上海大学数值分析历届考题
数值分析历届考题
03-04学年秋季学期
一． 简答题（每小题5分）
1. 数值计算中要注意哪些问题。
答：第一、两个相近的数应避免相减。
第二、绝对值很小的数应避免作除数。
第三、注意选取适当的算法减少运算次数。
第四、两个绝对值相差很大的数运算时，注意“机器零”的问题。 第五、注意算法的收敛性和稳定性。
2. 用迭代法求解非线性方程0)(=x f 时，迭代收敛的条件是什么，可以用什么方法来确定初值0x 。 答：对于非线性方程0)(=x f （其迭代格式为)(x g x =），如果满足：
（1） 当],[b a x ∈时，],[)(b a x g ∈；
（2） )(x g '在],[b a 上连续，且对任意的],[b a x ∈都有1)(<≤L x g 。
则有结论：对任意给定的],[0b a x ∈，由迭代格式)(1k k x g x =+，k=0,1,2,…产生的序列{}
k x 收敛于*x ，即迭代收敛。
可以用二分法来确定初值0x 。
3. 用消元法求解线性方程组时，为什么要选主元。
答： 因为用简单高斯消元法求得的近似解与精确解相差甚远，其主要原因是绝对值很小的数作除数，导致了误差的快速增长。为了避免这种情况的发生，我们可以通过行交换，在需要消元的列中，取绝对值最大者作为主对角线元素（即主元），计算效果将得到改善。
4. 矩阵的条件数是什么，它对求解线性方程组有什么影响。
答：对于n 阶可逆方阵A ，正实数||A ||||1-A ||称为A 的条件数，记为cond(A)。
条件数对于线性方程组Ax=b 的影响如下： b
b A cond x x
?≤?)(，其中b ?为A 精确时b 产生的误差； A
A A cond x x ?≤?)( ，其中A ?为b 精确时A 产生的误差。 5. 把下列二阶常微分方程的初值问题
??
???='=-=-+'--''2)0(,1)0(1111y y x y x y x x y 化为一阶常微分方程组，并写出求解该方程的改进Euler 方法。
答：令???'==)()()()(2
1x y x u x y x u 则??
???-+--='='11)()()()(12221x x x u x xu x u u x u ，其中???==2)0(1)0(21u u 。 所以用改进的Euler 方法表示为：
????? ??-+--+=)1(1)(1)(2)(
2)
(i i i i i i p x x u xu u h y y ， )()(1x y x u p =，)()(2x y x u p '=，
????? ??-+--+=++)1(111)(1)(2)(2)
(i i i i i i c x x u u x u h y y ， )(21)1(c p i y y y +=
+。 二． （20分）给出数据表
求一个满足插值条件的三次插值多项式，并写出余项公式。
解：先求出满足函数值插值条件)()(2i x f x P =，i=0，1，2的二次插值多项式)(2x P 。
由牛顿插值公式： ],,[))((],[)()()(2101010002x x x f x x x x x x f x x x f x P --+-+=
22)1(22+-=-+-=x x x x x
令))()(()()(21023x x x x x x A x P x H ---+=，其中A 是待定常数，则
))((22)(2101113x x x x A x x H --+-='
，由已知条件1)(1-='x f ，代入可得： 1)21()01(1=-?--=A ； 所以22)2)(1(22)(2323+-=--++-=x x x x x x x x H 。
其插值余项为)2()1(!4)
()(2)4(--=x x x f x R ξ，其中)2,
0(∈ξ。 三． （20分）给出数据表
用最小二乘法求拟合曲线x
b a y +=1
（保留3位小数）。
解：对于曲线x b a y +=1，令y z 1=，x t 1=，得bt a z +=。 把x ，y 的数据转换为t ，z 的数据（取3位有效数字）：
对于bt a z +=，其法方程组为：
???????=+=+∑∑∑∑∑=====4141241
41414i i i i i i i i i i i z t t b t a z t b a ； 其中：
50.1941=∑
=i i t ，25.135412=∑
=i i t ，76.541=∑
=i i z ，08.2441=∑
=i i i z t
数据代入后得法方程组为???=+=+08.2425.1355.1976
.55.194b a b a ；解得???-==0995.093.1b a 。 所以拟合曲线为x
y 0995.093.11
-=。 四． （15分）确定下列求积公式的系数1k ，2k ，3k ，使公式成为Guass 型求积公式
?-++-=11321)6.0()0()6.0()(f k f k f k dx x f 。
解：通过待定系数法：
当1)(≡x f 时，有3212k k k ++= （1）
当x x f =)(时，有316.06.00k k +
-= （2） 当2)(x x f =时，有316.06.03
2k k += （3） 由此得到一个关于未知数1k ，2k ，3k 的线性方程组：
???
????=+=+-=++326.06.006.06.023131321k k k k k k k ；解得?????===55555556.088888889.055555556.0321k k k 。
五． （20分）证明：对任意参数t （1≠t ）下列求解常微分方程初值问题的算法，其局部截断误差都是c ：
))1(2,)1(2()1(),(1i i i i i i i f t h
y t h
x hf t y x thf y y -+-+-++=+。 证：令??
???-+-+==))1(2,)1(2(),(121t hK y t h x f K y x f K i i i i ，
则211)1(hK t thK y y i i -++=+（1） 对2K 作泰勒展开得：
)(),()1(2),()1(2),(212h O y y x f t hK x y x f t h y x f K i i i i i i +???-+???-+=。
代入到（1）式中： )(),(2),(2)1(3122
111h O y y x f K h x y x f h hK t thK y y i i i i i i +???+???+-++=+由于 )(]))(,())(,())(,([2))(,()()(321h O y x y x f x y x f x x y x f h x y x hf x y x y i i i i i i i i i i +??+??++=+ 在
i i y x y =)(的条件下)()()()(33311h O h O h O y x y i i =-=-++。
即对任意参数t ，上述求解微分方程初值问题的算法其局部截断误差都是)(3h O 。
六．
（16分）证明：下列求解常微分方程初值问题的数值方法，其局部截断误差为)(3h O 。 )],(4
1),(47[)(211111---+-++=i i i i i i i y x f y x f h y y y 证：)),(,(),(11i i i i i i y x hf y h x f y x f --=--
)()],(),(),([),(2h O y x hf y
y x f h x y x f y x f i i i i i i i i +???+???-= )()],(),(),([!2),()()()(3211h O y x f y
y x f x y x f h y x hf x y h x y x y y i i i i i i i i i i i i +??+??+-=-=≈-- 在i i y x y =)(的条件下将上述两式代入
)],(41),(47[)(211111---+-++=i i i i i i i y x f y x f h y y y 中，可得：
)](),(),(),([4),(2321h O y x f y y x f x y x f h y x f h
y y i i i i i i i i i i +??+??+-=+ )]}(),(),(),([4),(23{2h O y x f y
y x f x y x f h y x f h i i i i i i i i +??+??++ )()],(),(),([2),(3h O y x f y
y x f x y x f h y x hf y i i i i i i i i i +??+??+
+= 由于 )(]))(,())(,())(,([2))(,()()(321h O y
x y x f x y x f x x y x f h x y x hf x y x y i i i i i i i i i i +??+??++=+在i i y x y =)(的条件下)()()()(33311h O h O h O y x y i i =-=-++。
所以上述求解微分方程初值问题的算法其局部截断误差都是)(3
h O 。
05-06学年秋季学期
一． 简答题（每小题4分，共20分）
1. 设x=0.06020，y=0.0418是按四舍五入得到的近似值，则x+y ，xy 的绝对误差限，相对误差限，有效数字各是多少。 答：54110211021)(---?=?≤x ε，431102
11021)(---?=?≤y ε； 30310211021)()()(--?=?≤
+≤+y x y x εεε， 所以x+y 三位有效，0007766.0)()(=++=+y
x y x y x r εε； 32510211021)()()(---?=?≤
+≤x y y x xy εεε， 所以x/y 三位有效，001279.0)()(==xy
xy xy r εε
2. 同03-04学年秋季学期第一题3
3. 在解线性方程组时，原始数据的误差对解的影响如何；对病态方程组可以采用什么方法处理。
答：原始数据的误差对于线性方程组Ax=b 的影响如下： b
b A cond x x
?≤?)(，其中b ?为A 精确时b 产生的误差； A
A A cond x x ?≤?)( ，其中A ?为b 精确时A 产生的误差；
其中cond(A)=||A ||||1-A ||为条件数。 对于病态方程组，可以使用迭代改善的方法处理。
4. 给出三个等距节点1x ，2x ，3x ，及其相应的函数值，试导出二阶数值导数)(1x f ''的计算公式。
答：以这三个点为节点的基本插值多项式为： ))(())(()(2010210x x x x x x x x x l ----=，)
)(())(()(2101201x x x x x x x x x l ----=， )
)(())(()(1202102x x x x x x x x x l ----=； 求二阶导得：))((2)(20100
x x x x x l --=''，))((2)(21011x x x x x l --='' )
)((2)(12022x x x x x l --=''； 设ih x x i +=0，i=0，1，2。 则)]()(2)([1
)()(2102121x f x f x f h x L x f +-=''≈''。
5. 用数值方法求解常微分方程时，怎样选择合适的步长。
答：先选取一个步长h ，计算)2(1h i y
+和)(1h i y +，如果ε>?，则将步长逐次减半，直到ε
?，则尝试将步长逐次加倍，知道满足ε>?的最大步长。 二． （16分）给出数据表
求一个3次插值多项式；并证明其余项公式为)3()2)(1(!4)()(2)4(---=x x x f x R ξ
解：先求出满足函数值插值条件)()(2i x f x P =，i=0，1，2的二次插值多项式)(2x P 。
由牛顿插值公式： ],,[))((],[)()()(2101010002x x x f x x x x x x f x x x f x P --+-+=
673)2)(1(3)1(222+-=--+-+=x x x x x
令))()(()()(21023x x x x x x A x P x H ---+=，其中A 是待定常数，则
))((76)(2101113x x x x A x x H --+-='，由已知条件3)(1='x f ，代入可得： 2)
32()12(53=-?--=A ；
所以61592)3)(2)(1(2673)(2323-+-=---++-=x x x x x x x x x H 。
由插值条件可知，1x 是R(x)的二重零点，0x 和2x 是R(x)的单重零点，所以
)())()(()(2210x x x x x x x K x R ---=，其中K(x)是待定函数。 令)())()(()()()(22103x x x x x x x K t H t f t g -----=，
当)(x f 的4阶导数连续时，反复用罗尔定理，可得!
4)()()4(ξf x K =， 所以)3()2)(1(!
4)()(2)4(---=x x x f x R ξ。 三． （16分）给出一组数据
用最小二乘法求拟合曲线x b ae
y 1
=。 解：对于曲线x b
ae y =，两边取对数得：x b
a y +=ln ln
令y z ln =，x t 1=，a m ln =，则可得到：bt m z += 把x ，y 的数据转换为t ，z 的数据（取3位有效数字）：
对于bt m z +=，其法方程组为：
???????=+=+∑∑∑∑∑=====515125151515i i i i i i i i i i i z t t b t m z t b m ； 其中：
54.351=∑=i i t
，66.2512=∑=i i t ，42.951=∑=i i z ，82.651
=∑=i i i z t 数据代入后得法方程组为???=+=+82.666.254.342.954.35b m b m ；解得?
??==980.019.1b m 。 29.319.1===e e a m 。
所以拟合曲线为x e
y 98.029.3=。 四． （16分）用龙贝格方法求下列积分，要求5位有效数字。
?
211dx e x 。 解：1835.2)]2()1([2121=+-=
f f T ； 0656.2)5.1(2122112=-+=f T T ； 0263.21
44121=--=T T S ； 0319.2)]75.1()25.1([4
122124=+-+=f f T T ； 0207.21
44242=--=T T S ；
0203.214421221=--=S S C 。 五． （16分）对于非线性方程f(x)=0，求证：改进的牛顿迭代格式：
321)]
([2)()()()(k k k k k k k x f x f x f x f x f x x '''-'-=+，k=0，1，… 在单根附近是至少三阶收敛的。并判别该方法对重根是几阶收敛。
解：（1）在单根的情况下，设*x 是0)(=x f 的单重根。
2))
()(()(2)()()()(x f x f x f x f x f x f x x g ''''-'-=，
))]([2)(()]([)]
([2)()()(2)]([)()()]([1)(32322x f x f dx d x f x f x f x f x f x f x f x f x f x g '''-''''-'''-'-=' ))]
([2)(()]([32x f x f dx d x f '''-=
所以*x 是)(x g 的二重零点，0)()(**=''='x g x g ，即该迭代格式是三阶收敛的。
（2）在重根的情况下，设*x 是0)(=x f 的m 重根。（m>1） 则)()()(*x h x x x f m -=，且0)(*
≠x h ， )]()()([)()(*1*x h x x x mh x x x f m '-+-='-，
)]()()([)()]()()([))(1()(*1**2*x h x x x mh dx
d x x x h x x x mh x x m x f m m '-+-+'-+--=''--)]
()()()1[()()]()()([))(1(*1**2*x h x x x h m x x x h x x x mh x x m m m ''-+'+-+'-+--=--)]()()()(2)()1([)(2**2*x h x x x h x x m x h m m x x m ''-+'-+--=-，
同理：
)]()()()(3)())(1(3)()2)(1([)()(3*2**3*x h x x x h x x m x h x x m m x h m m m x x x f m '''-+''-+--+---='''-这时：4
2
2)]([)]([3)()(2)]([)(x f x f x f x f x f x g '''-''''?-=' 4
444*2
2242*42*22*)()1()(3)2)(1()(2)(h m x x h m m x x h m m m mh x x h x x m m m m ?--?----??-?--=---22244222222)12)(1()1(3)2)(1(])1(3)2)(1([m
m m m m m m h m h m m h m m m h --=-----=-----=由于m 为大于1的整数，所以显然0)(≠'x g ，所以在重根情况下题设迭代法线性收敛。（一阶收敛）
06-07学年冬季学期
一、 简答题(每小题4分，共20分)
1. 设x=-0.0307，y=1.230是按四舍五入得到的近似值，则x-y ，x/y 的绝对误差限，相对误差限，有效数字各是多少。 答：43110211021)(---?=?≤x ε，341102
11021)(--?=?≤y ε； 31210211021)()()(--?=?≤
+≤-y x y x εεε， 所以x-y 三位有效，003966.0)()(=--=-y
x y x y x r εε；
314210211021)()()(---?=?≤+≤y
x y y x y x εεε，
所以x/y 三位有效，002003.0)()(==y x
y x y x r εε 2. 插值型数值积分方法的基本原理是什么，其截断误差是什么。
答：基本原理：??≈b a b
a n dx x P dx x f )()
(，其中)(x P n 是)(x f 的n 次插值多项式。 截断误差： ???????++=-=????++++是偶数n ，)()!
2()(是奇数,)()!1()()()(1)2(1)1(b a n n b a n n b a n b a f dx x x n f n dx x n f dx x P dx x f R ωξωξ 3. 写出求解非线性方程组0),,,(21=n i x x x f ，i=1,2,…,n 一般迭代法的迭代格式和收敛条件。
答：一般迭代法的格式：),,,()()(2)(1)1(k n k k i k i
x x x g x =+，i=1,2,…,n ， 其中：),,,(21n i i x x x g x =是0),,,(21=n i x x x f 的等价方程。 当?????????? ????????????????????=n n n n n n x x g x x g x x g x x g x x g x x g x x g x x g x x g G )()()()()
()()()()(21
2221212111 ，1 ?????='=-=+'-''-1)0(0)0()1()1(2 y y x y y x y x 答：令???'==)()()()(2 1x y x u x y x u 则?? ???-+--='='11)()()()(12221x x x u x xu x u u x u ，其中???==1)0(0)0(21u u 。 所以用欧拉形式表示为： ???? ? ??-+--+=+)1(1)(1)(2)( 2)()1(i i i i i i i x x u xu u h y y ，i=0,1,2,…,n-1。 二、 （16分）给出数据表 用3次插值多项式求f(1.5)的近似值，并估计误差： 解：先求出满足函数值插值条件)()(2i x f x P =，i=0，1，2的二次插值多项式)(2x P 。 由牛顿插值公式： ],,[))((],[)()()(2101010002x x x f x x x x x x f x x x f x P --+-+= 123)1(312+-=-++=x x x x x 令))()(()()(21023x x x x x x A x P x H ---+=，其中A 是待定常数，则 ))((26)(2101113x x x x A x x H --+-='，由已知条件3)(1='x f ，代入可得： 1) 21()01(43=-?--=A ； 所以1)2)(1(123)(323+=--++-=x x x x x x x H 。 375.415.1)5.1(3=+=f )(0078125.0|)25.1()15.1)(05.1(!4)(||)5.1(|)4(2)4(ξ ξf f R =---?=)2,0(∈ξ 三、 （16分）给出一组数据 用最小二乘法求拟合曲线bx ae y =。 解：对于曲线bx ae y =，两边取对数得：bx a y +=ln ln 令y z ln =，a m ln =，则可得到：bx m z += 把x ，y 的数据转换为t ，z 的数据（取3位有效数字）： 对于bx m z +=，其法方程组为： ???????=+=+∑∑∑∑∑=====515125151515i i i i i i i i i i i z x x b x m z x b m ； 其中： 5.751=∑=i i x ，9.11512=∑=i i x ，42.951=∑=i i z ，4.145 1=∑=i i i z t 数据代入后得法方程组为???=+=+4.149.115.742.95.75b m b m ；解得???==415 .026.1b m 。 53.326.1===e e a m 。 所以拟合曲线为x e y 415.053.3=。 四、 （16分）用任意一种方法求下列积分，要求5位有效数字。 ?+6 4241dx x 解：用龙贝格方法求解题目中的积分： 075.0)]6()4([2 461=+-=f f T ； 071983.0)5(2462112=-+=f T T ； 070978.01 44121=--=T T S ； 071209.0)]5.5()5.4([4 462124=+-+=f f T T ； 070950.01 44242=--=T T S ； 070949.014421221=--=S S C 。 五、 （16分）同05-06学年秋第五题 六、 （16分）求参数a ，b ，c 使下列求解常微分方程初值问题的数值方法的局部截断误差达到)(3 h O 。 ))],(,(),([8 1i i i i i i i i y x chf y bh x af y x f h y y ++++=+ 解：令?? ?++==),(),(121chK y bh x f K y x f K i i i i 则)(8211aK K h y y i i ++=+ （1） 对2K 作泰勒展开得： )(),(),(),(212h O y y x f chK x y x f bh y x f K i i i i i i +??+??+= 代入到（1）式中可以得到： )(]),(),(4),(4[2),(81321h O y y x f y x f ac x y x f ab h y x hf a y y i i i i i i i i i i +??+??+++=+ 由于 )(]))(,())(,())(,([2))(,()()(321h O y x y x f x y x f x x y x f h x y x hf x y x y i i i i i i i i i i +??+??++=+在i i y x y =)(的条件下若要使)()()()(33311h O h O h O y x y i i =-=-++，必须满足： ?????????===+14 14181ac ab a ，解得?????????===74747c b a 。 特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤-31 104 ?. 2. 01(),(), ,()n l x l x l x 是以01,, ,n x x x 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ 数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x ) 上海大学大学物理期末考试试题A 课程名：大学物理A(一)B(一) 学分： 4 成绩： 学号：姓名：院、系： 题号选择题填空题计算１计算２计算３计算４计算５总分得分 （常数：） 一.单项选择题(每小题3 分,共24 分) 1.一质点在平面上运动,已知其运动方程为,其中为常数,则该质点作 A.匀速直线运动; B.变速直线运动; C.变加速直线运动; D.一般曲线运动. [ ] 2. 在同一高度上抛出两颗小石子,它们的初速度大小相同、方向分别沿45°仰角和水平方向,忽略空气阻力,则它们落地时的速度 A.大小不同、方向不同. B. 大小相同、方向不同. C.大小相同、方向相同. D. 大小不同、方向相同. [ ] 3. 在忽略空气阻力和摩擦力的条件下，加速度矢量保持不变的运动是: A.单摆的运动. B.匀速率圆周运动. C.抛体运动. D.弹簧振子的运动. [ ] 4. 如图,两个质量相等的小球由一轻弹簧相联接,再用一细绳悬挂于天花板下,小球处于静止状态.在剪断细绳的瞬间,球1和球2的加速度大小和分别为 A.. B.. C.. D.. [ ] 5. 质点系机械能守恒的条件是 A.外力作功之和为零,非保守内力作功之和为零. B.外力作功之和为零,非保守内力作功之和不为零. C.外力作功之和为零,守内力作功之和为零. D.外力作功之和为零,内力作功之和不为零. [ ] 6.如图所示,一人造地球卫星到地球中心C的最大距离和最小距离分别为和,设在这两个位置人造卫星对地球中心C的角动量分别为和,动能分别为和,则有 A.; B.; C.; D.. [ ] 7.摩尔数相同的一定量氢气和氦气,如果它们的温度相同,则可知两气体的 A.内能必相等; B.分子的平均动能必相等; C.分子的平均平动动能必相等; D.分子的平均转动动能必相等. [ ] 8.根据热力学第二定律判断下列说法中哪种说法是正确的: A.热量能从高温物体传到低温物体,但不能从低温物体传到高温物体; B.功可以全部转变为热,但热不能全部转变为功; C.气体能够自由膨胀,但不能自由收缩; D.有规则运动的能量能转变为无规则运动的能量,但无规则运动的能量不能转变为有规则运动的能 量. [ ] 二.填空题: (共26 分) 1. (4分)一质点在半径m的圆周上运动，其角位置随时间的变化规律为（SI）.则 时,质点的切向加速度 ,法向加速度 . 2. (3分)如图所示,水平桌面上,倔强系数为的轻弹簧一端固定在墙壁上,另一端连接一质量为的物体,物体与桌面间的摩擦系数为.物体静止在坐标原点O时，弹簧长度为原长.若物体在不变的外力作用 下向右移动,则物体到达最远位置时系统的弹性势能 . 第一章典型例题 例3 ln2=0.…，精确到10－3的近似值是多少 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是＝, 故至少要保留小数点后三位才可以。ln2 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 ??? ??1 -=4+2+4=+2+31 -=4++2321 321321x x x x x x x x x 解 顺序消元 ?? ?? ??????---???→???????????---????→???????????--=-?+-?+-?+1717005.555.00141 25.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r M 于是有同解方程组 ?? ? ??-==--=++17175.555.0142332321x x x x x x 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 ??? ??5 =+2+23=++1=2-2+321 321321x x x x x x x x x 解 建立迭代格式 ???????+--=+--=++-=+++5223122) (2)(1)1(3 ) (3)(1)1(2 ) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 ???????-=+?-?-=-=+--==+?+?-=3 532123 351515232)2(3) 2(2)2(1x x x X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 ???????=+-?-?-==+---==+-?+-?-=1 5)3(2521 3)3(511)3(2)3(2)2(3) 3(2)3(1x x x X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3 ???????=+?-?-==+--==+?+?-=1 512121 311111212)2(3) 2(2)2(1x x x X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1＝D ??????????=022001000L ~ ????? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 1、（本题5分）试确定7 22作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22=3.142857…=1103142857.0-? π=3.141592… 所以 3 12 10 2 110 21005.0001264.07 22--?= ?= <=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3 10 2 10005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：???? ? ??=????? ??????? ??--654131321 112321x x x ； 解 设???? ? ? ?????? ? ?????? ??===????? ? ?--11 1 11113 1321 11232312132 1 32 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,21527,25,2323121321- == - == -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23,97,910( ,)5 63, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组??? ? ? ??=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321 321431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为 上海大学数学分析历年考研真题 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 上海大学2000年度研究生入学考试试题 数学分析 1、 设 122(1)n n x x nx y n n +++= +L ，若lim n n x a →∞=，证明：（1）当a 为有限数时，lim 2 n n a y →∞=； （2）当a =+∞时，lim n n y →∞ =+∞. 2、设()f x 在[]0,1上有二阶导数（端点分别指左、右导数），(0)(1)0f f ==，且 [] 0,1min ()1f x =- 证明：[] 0,1max ()8f x ''≥ 3、 证明：黎曼函数[]1 , x= (0,,)()0,10,p q p q q q R x ?>? =??? 当为互质整数在上可积当x 为无理数. 4、 证明：1 2210 () lim (0),t tf x dx f t x π+ -→=+?其中()f x 在[]1,1-上连续. 5、 设()1ln 11n n p a n ? ?=+- ???，讨论级数2 n n a +∞ =∑的收敛性. 6、 设 ()f x dx +∞ ? 收敛且()f x 在[]0,+∞上单调，证明：0 1 lim ()()h n h f nh f x dx + +∞ +∞ →==∑?. 7、 计算曲面2 2 2 2 x y z a ++=包含在曲面22 221(0)x y b a a b +=<≤内的那部分的面积. 8、 将函数()f x x =在[]0,2π上展成Fourier 级数,并计算级数 1 sin k k k +∞ =∑的值. 上海大学2001年度研究生入学考试试题 数学分析 1、 计算下列极限、导数和积分: (1) 计算极限1 lim ();x x x + → (2) 计算 2 ()()x x f t dt ?=?的导数()x ?',其中()f x 2 ,(1) .1,(1)t t t t ≤?=? +>? (3) 已知( ) 21 1arctan 2tan 1sin 2 x x ' ??=??+??,求积分2011sin I dx x π=+?. 数值分析典型习题 特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤ -31 104 ?. 2. 01(),(),,()n l x l x l x L 是以01,,,n x x x L 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=L x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ 数值分析A 试题 2007.1 第一部分：填空题10?5 1.设3112A ?? = ??? ,则A ∞=___________ 2()cond A =___________ 2.将4111A ??= ??? 分解成T A LL =，则对角元为正的下三角阵L =___________ ,请用线性最小二乘拟合方法确定拟合函数()bx f x ae =中的参数：a = ___________ b =___________ 4.方程13 cos 2044x x π--=在[0,1]上有 个根，若初值取00.95x =，迭代方法 113 cos 244 k k x x π+=-的收敛阶是 5.解方程2 210x x -+=的Newton 迭代方法为___________，其收敛阶为___________ 6.设()s x = 323 2 323,[0,1]31,[1,2] ax x x x x x bx x +-+∈--+∈为三次样条函数，则a = ___________ b =___________ 7.要想求积公式： 1 121 ()(()f x dx A f f x -≈+? 的代数精度尽可能高，参数1A = ___________ 2x =___________此时其代数精度为：___________ 8.用线性多步法2121(0.50.5)n n n n n y y h f f f ++++-=-+来求解初值问题 00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =，该方法的局部截断误差为___________，设 ,0,f y μμ=?其绝对稳定性空间是___________ 9.用线性多步法 2121()n n n n n y ay by h f f ++++-+=-来求解初值问题 00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =，希望该方法的阶尽可能高，那么a = ___________ b =___________，此时该方法是几阶的：___________ 2003年传播学理论考研试题 一、解释（3*10=30分） 1.劝服论 2.舆论 3.传播媒介 4.内向传播 5.维模原理 6.知晓权 7.近体 8.沉默的螺旋 9.文化规范论 10.多视觉新闻学 二、简答（5*12=60） 1.传播学包括哪些基本内容？ 2.简介传播学4位奠基人的主要理论贡献与论著 3.冷媒介与热媒介 4.简述梁启超的新闻传播思想 5.提高宣传效果应注意的问题 三、论述（60分） 1.联系实际，辨证分析传播的功能（40分） 2.多网络传播的特点及与传统媒体的关系（20分） 2003年传播学研究方法考研试题 一、名词解释（4*10） 1.定量研究 2.经验社会学 3.连续变量 4.抽样 5.名目尺度 6.多因素设计 7.个案研究 8.抽样误差 9.信度 10.相关分析 二、简答题（60分） 1.实地访问的重要类型 2.内容分析的方**原则 3.实验的控制主要应把握的两个方面 三、论述题（50分） 问卷的结构分析 2004年试题 R检验 描述性统计分析 定量 简单随机抽样 内容分析 经济传播 信息污染 文化分层 议程设置 铅版 定量与定性的区别和联系（论述）上大05年传播学理论试题 一、名词解释 1.莱温 2.传播者 3.媒介情景非真实化 4.内向传播 5.新闻 6.文化传播的“维模”原理 7.知晓权 8.集权主义理论 9.申报 二、简答题 1.结构功能理论 2.宣伟伯模式 3.议程设计理论 三、论述题 1.麦克鲁汉的媒介理论 2.陈独秀的新闻思想 2005年传播学研究方法 一、名词解释（8*5） 1.信度、效度 2.内容分析 3.分层抽样 4.个案研究 5.控制实验 6.R检验 7.假设 8.答案的穷尽性 二、简答题（4*15） 1.问卷设计中常见的错误有哪些？ 2.定量研究方法的具体步骤并图示 3.科学的研究设计包括哪几项？ 4.问题设计的原则 三、论传播学研究的交叉性（50） 上海大学考研试题 上海大学2001攻读硕士学位研究生入学考试试题 招生专业：广播电视艺术学，电影学考试科目：影视理论 一、解释下列名词或术语（每题4分，计20分） 1、电影艺术 2、影像 3、“连续蒙太奇” 4、表现蒙太奇 5、声画错位 二、回答下列问题（每题10分，计30分） 1、移动摄影及其基本表现辐功能 2、“影戏”美学及其短长 3、心理空间与哲理空间及其差异 三、辨析并论述下题，首先判断其准确与否，然后具体阐析自己的判断理由与准确见解。（计10分） 场面调度“原指在戏剧舞台上处理演员表演活动位置的技巧，场面调度被引用到电影艺术中来，其内容和性质均与舞台演出不同，不仅关系到演员的调度，而且包括镜头调度（或称“摄影机调度），是演员调度和摄影师调度的有机统一。 四、结合电影现象解释并论证下列问题（每题20分，计40分） 1、电影的商业性与非商业性的关系及其在当代电影中的各自地位 2、法国电影家雷内—克莱尔曾说“这也说明了为什么观众会用不同的态度来对待一看就能懂的美国影片和必须动一番脑筋才能看懂的法国影片，-----为了替电影的美好前途着想，有才能的导演总有一天会设法把这两种学派妥善地结合起来，”对此，你如何理解？联系中国当代的发展，又有何感想？ 上海大学2001年攻读硕士学位研究生入学考试试题 招生专业：广播电视艺术学，电影学考试科目：中外电影史 一、名词解释（任选14题，每题2分，共28分） 1、《孤儿救祖记》 2、长城公司 3、联华公司 4、《歌女红牡丹》 5、《神女》 6、《小城之春》 7、昆仑影业公司 8、《党同伐异》 9、普多夫金 10、希区柯克 11、黑泽明 12、《卡里加利博士》 13、法国印像主义 14、《公民凯恩》 15、《爵士歌王》 二、简答题（任选4题，每题8分，共32分） 1、什么是张石川和郑正秋的创作特点？ 2、什么是“新兴电影运动”的思想和艺术贡献？ 3、什么是美国西部片？ 4、什么是法国“新浪潮”？ 5、什么是苏联蒙太奇学派的主要代表人物、作品、及其特点？ 三、论述题（任选2题，每题20分） 1、试论80年代以来中国女性导演的代表人物、作品，以及思想和艺术特点。 2、试论意大利新现实主义电影运动中的代表人手、作品，以及思想和艺术特点。 3、谢晋在80年代的主要作品及其特点。 2002年上大电影考研试题 电影试题 2007-07-31 18:22 阅读318 评论1 字号：大大中中小小 第一章典型例题 例3…，精确到10－3的近似值是多少？ 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是?＝, 故至少要保留小数点后三位才 可以。ln2? 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 解 顺序消元 于是有同解方程组 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 解 建立迭代格式 ??? ????+--=+--=++-=+++5223122)(2)(1)1(3) (3)(1)1(2 )(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3 X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭 代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1 ＝D ?? ?? ? ?????=022001000L ~ ?? ?? ? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 B 0＝?? ?? ? ?????--=??????????-??????????-=+--022101220022101220100010001)U ~L ~(D 1 得到矩阵B 0的特征根03,2,1=λ，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛。 高斯－赛德尔迭代矩阵为 G ＝－U ~ )L ~D (1-+ ＝－?? ?? ??????----=??????????-??????????---=??????????-??????????-2003202200001002201200110010001002201220110011 解得特征根为?1=0，?2,3=2。由迭代基本定理4知，高斯－赛德尔迭代发散。 例5 填空选择题： 1. 用高斯列主元消去法解线性方程组 作第1次消元后的第2，3个方程分别为 。 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ． ()00l x ＝0， ()110l x = B ． ()00l x ＝0， ()111l x = C ．() 00l x ＝1，()111 l x = D ． () 00l x ＝1，()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． 232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得 分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数()()() 33301213,88C C C ===，那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足 ，所以()0f x =在区间 内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得 分 评卷人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据： 求分 段线性插值函数，并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--% 、单项选择题（本大题共20小题，每小题 1 分，共20分） 在每小题列出的备选项中只有一个是符合题目要求的，多选或未选均无分。请将其代码填写在题后的括号内。错选、 1. 在软件生命周期的各个阶段中，工作量最大的阶段是 A ．需求分析B．总体设计 C．综合测试 D ．软件维护 2. 瀑布模型的特点不包括 A．前一阶段的任务没有完成，不能进入下一阶段工作 B．进入某个阶段工作后，不再回复到之前的阶段工作C．只有完成并评审了规定的文档，才标志着一个阶段的工作结束D．在软件产生之前，需求无法得到充分的测试 3. 螺旋模型强调的开发手段是 A．分阶段开发 C．风险驱动开发 4. 需求分析阶段的工作不包括 A．获得当前系统的物理模型 C．建立目标系统的逻辑模型 5. 总体设计阶段的工作不包括 A．确定程序的模块组成 C．确定实现各个模块功能的处理逻辑 6. 描绘系统物理模型的传统工具是 A ．系统流程图 C．实体-联系图 7. 符合信息隐藏原理的是 A ．将信息隐藏起来不被发现 C．将可能要修改的设计决策隐藏起来B．废弃式原型开发 D．增量式开发 B．抽象出当前系统的逻辑模 型 建立目标系统的物理模型 D． B．确定模块间的相互关 系 D．制定测试计划 B．数据流图 D．状态转换图 B．将信息隐藏起来确保安全 D．将不要修改的设计决策隐藏起 来 8. 模块的独立性原则是指软件设计时要尽量使模块具有 A ．低内聚、低耦合B．低内聚、高耦合C．高内聚、低耦合D．高内聚、高耦合 [ 9. 有利于提高模块独立性的做法是 A．尽量使模块具有逻辑型内聚 B．尽量使模块间具有内容型耦合 C．使判定作用范围内的模块尽量成为该判定所在模块的直属下级模块 D．尽量提高模块的扇入数和扇出数 [ 10. 有关结构化设计（SD ）方法的正确叙述是 ] A．只使用顺序、选择和循环 3 种控制结构 B．由数据结构映射出软件的结构 C．是一种面向对象的设计方法 D．是一种面向数据流的设计方法 [ 11. 有关总体设计阶段所使用的结构图的不正确叙述是 ] A．能够描述软件系统的模块组成 B．结构图中的模块是按照自上而下、自左向右的顺序执行的 C．能够描述模块间的调用关系以及模块间调用时所传递的信息 D．将模块间调用时所传递的信息分成两种：数据信息和控制信息 [ 12. 要求使用顺序、选择和循环控制结构的组合或嵌套来表达程序的过程设计工具是 A ．程序流程图B ． 盒图 C ．判定表D．PDL 13 . 关于好的编码风格的正确叙述是 A ．把多个语句写在同一行以节省空间B．要求用户指定输入数据的数目 C ．检查输入项重要组合的合法性D．表达式中不使用多余的括号，以简化表达式 14 . 能发现软件需求规格说明书中的错误的测试步骤是 A ．模块测试B．子系统测试 C ．系统测试D．验收测试 15 . 自顶向下集成测试和自底向上集成测试都具有的优点是 A ．较早发现主要设计错误B．可采用深度优先策略和宽度优先策略 C ．支持故障隔离D．可复用模块得到充分测试 19 . 不符合面向对象设计准则的是 A ．用对象的封装性来实现信息隐藏B．尽可能松散对象之间的交互耦合 C ．尽可能减小继承耦合度D．尽可能设计小而简单的类 20. 上海大学校内电话号码由 5 位数字组成，但第 1 位数字只能是 5 或6。该电话号码的 数值分析典型例题 例1 对下列各数写出具有5位有效数字的近似值。236.478, 0.00234711, 9.000024, 9.0000343 10?. 解：按照定义，以上各数具有5位有效数字的近似值分别为：236.478， 0.0023471， 9.0000， 9.0000310?。 注意: *x =9.000024的5位有效数字是9.0000而不是9，因为9 是1位有效数字。 例2 指出下列各数具有几位有效数字。2.0004， -0.00200， -9000， 9310?， 23 10-?。 解：按照定义，以上各数的有效数字位数分别为5， 3， 4，1，1 例3 已测得某物体行程* s 的近似值s=800m ，所需时间* s 的近似值为t=35s ，若已知m s s s t t 5.0||,05.0||**≤-≤-，试求平均速度v 的绝对误差和相对误差限。 解：因为t s v /=，所以)()(1)()()(2t e t s s e t t e t v s e s v v e -=??+??≈ 从 而 05.00469.035 800 5.0351|)(||||)(|1|)(|22≤≈+?≤+≤t e t s s e t v e 同样v v e v e r )()(≈)()()()(t e s e t e v t t v s e v s s v r r r -=??+??= 所以00205.035 05 .08005.0|)(||)(||)(|≈+≤+≤t e s e v e r r r 因此绝对误差限和相对误差限分别为0.05和0.00205。 例4试建立积分20,,1,05 =+=n dx x x I n n 的递推关系，并研究它的误差 传递。 解：151 --= n n I n I ……………………………………………..…...(1) 5ln 6ln 0-=I ，计算出0I 后可通过（1）依次递推计算出1I ,…,20I 。 但是计算0I 时有误差0e ，由此计算出的1I ,…,20I 也有误差，由（1）可 知近似值之间的递推关系为 151 --= n n I n I ……………………………………………….…..(2) （1）-（2）可得 01)5(5e e e n n n -=-=-，由0I 计算n I 时误差被放大了n 5倍。所以（1）不稳 定。 （1） 可以改写为 n I I n n 51 511+ -=- ……………………………………… （3） 如果能先求出20I ，则依次可以求出19I ,…,0I ，计算20I 时有误差，这样根据（3）计算19I ,…,0I 就有误差，误差传播为 n n n e e ?? ? ??-=-511 ，误差依次减少。 例5 用二分法求解方程012)(23=+--=x x x x f 在区间[0,1]内的1个实根，要求有3为有效数字。 解：因为0)1()0( 5. 设()f x 是以2π为周期的函数，在区间[),ππ-上表达式为,0(),0x x f x x x πππ +-≤≤?=?<数值分析典型习题
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