2017年中考数学专题练习 旋转(含解析)

旋转

一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）

1．下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A．B．C．D．

2．如图，所给的图案由△ABC绕点O顺时针旋转（）前后的图形组成的．

A．45°、90°、135°B．90°、135°、180°

C．45°、90°、135°、180°、225°D．45°、180°、225°

3．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）

A．B．C．1﹣D．1﹣

4．如图，P是等边三角形ABC内一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比为5：6：7，则以PA，PB，PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）

A．2：3：4 B．3：4：5

C．4：5：6 D．以上结果都不对

5．下列图形中，是中心对称图形的是（）

A．菱形 B．等腰梯形

C．等边三角形D．等腰直角三角形

6．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（）

A．（2，3） B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，2）

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）

7．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是．

8．如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，△ABC按逆时针方向旋转一个角度后，成为△ACD，则旋转中心是点、旋转角是．

9．如图，设P是等边三角形ABC内任意一点，△ACP′是由△ABP旋转得到的，则PA PB+PC（选填“＞”、“=”、“＜”）

10．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE+DF=EF，则∠EAF= 度．

11．如图，O是等边△ABC内一点，将△AOB绕A点逆时针旋转，使得B，O两点的对应分别为C，D，则旋转角为度，图中除△ABC外，还有等边三形是△．

12．如图，Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，以P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到△DEF，图中通过旋转得到的三角形还有．

三、解答题

13．已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．

（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；

（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

14．如图，正方形ABCD的边长为1，AB，AD上各有一点P，Q，如果△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数．

15．有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30°．

（1）请直接写出AF的长；

（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求△AFK的面积（保留根号）．

旋转

参考答案与试题解析

一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）

1．下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A．B．C．D．

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：既是中心对称图形又是轴对称图形的只有A．故选A．

【点评】掌握好中心对称与轴对称的概念．

轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象沿对称轴折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．

2．如图，所给的图案由△ABC绕点O顺时针旋转（）前后的图形组成的．

A．45°、90°、135°B．90°、135°、180°

C．45°、90°、135°、180°、225°D．45°、180°、225°

【考点】旋转的性质．

【专题】计算题．

【分析】根据旋转的性质，把旋转后的图形看作为正八边形，依次得到旋转的角度．

【解答】解：把△ABC绕点O顺时针旋转45°，得到△HEF；顺时针旋转180°，得到△ADC；顺时针旋转225°，得到△HGF；

故选D．

【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．

3．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）

A．B．C．1﹣D．1﹣

【考点】旋转的性质；正方形的性质．

【分析】设B′C′与CD的交点为E，连接AE，利用“HL”证明Rt△AB′E和Rt△ADE全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE=∠B′AE，再根据旋转角求出∠DAB′=60°，然后求出∠DAE=30°，再解直角三角形求出DE，然后根据阴影部分的面积=正方形ABCD的面积﹣四边形ADEB′的面积，列式计算即可得解．

【解答】解：如图，设B′C′与CD的交点为E，连接AE，

在Rt△AB′E和Rt△ADE中，，

∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），

∴∠DAE=∠B′AE，

∵旋转角为30°，

∴∠DAB′=60°，

∴∠DAE=×60°=30°，

∴DE=1×=，

∴阴影部分的面积=1×1﹣2×（×1×）=1﹣．

故选：C．

【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全等三角形求出∠DAE=∠B′AE，从而求出∠DAE=30°是解题的关键，也是本题的难点．

4．如图，P是等边三角形ABC内一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比为5：6：7，则以PA，PB，PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）

A．2：3：4 B．3：4：5

C．4：5：6 D．以上结果都不对

【考点】旋转的性质；三角形内角和定理；等边三角形的性质．

【专题】计算题．

【分析】将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，则AP′=AP，∠P′AP=60°，得到△AP′P是等边三角形，PP′=AP，所以△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC；再由∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，得到∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，这样可分别求出∠PP′C=∠AP′C﹣∠AP′P=∠APB﹣∠AP′P=100°﹣60°=40°，∠P′PC=∠APC﹣∠APP′=140°﹣60°=80°，∠PCP′=180°﹣（40°+80°）=60°，即可得到答案．【解答】解：如图，将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，∵AP′=AP，∠P′AP=60°，

∴△A P′P是等边三角形，

∴PP′=AP，

∵P′C=PB，

∴△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC，

∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，

∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，

∴∠PP′C=∠AP′C﹣∠AP′P=∠APB﹣∠AP′P=100°﹣60°=40°，

∠P′PC=∠APC﹣∠APP′=140°﹣60°=80°，

∠PCP′=180°﹣（40°+80°）=60°，

∴∠PP′C：∠PCP′：∠P′PC=2：3：4．

故选A．

【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质．

5．下列图形中，是中心对称图形的是（）

A．菱形 B．等腰梯形

C．等边三角形D．等腰直角三角形

【考点】中心对称图形．

【分析】旋转180°后与原图重合的图形是中心对称图形．

【解答】解：菱形，等腰梯形，等边三角形，等腰直角三角形都是轴对称图形；菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选A．

【点评】运用轴对称和中心对称图形概念，找出符合条件的图形．

【链接】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．

如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．

6．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（）

A．（2，3） B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，2）

【考点】关于原点对称的点的坐标．

【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）”解答．【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，3）．

故选B．

【点评】关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）

7．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3

的坐标是（﹣1，）．

【考点】坐标与图形变化﹣旋转．

【专题】压轴题．

【分析】已知将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，则OP1=1，P1点的坐标是（．则

P2的坐标是；再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3与P2关于y轴对称，因而点P3的坐标就很容易求出．

【解答】解：∵点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，

∴P1点的坐标是（，

∴P2的坐标是，

又∵点P3与P2关于y轴对称，

∴点P3的坐标是（﹣1，）．

【点评】解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形．

8．如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，△ABC按逆时针方向旋转一个角度后，成为△ACD，则旋转中心是点 A 、旋转角是∠CAD，是90°．

【考点】旋转的性质．

【分析】确定图形的旋转时首先要确定旋转前后的对应点，即可确定旋转中心．

【解答】解：旋转中心是点A、旋转角是∠CAD，是90°．

【点评】本题主要考查了旋转的定义，正确确定旋转中的对应点，是确定旋转中心，旋转角的前提．

9．如图，设P是等边三角形ABC内任意一点，△ACP′是由△ABP旋转得到的，则PA ＜PB+PC （选填“＞”、“=”、“＜”）

【考点】旋转的性质；三角形三边关系；等边三角形的判定．

【分析】此题只需根据三角形的任意两边之和大于第三边和等边三角形的性质，进行分析即可．【解答】解：根据三角形的三边关系，得：BC＜PB+PC．

又AB=BC＞PA，

∴PA＜PB+PC．

【点评】本题结合旋转主要考查了三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．10．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE+DF=EF，则∠EAF= 45 度．

【考点】旋转的性质；正方形的性质．

【分析】根据BE+DF=EF，则延长FD到G，使DG=BE，则FG=EF，可以认为是把△ABE绕点A逆时针旋转90度，得到△ADG，根据旋转的定义即可求解．

【解答】解：如图：延长FD到G，使DG=BE，则FG=EF，

在△ABE和△ADG中，，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE=AG

又∴AF=AF，GF=EF

∴△AGF≌△AEF

∴∠EAF=∠GAF=×90°=45°．

【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．

11．如图，O是等边△ABC内一点，将△AOB绕A点逆时针旋转，使得B，O两点的对应分别为C，D，则旋转角为60 度，图中除△ABC外，还有等边三形是△AOD ．

【考点】旋转的性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定．

【分析】根据旋转的性质及全等三角形的性质作答．

【解答】解：∵将△AOB绕A点逆时针旋转，使得B，O两点的对应分别为C，D，

∴△AOB≌△ADC，

∴OA=AD，∠BAO=∠DAC，

∴∠BAO+∠OAC=∠DAC+∠OAC=∠BAC=60°，

即∠OAD=60°，

所以旋转角为60°．

∵OA=AD，∠OAD=60°，

∴△AOD为等边三角形．

【点评】此题主要考查了图形旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大

小、形状都不改变．

12．如图，Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，以P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到△DEF，图中通过旋转得到的三角形还有△EPQ ．

【考点】旋转的性质．

【分析】旋转中心是P，旋转方向为逆时针，旋转角是90度，已确定，再通过观察发现全等三角形，判断是否符合本题的旋转规律．

【解答】解：根据旋转的性质可知，旋转中心是P，旋转角是90度，

图中通过旋转得到的三角形还有△EPQ．

【点评】本题考查旋转两相等的性质，即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．

三、解答题

13．已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．

（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；

（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．

【专题】计算题；压轴题．

【分析】（1）BM+DN=MN成立，证得B、E、M三点共线即可得到△AEM≌△ANM，从而证得ME=MN．（2）DN﹣BM=MN．证明方法与（1）类似．

【解答】解：（1）BM+DN=MN成立．

证明：如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，

得到△ABE，则可证得E、B、M三点共线（图形画正确）．

∴∠EAM=90°﹣∠NAM=90°﹣45°=45°，

又∵∠NAM=45°，

∴在△AEM与△ANM中，

∴△AEM≌△ANM（SAS），

∴ME=MN，

∵ME=BE+BM=DN+BM，

∴DN+BM=MN；

（2）DN﹣BM=MN．

在线段DN上截取DQ=BM，

在△ADQ与△ABM中，

∵，

∴△ADQ≌△ABM（SAS），

∴∠DAQ=∠BAM，

∴∠QAN=∠MAN．

在△AMN和△AQN中，

∴△AMN≌△AQN（SAS），

∴MN=QN，

∴DN﹣BM=MN．

【点评】本题考查了旋转的性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量．

14．如图，正方形ABCD的边长为1，AB，AD上各有一点P，Q，如果△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数．

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

【专题】计算题．

【分析】简单的求正方形内一个角的大小，首先从△APQ的周长入手求出PQ=DQ+BP，然后将△CDQ 逆时针旋转90°，使得CD、CB重合，然后利用全等来解．

【解答】解：如图所示，

△APQ的周长为2，即AP+AQ+PQ=2①，

正方形ABCD的边长是1，即AQ+QD=1，AP+PB=1，

∴AP+AQ+QD+PB=2②，

①﹣②得，PQ﹣QD﹣PB=0，

∴PQ=PB+QD．

延长AB至M，使BM=DQ．连接CM，△CBM≌△CDQ（SAS），

∴∠BCM=∠DCQ，CM=CQ，

∵∠DCQ+∠QCB=90°，

∴∠BCM+∠QCB=90°，即∠QCM=90°，

PM=PB+BM=PB+DQ=PQ．

在△CPQ与△CPM中，

CP=CP，PQ=PM，CQ=CM，

∴△CPQ≌△CPM（SSS），

∴∠PCQ=∠PCM=∠QCM=45°．

【点评】熟练掌握正方形的性质，会运用正方形的性质进行一些简单的运算．

15．有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30°．

（1）请直接写出AF的长；

（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求△AFK的面积（保留根号）．

【考点】锐角三角函数的定义；旋转的性质．

【专题】操作型．

【分析】（1）根据旋转的性质可知△AFM≌△ADB，则AF=AD=BD?cos∠ADB=8×=4cm；

（2）当△AFK为等腰三角形时，由于AM＜AF，那么A不能是等腰△AFK的顶点，则分两种情况：①K为顶点，即AK=FK时；②F为顶点，即AF=FK．针对每一种情况，利用三角形的面积公式，可分别求出△AFK的面积．

【解答】解：（1）AF=；

（2）△AFK为等腰三角形时，分两种情况：

①当AK=FK时，如图．过点K作KN⊥AF于N，则KN⊥AF，AN=NF=AF=2cm．

在直角△NFK中，∠KNF=90°，∠F=30°，

∴KN=NF?tan∠F=2cm．

∴△AFK的面积=×AF×KN=；

②当AF=FK时，如图．过点K作KP⊥AF于P．

在直角△PFK中，∠KPF=90°，∠F=30°，

∴KP=KF=2cm．

∴△AFK的面积=×AF×KP=12cm2．

【点评】本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．注意（2）中需分情况讨论△AFK为等腰三角形时的不同分类，不要漏解．