2019-2020学年山东省泰安市岱岳区八年级下学期期中数学试卷(五四学制) (解析版)

2019-2020学年山东省泰安市岱岳区八年级第二学期期中数学试

卷（五四学制）

一、选择题

1．下列计算正确的是（）

A．B．3＝3C．÷＝4D．

2．在中，最简二次根式的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个

3．已知一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是（）A．﹣2＜x1＜﹣1B．﹣3＜x1＜﹣2C．2＜x1＜3D．﹣1＜x1＜0

4．一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根D．没有实数根

5．若等式成立，则m的取值范围是（）

A．m≥﹣2B．m≥2C．﹣2≤m≤2D．m≥4

6．如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（）

A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND 7．若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1或﹣1D．2或0

8．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）

A．16B．12C．16或12D．24

9．如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（）

A．B．2C．2D．6

10．如图，在Rt△ABC中，角A＝90°，AB＝3，AC＝4，P是BC边上的一点，作PE垂直AB，PF垂直AC，垂足分别为E、F，则EF的最小值是（）

A．2B．2.2C．2.4D．2.5

11．如图，在?ABCD中，按以下步骤作图：

①以点A为圆心，AB的长为半径作弧，交AD于点F；

②分别以点F，B为圆心大于FB的长为半径作弧，两弧在∠DAB内交于点G；

③作射线AG，交边BC于点E，连接EF．若AB＝5，BF＝8，则四边形ABEF的面积

为（）

A．12B．20C．24D．48

12．如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：

①∠ABE＝∠DCE；

②AG⊥BE；

③S△BHE＝S△CHD；

④∠AHB＝∠EHD．其中正确的是（）

A．①③B．①②③④C．①②③D．①③④

二、填空题（本大题共6小题，满分24分.只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a＝．

14．已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则2m2﹣4m＝．

15．已知x＝+，那么x2﹣2x的值是．

16．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是．17．如图，菱形ABCD的对角线AC＝16cm，BD＝12cm，DH⊥AB，垂足为H，则DH＝cm．

18．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是．

三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）

19．计算：

（1）；

（2）（+3）（﹣3）．

20．（16分）解方程：

（1）﹣3x﹣5＝0（用配方法）；

（2）x（2x+1）＝8x﹣3；

（3）（x+4）2＝5（x+4）；

（4）（500﹣20x）（10+x）＝6000．

21．已知x＝2+，y＝2﹣，求下列各式的值：

（1）x2﹣y2；

（2）x2+y2﹣3xy．

22．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．

（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；

（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

23．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．

24．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，

（1）求证：四边形ADCE为矩形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．

25．如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．

（1）求证：四边形CEFG是菱形；

（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．下列计算正确的是（）

A．B．3＝3C．÷＝4D．

【分析】利用二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．

解：A、与不能合并，所以A选项的计算错误；

B、原式＝2，所以B选项的计算错误；

C、原式＝＝2，所以C选项的计算错误；

D、原式＝＝，所以D选项的计算正确．

故选：D．

2．在中，最简二次根式的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】根据二次根式的性质化简，根据最简二次根式的概念判断即可．

解：＝3，＝3，＝，＝，都不是最简二次根式，是最简二次根式，

故选：A．

3．已知一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是（）A．﹣2＜x1＜﹣1B．﹣3＜x1＜﹣2C．2＜x1＜3D．﹣1＜x1＜0【分析】求出方程的解，求出方程的最小值，即可求出答案．

解：x2﹣x﹣3＝0，

b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13，

x＝，

方程的最小值是，

∵3＜＜4，

∴﹣3＞﹣＞﹣4，

∴﹣＞﹣＞﹣2，

∴﹣＞﹣＞﹣2，

∴﹣1＞＞﹣

故选：A．

4．一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根D．没有实数根

【分析】先化成一般式后，在求根的判别式．

解：原方程可化为：x2﹣2x﹣4＝0，

∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，

∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：A．

5．若等式成立，则m的取值范围是（）

A．m≥﹣2B．m≥2C．﹣2≤m≤2D．m≥4

【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．

解：∵等式成立，

∴，

解得：m≥2．

故选：B．

6．如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（）

A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND

【分析】由平行四边形的性质可知：OA＝OC，OB＝OD，再证明OM＝ON即可证明四边形AMCN是平行四边形．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD

∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，

∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，

∴四边形AMCN是平行四边形，

∵OM＝AC，

∴MN＝AC，

∴四边形AMCN是矩形．

故选：A．

7．若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1或﹣1D．2或0

【分析】把x＝﹣1代入方程计算即可求出k的值．

解：把x＝﹣1代入方程得：1+2k+k2＝0，

解得：k＝﹣1，

故选：A．

8．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）

A．16B．12C．16或12D．24

【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝3，x2＝4，再根据菱形的性质可确定边AB 的长是4，然后计算菱形的周长．

解：（x﹣3）（x﹣4）＝0，

x﹣3＝0或x﹣4＝0，

所以x1＝3，x2＝4，

∵菱形ABCD的一条对角线长为6，

∴边AB的长是4，

∴菱形ABCD的周长为16．

故选：A．

9．如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（）

A．B．2C．2D．6

【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积，本题得以解决．

解：由题意可得，

大正方形的边长为＝2，小正方形的边长为，

∴图中阴影部分的面积为：×（2﹣）＝2，

故选：B．

10．如图，在Rt△ABC中，角A＝90°，AB＝3，AC＝4，P是BC边上的一点，作PE垂直AB，PF垂直AC，垂足分别为E、F，则EF的最小值是（）

A．2B．2.2C．2.4D．2.5

【分析】根据已知得出四边形AEPF是矩形，得出EF＝AP，要使EF最小，只要AP 最小即可，根据垂线段最短得出即可．

解：连接AP，

∵∠BAC＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC，

∴∠BAC＝∠AEP＝∠AFP＝90°，

∴四边形AFPE是矩形，

∴EF＝AP，

要使EF最小，只要AP最小即可，

过A作AP⊥BC于P，此时AP最小，

在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，由勾股定理得：BC＝5，

由三角形面积公式得：×4×3＝×5×AP，

∴AP＝2.4，

即EF＝2.4，

11．如图，在?ABCD中，按以下步骤作图：

①以点A为圆心，AB的长为半径作弧，交AD于点F；

②分别以点F，B为圆心大于FB的长为半径作弧，两弧在∠DAB内交于点G；

③作射线AG，交边BC于点E，连接EF．若AB＝5，BF＝8，则四边形ABEF的面积

为（）

A．12B．20C．24D．48

【分析】根据作图可得AG是BF的垂直平分线，然后证明四边形ABEF是平行四边形，再利用勾股定理计算出AO长，根据平行四边形的性质可得答案．

解：由作图可得：AG是BF的垂直平分线，

∴BO＝FO，AE⊥FB，

∴BO＝4，

∴AO＝＝3，

∴∠AFB＝∠ABF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AF∥BC，

∴∠AFB＝∠EBF，

∴∠ABF＝∠EBF，

在△AOB和△EOB中，

∴△AOB≌△EOB（ASA），

∴AO＝EO，

∴四边形ABCEF是平行四边形，

∴四边形ABEF的面积＝4S△AOB＝4×AO?BO＝2×3×4＝24．

故选：C．

12．如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：

①∠ABE＝∠DCE；

②AG⊥BE；

③S△BHE＝S△CHD；

④∠AHB＝∠EHD．其中正确的是（）

A．①③B．①②③④C．①②③D．①③④

【分析】根据正方形的性质证得△BAE≌△CDE，推出∠ABE＝∠DCE，可知①正确；

利用正方形性质证△ADH≌△CDH，求得∠HAD＝∠HCD，推出∠ABE＝∠HAD；求出∠ABE+∠BAG＝90°；最后在△AGE中根据三角形的内角和是180°求得∠AGE＝90°即可得到②正确．根据AD∥BC，求出S△BDE＝S△CDE，推出S△BDE﹣S△DEH＝S△CDE ﹣S△DEH，即；S△BHE＝S△CHD，故③正确；由∠AHD＝∠CHD，得到邻补角和对顶角相等得到∠AHB＝∠EHD，故④正确；

解：∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，

∴AE＝DE，AB＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，

∴△BAE≌△CDE（SAS），

∴∠ABE＝∠DCE，

故①正确；

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝DC，∠ADB＝∠CDB＝45°，DH＝DH，

∴△ADH≌△CDH（SAS），

∴∠HAD＝∠HCD，

∵∠ABE＝∠DCE

∴∠ABE＝∠HAD，

∵∠BAD＝∠BAH+∠DAH＝90°，

∴∠ABE+∠BAH＝90°，

∴∠AGB＝180°﹣90°＝90°，

∴AG⊥BE，

故②正确；

∵AD∥BC，

∴S△BDE＝S△CDE，

∴S△BDE﹣S△DEH＝S△CDE﹣S△DEH，

即；S△BHE＝S△CHD，

故③正确；

∵△ADH≌△CDH，

∴∠AHD＝∠CHD，

∴∠AHB＝∠CHB，

∵∠BHC＝∠DHE，

∴∠AHB＝∠EHD，

故④正确；

故选：B．

二、填空题（本大题共6小题，满分24分.只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a＝1．【分析】根据同类二次根式的定义建立关于a的方程，求出a的值．

解：∵最简二次根式与是同类二次根式，

∴1+a＝4a﹣2，

解得a＝1．

故答案为1．

14．已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则2m2﹣4m＝6．【分析】根据m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，通过变形可以得到2m2﹣4m 值，本题得以解决．

解：∵m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，

∴m2﹣2m﹣3＝0，

∴m2﹣2m＝3，

∴2m2﹣4m＝6，

故答案为：6．

15．已知x＝+，那么x2﹣2x的值是4．

【分析】根据二次根式的运算以及完全平方公式即可求出答案．

解：∵x﹣＝，

∴x2﹣2x+2＝6，

∴x2﹣2x＝4，

故答案为：4

16．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是k≤且k≠1．

【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且△＝12﹣4（k﹣1）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．

解：根据题意得k﹣1≠0且△＝12﹣4（k﹣1）≥0，

解得k≤且k≠1．

故答案为k≤且k≠1．

17．如图，菱形ABCD的对角线AC＝16cm，BD＝12cm，DH⊥AB，垂足为H，则DH＝

9.6cm．

【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再根据勾股定理列式求出AB，

然后利用菱形的面积列式计算即可得DH的长．

解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，

∵AC＝16cm，BD＝12cm，

∴OA＝AC＝8cm，OB＝BD＝6cm，

在Rt△AOB中，AB＝＝10cm，

∵DH⊥AB，

∴菱形ABCD的面积＝AC?BD＝AB?DH，

即×16×12＝10?DH，

解得：DH＝9.6（cm）；

故答案是：9.6．

18．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是8．

【分析】连接BD交AC于点O，则可证得OE＝OF，OD＝OB，可证四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，可证得四边形BEDF为菱形；根据勾股定理计算DE的长，可得结论．

解：如图，连接BD交AC于点O，

∵四边形ABCD为正方形，

∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，

∵AE＝CF＝2，

∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，

∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，

∴四边形BEDF为菱形，

∴DE＝DF＝BE＝BF，

∵AC＝BD＝8，OE＝OF＝＝2，

由勾股定理得：DE＝＝2，

∴四边形BEDF的周长＝4DE＝4×2＝8，

故答案为：8．

三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）

19．计算：

（1）；

（2）（+3）（﹣3）．

【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；

（2）利用平方差公式计算．

解：（1）原式＝4﹣+﹣

＝；

（2）原式＝（）2﹣（3）2

＝3﹣18

＝﹣15．

20．（16分）解方程：

（1）﹣3x﹣5＝0（用配方法）；

（2）x（2x+1）＝8x﹣3；

（3）（x+4）2＝5（x+4）；

（4）（500﹣20x）（10+x）＝6000．

【分析】（1）根据配方法即可求出答案；

（2）根据因式分解法即可求出答案；

（3）根据公式法即可求出答案；

（4）根据因式分解法即可求出答案．

【解答】（1）解：原方程乘以2，得x2﹣6x﹣10＝0，

∴x2﹣6x+9﹣19＝0，

∴（x﹣3）2＝19，

∴x﹣3＝±，

∴x1＝3+；

即x1＝3+；

（2）x（2x+1）＝8x﹣3

解：2x2+x﹣8x+3＝0，

∴2x2﹣7x+3＝0，

∴a＝2，b＝﹣7，c＝3，b2﹣4ac＝49﹣24＝25，

∵x＝．

∴x1＝＝3，x2＝．

（3）（x+4）2＝5（x+4）．

∴（x+4）2﹣5（x+4）＝0，

即（x﹣1）（x+4）＝0，

解得：x1＝﹣4，x2＝1．

（4）（500﹣20x）（10+x）＝6000．

整理，得x2﹣15x+50＝0．

分解因式得：（x﹣5）（x﹣10）＝0，

则x﹣5＝0或x﹣10＝0，

解得，x1＝5，x2＝10．

21．已知x＝2+，y＝2﹣，求下列各式的值：

（1）x2﹣y2；

（2）x2+y2﹣3xy．

【分析】先计算x、y两个数的和、差、积；

（1）利用平方差公式进行因式分解，然后代入求值；

（2）变形为完全平方公式与积的差（或和）的形式，整体代入求值．解：由已知可得：x+y＝4，x﹣y＝2，xy＝1

（1）x2﹣y2

＝（x+y）（x﹣y）

＝4×2

＝8；

（2）x2﹣2xy+y2﹣xy

＝（x﹣y）2﹣xy

＝（2）2﹣1

＝12﹣1

＝11．

22．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．

（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；

（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

【分析】（1）设方程的另一个根为x，则由根与系数的关系得：x+1＝﹣a，x?1＝a﹣2，求出即可；

（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．

解：（1）设方程的另一个根为x，

则由根与系数的关系得：x+1＝﹣a，x?1＝a﹣2，

解得：x＝﹣，a＝，

即a＝，方程的另一个根为﹣；

（2）∵△＝a2﹣4（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝a2﹣4a+4+4＝（a﹣2）2+4＞0，

∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

23．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．

【分析】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DAC＝∠DCA，得出CD＝AD ＝AB，即可得出结论；

（2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．解：（1）∵AB∥CD，

∴∠OAB＝∠DCA，

∵AC为∠DAB的平分线，

∴∠OAB＝∠DAC，

∴∠DCA＝∠DAC，

∴CD＝AD＝AB，

∵AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AD＝AB，

∴?ABCD是菱形；

（2）∵四边形ABCD是菱形，

∴OA＝OC，BD⊥AC，

∵CE⊥AB，

∴OE＝OA＝OC，

∵BD＝2，

∴OB＝BD＝1，

在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，

∴OA＝＝2，

∴OE＝OA＝2．

24．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，

（1）求证：四边形ADCE为矩形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．

【分析】（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求证∠DAE＝90°，可以证明四边形ADCE为矩形．

（2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD＝BC，由已知可得，DC＝BC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形．

【解答】（1）证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，

∴∠BAD＝∠DAC，

∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，

∴∠MAE＝∠CAE，

∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝180°＝90°，

又∵AD⊥BC，CE⊥AN，

∴∠ADC＝∠CEA＝90°，

∴四边形ADCE为矩形．

（2）当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形．

理由：∵AB＝AC，

∴∠ACB＝∠B＝45°，

∵AD⊥BC，

∴∠CAD＝∠ACD＝45°，

∴DC＝AD，

∵四边形ADCE为矩形，

∴矩形ADCE是正方形．

∴当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形．

25．如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．

（1）求证：四边形CEFG是菱形；

（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．

【分析】（1）根据题意和翻折的性质，可以得到△BCE≌△BFE，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立；

（2）根据题意和勾股定理，可以求得AF的长，进而求得EF和DF的值，从而可以得到四边形CEFG的面积．

【解答】（1）证明：由题意可得，

△BCE≌△BFE，

∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE，

∵FG∥CE，

∴∠FGE＝∠CEB，

∴∠FGE＝∠FEG，

∴FG＝FE，

∴FG＝EC，

∴四边形CEFG是平行四边形，

又∵CE＝FE，

∴四边形CEFG是菱形；

（2）∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF，

∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10，

∴AF＝8，

∴DF＝2，

设EF＝x，则CE＝x，DE＝6﹣x，

∵∠FDE＝90°，

∴22+（6﹣x）2＝x2，