<11,cos BE DF 与>第8讲立体几何中的向量方法求空间角 (1)
第8讲立体几何中的向量方法(二)——求空间角 一、选择题 1.(2016·长沙模拟)在正方体A1B1C1D1－ABCD中，AC与B1D所成的角的大小为() A.π 6 B. π 4 C. π 3 D. π 2 解析建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为1，则A(0，0，0)，C(1，1，0)，B1(1，0，1)，D(0，1，0). ∴AC→＝(1，1，0)，B1D →＝(－1，1，－1)， ∵AC→·B1D →＝1×(－1)＋1×1＋0×(－1)＝0， ∴AC→⊥B1D →， ∴AC与B1D所成的角为π2. 答案 D 2.(2017·郑州调研)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为() A. 3 2 B. 3 3 C. 3 5 D. 2 5 解析设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如 图所示.则B(1，1，0)，B1(1，1，1)，A(1，0，0)，C(0，1， 0)，D1(0，0，1)， 所以BB1→＝(0，0，1)，AC→＝(－1，1，0)，AD1 →＝(－1，0，1). 令平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AC→＝－x＋y＝0，n·AD1 →＝－x＋z ＝0，令x＝1，可得n＝(1，1，1)，
所以sin θ＝|cos 〈n ，BB 1→ 〉|＝13×1＝3 3 . 答案 B 3.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( ) A.12 B.23 C.33 D.22 解析 以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A －xyz ，设棱长为1， 则A 1(0，0，1)， E ? ????1，0，12，D (0，1，0)， ∴A 1D →＝(0，1，－1)， A 1E →＝? ????1，0，－12， 设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )，所以有???A 1D →·n 1＝0，A 1E →·n 1＝0，即???y －z ＝0，1－12z ＝0，解得????? y ＝2，z ＝2. ∴n 1＝(1，2，2). ∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)， ∴ cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23. 即所成的锐二面角的余弦值为2 3. 答案 B 4.(2017·西安调研)已知六面体ABC －A 1B 1C 1是各棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点，则直线CC 1与平面AB 1D 所成
《用向量法求直线与平面所成的角》教案
第二讲：立体几何中的向量方法——利用空间向量求直线与平面所成的 角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合 推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般 规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。 空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对线面角的求法进行总结。 教学目标 1. 使学生学会求平面的法向量及直线与平面所成的角的向量方法； 2. 使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3. 使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求平面的法向量； 求解直线与平面所成的角的向量法. 教学难点 求解直线与平面所成的角的向量法. 教学过程 I、复习回顾 一、回顾有关知识： 1
1、直线与平面所成的角：（范围：二? [0,—]） 2 思考：设平面:的法向量为n，则::n,BA .与二的关系? JT ■■二日=----- < n, BA > 2 （图 ） 2
利用向量方法求空间角
利用向量方法求空间角 导学目标：1?掌握各种空间角的定义，弄清它们各自的取值范围2掌握异面直线所成 的角，二面角的平面角，直线与平面所成的角的联系和区别.3?体会求空间角中的转化思想、 数形结合思想，熟练掌握平移方法、射影方法等.4.灵活地运用各种方法求空间角. 课前准备里」回扣戟材夯宴基础______________________________________________ 【自主梳理】 1.两条异面直线的夹角 （1）定义：设a, b是两条异面直线，在直线 a上任取一点作直线 a'// b，则a'与a的夹角叫做a与b的夹角. （2） 范围：两异面直线夹角0的取值范围是 __________________________________________ . （3）___________________________________________________________________________ 向量求法：设直线 a, b的方向向量为a, b,其夹角为購则有cos 0= ___________________________ = 2.直线与平面的夹角 （1）定义：直线和平面的夹角，是指直线与它在这个平面内的射影的夹角. ⑵范围：直线和平面夹角0 的取值范围是 （3）向量求法：设直线I的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为0, a与u的夹角为為则有sin 0= ____________ 或cos 0= sin ? 3.二面角 （1） _____________________________ 二面角的取值范围是. （2）二面角的向量求法： ①若AB、CD分别是二面角a I—B的两个面内与棱I垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角（如图①）. 胖I ① ② ③ ②设ni，n2分别是二面角 a— I —B的两个面 a B的法向量，则向量 m与匝的夹角（或其补角）的大小就是二面角的平面角的大小（如图②③）. 自我检测】 1.已知两平面的法向量分别为 m= （0,1,0），n = （0,1,1），则两平面所成的二面角为（ ） A. 45 ° B. 135 ° C. 45。或135 ° D. 90 ° 2?若直线l1，I2的方向向量分别为a= （2,4，- 4），b= （-6,9,6），则（） A . I1 / I2 B. I1 丄丨2 C. l1与12相交但不垂直 D.以上均不正确 3.若直线I的方向向量与平面a的法向量的夹角等于 120。，则直线I与平面a所成的 角等于（） A . 120 ° B. 60 ° C. 30° D.以上均错 4.（2011湛江月考）二面角的棱上有 A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平
用向量法求空间角与距离
用向量法求空间角与距离 1.1. 向量的数量积和坐标运算 b a ,是两个非零向量，它们的夹角为 ，则数 cos |||| b 叫做与的数量积（或内积），记作b a ，即.cos |||| 其几何意义是a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积. 其坐标运算是： 若),,(),,,(222111z y x b z y x a ，则 ①212121z z y y x x b a ； ②2 22222212121||,||z y x b z y x a ； ③212121z z y y x x b a ④2 2 2 22 22 12 12 12 12121,cos z y x z y x z z y y x x b a 1.2. 异面直线n m ,所成的角 分别在直线n m ,上取定向量,,b a 则异面直线n m ,所成的角 等于向量b a ,所成的角或其补角（如图1所示），则 .||||| |cos b a b a （例如2004年高考数学广东卷第18题第（2）问） 1.3. 异面直线n m 、的距离 分别在直线n m 、上取定向量,,b a 求与向量b a 、都垂直的 向量，分别在n m 、上各取一个定点B A 、，则异面直线n m 、的距离d 等于在 上的射影长，即| |n d . 图1
证明：设CD 为公垂线段，取b a ,（如图1所示），则 | |||)( | |||n d 设直线n m ,所成的角为 ，显然.||||| |cos b a b a 1.4. 直线L 与平面 所成的角 在L 上取定，求平面 的法向量2所示）， 再求 | |||cos n AB 2 为所求的角. 1.5． 二面角 方法一：构造二面角 l 的两个半平面 、的法向量 21n n 、（都取向上的方向，如图3所示），则 ① 若二面角 l 是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角的补角，即| |||cos 2121n n （例如2004年高考数学广 东卷第18题第（1）问）. ② 若二面角 l 是“锐角型”的如图3乙所示， 那么其大 小等于两法向量21n n 、的夹角， 即| |||cos 2121n n （例如 2004年高考数学广东卷第18题第（1）问）. 方法二：在二面角的棱l 上确定两个点B A 、，过B A 、分别在平面 、内求出与l 垂直的向量21n n 、（如图4所示） ，则二面角 l 的大小等于向量21n n 、的夹角，即 图3乙 图3 图4 图2
向量法求空间角(有答案)
姓 名 年级 性 别 学 校 学 科 教师 上课日期 上课时间 课题 17向量法求空间角 角的分类 向量求法 范围 两异面直线l 1与l 2所成的角θ 设l 1与l 2的方向向量为a ，b ，则cos θ＝___________＝_______________ (0，π 2 ] 直线l 与平面 α所成的角θ 设l 的方向向量为a ，平面 α的法向量为n ，则sin θ＝___________＝________ [0，π 2] 二面角α－l －β的平面角θ 设平面α，β的法向量为n 1， n 2，则|cos θ|＝___________＝|n 1·n 2| |n 1|·|n 2| [0，π] 类型一 异面直线所成的角 例1、如图，在三棱锥V －ABC 中，顶点C 在空间直角坐标系的原点处，顶点A ，B ，V 分别在x 轴、y 轴、z 轴上，D 是线段AB 的中点，且AC ＝BC ＝2，∠VDC ＝θ. 当θ＝π 3时，求异面直线AC 与VD 所成角的余弦值 【自主解答】 由于AC ＝BC ＝2，D 是AB 的中点，所以C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，D (1,1,0) 当θ＝π 3 时，在Rt △VCD 中，CD ＝2，∴V (0,0，6)，∴AC →＝(－2,0,0)，VD → ＝(1,1，－6)， ∴cos 〈AC → ，VD → 〉＝ AC →·VD → |AC →||VD →| ＝－22×22＝－24. ∴异面直线AC 与VD 所成角的余弦值为24. 1．几何法求异面直线的夹角时，需要通过作平行线将异面直线的夹角转化为平面角，再解三角形来求解，过程相当复杂；用向量法求异面直线的夹角，可以避免复杂的几何作图和论证过程只需对相应向量运算即可． 2．由于两异面直线夹角θ的范围是(0，π 2]，而两向量夹角α的范围是[0，π]，故应有cos θ＝|cos α|，求解时要特别注意． 变式1、在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，求异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值． 【解】 以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则A 1(4,0,3)，B (4,4,0)，B 1(4,4,3)，C (0,4,0)，
利用空间向量求空间角-教案
利用空间向量求空间角-教案
利用空间向量求空间角 备课人：龙朝芬授课人：龙朝芬 授课时间：2016年11月28日一、高考考纲要求： 能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题．体会向量法在立体几何中的应用． 二、命题趋势： 在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算，属中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多. 三、教学目标 知识与技能：能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用； 过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力； 情感态度价值观：通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角坐标
系，方向向量，法向量的魅力. 四、教学重难点 重点：用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角； 难点：将立体几何问题转化为向量问题. 五、教学过程 （一）空间角公式 1、异面直线所成角公式：如图，设异面直线l ， m 的方向向量分别为a ,b ,异面直线l ，m 所成的角 为θ，则cos cos ,a b θ== a b a b ?. 2、线面角公式：设直线l 为平面α的斜线，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，θ为l 与α所成的角，则sin cos ,a n θ== a n a n ?. α m b θ a l
3、面面角公式：设1 n ，2 n 分别为平面α、β的法向 量，二面角为θ，则12 ,n n θ= 或12 ,n n θπ=- （需要根据 具体情况判断相等或互补），其中121212 cos ,n n n n n n ?= . （二）典例分析 如图，已知：在直角梯形OABC 中，//OA BC ，90AOC ∠=， SO ⊥ 面OABC ，且1,2OS OC BC OA ====.求： （1）异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值； （2）OS 与面SAB 所成角α的正弦值； （3）二面角B AS O --的余弦值. α θ O O A B C S n a
向量法求空间角(高二数学-立体几何)
A B C D P Q 向量法求空间角 1．（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形，DP AD ⊥，⊥CD 平面ADPQ ， DP AQ AB 2 1 ==． （1）求证：⊥PQ 平面DCQ ； （2）求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小． 2．（满分13分）如图所示，正四棱锥P －ABCD 中，O 为底面正方形的中心，侧棱PA 与底面ABCD 所成的角的正切值为 2 6 ． （1）求侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角的大小； （2）若E 是PB 的中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值； （3）问在棱AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，若存在，试确定点F 的位置；若不存在，说明理由． 3．（本小题只理科做，满分14分）如图,已知AB ⊥平面ACD ,DE//AB ,△ACD 是正三角形,AD=DE=2AB ,且F 是CD 的中点. （1）求证:AF//平面BCE ; （2）求证:平面BCE ⊥平面CDE ; （3）求平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角的大小. 4．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中,PD ⊥底面ABCD ,且底面ABCD 为正方形,G F E PD AD ,,,2==分别为CB PD PC ,,的中点． （1）求证://AP 平面EFG ; （2）求平面GEF 和平面DEF 的夹角. 5．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥ 侧面11A ABB 且12AA AB ==. （Ⅰ）求证：AB BC ⊥； （Ⅱ）若直线AC 与平面1A BC 所成的角为 6 π ,求锐二面角 B C O E P
向量法求空间角(高二数学-立体几何)-精选.
A B C D P Q 向量法求空间角 1．（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形， DP AD ⊥，⊥CD 平面ADPQ ，DP AQ AB 2 1==． （1）求证：⊥PQ 平面DCQ ； （2）求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小． 2．（满分13分）如图所示，正四棱锥P －中，O 为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为26 ． （1）求侧面与底面所成的二面角的大小； D B A
（2）若E是的中点，求异面直线与所成角的正切值； （3）问在棱上是否存在一点F，使⊥侧面，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由． 3．（本小题只理科做，满分14分）如图,已知AB⊥平面ACD,DE//AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点. （1）求证:AF//平面BCE; （2）求证:平面BCE⊥平面CDE; （3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面 角的大小.
4．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P-中,PD⊥底面ABCD,且底面ABCD为正方形,G , = =分别为 ,2 AD, F E PD ,的中点． PC, PD CB （1）求证:// AP平面EFG; （2）求平面GEF和平面DEF的夹角.
5．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥ 侧面11A ABB 且12AA AB ==. （Ⅰ）求证：AB BC ⊥； （Ⅱ）若直线与平面1A BC 所成的角为6 π,求锐二面角1A A C B --的大小.
用向量方法求空间角和距离(教师)
用向量方法求空间角和距离 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1 求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角． （１）求异面直线所成的角 设a r 、b r 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos |||||| a b a b r r g r r （２）求线面角 设l r 是斜线l 的方向向量，n r 是平面α的法向量， 则斜线l 与平面α所成的角α=arcsin |||||| l n l n r r g r r （３）求二面角 法一、在α内a r l ⊥，在β内b r l ⊥，其方向如图，则二面 角l αβ--的平面角α=arccos |||| a b a b r r g r r 法二、设12,,n n u r u u r 是二面角l αβ--的两个半平面的法向
量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l αβ--的平 面角α=12 12arccos |||| n n n n u r u u r g u r u u r 2 求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 法一、设n r 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ==u u u r r u u u r g r 法二、设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||AO uuu r ． （２）求异面直线的距离 法一、找平面β使b β?且a βP ，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． 法二、在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a r 、b r 分别为异面直线a 、b 的方向向量,求n r （n r a ⊥r ，n r b ⊥r ），则异面直线 a 、 b 的距离 || |||cos ||| AB n d AB n θ== u u u r r u u u r g r （此方法移植于点面距离的求法）． 例１．如图，在棱长为２的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱1111,A D A B 的中点．
利用空间向量求空间角教案设计
利用空间向量求空间角 备课人：龙朝芬 授课人：龙朝芬 授课时间：2016年11月28日 一、高考考纲要求： 能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题．体会向量法在立体几何中的应用． 二、命题趋势： 在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算，属中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多. 三、教学目标 知识与技能：能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用； 过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力； 情感态度价值观：通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角坐标系，方向向量，法向量的魅力. 四、教学重难点 重点：用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角； 难点：将立体几何问题转化为向量问题. 五、教学过程 （一）空间角公式 1、异面直线所成角公式：如图，设异面直线l ，m 的方向向量分别为a r ,b r ,异面直线l ，m
2、线面角公式：设直线l 为平面α的斜线，a r 为l 的方向向量，n r 为平面α的法向量，θ为 l 与α所成的角，则sin cos ,a n θ==r r a n a n ?r r r r . 3、面面角公式：设1n r ，2n r 分别为平面α、β的法向量，二面角为θ，则12,n n θ=r r 或 12,n n θπ=-r r （需要根据具体情况判断相等或互补） ，其中121212 cos ,n n n n n n ?=r r r r r r . （二）典例分析 如图，已知：在直角梯形OABC 中，//OA BC ，90AOC ∠=o ，SO ⊥面OABC ，且 1,2OS OC BC OA ====.求： （1）异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值； （2）OS 与面SAB 所成角α的正弦值； （3）二面角B AS O --的余弦值. α θ O O A B C S n r a
向量法求空间角、距离和二面角
向量法求空间角、距离和二面角 1.1.向量的数量积和坐标运算 a,b是两个非零向量，它们的夹角为，则数|a| |b|cos叫做a与b的数量积（或内积），记作a b，即a b | a | | b | cos .其几何意义是a的长度与b在a的方向上的投影的乘积.其坐标运算是： —￥■—* 若a （x1,y1,^）,b （X2,y2,Z2），贝U ① a b X1X2 y〃2 Z1Z2; ②|a| X12y12z/,|b| X22目; Z22; ③ a b X1X2 y1 y2 z1z2 X1X2 y“2 Z1Z2 ④C0S a ， b 丨 2 2 2 厂 2 2 2 X1 y1 Z, . X2 y2 Z2 1.2.异面直线m,n所成的角 分别在直线m,n上取定向量a,b,则异面直线m,n所 成的角等于向量a,b所成的角或其补角（如图1所 示），则cos |a b 1 .（例如2004年高考数学广东 D图1 b B |a| |b| 卷第18题第（2）问） 1.3.异面直线m、n的距离 分别在直线m、n上取定向量a,b,求与向量a、b都垂直的 向量n，分别在m、n上各取一个定点A、B，则异面直线m、n的距离d等于AB在
| AB n | n上的射影长，即d |n| 证明：设CD为公垂线段，取CA a, DB b （如图1所示），则
CD CA AB BD CD n (CA AB BD) |CD n| |AB n| d |CD| 皿 1 |n| 设直线m, n所成的角为，显然cos la b| |a| |b| 14直线L与平面所成的角 在L上取定AB ,求平面的法向量n （如图2所 示）, 再求cos ，则 |AB| | n| 2为所求的角. 1.5 . 二面角 方法一：构造二面 角 量n1、门2 （都取向上的方向，如图3所示）， 则 的两个半平面、的法向 ① 若二面角l 是“钝角型”的如图3甲所示, 那么其大小等于两法向量n1、n2的夹角的补角，即cos ri t n2 g | “2 | .(例如2004年高考数学广东卷第18题第（1）问）. ②若二面角l 是“锐角型”的如图3乙所示, 那么其大小等于两法向量n1、门2的夹角，即 n t n2 cos .（例如2004年高考数学广东卷第 |n 1 | |n2 | 图3 乙 18题第（1）问）. 方法二：在二面角的棱I上确定两个点A、 求出与I垂直的向量n1、门2 （如图4所示），则
向量法求空间中的角和距离
向量法求空间中的角和距离 广东省惠州市惠阳区崇雅中学高中部 彭海廷 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1、 空间角问题 (1)求两异面直线的夹角 设异面直线a 、b 的夹角为θ() 090θ<≤，a 、b 分别为a 、b 的一个方向向量，则 cos cos ,a b a b a b θ?== ，可求得θ的大小。 例1 已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且PA=AD=DC= 2 1 AB=1，M 是PB 的中点。 （Ⅰ）证明：面 PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角； 解：因为PA ⊥PD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ， 以A 为坐标原点AD 长为单位长度， 如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 A （0，0，0）B （0，2，0），C （1，1，0）， D （1，0，0），P （0，0，1），M （0，1，)2 1. （Ⅰ）证明：因(0,0,1),(0,1,0),0,.AP DC AP DC AP DC ==?=⊥故所以 由题设知AD ⊥DC ，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD. 又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD. （Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-== . 510 | |||,cos ,2,5||,2||=?>=<=?==PB AC PB AC PB AC 所以故 (2)求二面角 设m 、n 分别是平面α与β的法向量，则二面角所成的平面角θ＝π－φ或θ＝φ，其中当m 与n 同向时取θ＝π－φ；异向时取θ＝φ，φ是m 与n 的夹角，用 cos ,m n m n m n ?= 求出。 例2 如右下图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知14,3,2AB AD AA ===，,E F 分别是线段,AB BC 上的点，且1EB FB ==
《用向量法求二面角的平面角》教案
第三讲：立体几何中的向量方法 利用空间向量求二面角的平面角 大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形” 的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这 种方法没有一般规律可循， 对人的智力形成极大的挑战， 技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。 它能利用代数 方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法， 避 免了传统立体几何中的技巧性问题， 因此降低了学生学习的难度， 减轻了学生学习的负担， 体现了新课 程理念。 为适应高中数学教材改革的需要， 需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。 本文举例说明如何 用向量法解决立体几何的空间角问题。 以此强化向量的应用价值， 激发学生学习向量的兴趣， 从而达到 提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。 空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。 教学目标 1使学生会求平面的法向量； 2. 使学生学会求二面角的平面角的向量方法; 3. 使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题; 4. 使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高 教学重点 求平面的法向量； 求解二面角的平面角的向量法 教学难点 求解二面角的平面角的向量法 教学过程 I 、复习回顾 一、回顾相关公式: 1、二面角的平面角：（范围： [0,]） n i ,屯 —.― cos cos n i , n 2 —=■ cos cos n^n ? n 2 n?n 2 1 n 结论: 或
向量法求解空间角问题
（B ）13-
（14）已知双曲线C ：22 221x y a b -=()0,0a b >>的左顶点为A ，右焦点为F ，点()0,B b ，且0BA BF =，则双 曲线C 的离心率为 ． （15）( ) 4 2 2x x --的展开式中，3 x 的系数为 ． （用数字填写答案） （16）已知函数()211, 1, 42, 1x x f x x x x ?-+
（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为θ ρsin 2 =，[) 0,2 θ∈π. （Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程； （Ⅱ）在曲线C上求一点D，使它到直线l： 33, 32 x t y t ?=+ ? ? =-+ ?? （t为参数，t∈R）的距离最短，并求出点D的直角坐标. （19）（本小题满分12分） 如图，四棱柱 1111 ABCD A B C D -的底面ABCD是菱形，AC BD O =， 1 A O⊥底面ABCD，2 1 = =AA AB． （Ⅰ）证明：平面 1 ACO⊥平面 11 BB D D； （Ⅱ）若60 BAD ∠=，求二面角 1 B OB C --的余弦值． A B C D O
