人教版初中数学反比例函数全集汇编及解析

人教版初中数学反比例函数全集汇编及解析

一、选择题

1．下列函数：①y=-x ；②y=2x ；③1

y x

=-；④y=x 2 ． 当x<0时，y 随x 的增大而减小的函数有（ ）

A ．1 个

B ．2 个

C ．3 个

D ．4 个

【答案】B 【解析】 【分析】

分别根据一次函数、反比例函数及二次函数的性质进行逐一判断即可． 【详解】

一次函数y ＝－x 中k ＜0，∴y 随x 的增大而减小，故本选项正确；

∵正比例函数y ＝2x 中，k ＝2，∴当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，故本选项错误；

∵反比例函数1

y x

-

＝中，k ＝－1＜0，∴当x ＜0时函数的图像在第二象限，此时y 随x 的增大而增大，故本选项错误；

∵二次函数y ＝x 2，中a ＝1＞0，∴此抛物线开口向上，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，故本选项正确． 故选B ． 【点睛】

本题考查的是一次函数、反比例函数及二次函数的性质，解题关键是根据题意判断出各函数的增减性．

2．如图，ABDC Y 的顶点,A B 的坐标分别是()(), 0,3 1, 0A B -，顶点,C D 在双曲线

k

y x =

上，边BD 交y 轴于点E ,且四边形ACDE 的面积是ABE ?面积的3倍，则k 的值为:（ ）

A ．6-

B ．4-

C ．3-

D ．12-

【解析】 【分析】

过D 作DF//y 轴，过C 作//CF x 轴，交点为F ，利用平行四边形的性质证明

,DCF ABO ???利用平移写好,C D 的坐标，由四边形ACDE 的面积是ABE ?面积的3

倍，得到2,DB BE =利用中点坐标公式求横坐标，再利用反比例函数写D 的坐标，列方程求解k ． 【详解】

解：过D 作DF//y 轴，过C 作//CF x 轴，交点为F ， 则,CF DF ⊥

ABDC QY ，

,CDF BAO ∴∠∠的两边互相平行，,AB DC = CDF BAO ∴∠=∠， 90,DFC BOA ∠=∠=?Q ,DCF ABO ∴??? ,,CF BO DF AO ∴==

设(,

),k C m m

由()(), 0,3 1, 0A B -结合平移可得：(1,

3)k

D m m

++， Q 四边形ACDE 的面积是ABE ?面积的3倍，

11

()322BD BE DE CA h h BE ∴+=??， ,,BD BE h h AC BD ==Q

3DE AC BE ∴+=， 4,DE BD BE BE ∴++= 2,DB BE ∴=

(1,

3),(1,0),0,E k

D m B x m

++=Q ∴ 由中点坐标公式知：

11

0,2

m ++= 2m ∴=- ，

(1,)1k

D m m ++Q ，

3212k k ∴=+-+-， 6.k ∴=-

【点睛】

本题考查的是反比例函数的图像与性质，平行四边形的性质，平移性质，中点坐标公式，掌握以上知识点是解题关键．

3．如图，是反比例函数

3

y x =

和7

y x

=-在x 轴上方的图象，x 轴的平行线AB 分别与这

两个函数图象相交于点,A B ，点P 在x 轴上．则点P 从左到右的运动过程中，APB △的面积是（ ）

A ．10

B ．4

C ．5

D ．从小变大再变小

【答案】C 【解析】 【分析】

连接AO 、BO ，由AB ∥x 轴，得ABP ABO S S =V V ，结合反比例函数比例系数的几何意义，即可求解． 【详解】

连接AO 、BO ，设AB 与y 轴交于点C ． ∵AB ∥x 轴，

∴ABP ABO S S =V V ，AB ⊥y 轴，

∵73

522

ABO BOC AOC S S S -=+=+=V V V ， ∴APB △的面积是：5． 故选C ．

【点睛】

本题主要考查反比例函数比例系数的几何意义，掌握反比例函数图象上的点与原点的连线，反比例函数图象上的点垂直于坐标轴的垂线段以及坐标轴所围成的三角形面积等于反比例函数比例系数绝对值的一半，是解题的关键．

4．如图，点A 在双曲线4y x =

上，点B 在双曲线(0)k

y k x

=≠上，AB x P 轴，交y 轴于点C ．若2AB AC =，则k 的值为（ ）

A ．6

B ．8

C ．10

D ．12

【答案】D 【解析】 【分析】

过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，得出四边形ACOD 是矩形，四边形BCOE 是矩形，得出ACOD S 矩形=4，BCOE S k =矩形，根据AB=2AC ，即BC=3AC ，即可求得矩形BCOE

的面积，根据反比例函数系数k 的几何意义即可求得k 的值． 【详解】

过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ， ∵AB ∥x 轴，

∴四边形ACOD 是矩形，四边形BCOE 是矩形， ∵AB=2AC ， ∴BC=3AC ， ∵点A 在双曲线4

y x

=上， ∴ACOD S 矩形=4， 同理BCOE S k =矩形，

∴矩形3BCOE ACOD S S =矩形矩形=12， ∴k=12， 故选：D ．

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例系数k 的几何意义，作出辅助线，构建矩形是解题的关键．

5．在同一平面直角坐标系中，反比例函数y b

x

=（b ≠0）与二次函数y ＝ax 2+bx （a ≠0）的图象大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D 【解析】 【分析】

直接利用二次函数图象经过的象限得出a ，b 的值取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案． 【详解】

A 、抛物线y ＝ax 2+bx 开口方向向上，则a>0，对称轴位于y 轴的右侧，则a ，b 异号，即

b<0．所以反比例函数y b

x

=

的图象位于第二、四象限，故本选项错误； B 、抛物线y ＝ax 2+bx 开口方向向上，则a>0，对称轴位于y 轴的左侧，则a ，b 同号，即

b>0．所以反比例函数y b

x

=

的图象位于第一、三象限，故本选项错误； C 、抛物线y ＝ax 2+bx 开口方向向下，则a<0，对称轴位于y 轴的右侧，则a ，b 异号，即

b>0．所以反比例函数y b

x

=的图象位于第一、三象限，故本选项错误； D 、抛物线y ＝ax 2+bx 开口方向向下，则a<0，对称轴位于y 轴的右侧，则a ，b 异号，即

b>0．所以反比例函数y b

x

=的图象位于第一、三象限，故本选项正确； 故选D ． 【点睛】

本题考查了反比例函数的图象以及二次函数的图象，要熟练掌握二次函数，反比例函数中系数与图象位置之间关系．

6．已知点()11,A y -、()22,B y -都在双曲线32m

y x

+=上，且12y y >，则m 的取值范围是（ ） A ．0m < B ．0m >

C ．32

m >-

D ．32

m <-

【答案】D 【解析】 【分析】

根据已知得3+2m ＜0，从而得出m 的取值范围． 【详解】

∵点()11,A y -、()22,B y -两点在双曲线32m

y x

+=上，且y 1＞y 2， ∴3+2m ＜0，

∴32

m <-

， 故选：D ． 【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，当k ＞0时，该函数图象位于第一、三象限，当k ＜0时，函数图象位于第二、四象限．

7．如图直线y ＝mx 与双曲线y=k

x

交于点A 、B ，过A 作AM ⊥x 轴于M 点，连接BM ，若S △AMB ＝2，则k 的值是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】B 【解析】 【分析】

此题可根据反比例函数图象的对称性得到A 、B 两点关于原点对称，再由S △ABM =2S △AOM 并结合反比例函数系数k 的几何意义得到k 的值． 【详解】

根据双曲线的对称性可得：OA=OB,则S △ABM ＝2S △AOM ＝2，S △AOM ＝

1

2

|k |＝1， 则k ＝±2．又由于反比例函数图象位于一三象限，k ＞0，所以k ＝2． 故选B ． 【点睛】

本题主要考查了反比例函数y ＝k

x

中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂

线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．

8．在反比例函数y ＝93

m x

+图象上有两点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，y 1＜0＜y 2，x 1＞x 2，则有

（ ）

A．m＞﹣1

3

B．m＜﹣

1

3

C．m≥﹣

1

3

D．m≤﹣

1

3

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据y1＜0＜y2，有x1＞x2，判断出反比例函数的比例系数的正负，求出m的取值范围即可．

【详解】

∵在反比例函数y＝93

m

x

+

图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），y1＜0＜y2，x1＞x2，

∴反比例函数的图象在二、四象限，

∴9m+3＜0，解得m＜﹣1

3

．

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数的性质

9．如图，点P是反比例函数y=k

x

（x<0）图象上一点，过P向x轴作垂线，垂足为M，连

接OP．若Rt△POM的面积为2，则k的值为（）

A．4 B．2 C．-4 D．-2【答案】C

【解析】

【分析】

根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△POD=1

2

|k|=2，然后去绝对值确定满足条件

的k的值．【详解】

解：根据题意得S△POD=1

2

|k|，

所以1

2

|k||=2，

而k＜0，所以k=-4．

故选：C．【点睛】

本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=k

x

图象中任取一点，过

这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．

10．如图，,A B是双曲线

k

y

x

=上两点，且,A B两点的横坐标分别是1-和5,ABO

-?的

面积为12，则k的值为（）

A．3-B．4-C．5-D．6-

【答案】C

【解析】

【分析】

分别过点A、B作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，根据S△AOB=S梯形ABED+S△AOD- S△BOE =12，故可得出k的值．

【详解】

分别过点A、B作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，

∵双曲线

k

y

x

=的图象的一支在第二象限

∴k<0，

∵A ，B 两点在双曲线k

y x =的图象上，且A ，B 两点横坐标分别为：-1，-5， ∴A （-1，-k ），B （-5， 5

k

-）

∴S △AOB =S 梯形ABED +S △AOD - S △BOE

=

1||11||(||)(51)1||525225k k k k ?+?-+??-??=12||5k =12， 解得，k=-5 故选：C ． 【点睛】

本题考查反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．

11．在函数()0k

y k x

=<的图象上有()11,A y ，()21,B y -，()32,B y -三个点，则下列各式中正确的是（ ）

A ．123y y y <<

B ．132y y y <<

C ．321y y y <<

D ．231y y y <<

【答案】B 【解析】 【分析】

根据反比例函数图象上点的坐标特征得到11y k ?=，21y k -?=，32y k -?=，然后计算出1y 、2y 、3y 的值再比较大小即可． 【详解】

解：(0)k

y k x =

11y k ∴?=，21y k -?=，32y k -?=，

1y k ∴=，2y k =-，31

2

y k =-，

而k 0<， 132y y y ∴<<．

故选：B ． 【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数k

y x

=

（k 为常数，且0k ≠）的图象是双曲线，图象上的点(),x y 的横纵坐标的积是定值k ，即xy k =．

12．在函数

2

y

x

=，3

y x

=+，2

y x

=的图象中，是中心对称图形，且对称中心是原点

的图象共有（）

A．0个B．1个C．2个D．3个

【答案】B

【解析】

【分析】

根据中心对称图形的定义与函数的图象即可求解．

【详解】

y=x+3的图象是中心对称图形，但对称中心不是原点；y=x2图象不是中心对称图形；只有函

数

2

y

x

=符合条件．

故选：B．

【点睛】

本题考查函数的图象性质与中心对称图形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．

13．如图，正方形OABC的边长为6，D为AB中点，OB交CD于点Q，Q是y＝k

x

上一

点，k的值是（）

A．4 B．8 C．16 D．24

【答案】C

【解析】

【分析】

延长根据相似三角形得到:1:2

BQ OQ=，再过点Q作垂线，利用相似三角形的性质求出QF、OF，进而确定点Q的坐标，确定k的值．

【详解】

解：过点Q作QF OA

⊥，垂足为F，

OABC Q 是正方形，

6OA AB BC OC ∴====，90ABC OAB DAE ∠=∠=?=∠，

D Q 是AB 的中点，

1

2

BD AB ∴=，

//BD OC Q ，

OCQ BDQ ∴??∽， ∴

1

2

BQ BD OQ OC ==， 又//QF AB Q ， OFQ OAB ∴??∽，

∴

22

213

QF OF OQ AB OA OB ====+， 6AB =Q ，

2643QF ∴=?

=，2

643

OF =?=， (4,4)Q ∴，

Q 点Q 在反比例函数的图象上，

4416k ∴=?=，

故选：C ． 【点睛】

本题考查了待定系数法求反比例函数、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形性质求出点Q 的坐标是解决问题的关键．

14．已知1122(,),,)A x y B

x y （均在反比例函数2

y x

=的图像上，若120x x <<，则12,y y 的大小关系是（ ） A ．120y y << B ．210y y <<

C ．120y y <<

D ．210y y <<

【答案】D 【解析】 【分析】

先根据反比例函数的性质判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质即可作出

判断．【详解】

解：∵反比例函数

2

y

x

=中k=2＞0，

∴此函数的图象在一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，

∵0＜x l＜x2，

∴点A（x1，y1），B（x2，y2）均在第一象限，

∴0＜y2＜y l．

故选：D．

【点睛】

此题考查反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象的增减性是解题的关键．

15．如图，在平面直角坐标系中，函数y =kx 与y =-2

x

的图象交于 A、B 两点，过 A 作 y

轴的垂线，交函数

4

y

x

=的图象于点 C，连接 BC，则△ABC 的面积为（）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【解析】

【分析】

连接OC，根据图象先证明△AOC与△COB的面积相等，再根据题意分别计算出△AOD与△ODC的面积即可得△ABC的面积.

【详解】

连接OC，设AC⊥y轴交y轴为点D，

如图，

∵反比例函数y=-2

x

为对称图形， ∴O 为

AB 的中点， ∴S △AOC =S △COB ，

∵由题意得A 点在y=-2

x 上，B 点在y=4x

上， ∴S △AOD =12×OD×AD=1

2

xy=1； S △COD =

12×OC×OD=1

2xy=2； S △AOC = S △AOD + S △COD =3， ∴S △ABC = S △AOC +S △COB =6. 故答案选C. 【点睛】

本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积公式，解题的关键是熟练的掌握一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积运算.

16．如图，若点M 是x 轴正半轴上任意一点，过点M 作PQ ∥y 轴，分别交函数

1

(0)k y x x =

>和2(0)k y x x =>的图象于点P 和Q ，连接OP 和OQ ．则下列结论正确的是（ ）

A ．∠POQ 不可能等于90°

B ．

1

2

PM QM k k = C ．这两个函数的图象一定关于x 轴对称 D ．△POQ 的面积是

()121

2

k k + 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】

解：根据反比例函数的性质逐一作出判断：

A ．∵当PM=MO=MQ 时，∠POQ=90°，故此选项错误；

B ．根据反比例函数的性质，由图形可得：1k ＞0，2k ＜0，而PM ，QM 为线段一定为正

值，故

1

2

PM QM k k =，故此选项错误； C ．根据1k ，2k 的值不确定，得出这两个函数的图象不一定关于x 轴对称，故此选项错误；

D ．∵|1k |=PM?MO ，|2k |=MQ?MO ， ∴△POQ 的面积=12MO?PQ=12MO （PM+MQ ）=12MO?PM+12MO?MQ=()121

2

k k +． 故此选项正确． 故选D ．

17．若A （-3，y 1）、B （-1，y 2）、C （1，y 3）三点都在反比例函数y=k

x

（k ＞0）的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ） A ． y 1＞y 2＞y 3 B ． y 3＞y 1＞y 2

C ． y 3＞y 2＞y 1

D ． y 2＞y 1＞y 3

【答案】B 【解析】 【分析】 反比例函数y=

k

x

（k ＞0）的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质，在每个象限内y 随x 的增大而减小，而A （-3，y 1）、B （-1，y 2）在第三象限双曲线上的点，可得y 2＜y 1＜0，C （1，y 3）在第一象限双曲线上的点y 3＞0，于是对y 1、y 2、y 3的大小关系做出判断． 【详解】 ∵反比例函数y=

k

x

（k ＞0）的图象在一、三象限， ∴在每个象限内y 随x 的增大而减小，

∵A （-3，y 1）、B （-1，y 2）在第三象限双曲线上， ∴y 2＜y 1＜0，

∵C （1，y 3）在第一象限双曲线上， ∴y 3＞0， ∴y 3＞y 1＞y 2， 故选：B ． 【点睛】

此题考查反比例函数的图象和性质，解题关键在于当k ＞0，时，在每个象限内y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，y 随x 的增大而增大，注意“在每个象限内”的意义，这种类型题目用图象法比较直观得出答案．

18．如图，平行于x 轴的直线与函数11k y (k 0x 0)x =

>>，，22k

y (k 0x 0)x

=>>，的

图象分别相交于A ，B 两点，点A 在点B 的右侧，C 为x 轴上的一个动点，若ABC V 的面积为4，则12k k -的值为( )

A ．8

B ．8-

C ．4

D ．4-

【答案】A 【解析】

【分析】设()A a,h ，()B b,h ，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出1ah k =，

2bh k .=根据三角形的面积公式得到

()()()ABC A 121111

S AB y a b h ah bh k k 42222

=

?=-=-=-=V ，即可求出12k k 8-=． 【详解】AB//x Q 轴，

A ∴，

B 两点纵坐标相同，

设()A a,h ，()B b,h ，则1ah k =，2bh k =，

()()()ABC A 121111

S AB y a b h ah bh k k 42222

=

?=-=-=-=V Q ， 12k k 8∴-=，

故选A ．

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟知点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式是解题的关键.

19．点（2，﹣4）在反比例函数y=k

x

的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ） A ．（2，4） B ．（﹣1，﹣8） C ．（﹣2，﹣4） D ．（4，﹣2）

【答案】D 【解析】 【详解】

∵点（2，-4）在反比例函数y=k

x

的图象上， ∴k =2×（-4）=-8．

∵A 中2×4=8；B 中-1×（-8）=8；C 中-2×（-4）=8；D 中4×（-2）=-8， ∴点（4，-2）在反比例函数y=k

x

的图象上． 故选D ．

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出反比例系数k，解决该题型题目时，结合点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值是关键．

20．如图，四边形OABF中，∠OAB＝∠B＝90°，点A在x轴上，双曲线

k

y

x

=过点F，交

AB于点E，连接EF．若BF2

OA3

=，S△BEF＝4，则k的值为（）

A．6 B．8 C．12 D．16【答案】A

【解析】

【分析】

由于

2

3

BF

OA

=，可以设F（m，n）则OA=3m，BF=2m，由于S△BEF=4，则BE=4

m

，然后即可

求出E（3m，n-4

m

），依据mn=3m（n-

4

m

）可求mn=6，即求出k的值．

【详解】

如图，过F作FC⊥OA于C，

∵

2

3 BF

OA

=，

∴OA=3OC，BF=2OC ∴若设F（m，n）则OA=3m，BF=2m ∵S△BEF=4

∴BE=4 m

则E（3m，n-4

m

）

∵E在双曲线y=k

x

上

∴mn=3m（n-4

m

）

∴mn=6

即k=6．

故选A．

【点睛】

此题主要考查了反比例函数的图象和性质、用坐标表示线段长和三角形面积，表示出E点坐标是解题关键．