东南大学考研真题数学分析2002答案
东南大学2002年数学分析试题解答
一、叙述定义(5分+5分=10分)
1.. ()+∞=?∞
→x f x lim 解：设.)(,,0,0,0E M x f x E M >?<>?>
2.当
.)(,为极限不以时A x f a x +→解：设.)(,,0,0E A x f a x E >?>?>?>?时使得当δδ
二、计算（9分×7=63分）
1． 求曲线210),1ln(2≤
≤?=x x y 的弧长。 解：=
+=∫dx x f s β
α2)]('[1∫∫∫?=?++?=?+=??+21021
0222
1
022
213ln )11111(11)12(1dx x x dx x x dx x x 2． 设偏导
数，
都具有一阶连续与且己知g f x y z e x g z y x f u y ,sin ,0),,(),,,(2===.,0dx du z g 求≠?? 解：由x z z f x y y f x f dx du dz g dy g e dx xg z e x g y y ?????+?????+??==++=从而
知,02,0),,(3212 =
32121)cos 2(cos f g e x xg f x f y ?++?+3.求∫dx x
x 2ln ( 解：令∫====dx x x dt e dx e x x t t t 2ln (,,,ln 则∫?dt e e
t t t 22
=∫=?dt e t t 2t t te e t ????22 C e t
+??2C x x x +++?=2ln 2)(ln 2 4.求()20lim x a x a x
x x ?+→(
)0>a 解：
()20lim x a x a x
x x ?+→==
最新东南大学2002——数学分析试题(缺03)
东南大学2002——2009数学分析试题 (缺03)
东南大学2002年数学分析试题解答 一、叙述定义(5分+5分=10分) 1.?Skip Record If...?. 解：设?Skip Record If...? 2.当?Skip Record If...? 解：设?Skip Record If...? 二、计算（9分×7=63分） 1．求曲线?Skip Record If...?的弧长。 解：?Skip Record If...??Skip Record If...? 2．设?Skip Record If...?偏导数，?Skip Record If...? 解：由?Skip Record If...? =?Skip Record If...? 3.求?Skip Record If...? 解：令?Skip Record If...??Skip Record If...?=?Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...? 4.求?Skip Record If...?(?Skip Record If...? 解：?Skip Record If...?==?Skip Record If...? =?Skip Record If...? 5.计算第二型曲面积分?Skip Record If...?其中S是曲面?Skip Record If...?夹于 ?Skip Record If...?与?Skip Record If...?之间的部分，积分沿曲面的下侧。 解：记?Skip Record If...?，?Skip Record If...?则?Skip Record If...?，且?Skip Record If...??Skip Record If...? ?Skip Record If...?=?Skip Record If...?=?Skip Record If...??Skip Record If...?=?Skip Record If...? 6．求常数?Skip Record If...?，使得曲线积分?Skip Record If...?对上半平面的任何光滑闭曲线L成立。
东南大学 2002 年数学分析试题解答
东南大学2002年数学分析试题解答 一、叙述定义(5分+5分=10分) 1．()+∞=?∞ →x f x lim ． 解：M x f E x E M >??>?)( , ,0 ,0． 2．当+→a x 时，)(x f 不以A 为极限． 解： 二、计算（9分×7=63分） 1．求曲线210 ),1ln(2≤ ≤?=x x y 的弧长． 解：dx x f s ∫+=βα 2)]('[1 ∫∫∫?=?++?=?+=??+=21 0 21 0 222 1 0 22 213ln )11111(11)12(1dx x x dx x x dx x x ． 2．设x y z e x g z y x f u y sin ,0),,( ),,,(2===，g f ,具有一阶连续偏导数， 0≠??z g ，求dx du ． 解：由0),,(2=z e x g y 得02321=++dz g dy g e dx xg y ，从而 x z z f x y y f x f dx du ?????+?????+??==32121)cos 2(cos f g e x xg f x f y ?++?+． 3．求∫dx x x 2ln ( 解：令dt e dx e x x t t t === , ,ln ， ∫=dx x x 2)ln (∫?dt e e t t t 22 =∫ =?dt e t t 2t t te e t ????22C e t +??2 C x x x +++?=2ln 2)(ln 2． 4．求()2 0lim x a x a x x x ?+→()0>a ． 解：()2 0lim x a x a x x x ?+→
东南大学 数值分析 考试要求
第一章绪论 误差的基本概念：了解误差的来源，理解绝对误差、相对误差和有效数的概念，熟练掌握数据误差对函数值影响的估计式。 机器数系：了解数的浮点表示法和机器数系的运算规则。 数值稳定性：理解算法数值稳定性的概念，掌握分析简单算例数值稳定性的方法，了解病态问题的定义，学习使用秦九韶算法。 第二章非线性方程解法 简单迭代法：熟练掌握迭代格式、几何表示以及收敛定理的内容，理解迭代格式收敛的定义、局部收敛的定义和局部收敛定理的内容。 牛顿迭代法：熟练掌握Newton迭代格式及其应用，掌握局部收敛性的证明和大范围收敛定理的内容，了解Newton法的变形和重根的处理方法。 第三章线性方程组数值解法 （1）Guass消去法：会应用高斯消去法和列主元Guass消去法求解线性方程组，掌握求解三对角方程组的追赶法。 （2）方程组的性态及条件数：理解向量范数和矩阵范数的定义、性质，会计算三种常用范数，掌握谱半径与2- 范数的关系，会计算条件数，掌握实用误差分析法。 （3）迭代法：熟练掌握Jacobi迭代法、Guass-Seidel迭代法及SOR方法，能够判断迭代格式的收敛性。 （4）幂法：掌握求矩阵按模最大和按模最小特征值的幂法。 第四章插值与逼近 （1）Lagrange插值：熟练掌握插值条件、Lagrange插值多项式的表达形式和插值余项。（2）Newton插值：理解差商的定义、性质，会应用差商表计算差商，熟练掌握Newton插值多项式的表达形式，了解Newton型插值余项的表达式。 （3）Hermite插值：掌握Newton型Hermite插值多项式的求法。 （4）高次插值的缺点和分段低次插值：了解高次插值的缺点和Runge现象，掌握分段线性插值的表达形式及误差分析过程。 （5）三次样条插值：理解三次样条插值的求解思路，会计算第一、二类边界条件下的三次样条插值函数，了解收敛定理的内容。 （6）最佳一致逼近：掌握赋范线性空间的定义和连续函数的范数，理解最佳一致逼近多项式的概念和特征定理，掌握最佳一致逼近多项式的求法。 （7）最佳平方逼近：理解内积空间的概念，掌握求离散数据的最佳平方逼近的方法，会求超定方程组的最小二乘解，掌握连续函数的最佳平方逼近的求法。
东南大学数学分析
东南大学2007年数学分析 一、判断题（正确的证明，否则给出反例.每小题6分，共24分） 1、若数列{}n a 收敛于0，则必定存在正数α，使对一切充分大的n ，有1n a n α≤ . 2、若级数1n n a ∞=∑和1n n b ∞=∑皆收敛，则级数1n n n a b ∞=∑必收敛. 3、函数2 ()f x 在[],a b 上Riemann 可积当且仅当()f x 在[],a b 上Riemann 可积. 4、若二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的两个偏导数00(,)x f x y '，00(,)y f x y '都存在，则(,)z f x y =在点00(,)x y 必连续. 二、计算题（每小题7分，共56分） 5 ~n ax （0x →），求a 和n . 6、求函数122(6)()(4)arctan x x x e f x x x +-= -的所有渐近线. 7 、求积分1 1[ln(()]x f x dx -++?，其中，()f x 满足2()arcsin f x x '=，(0)0f =. 8、求幂级数21 1(1)2n n n x n ∞=+-∑的和函数的极值. 9、数量场222u x yz y =-+在点(1,2,1)M -沿什么方向的方向导数达到最大值？并求此最大值. 10、设()z f u =可微，而(,)u u x y =是由方程()()x y u u p t dt ?=+?确定的函数， 其中()p t ，()u ?'连续且()1u ?'≠，求()()z z p y p y x y ??+??. 11、设函数()f t 满 足()1D f t f dxdy =+??，其中由D 为圆环222244a x y t ≤+≤，0a >为常数，求()f t . 12、计算曲面积分(2)S x z dydz zdxdy ++??，其中S 为曲面22z x y =+（01z ≤≤），其法 向量与z 轴正向的夹角为锐角. 三、证明题（6小题，共70分） 13、（10 分）证明()f x =[)0,+∞上一致连续. 14、（12分）设()f x 在[]0,1上二次可微，且(0)(1)0f f ==，证明：存在()0,1ξ∈，使
东南大学2009年研究生入学试题 数学分析
东 南 大 学 二〇〇九年攻读硕士学位研究生入学考试试题 试题编号：601 试题名称：数学分析 一．判断题（判断下列命题正误,若正确请证明,否则请给出反例说明（本题共4小题,每题6分,满分24分）. 1.[,]a b 上每个单调函数至多有可列个间断点. 2.在有界闭区间[,]a b 上黎曼可积的函数必在[,]a b 上有原函数. 3.若n a 非负、单调递减,且lim 0n n na →∞=,则级数1 n n a ∞=∑收敛. 4.曲线221x y +=上每一点的某邻域内可确定隐函数()y y x =. 二．计算题（本题共6小题,每题8分,满分48分）. 5.求极限21lim[ln(1)]x x x x →∞+-. 6.求极限2222212lim (1)(1)(1)n n n n n n →∞+++ . 7.求幂级数143n n x n ∞ =-∑的和函数(0)x ≥. 8.求曲线2226,0x y z x y z ++=++=在点(1,2,1)-处的切线方程. 9.计算曲线积分22C ydx xdy I x y -=+? ,其中C 为曲线33cos ,sin (0)2x t y t t π==≤≤的一段. 10.计算曲面积分22(1)84x dydz xydzdx xzdxdy ∑-+-??,其中∑是由曲线 (0)y x e y a =≤≤绕x 轴旋转所成的旋转曲面,取外侧. 三．解答题（本题共8小题,前6小题每题10分,后2小题每题9分,满分78分）. 11.给定实数0x 及b ,01b <<,令1sin ,1,2,n n x a b x n -=+= ,证明：
东南大学2014学年工科数学分析(期中)考试卷
共 4 页 第 1 页 东南大学2014学年工科数学分析（期中）考试卷 课程名称 工科数学分析（期中） 考试学期 09-10-3 得分 适用专业 选学工科数分的各专业 考试形式 闭卷 考试时间长度 120分钟 一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 1．由方程sin()0xyz z π+=确定的隐函数(,)z z x y =在点(1,0,1)处的全微分d z = ； 2．设ln 1i 3 z π =+，则Re z = ，Im z = ； 3．曲线t z t y t x =-==,cos 1,sin 在点1,1, 2π?? ?? ? 处的法平面方程为 ； 4．设曲线C 为球面2222(0)x y z a a ++=>与平面y x =的交线，则曲线积分 ( ) 222d C y z z s ++?的值等于 ； 5．设曲面:1S x y z ++=，则 ()d S x y S +=?? ． 二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分） 6．已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=，则点P 为 [ ] (A) (1,1,2)- (B) (1,1,2)- (C) (1,1,2) (D) (1,1,2)-- 7．设函数(,)f x y 连续,则二次积分1sin 2 d (,)d x x f x y y π π ?? 等于 [ ] （A ）10 arcsin d (,)d y y f x y x π π +?? （B ） 1 0arcsin d (,)d y y f x y x π π -?? （C ） 1arctan 0 2 d (,)d y y f x y x ππ +? ? （D ）1arctan 0 2 d (,)d y y f x y x ππ -?? 8.设L 是摆线sin 1cos x t t y t =- ?? =-? 上从0t =到t π=的弧段，则L 的形心的横坐标为 [ ]
东南大学数值分析上机
第一章 一、题目 设∑ =-=N j N j S 22 1 1，其精确值为)11 123(21+--N N 。 （1）编制按从大到小的顺序1 1 131121222-+ ??+-+-=N S N ，计算SN 的通用程序。 （2）编制按从小到大的顺序1 21 1)1(111222-+ ??+--+-=N N S N ，计算SN 的通用程序。 （3）按两种顺序分别计算64210,10,10S S S ,并指出有效位数。（编制程序时用单精度） （4）通过本次上机题，你明白了什么？ 二、MATLAB 程序 N=input('请输入N(N>1)：'); AccurateValue=single((0-1/(N+1)-1/N+3/2)/2); %single 使其为单精度 Sn1=single(0); %从小到大的顺序 for a=2:N; Sn1=Sn1+1/(a^2-1); end Sn2=single(0); %从大到小的顺序 for a=2:N; Sn2=Sn2+1/((N-a+2)^2-1); end fprintf('Sn 的值 (N=%d)\n',N); disp('____________________________________________________') fprintf('精确值 %f\n',AccurateValue); fprintf('从大到小计算的结果 %f\n',Sn1);
fprintf('从小到大计算的结果 %f\n',Sn2); disp('____________________________________________________') 三、结果 请输入N(N>1)：100 Sn的值 (N=100) ____________________________________________________ 精确值 0.740049 从大到小计算的结果 0.740049 从小到大计算的结果 0.740050 ____________________________________________________ 请输入N(N>1)：10000 Sn的值 (N=10000) ____________________________________________________ 精确值 0.749900 从大到小计算的结果 0.749852 从小到大计算的结果 0.749900 ____________________________________________________ 请输入N(N>1)：1000000 Sn的值 (N=1000000) ____________________________________________________ 精确值 0.749999 从大到小计算的结果 0.749852 从小到大计算的结果 0.749999 ____________________________________________________ 四、结果分析 可以得出，算法对误差的传播又一定的影响，在计算时选一种好的算法可以使结果更为精确。从以上的结果可以看到从大到小的顺序导致大数吃小数的现象，
东南大学_数值分析_第七章_偏微分方程数值解法
第七章 偏微分方程数值解法 ——Crank-Nicolson 格式 ****（学号） *****（姓名） 上机题目要求见教材P346,10题。 一、算法原理 本文研究下列定解问题(抛物型方程) 22(,) (0,0)(,0)() (0) (0,)(), (1,)() (0)u u a f x t x l t T t x u x x x l u t t u t t t T ?αβ???-=<<≤≤???? =≤≤??==<≤?? (1) 的有限差分法，其中a 为正常数，,,,f ?αβ为已知函数，且满足边界条件和初始条件。关于式(1)的求解，采用离散化方法，剖分网格，构造差分格式。其中，网格剖分是将区域{}0,0D x l t T =≤≤≤≤用两簇平行直线 (0) (0)i k x x ih i M t t k k N τ==≤≤?? ==≤≤? 分割成矩形网格，其中,l T h M N τ==分别为空间步长和时间步长。将式(1)中的偏导数使用不同的差商代替，将得到不同的差分格式，如古典显格式、古典隐格式、Crank-Nicolson 格式等。其中，Crank-Nicolson 格式具有更高的收敛阶数，应用更广泛，故本文采用Crank-Nicolson 格式求解抛物型方程。 Crank-Nicolson 格式推导：在节点(,)2 i k x t τ +处考虑式(1)，有 22(,)(,)(,)222 i k i k i k u u x t a x t f x t t x τττ??+-+=+?? (2) 对偏导数 (,)2 i k u x t t τ ?+?用中心差分展开 []2311+13 1(,)(,)(,)(,) ()224k k i k i k i k i i k i k u u x t u x t u x t x t t t t ττηητ++??+=--<
东南大学数学分析试题解答
东南大学 数学分析试题解答 一、叙述定义(5分+5分=10分) 1.()+∞=-∞ →x f x lim . 解：设.)(,,0,0,0E M x f x E M >-<>?>->->?>?时使得当δδ 二、计算（9分×7=63分） 1． 求曲线2 1 0),1ln(2 ≤≤-=x x y 的弧长。 解 ： = +=? dx x f s β α 2)]('[1??? -=-++-=-+=--+21 021 022210 22 213ln )11111(11)12(1dx x x dx x x dx x x 2． 设都具有一阶连续与且己知g f x y z e x g z y x f u y ,sin ,0),,(),,,(2===偏导 数， .,0dx du z g 求≠?? 解：由x z z f x y y f x f dx du dz g dy g e dx xg z e x g y y ?????+?????+??==++=从而知,02,0),,(3212 =32121)cos 2(cos f g e x xg f x f y ?++?+ 3.求? dx x x 2 )ln ( 解：令?====dx x x dt e dx e x x t t t 2)ln (,,,ln 则??dt e e t t t 22=?=-dt e t t 2t t te e t ----22 C e t +--2C x x x +++- =2 ln 2)(ln 2 4.求()2 lim x a x a x x x -+→()0>a 解 ：()2 lim x a x a x x x -+→==
09-10-3东南大学工科数学分析试卷新(期中)
共 4 页 第 1 页 东 南 大 学 考 试 卷 课程名称 工科数学分析（期中） 考试学期 09-10-3 得分 适用专业 选学工科数分的各专业 考试形式 闭卷 考试时间长度 120分钟 一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 1．由方程sin()0xyz z π+=确定的隐函数(,)z z x y =在点(1,0,1)处的全微分d z = ； 2． 设ln 1i 3 z π =+，则Re z = ，Im z = ； 3．曲线t z t y t x =-==,cos 1,sin 在点1,1, 2π?? ?? ? 处的法平面方程为 ； 4．设曲线C 为球面2222(0)x y z a a ++=>与平面y x =的交线，则曲线积分 ) d C z s ? 的值等于 ； 5．设曲面:1S x y z ++=，则 ()d S x y S +=?? ． 二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分） 6．已知曲面2 2 4z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=，则点P 为 [ ] (A) (1,1,2)- (B) (1,1,2)- (C) (1,1,2) (D) (1,1,2)-- 7．设函数(,)f x y 连续,则二次积分1sin 2 d (,)d x x f x y y ππ?? 等于 [ ] （A ）10arcsin d (,)d y y f x y x π π+? ? （B ）1 0arcsin d (,)d y y f x y x π π-?? （C ） 1arctan 0 2 d (,)d y y f x y x ππ +? ? （D ）1arctan 0 2 d (,)d y y f x y x ππ -?? 8.设L 是摆线sin 1cos x t t y t = -?? =-?上从0t =到t π=的弧段，则L 的形心的横坐标为 [ ]
东南大学数学分析
东南大学 数学分析 一、判断题（正确的证明，否则给出反例.每小题8分，共32分） 1、()y f x =在区间(),a b 内连续当且仅当()y f x =在区间(),a b 内连续. 2、设()f x 在(),a b 内可微，(),,c d a b ∈，且()()0f c f d ''<，则在,c d 之间至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=. 3、设()f x 在[],a b 上Riemann 可积，且 ()0b a f x dx =?，则必存在[],a b ξ∈，使得()0f ξ=. 4、设数项级数1n n u ∞=∑收敛，且使得lim n n n r u →∞ =存在，则1r <. 二、计算题（每小题7分，共56分） 1、求极限2lim (arctan )x x x π→+∞. 2、设函数()f x 在点0x =的领域内二阶可导，且30sin ()lim 0x x xf x x →+=，试求(0)f ，(0)f '以及(0)f ''. 3、过坐标原点作曲线ln y x =的切线，该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D . （1）求D 的面积A ； （2）求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积. 4、计算反常积分2 1arctan x dx x +∞ ?. 5、设()f x 连续，()g x 可导，且()()16g x f x x '-=-与21()()2x g x f t dt x x +=+-?，求 ()f x 和()g x . 6、设22z x xy y =-+，求它在点(1,1)处的沿方向(cos ,sin )V αα=的方向导数，并分别求出最大与最小的方向导数. 7、设sin(3)u xy z =+，而(,)z z x y =由方程231yz xz -=确定，求u x ??. 8、求幂级数21 1(1)(1)21n n n x n +∞=+-+∑的收敛域与和函数. 三、（10分）试证：当0x ≥时，ln(1)1x x x +≤+. 四、（10分）设12a =，111()2n n n a a a +=+，1,2,n =.证明：
东南大学2000年数学分析
一起考研社区 4万份考研真题全部免费下载 https://www.360docs.net/doc/d63665698.html, 考研人的成功俱乐部 一起考研社区 4万份考研真题全部免费下载 https://www.360docs.net/doc/d63665698.html, 考研人的成功俱乐部东南大学数学分析2000 一、填空题： 1、=n n n 321lim n ++++∞→、、、 2、若f(x)二阶可导，且f(0)=0, f’(0)=1,f’’(0)=2.。又f(x)-x 与是当x 的等价k x 时0→无穷小量，则常数k= 3、设f(x)= ?????=+∞-∞≠0 x ,0),()x (g 0x ,x )x (g 当内连续二阶可导，并且在，其中当g(0)=g’(0)=0,则导函数f’(x)的连续区间为 4、dx= ?-+)xe 1(x x 1x 5、()=+∞ →+∞→y x lim 22y x xy +2x 6、设u=f(x,y,z),y=,则 ==?t ),t ,x ()z ,x (?x u ??二、计算题： 1、求f(x)= dt 在[]上的最大值与最小值。?π +2 x x t sin ππ-4 41,4412、设 u=f(x-y, e 求，（其中f 具有二阶连续偏导数）。x )y sin y x u 2???3、计算其中是由平面曲线绕z 轴旋转一周所成的 ???Ω+,dxdydz )y x (2 2Ω???==0x z 2y 2曲面与z=8所围成的区域。 4、求密度的均匀半球壳对子轴的转动惯量。1≡ρ2222a z y x =++)(0z ≥5、计算曲面积分其中曲面z=??∑ ++-+xzdxdy 4dzdx )3xy 10(dydz )y x (322∑为界于平面z=1和z=2之间部分的下侧 22y x +三、用数列极限的定义证明极限N -ε16 n n 311n 5n 3lim 22n =+-++∞→
东南大学数学分析考研真题
1 东南大学 数学分析 一．叙述定义（5+5=10） 1．+∞=-∞ →)(lim x f x 2．当为极限不以时，A x f a x )(+→ 二．计算（9*7=63） 1． 求曲线)1(2x Ln y -=，02 1≤≤x 的弧长。 2． 设0),,(),,,(2==δδy e x g y x f u ，,sin x y =且已知f 与g 都具有一阶偏导数， . ,0dx du g 求≠??δ 3． 求dx x x ?2)ln ( 4． 求2 0)(lim x a x a x x x -+→，（a>0） 5． 计算第二型曲面积分 dxdy dx d y dyd x S 222δδδ++?? 其中S 是曲面22y x +=δ夹与=δ1与=δ0之间的部分，积分沿曲面的下侧。 6． 求常数λ，使得曲线积分 2222,0y x r dy r y x dx r y x L +==-?λλ 对上半平面的任何光滑闭曲线L 成立。 7． 在曲面)0,0,0(,142 22>>>=++δδy x y x 上求一点，使过该点的切平面在三个 坐标轴上的截距的平方和最小。 三，证明题（6+7+7+7=27） 1． 讨论级数∑?∞==101sin n n dx x x π的敛散性。 2． 设)(x f 在区间[0，2]上具有二阶连续导数，且具有二阶连续导数，且对一切 ]2,0[∈x ，均有|)(x f |1≤，|)("x f |1≤，证明对一切],2,0[∈x 成立|)('x f |2≤ 3． 证明：积分?∞ -0dy xe xy 在（0，+∞）上不一致收敛。 4． 证明：函数x x x f ln )(=在（1，） ∞上连续。
东南大学 02 03 数学分析 高等代数 04 高代 04数分_少一页
东南大学2002年数学分析试题解答 一、叙述定义(5分+5分=10分) 1. ()+∞ =-∞ →x f x lim . 解：设.)(,,0,0,0E M x f x E M >-<>?>->->?>?时使得当δδ 二、计算（9分×7=63分） 1． 求曲线2 10),1ln(2≤≤-=x x y 的弧长。 解 ： = += ?dx x f s β α 2 )]('[1? ? ? - =-++ -= -+= --+2 1 2 1 2 22 1 2 2 2 13ln )11111( 11)12(1dx x x dx x x dx x x 2． 设都具有一阶连续 与且己知g f x y z e x g z y x f u y ,sin ,0),,(),,,(2===偏导 数， .,0dx du z g 求 ≠?? 解：由x z z f x y y f x f dx du dz g dy g e dx xg z e x g y y ??? ??+ ??? ??+ ??= =++=从而知,02,0),,(3212 =32121)cos 2(cos f g e x xg f x f y ?++?+ 3.求?dx x x 2 )ln ( 解：令?= ===dx x x dt e dx e x x t t t 2 )ln ( ,,,ln 则??dt e e t t t 22=?=-dt e t t 2t t te e t ----22 C e t +--2C x x x +++-=2 ln 2)(ln 2 4.求()2 lim x a x a x x x -+→()0>a 解：()2 l i m x a x a x x x -+→==
东南大学数学分析答案
一 1.解：设.)(,,0,0,0E M x f x E M >-<>?>->->?>?时使得当δδ 二 1． 解 ： = +=? dx x f s βα 2)]('[1??? -=-++-=-+=--+21 021 022 210 22213ln )11111(11)12(1dx x x dx x x dx x x 2． 解：由x z z f x y y f x f dx du dz g dy g e dx xg z e x g y y ?????+?????+??==++=从而知,02,0),,(3212 =32121)cos 2(cos f g e x xg f x f y ?++?+ 3. 解：令?====dx x x dt e dx e x x t t t 2)ln (,,,ln 则??dt e e t t t 22=?=-dt e t t 2t t te e t ----22 C e t +--2C x x x +++- =2 ln 2)(ln 2 4. 解 ：()2 lim x a x a x x x -+→== 22222 220)] ()(ln 2ln 1[)}(]11)[(ln 2ln 1{lim x x o a x a x x o a a x a x x +++-+++++=→ = a a 21+ 三 解：设14),,(22 2 -++=z y x z y x F ,则2 ,2,2z z F y y F x x F =??=??=??,故所求切平面方程为： 0)(2 )(2)(2=-+-+-z Z z y Y y x X x ,求得在三个坐标轴上的截距分别
东南大学工科数分第七章习题
习题3.5 1.检验下列各题中所给函数是否为所给方程的解，是通解还是特解？ （1）1ln , e cx y xy y y x y x x ? ?'=+== ??? ； （2）0 3cos 4sin , 3sin 4cos y y y x x y x x ''+==+=-； （3）2 2 2 2 1 e e d e x x t x y xy y t -'-==+? . 2.求下列曲线族所满足的微分方程： （1）22()1x c y -+=； （2）2y cx c =+； （3） 12cos 3sin 3y c x c x =+. 3.用分离变量法求下列各微分方程的解： （1）2e x y y -'=； （2）y '=； （3）e sin x yy x '=； （4）sin ln y x y y '=； （5）e d 2(e 1)d 0x x y x y +-=； （6）1 e 1, ln 2y x xy y ='+==-； （7）0 e cos d (e 1)sin d 0 , 4 x x x y x y y y π =++==. 4.求下列齐次微分方程的解： （1）(ln ln )xy y y x '=-； （2）e y x xy x y '=+； （3）(cos )d cos d 0y y x y x x y x x +-=； （4）1 (d 0, 0x y x x y y =+ -==. 5.求下列一阶微分方程的解： （1）e x y y -'+=； （2）22(1)24x y xy x '++=； （3）tan cos y y x x '+=； （4）2(1)e x xy x y '+-=； （5）2 (1)d (2cos )d 0x y xy x x -+-=； （6）2 cos tan , 0x y x y x y ='+==. 6.求下列微分方程的通解：
东南大学高等数学分类练习题(有答案)
级数 一、填空题 1、当常数α ∑∞ =--+-1 3 3) 1(n n n n n α 绝对收敛。 2、已知级数()∑∞ =--1 )1cos 1(1n n n α 绝对收敛，则 α 3、已知级数 ∑ ∞ =1 1 arctan n p n n 收敛，则p 4、x x f 3)(=在10 -=x 5、级数∑∞ =-+-11 )!1 2()1(n n n 6、级数∑∞=++0 1 212n n n x 7、级数∑∞ =+1)1(2n n n x n 8、设级数 ∑∞ =+1 )1(n n n x a 在3=x 9、级数∑∞ =+-+ )1)1(!2(n n n n n 10、设级数 11 (),lim ,-且则 .n n n n n n n n u u s n A u A s u ∞ ∞ -→∞ ==-===∑∑ 11、设 1 211 1 1 (1) 2,5,则 . 8n n n n n n n a a a ∞ ∞ ∞ --===-===∑∑∑ 二、单项选择题 1、若级数 ∑∑∞=∞ =1 1 ,n n n n v u 都发散，则( B )
（A ）∑∞ =+1 )(n n n v u 必发散（B ）∑∞=+1)(n n n v u 必发散（C ）∑∞ =1)(n n n v u 必发散（D ）∑∞ =+1 22)(n n n v u 必发散 2、①、 ∑ ∞ =-2 ln )1(n n n n ( C ) ②、设∑∞ =1n n u 条件收敛，则∑∞ =12 n n u (D ) ③、∑∞ =133sin 3 n n n n π ( A ) （A ）绝对收敛，（B ）条件收敛，（C ）发散，（D ）可能收敛可能发散 3、下列结论正确的是（ A ） （A ）若1lim 1 >+∞→n n n u u ，则∑∞=1n n u 发散； （B ）若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞ =1n n u 收敛； （C ）若),2,1(cos 1 ==+n u u n n ，则∑∞ =1n n u 收敛；（D ）若1lim 1 <+∞→n n n u u ，则∑∞ =1n n u 收敛； 4、下面说法中正确的是（ D ） （A ）若级数 ∑∞ =1n n u 收敛，且),2,1( =≥n v u n n ，则 ∑∞ =1 n n v 也收敛； （B ）若级数 ∑∞ =1 n n n v u 收敛，则∑∞ =1 2 n n u 和∑∞ =1 2 n n v 都收敛； （C ）若正项级数 ∑∞ =1n n u 发散，则),2,1(1 =≥ n n u n ； （D ）若 ∑∞ =1 2n n u 和 ∑∞ =1 2n n v 都收敛，则 ∑∞ =+1 2)(n n n v u 收敛。 5、若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则下列级数必收敛的为( D ) （A ）1 (1)n n n u n ∞ =-∑（B ）21n n u ∞ =∑（C ）2121()n n n u u ∞ -=-∑（D ）11 ()n n n u u ∞ +=+∑ 6 、2 1 sin()[ 设为常数,则级数 n n n αα∞ =∑ ( C ) （A ）绝对收敛，（B ）条件收敛，（C ）发散，（D ）敛散性与α有关 7、设1 0n u n ≤≤ 收敛，则下列级数必收敛的为( D ) （A ）1 (1)n n n u ∞ =-∑（B ）1n n u ∞ =∑（C ）n ∞ =D ）21 (1)n n n u ∞ =-∑ 8、若级数 1 [(1) ](0)n p n p n p ∞ -=-+>∑发散，则p 的取值范围是( D )