一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

中考数学第一轮复习

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

mX+nx+m+3m=0有一个根为零，贝U m 的值等于

2 2

4. 关于X 的一元二次方程 2X — 3x — a +1=0的一个根为

2 2

1） X+5x+m — 3m+2=0的常数项为0，则m 的值等于（）

A . 1

B . 2

C 【参考答案】 1. 5X 2— X — 3=0 5 — 1 — 3

2. — 3

3. ( X — 1) (X +2) 5. D 6.

B

?【考点聚焦】

知识点:

元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理 大纲要求： 1.

掌握一元二次方程根的判别式，会判断常

数系数一元二次方程根的情况

的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况， 也会根据根的情况确定字母的

取值范围; 2. 掌握韦达定理及其简单的应用;

3. 会在实数范围内把二次三项式分解因式;

4.

会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题

?【备考兵法】

?【课前热身】 1.方程(2X — 1) ( 3X +1) =X 2+2化为一般形式为

，其中 a= ___ , b= ___ , c=

3.关于X 的一元二次方程

2

X +mx+ n=0的两个根为 X 1=1, 2

X 2=— 2,则x+mx+n 分解因式的结果

A . 1

B . 43 C

73

2.关于X 的一元二次方程

2，则a 的值是（）

5.若关于X 的一元二次方程（m- .对含有字母系数

1考查重点与常见题型〗

1. 利用根的判别式判别一元二次方程根的情况, 有关试题出现在选择题或填空题中， 女口：

关

2

于X 的方程ax — 2x + 1 = .0中，如果a<0，那么根的情况是() (A )有两个相等的实数根 (B )有两个不相等的实数根

2. 利用一元二次方程的根与系数 的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中 出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如: 设x i ，X 2是方程2x 2— 6x + 3 = 0的两根，则x i 2+ X 22的值是() (A ) 15 (B ) 12 (C ) 6 (D ) 3

3. 在中考试题中常出现有关根的判别式、 根与系数关系的综合解答题.在近三年试题中又出 现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力.在一元二次方程的应 用中，列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相

同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义, 解(虽然是原方程的解)一定要舍去. 易错知识辨析:

(1)在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不

为零这个限制条件.

(2)应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意:

①根的判别式b 2 -4ac 二0 ;

工0,即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的 ?【考点链接】

1. 一元二次方程根的判别式

X 1,2 =

b 2 -4a

c <0u —元二次方程 ax 2 +bx + c = 0(a h 0 1

2. 一元二次方程根与系数的关系

(C )没有实数根

(D )不能确定

凡不满足实际问题的

②二次项系数a

关于 X 的一元二次方程

ax 2 + bx + C = 0(a 工0 )的根的判别式为?

(1) b 2 — 4ac >0u —元二次方程

ax 2 +bx + c = da H 0)有两个

实数根，即

(2) 2

b — 4a

c =0u —元二次方程有

.相等的实数根，即 X 1 = X2 =

实数根.

2

若关于x 的一元二次方程ax + bx+ c=0( a^O)有两根分别为x 1 ,他，那么

X j +X 2 =

?【典例精析】

例1 (四川绵阳)已知关于X 的一元二次方程 X 2 + 2 ( k — 1) X + k 2-1 = 0有两个不相等 的实数根.

(1)求实数k 的取值范围;

(2) 0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由. 【分析】这是一道确定待定系数 要考生具备分类讨论的思维能力.

2 2

=4k — 8k + 4 — 4k + 4 =

???原方程有两个不相等的实数根,

—8k + 8 >0,解得k < 1,即实数k 的取值范围是 k v 1. (2)假设0是方程的一个根，则代入得 02 + 2 ( k — 1 )? 0 + k 2— 1 = 0 ,

解得k = — 1或k = 1 (舍去).

即当k = — 1时，0就为原方程的一个根.

此时，原方程变为 X 2— 4X = 0，解得X 1 = 0 , X 2 = 4，所以它的另一个根是 4.

例2 (北京)已知下列n (n 为正整数)个关于 X 的一元二次方程:

2

— 1=0

m 的一元二次方程，？又讨论方程解的情况的优秀考题，需

【答案】(= [ 2 ( k — 1)

]2— 4 ( k 2— 1)

(1)

2 C

八

(2)

2

+2X — 3=0

2

+ (n — 1) X — n=0 (n )

(1)请解上述一元二次方程(1), (2), (3) ( n );

(2)请你指出这n 个方程的根具有什么共同特点，写出 .一条即可. 【分析】由具体到一般进行探究.

【答案】(1) <1> (X+1) (X — 1) =0, 所以 X 1 = — 1 , X 2=1 . <2>

(X+2) (X — 1) =0，所以 X 1=— 2, X 2=1 .

<3> (X+3) (X — 1) =0，所以 X 1=— 3, X 2=1 .

但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题

有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程

的解）一定要舍去.

?【迎考精练】

一、选择题

(x+n ) (X — 1) =0，所以 X 1=— n , X 2=1.

（2）比如：共同特点是：都有一个根为 1 ;都有一个根为负整数；两个根都是整数根

等.

【点评】本例从教材要求的基本知识出发， 探索具有某种特点的方程的解题规律及方程 根与系数之间的关系，注重了对学生观察、类比及联想等数学思想方法的考查. 例3 （江苏南京）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为

2: 1在温室

内沿前侧内墙保留 3m 宽的空地，其他三侧内墙各保留1m 宽的通道.当矩形温室的长与宽各 为多少时，蔬菜种植区域的面积是

288m ?

【答案】解法一：设矩形温室的宽为 xm 贝y 长为2xm,根据题意，得

(X — 2) ? (2x — 4) =288.

解这个方程，得X 1=— 10 （不合题意，舍去），X 2=14. 所以 x=14, 2x=2X 14=28.

答：当矩形温室的长为 28m,宽为14m 时，蔬菜种植区域的面积是

288n i .

1 解法二：设矩形温室的长为 xm,则宽为一xm.

2

根据题意，得（ 解这个方程，得 1 -X — 2) ? (X — 4) =288.

2

x i =— 20 (不合题意，舍去)，X 2=28.

1 所以 x=28X — x= —

2

1

X 28=14.

2 答：当矩形温室的长为 28m

宽 为14m 时，蔬菜种植区域的面积是 288m .

【解析】在一元二次方程的应用中, 列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的

列方程解应用题的方法步骤相同,

1.（台湾）若a 、b 为方程式x 2/（x+1）=1的两根，且a >b ,则-=

b

A. — 5

两个相等的实数根，则下列结论正确的是

3.

（四川

成都）若关于X 的一元二次方程kx 2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则 k 的取

值范围是

为（ ）

A. 2006 设方程x 2

— 4x — 1=0的两个根为X 1与X 2，则X 1X 2的值是（）

A. — 4

A. X 2

-2x -1 =0

2

.X -2x +3 = 0

C. X 2 = 2^/3x -3

2

.X -4x +4 = 0

A. a = 0 a =2

.a =1 D . a = 0 或 a = 2

6.（山东烟台） 设a, b 是方程 2 2

X + x-2009 =0的两个实数根，则a + 2a+b 的值为（ （湖北十堰） 下列方程中, 有两个不相等实数根的是（

（四川眉山） 若方程X 2

-3x-1=0的两根为X 1、X 2，则 丄+丄 的值为

X 1 X 2

A. 3

10 .（山东东营）

若n （ n H 0）是关于x 的方程X 2 +mx + 2n = 0的根，贝U m +n 的值为（

D. 3

2. （2.009年湖南株洲）定义：如果一元二次方程 2

ax +bx +c = 0(aH0)满足 a + b + c = 0 , 那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知ax 2 + bx+ c = 0（aH0）是“凤凰”方程，且有

A. a = c

B. a = b

C. b = C

D. a = b = C

B.

k 》_1 且 kH0 C. k<1

D.

kc1 且k H 0

4.（内蒙古包头） 关于x 的一元二次方程

2

X -mx+2m —1 = 0的两个实数根分别是 为、X 2 ,

2

则（X 1 -X 2）的值是

A. 1

B . 12

C . 13

D . 25

5.（湖北荆州） 关于x 的方程

ax 2 -（a +2）x +2=0只有一解（相同解算一解），则a 的值

（湖北宜昌） .2007

A.1

B.2

C.-1

D.-2

二、填空题

1.（上海市）如果关于x的方程X2 - x + k =0 （k为常数）有两个相等的实数根，那么

2.（山东泰安）关于X的一元二次方程-X2+（2k +1）x + 2-k2=0有实数根，贝U k的取值范围是

3.（广西崇左）_2

元二次方程X +mx+ 3=0的一个根为—1，则另一个根为

4.（广西贺

州）

已知关于X的一元二次方程x2-x-m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围

是

三、解答题

1.（山东淄

博）

已知X i, X2是方程X2-2x +a =0的两个实数根，且Xi + 2x2=3-42 .

(1)求x i, X2及a的值;

(2)求X|3 -3x i2+2x i +x2 的值.

2.（广东中山）已知：关于X的方程2x2+kx-1=0

（1 ）求证：方程有两个不相等的实数

根;

（2）若方程的一个根是-1，求另一个根及k值.

3.（重庆江津区）已知a、b、c分别是△ ABC的三边，其中a= 1 ,c = 4，且关于x的方程X2 -4x +b = 0有两个相等的实数根，试判断^ ABC的形状.