间相互关联的数量特征具有

十分重要的理论意义和实践意义。

而在提到变量之间的关系时，我们首先想到的就是变量间具有的确定性关系，它所具有的特点是：当自变量确定后，因变量也就完全被确定了。对于确定性的关系，

我们一般把它表示成函数的关系的形式，如：圆的半径和周长之间的关系C=2 r，其

中r 是圆的半径，这就是我们所说的函数关系。

具有确定性关系的变量，我们可以很好的来测量它们。与之不同，我们很难来看变量之间的非确定性关系，它是确定存在的，并且有的关系强，有的关系弱，而且它

们的程度各有不同，那么如何来测度事物之间的统计关系的强弱一直是我们关注的

问题，这是我们研究的重点，也是研究难点。非确定性关系，也即统计关系的特点是

给定了一个变量值之后，另外一个变量也就是因变量可以在一定的范围内变动，而不

是仅仅一个确定的值。例如，人的身高和体重之间的关系，同样身高的人，他们的体

重可能会有很大的差异，因为除了受身高的影响，体重还受其他因素的影响；另外子

女身高和父母身高，校园环境和学生体质，吸烟量和寿命，犯罪与否和年龄，家庭收

入和支出，之间的关系等。

进一步地，统计关系可以再进一步地分为线性相关关系和非线性相关关系。具体万方数据

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5

的关系我们可以从下面的分支上更加形象地看到：

函数关系

非线性相关

客观事物之间的关系

统计关系正线性相关

线性相关

负线性相关

如果事物间存在因果关系，那么它们必然是相关的；但是当事物之间存在相关关系时，它并不一定就是因果关系，也有可能是伴随关系。相关关系是多种多样的，下

面我们把它们大致归纳为6种类型：

X Y

X Y

X Y

X

X Y

X Y

X Y

X

强正相关关系：一变量的增加，导致另一变量的明显增加

是的主要影响因素

弱正相关关系：一变量的增加，导致另一变量的增加，但是增加幅度不明显是影响Y的因素，但是不是唯一因素

强负相关关系：一变量的增加，导致另一变量的明显减少

是的主要影响因素

相关关系

弱正相关关系：一变量的增加，导致另一变量的减少，但是减小幅度不明显是影响Y的因素，但是不是唯一因素

非线性相关关系：X,Y之间没

有明显的线性关系，但存在着某种非线性关

系X仍是影响Y的因素

不相关：X,Y之间不存在相关关系

X不是影响Y的因素

2.2

数据的预处理：

我们对数据进行相关性分析，具体的步骤如下：

输入：武汉市PM2.5预处理数据；

输出：相关系数矩阵

1 2 3 4 5

1 1 1

2 1

3 1

4 1

5 1

2 1 2 2 2

3 2

4 2

5 2

3 1 3 2 3 3 3

4 3

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ), ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

or

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (

R y y R x y R x y R x y R x y R x y

R y x R x x R x x R x x R x x R x x

R y x R x x R x x R x x R x x R x x

C

R y x R x x R x x R x x R x x R

，，，，，

，，，，

，，，，，

，，，，，5 3

4 1 4 2 4 3 4 4 4

5 4

5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5

, )

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

x x

R y x R x x R x x R x x R x x R x x

R y x R x x R x x R x x R x x R x x

，，，，，

，，，，，

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运用SPSS软件的两个变量相关性分析工具分析这些指标两两之间的相关性。并

且使用双侧检验得出指标之间的显著性水平[23][24]。表2-1 相关系数矩阵

Correlations

（二氧化

硫）x1

（二氧化

氮）x2

（可吸入

颗粒物）

x3

（一氧化

碳）x4

（臭

氧）x5

（PM2.

5）y

（二氧化硫）

x1

Pearson

Correlation

1 .807** .678** .659** -.179** .726**

Sig. (2-tailed) .000 .000 .000 .006 .000

N 238 238 236 238 238 238

（二氧化氮）

x2

Pearson

Correlation

.807** 1 .727** .626** -.063 .734**

Sig. (2-tailed) .000 .000 .000 .336 .000

N 238 238 236 238 238 238

（可吸入颗粒

物）x3

Pearson

Correlation

.678** .727** 1 .586** -.069 .779**

Sig. (2-tailed) .000 .000 .000 .295 .000

N 236 236 236 236 236 236

（一氧化碳）

x4

Pearson

Correlation

.659** .626** .586** 1 -.381** .822**

Sig. (2-tailed) .000 .000 .000 .000 .000

N 238 238 236 238 238 238

（臭氧）x5

Pearson

Correlation

-.179** -.063 -.069 -.381** 1 -.352**

Sig. (2-tailed) .006 .336 .295 .000 .000

N 238 238 236 238 238 238

（PM2.5）y

Pearson

Correlation

.726** .734** .779** .822** -.352** 1

Sig. (2-tailed) .000 .000 .000 .000 .000

N 238 238 236 238 238 238

**. Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).

但是在实际的应用中，我们会发现，如果单纯的通过计算相关系数的方法来研

究变量间的相关性关系是不准确[14][15]。例如：两变量间的数据对为（1,1），（2,2），（3,3），（4,4），（5,5），（6,6），（7,1）.如果我们不通过

图形来看的话，只是通过公式来计算它们的相关系数的话，得到的简单相关系数约

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为0.395，那么根据这个数据我们可以得到的结论是两个变量间呈现弱相关关系，但是我们来看一下它的散点图，如下所示：

图2-1

观察上图，我们可以看到，如果我们把图中的红色大圆圈不考虑（踢出去的话），那么这两个变量之间是呈现完全正线性相关关系的，而并不是弱相关关系。我们仅仅

通过计算公式来计算得到的相关系数较低是由于红色的异常数据点导致的。因此，我

们在做变量间相关性的研究时要注意做到将绘制散点图，结合散点图与计算相关系

数的方法，单纯依靠相关系数或者散点图都无法准确地反映出变量之间的相关性，把

它们两者结合是非常必要的。

2.3 PM2.5与各因素之间的关系

本篇文章我们要研究的是PM2.5与其他污染物之间的影响，所以下面我们重点

来看一下PM2.5与二氧化硫（1 x ），二氧化氮( 2 x )，可吸入颗粒物( 3 x )，一氧化

碳( 4 x )，臭氧( 5 x )的散点图，至于二氧化硫（1 x ），二氧化氮( 2 x )，可吸入颗粒

物( 3 x )，一氧化碳( 4 x )，臭氧( 5 x )它们两两之间的散点图就不在此一一列出了，

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具体的图形参看本文后面。

图2-2 PM2.5与二氧化硫的散点图

如果只是仅仅观察上面的散点图的话，就会发现PM2.5与二氧化硫呈现正相关关系，

但是这个相关性很弱，几乎看不出来。

图2-3 PM2.5与二氧化氮的散点图

从上面的PM2.5与二氧化氮的散点图我们可以得到这样的结果：PM2.5与二氧化氮之间呈现正相关关系，但是也不强。

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图2-4 PM2.5与可吸入颗粒物的散点图

仅从散点图我们可以很容易的看到：PM2.5与可吸入颗粒物呈现完全正相关关系。图2-5 PM2.5与一氧化碳的散点图

PM2.5与一氧化碳的散点图也告诉了我们这两个变量之间是呈现较强正相关关系的

（几个异常的数据点是个例外）。

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图2-6 PM2.5与臭氧的散点图

从上图中我们可以大致看出来PM2.5与臭氧是呈现负相关的：PM2.5的值高的时候臭氧的数值偏低，反之PM2.5的值偏低的时候臭氧的数值偏高。

2.4 初步结果分析

从表2-1中相关性矩阵可以做出如下分析：

1.分析自变量之间的关系：对于这5个基本指标二氧化硫（1 x ），二氧化氮( 2 x )，

可吸入颗粒物( 3 x )，一氧化碳( 4 x )，臭氧( 5 x )，它们两两之间,只有臭氧与二氧化

氮，臭氧与可吸入颗粒物在0.01的水平上不是显著相关的，其余的指标在0.01水平上

是显著相关的。

2.分析自变量与因变量之间的关系：我们主要是来研究PM2.5的，所以通过上表中的最后一行我们可以得出PM2.5与其余指标之间的相关性。通过F假设检验，得到在

0.01的水平上，PM2.5与其余指标均是显著相关的。其中，PM2.5与臭氧是负相关的，

而与其他指标呈现正相关，与一氧化碳（4 x ）的相关系数最高。

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3 PM2.5的多元回归模型

考虑到2 SO , 2 CO ,CO,可吸入颗粒物以及3 O 等AOI参数与PM2.5的关系非常复

杂，单一因素的影响通常随着其他条件的变化而变化。因此，在相关性分析的基础

上，本文继续采用多元回归模型对PM2.5日均浓度与2 SO ，2 CO ，CO，可吸入颗粒

物以及3 O 等关系进行建模分析。通过模型的建立，不仅能够确定影响PM2.5浓度的

主要因素，而且能够通过这些参数的变化来预测PM2.5的指数，为规避高污染事件，降低健康，出行等风险提供指导[25][26][27][28]。

3.1 回归模型设定[25][26][27][28]

我们在进行建模时，当然要在模型设定中的一些问题，具体如下：

A1.正交假定

A2.独立同分布假定

A3.正态分布假定

回归分析依赖于所设定的模型是正确无误的，模型的参数估计和相对应的假设检验都是建立在这一大前提之下的。而在实际的研究中，研究者一般都是根据某个理

论或某些经验的研究结果来设定回归模型。而在事实上，在社会科学的研究之中，我

们通常是没法有十足的把握来认为我们所设定的模型是正确的。一旦在模型设定中

存在问题，那么，据此来进行的参数估计和对应的假设检验也都是存在问题的。在这

里，我们仅来介绍其中两类与模型设定有关的错误，目的是“提高对模型设定本身是

否正确”这一潜在假定的敏感和警觉。

第一类错误是模型中纳入了某些无关的自变量；

第二类错误是模型中忽略了某些的相关变量；

前者错误是针对本不该纳入却被我们纳入模型的自变量，后者错误则是针对本该纳入却未被研究者们纳入模型的自变量。

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纳入无关自变量.在回归分析中，我们在进行模型设定的时候，可能会加入某

些无关的自变量（irrelevant independent variable)。换句话来说，尽管在总体

中存在一个或多个自变量对因变量的偏效应是不存在的（也就是其总体回归系数为

零），但还是会把它们纳入模型当中[27][28][29]。

我们一般假设总体中的模型如下：

i0 1 i1 2 i2 3 i3 i y x x x

（3.1）并且该模型满足上述两个假设：A1，A2，但是在控制住1 x 和2 x 以后，3 x 对

y 是没有影响的，即3 0。但是我们在估计模型之前，却是并不知道这一点的，

从而我们得到的拟合结果，即回归模型包括了无关自变量3 x ，即：

i0 1 i1 2 i2 3 i3 y b b x b x b x

（3.2）那么，对于无关自变量3 x 的纳入对模型的参数估计会不会有影响？如果有

影响，那又会产生怎样的影响呢？对于1 b 和2 b 的无偏性而言，包括自变量3 x 是不

会产生危害的。根据高斯--马尔科夫定理：在误差零均值，同方差，且互不相关的

线性回归模型中，回归系数的最佳无偏线性估计（BLUE）就是最小方差估计（一般

而言，任何回归系数的线性组合的最佳无偏线性估计就是它的最小方差估计。在这

个线性回归模型中，误差既不需要假定正态分布，也不需要假定独立（但是需要不

相关这个更弱的条件），还不需要假定同分布），最小二乘估计就是对总体参数的

无偏估计，即：E(b) ，这个结论对于 的任意取值都是成立的，包括取值为

0，即 =0的时候。所以，在多元回归中含有无自关变量并不会影响OLS（普通最小

二乘法）估计结果的无偏性。当然，我们基于某个样本数据而得到的估计值3 b 也有

可能并不恰好等于零——虽然它在所有随机样本中的平均取值为零。

然而，我们纳入无关自变量也并不是完全无害。假设在我们的模型中不存在自变量3 x ，仅仅包含1 x 和2 x 两个自变量，即：

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* * *

i0 1 i1 2 i2 y b b x b x (3.3)

我们可以通过相关的理论或者其它来证明，（3.2），（3.3）中的回归系数0 b ，

1 b ，

2 b 和*

0 b ，*

1 b ，*

2 b 的方差是不同的。除非无关自变量

3 x 与1 x ，2 x 均不是相关的，若否，*

0 b ，*

1 b ，*

2 b 的方差将比0 b ，1 b ，2 b 的方差小。换言之，如果无关自变量

3 x 与

1 x ，

2 x 存在相关关系，那么就会导致相应的回归系数（即1 b ，2 b ）的标准误差会增

大，并且增大的程度取决于无关自变量3 x 与1 x ，2 x 之间的相关程度。也就是说，如

果总体中的自变量3 x 对因变量y 没有偏效应，那么把它（3 x ）加入模型只可能增加

多重共线性的问题，从而减弱估计的有效性。所以，当3 0的时候，我们更愿意倾

向于不将无关自变量3 x 纳入模型中。

可能我们总是有很好更多的理由来加入更多的自变量，但是，不要加入那些无关的自变量。因为如果这样做，我们：

①有可能错过理论上有意义的发现；

②违背了简约原则；

③浪费了自由度；

④导致估计精度的下降。

忽略有关自变量.如果我们在模型的设定中忽略了某些本应该纳入但是却未被

纳入的有关自变量（relevant independent variable），也就是下面的两种情况：

a. 所忽略的变量与模型中的其他变量无关；

b. 所忽略的变量与模型中的其他变量相关。

在前一种情况下，是不会发生忽略变量偏误（omitted-variable bias）的;然而在后一情形下，则是有可能发生忽略定理偏误的。比如说，真实的模型本应该是

包含1 x ，2 x 和3 x 的，记为：

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y X1

（3.4）但是我们却只包含了1 x 和2 x ，忽略了3 x ，模型记为：

2 y X （3.5）

当我们在（3.5）中无意识地忽略了相关变量3 x 时，3 x 实际上已经变成了误差项

3 3 x 的一部分。针对第一种情况，因为3 x 与1 x ，2 x 都不相关，A1这个假定是

不变的，最小二乘估计无偏；但是对于第二种情况，如果3 x 与1 x 相关，被忽略的自

变量3 x 变成了误差项 的一部分，那么就会使得2 x 与误差项之间不会再保持独立。

这也就意味着，此时，A1假定不会再得到满足，从而，回归系数 将变成总体参数

的有偏估计，而偏误的方向取决于被忽略的自变量3 x 对因变量效应的方向以及该自

变量与1 x 之间关系的方向。下面我们用如下所示表格来说明被忽略自变量3 x 对1 估

计偏误的所有情形。偏误的大小是直接取决于该忽略自变量与模型中其他自变量之

间的关系的，它们之间的相关性越强，那么忽略变量的偏误就会越大。

表3-1 被忽略变量回归系数偏误的不同属性

Corr(1 x , 3 x )>0 Corr( 1 x , 3 x )<0

3 0

正向偏误负向偏误

3 0

负向偏误正向偏误

在实际的研究当中，我们通常是无法知道被忽略的自变量的作用究竟是什么以及它与模型中已纳入的自变量之间的相关关系，故而我们也很难确定偏误的方向和大

小。

据此，我们可以看到，模型设定中忽略有关的自变量并不一定会导致忽略变量发生偏误。忽略变量发生偏误需要满足两个条件：

一是有关性条件，即被忽略自变量要对因变量有影响；

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二是相关性条件，即被忽略自变量与已纳入模型的其他自变量存在相关[20]。

3.2 缺失值问题[23][24][29]

但是我们所处理的数据中含有缺失值，对此我们必须要对数据进行处理。有三种方法：

①按列表排除个案。当我们一次选择多个变量进行分析时，只要某个变量含

有缺失值，就在所有分析过程中将含有该变量的记录删除。

②按对排除个案。成对来剔除带有缺失值的观测量，只有在计算过程中我们

用到的某个变量含有缺失值时，才会将相应的记录删掉。比如来计算两个变量的相

关系数时，只要求把这两个变量中含有缺失值的记录行删除掉就可以了。如果某个

记录的这两个变量中并没有缺失值，而在其它变量中有，那么这个记录仍然用于当

前相关系数的计算。

③使用该变量的均值替换其缺失值。

下面我们分别用两种方法来研究，“强行进入法”和“逐步进入法”。前者是软件默认的方法，而后者则是综合了“向前进入法”和“向后进入法”，所以两者的可

行性及可信度是很高的。

3.3 共线性问题[23][24][25][30]

为什么我们要单独把共线性问题列出来考虑呢？因为共线性的自变量会典型地增大系数估计的方差。例如，我们来考虑有两个变量的回归

Y= 0+ 1X1 2X2

（3.6）并且假设1 X 和2 X 的样本的相关系数是12 r 。我们来定义下面的符号：2 ( ) j i j j SX X X X(3.7)

我们可以来证明：

万方数据

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2

2

12

1 1

var( ) ( )( ), ( 1, 2)

1 j

ji

j

r SX X

（3.8）

当12 r 0时，1 ，2 的方差会取得最小值。当12 r 越接近1时，这些方差便会被大大地

放大了。例如，如果2

12 r 0.96时，1 1 SX X 保持不变，1 的方差是2

12 r 0时的25倍。

这样的话，跟那些使用非共线性的自变量的问题相比较的话，使用共线性的自变量可

能会让估计出来的变量的系数让我们不能接受。

我们假设有p 个自变量。p 2时的情况与p 0时的情况是类似的。我们可以证明，

第j 个系数的方差是：

2

2

1 1

var( ) ( )( ), ( 1, 2, , )

1 j

jji

j p

R SX X

（3.9）

2

1

1 j R

被称为第j 个方差扩大因子，我们把它简单地记为j VIF 。我们假定这些的j X 是可以取样的，使得2 0 j R ，并且会使j j SX X 保持不变，那么VIF 表示的是由于自变量

间的相关系数而由共线性引起的方差的增大。

共线性还会影响预测值大方差，但是效果是不太明显的。对某些的预测值，共线性的自变量能够精确的比具有相同j j SX X 值的正交自变量（对于正交自变量我们已

经相当的熟悉了，这儿就不做过多的解释）有更加小的方差。

在我们进行下面的回归模型之前，我们会想到：如果自变量（解释变量x ）之间存在线性相关的关系，即所谓的多重共线性问题，怎么办？因为若是发生解释变量间

的多重共线性问题会给回归方程带来许多影响。比如说，偏回归系数的置信区间增

大，偏回归系数估计困难，偏回归系数假设检验的结果不显著，偏回归系数的估计方

差会随着解释变量x 相关性的增大而增大，偏回归系数估计值的不稳定性增强等。对

此我们需要对解释变量间的多重共线性进行测度，一般有一下几种方式：

容忍度.容忍度是解释变量i x 间多重共线性测度的重要统计量。它的容忍度定万方数据

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义为：

Toli 1 Ri2

方差膨胀因子.方差膨胀因子与容忍度存在一个关系：互为倒数，即：

2

1

1 i

i

VIF

R

由容忍度的取值范围我们可知，方差膨胀因子是大于1的。解释变量间的共线性如果

越强的话，2

i R 越接近1，i VIF 越大[31]。

特征值和方差.诊断解释变量间有没有存在多重共线性的另外一种有效的方法

是特征值。它的基本思想是：若解释变量间确实存在较强的相关性，那么它们之间必

然存在信息的重叠，那么我们应该把这些重叠的信息提取出来，使其成为既能反映解

释变量的信息，又能成为相互独立的因素。我们可以根据这一思路，可从解释变量的

相关系数矩阵出发，计算出相关系数矩阵的特征值。从而，最大特征值可以解释说明

解释变量信息的比例是最高的（一般可达到70%），至于其他的特征值则随着数值的

减小对解释变量方差的解释能力是依次减弱的。在所有的特征值中，如果最大特征值

远远地大于其他的特征值，那么就说明这些解释变量是具有多重共线性，并且是

比较

严重的，因为仅仅凭借这一个特征值我们就基本刻画出了所有解释变量的绝大部分

信息。解释变量标准化后的方差是1.若某个特征值既能够刻画某解释变量方差的较

大部分比例，同时又可以解释另外一个解释变量方差的较大部分比例，那么就能说明

此两个解释变量间存在很强的线性相关关系[32][33]。

考虑到污染物分布的正态分布特性以及复杂变量之间的线性关系，本文采用如下线性多元回归模型：

1 2 k y a b x c x k x

使用SPSS软件进行多元线性回归分析。PM2.5数值作为因变量，其余的数值作为自变量。在接下来的数据拟合分析中，我们将采用“强行进入法”和“逐步进入法”

分别进行PM2.5多元回归模型的建立。

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3.4 “强行进入法”下的回归模型[23][24]__

“强行进入法”是指所选择的的自变量全部进入回归模型，这是软件默认的模型

方式。

3.4.1 Step1:运行SPSS软件对监测数据进行数据拟合分析

使用SPSS软件多元线性回归中的”强行进入法“，得到的回归结果如下式所示：1 2 3 4 5 32.956 0.173 y x 0.442x 0.882x 2.207x 0.334x

3.4.2 Step2: 模型检验

①回归方程拟合优度2 R 检验

表3-2 “强行进入法”下的拟合优度2 R 检验

（对于缺失值的处理方法是：按列表排除个案）

Model Summary