高等数学各章总结
第一章 函数
一、知识结构：
二、例题：
判断题
1. 设arcsin y u =,u 可以复合成一个函数2arcsin 2+=x y ；
2. 函数1
lg lg y x =的定义域是1x >且10x ≠；
3. 函数2
x y e -=在(0,)+∞内无界；
4. 函数21
1y x =+在(0,)+∞内无界；
5. 2
1()cos x f x x
-=是奇函数；
6. ()f x x =与2()g x =是相同函数 ；
7. 函数x y e =是奇函数；
8. y x =与y =是同一函数； 9. 函数31y x x =++是奇函数；
10. 函数1
arcsin 2x y -=的定义域是(1,3)- ；
11. y x =与 2
x y x
=不是同一个函数；
12. 函数cos y x x =是偶函数 .
填空题
1. 设23,,tan ,u y u v v x ===则复合函数为()y f x == _________；
2. 设x
x f 1
)(=,x x g -=1)(,则)]([x g f = _______ ；
3. 复合函数2
(sin )x y e =是由 ________, ________, _______函数复合而成的；
4. 已知11
()1f x x =-,则 (2)f = __________ ；
5.
y =
其定义域为 __________ ； 6. 设函数2
()1
x f x x -=-,则(1)f -= __________；
7. 考虑奇偶性,函数ln(y x =为 ___________ 函数 ；
8. 函数2x y e =的反函数是 ,它的图象与2x y e =的图象关于________ 对称 .
选择题
1. 函数3
2
--=
x x y 的定义域是 ( ) (A) (2,)+∞ (B)[2,]+∞ (C)(,3)(3,)-∞+∞ (D)[2,3)(3,)+∞
2. 函数 22)1(-=x x y 在区间 (0,1) 内 ( )
(A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 不增不减 (D)有增有减 3. 下列函数中，是奇函数的是 ( )
(A)42y x x =- (B) 2y x x =- (C)22x x y -=- (D)22x x y -=+
4. 已知函数 20()1
0ax b
x f x x x +
(A) a b + (B) b a - (C) 1 (D) 2
第二章 极限与连续
一、知识结构：
二、例题：
判断题
1. 函数在点0x 处有极限，则函数在0x 点必连续；
2. 0x →时,x 与sin x 是等价无穷小量；
3. 若00(0)(0)f x f x -=+，则)(x f 必在0x 点连续；
4. 当0x →时，2sin x x +与x 相比是高阶无穷小；
5. 函数221y x =+在(,)-∞+∞内是单调的函数；
6. 设)(x f 在点0x 处连续，则00(0)(0)f x f x -=+ ；
7. 函数 2
1sin ,0
()0,
0x x f x x
x ?≠?=??=? 在0x =点连续； 8. 1=x 是函数1
2
2--=
x x y 的间断点； 9. ()sin f x x =是一个无穷小量；
10. 当0→x 时，x 与)1ln(2x +是等价的无穷小量； 11. 若 )(lim 0
x f x x → 存在，则)(x f 在0x 处有定义；
12. 若x 与y 是同一过程下两个无穷大量，则x y -在该过程下是无穷小量；
13. 22--=x y 是一个复合函数；
14. 2
1
sin lim
0=+→x x x x ； 15. 11
,0,,0,,0,48
1数列收敛2；
16. 函数 1
sin y x x
= 在 0x = 点连续；
17. 0x =是函数ln(2)
x y x
-=的间断点；
18. 以零为极限的变量是无穷小量；
填空题
1. sin lim
x x
x
→∞= _______ ；
2. x
x x
x sin lim +∞→ = _______ ； 3. 函数 92
2-+=x x y 在 _______ 处间断；
4. 1
253lim 22
-+∞→n n n n = _______； 5. 当 0x → 时，1cos x - 是比 x ______ 阶的无穷小量；
6. 当 0x → 时， 若 sin 2x 与 ax 是等价无穷小量，则 a = ______；
7.
0lim x +→= __________ ； 8. 设 sin 2,0(),
0x
x f x x a x ?≠?
=??=? 连续，则 a = _________ ；
9.
0h →=___________ ；
10. 2
lim(1)x x x
→∞-=________；
11. 0ln(13)
lim
sin 3x x x →+=
_________ ； 12. 设 21,0()0,
0x e x f x x -??
≠=??=? 在 0x = 处________（是、否）连续；
13. 当0x →
2
3是______（同阶、等价）无穷小量.
选择题
1. 当0x →时，x
y 1
sin = 为 ( )
(A) 无穷小量 (B) 无穷大量 (C)有界变量但不是无穷小量 (D)无界变量 2.
1x +→ 时，下列变量中为无穷大量的是 ( )
(A) 1
1
3-x (B) 112--x x (C) x 1 (D) 1
12--x x
3.
已知函数2,()1,f x x ?-?
=-?11001x x x ≤--<<≤<，则1
lim ()x f x →- 和 0lim ()x f x →( )
(A) 都存在 (B) 都不存在
(C) 第一个存在，第二个不存在 (D) 第一个不存在，第二个存在
4. 函数 ()12x f x ??
=??? 11x x ≠= 的连续区间是 ( ) (A)(,1)-∞ (B)(1,)+∞ (C)(,1)(1,)-∞+∞ (D) (,)-∞+∞
5.
设 232,0
()2,0
x x f x x x +≤?=?->? ，则 0
lim ()x f x +
→= ( ) (A) 2 (B) 0 (C) 1- (D) 2-
7.
函数 1,0
()1,0
x f x x ≥?=?-
(A) 左连续 (B) 右连续 (C) 连续 (D) 左、右皆不连续
8.
02lim 5arcsin x x x
→= ( ) (A) 0 (B) 不存在 (C) 2
5
(D) 1
9.
()f x 在点 0x x = 处有定义，是 ()f x 在 0x x =处连续的 ( )
(A) 必要条件 (B) 充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 无关条件 10. 下列极限存在的有 ( )
(A)2(1)lim x x x x →∞+ (B) 01lim 21x x →- (C) 1
0lim x
x e →
(D) x 计算与应用题
1. 设 )(x f 在点 2x =处连续，且232
,2,()2,2x x x f x x a x ?-+≠?
=-??=?
，求 a .
2. 求极限 :
(1)20cos 1lim 2x x x →- . (2)121lim()21x x x x +→∞+- . (3)3721lim 5x x x x →∞-+-. (4)x
x x 1
0)41(lim -→ .
(5)30(1cos )tan lim x x x x →- . (6)2111lim()222n n →∞+++ . (7)22lim(1)n
n n
→∞- . (8)lim()1x x x x →∞+
. (9)lim x →- (10)
3131lim()11x x x
→--- 3. 求极限 :
(1)32202lim x x x x →- . (2) 2202lim x x x x →-. (3)34
205lim x x x x x
→-+. (4) 3352011lim 20125x x x x →∞-+- . (5) 35112113114lim 2012115x x x x →∞-+- . (6) 53112113114
lim 2012115
x x x x →∞-+- . (7)01lim sin x x x → . (8) 1lim sin x x x →∞ . (9) 01lim sin x x x →. (10) 11
lim sin x x x
→∞
第三章 导数与微分
一、知识结构：
二、例题：
判断题
1. 若函数)(x f 在0x 点可导，则00()[()]f x f x ''=；
2. 若)(x f 在0x 处可导，则 )(lim 0
x f x x → 一定存在；
3. 函数 x x f =)( 在其定义域内可导；
4. 若 )(x f 在 [,]a b 上连续，则 )(x f 在 (,)a b 内一定可导；
5. ()(),()f x f x y e y e f x ''''==已知则；
6. 函数 22,1()ln ,014
x x f x x x ?≥?
=?<
7. 若 (),n f x x = 则 ()(0)!n f n = ； 8. 2d()2ax b ax += ；
9. 若 ()f x 在 0x 点不可导，则 ()f x 在 0x 不连续； 10. 函数 ()f x x x = 在点 0x = 处不可导 .
填空题
1. ()f x = ，则 (0)f '= _________ ；
2. 曲线 3y x = 在点 (1,1) 处的切线方程是 ________ ；
3. 设 ln e x e y x e x e =+++，则 y '= ______ ；
4. sin(1)x y e =+ ，dy =_______ ；
5. 设 222e x y x += ，则 y ' = ________ ；
6. 设 e x y n += ，则 ()n y = ________ ；
7. 曲线 x e x y += 在点 (0,1) 的处的切线方程是_______；
8. 若 )(x u 与 )(x v 在 x 处可导，则 ])
()
(['x v x u = _________ ； 9. ()x x ' = _______；
10. 设 )(x f 在 0x 处可导，且 A x f =')(0，则 h
h x f h x f h )
3()2(lim 000--+→用A 的代数
式表示为_______ ；
11. 导数的几何意义为 ________________________ ；
12. 曲线
y = 在 (1,1) 处的切线方程是 ___________ ；
13. 曲线 31y x =+ 在 (1,0)- 处的切线方程是 ___________ ； 14. 函数 32sin(1)y x x =+ 的微分 dy =__________ ； 15. 曲线 2y x = 在点 (0,0)处切线方程是_________ ； 16. dy y -? 的近似值是 _________ ；
17. n y x =(n 是正整数)的 n 阶导数是 ________ .
选择题
1. 设)(x f 在点0x 处可导，则下列命题中正确的是 ( )
(A) 000()()lim x x f x f x x x →-- 存在 (B) 000
()()
lim x x f x f x x x →--不存在
(C) 00()()lim x x f x f x x →+-存在 (D) 00()()
lim x f x f x x
?→-?不存在
2. 设)(x f 在点0x 处可导且000
1
lim (2)()4x x f x x f x →=--，则0()f x '等于 ( )
(A) 4 (B) –4 (C) 2 (D) –2
3. 设 21,10
()1
,02x x f x x ?+-<≤=?<≤? ，则)(x f 在点x = 0 处 ( )
(A) 可导 (B) 连续但不可导 (C) 不连续 (D) 无定义 4. 设 ()y f x = 可导，则 (2)()f x h f x -- = ( )
(A) ()()f x h o h '+ (B) 2()()f x h o h '-+ (C) ()()f x h o h '-+ (D) 2()()f x h o h '+
5. 设 (0)0f = ，且 0()lim x f x x → 存在，则 0()
lim
x f x x
→＝ ( ) (A) ()f x ' (B) (0)f ' (C) (0)f (D) 1
(0)2
f '
6. 函数 )(x f e y =，则 ="y ( )
(A) )(x f e (B) )(")(x f e x f
(C) 2)()]('[x f e x f (D) )}(")]('{[2)(x f x f e x f +
7. 函数 x x x f )1()(-=的导数为 ( )
(A)x x x )1(- (B)1)1(--x x (C)x x x ln (D))]1ln(1
[
)1(-+--x x x
x x 8. 函数)(x f 在 0x x =处连续，是 )(x f 在 0x 处可导的 ( )
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 9. 已知 ln y x x = ，则 (10)y = ( )
(A) 91x - (B) 91x (C) 98!x (D) 98!
x
-
10. 函数 x
x
x f =)( 在 0=x 处 ( )
(A) 连续但不可导 (B) 连续且可导 (C) 极限存在但不连续 (D) 不连续也不可导
11. 函数 1,0
()1,0x f x x ≥?=?-
，在 0x = 处 ( )
(A) 左连续 (B) 右连续 (C) 连续 (D) 左、右皆不连续 12. 设 x x y e e -=+ ，则 y ''=( )
(A) x x e e -+ (B) x x e e -- (C) x x e e --- (D) x x e e --+
13. 函数 0,0
()1
,0x f x x x
≤??=?>?? ，在点 0x = 不连续是因为 ( ) (A) (00)(0)f f +≠ (B) (00)(0)f f -≠ (C) (00)f +不存在 (D) (00)f -不存在
14. 设 1
(2)1
f x x +=+ ，则 ()f x '= ( )
(A) 21(1)x -- (B) 2
1
(1)x -+ (C) 11x + (D) 11x -- 15. 已知函数 2ln y x = ，则 dy =（ ）
(A) 2dx x (B) 2x (C) 21x (D) 21
dx x
16. 设 21cos ,0()0,
01
tan ,0x x x f x x x x x
?
==???>? ，则 ()f x 在 0x =处（ ） (A) 极限不存在 (B) 极限存在，但不连续 (C) 连续但不可导 (D) 可导 17. 已知 sin y x = ，则 (10)y = ( )
(A) sin x (B) cos x (C) sin x - (D) cos x -
计算与应用题
1. 设 f (x ) =
x
a
a a x arccos
22-- (0a >), 求 (2)f a '- 2. 设 ln()y xy = 确定 y 是 x 的函数，求 dx
dy
3. 设 x
x y 1
cos 1ln
+= ，求 dy 4. 设 21
(1)arctan cos 2
y x x x =++，求 y '
5. 设 x y e y ln = 确定 y 是 x 的函数，求
dx
dy 6. 设 )ln(ln x y =，求 dy
7. 221
arcsin x y e x x
=+-y , 求 y ' 及 dy
8. ln tan ln sin 2
x
y =+，求y ' 及 dy
9. sin()y x y =+ ，求 y '，dy 并求其在点(,0)π处的切线与法线方程.
10. 221
cos 5ln x
x y -+= ，求 y ' 及 dy
11. y e =，求 y ' 及 dy
12. xy e y x -= ，求 y '，dy 并求其在点(0,1)处的切线与法线方程. 13. 已知 2cos 3y x =，求 y ' 14. 设 22sin 0y x y --=， 求 y ' 15. 求 13cos x y e x -= 的微分
16. 设 ln(y x x =，求 y ' 17. 设 cos2x y e = ，求 dy
18. 方程 0y x e e xy -+= 确定 y 是 x 的函数，求 y '
19. 设 2
2arctan()1x
y x
=- ，求 y ' 20. 方程 2cos 0y y x e += 确定 y 是 x 的函数，求 y ' 21. 3cos cos x y x x e =+ ，求 dy 22. ln y x x = ，求 y ''
23. 已知 ln(y x = ，求 y ' 24. 设 x x e e y x e x e =+++ ，求 y '
25. 已知 ()sin3f x x = ，求 ()2
f π
''
26. 求 2x
e y x = 的微分
第四章 函数
一、知识结构：
二、例题：
判断题
1. 曲线3y x x =-在(,0)-∞是下凹的，在(0,)+∞是上凹的；
2. 1x =是31
()3
f x x x =-在 [2,2]-+上的极小值点；
3. 曲线y =0x =点没有切线；
4. 函数可导，极值点必为驻点；
5. 函数的极值只可能发生在驻点和不可导点；
6. 12x =是曲线234
1
61x x y -=的拐点；
7若0)(0='x f ，0)(0<''x f ，则)(0x f 是)(x f 的极大值；
8.函数)12ln()(+=x x f 在[0,2]上满足拉格朗日定理； 9.若0x x =是函数)(x f 的极值点，则0)('0=x f ； 10. 函数)(x f 在[,]a b 上的极大值一定大于极小值； 11. 当x 很小时，ln(1)x x +≈；
12. 30sin 1
lim 3
x x x x →-= ； 13. 曲线 3y x = 的拐点是 (0,0)；
14. 函数 ()y f x = 在 0x x = 点处取得极大值，则 0()0f x '= 或不存在； 15. 0()0f x '=是可导函数()y f x =在0x x =点处取得极值的充要条件； 16. 曲线 1ln y x =+ 没有拐点；
17. 设()()()f x x a x ?=-，其中函数()x ?在x a =处可导，则 ()()f a a ?'= ；
中值定理及应用
中值定理
罗尔定理 中值定理的应用
洛必达法则
函数的单调性
极值 曲线的凹向 拐点 拉格朗日定理
柯西定理 最大值与应用问题
渐近线，函数作图
边际与弹性分析
18. 因为 1y x =
在区间(0,1)内连续，所以在(0,1)内 1
y x
= 必有最大值； 填空题
1. lim n
ax
x x e →+∞ （ 0,a > n 为正整数）= ________ ； 2.
设 322++=ax x y 在点 1x = 处取得极小值，则 a = _______ ； 3. 设 3)(a x y -= 在 (1,)+∞ 是上凹的，则 a = ______ ； 4. 若函数 )(x f 在区间 (,)a b 内恒有 ()0f x ''>，则曲线 )(x f y = 在 (,)a b 内的凹向是_______；
5. 若 3)(-=''x x f ，则曲线 )(x f y = 的拐点横坐标是 ______ ；
6. 函数y =[0,5]上满足罗尔中值定理的ξ= ______ ；
7. 函数22y x x =-在[0,2]上满足拉格朗日中值定理的 ξ=__________ ；
选择题
1.
函数 sin y x = 在区间 [0,]π 上满足罗尔定理的 ξ= ( )
(A) 0 (B) 4π
(C) 2
π (D) π
2. 函数 ()y f x = 在点 0x x = 处取得极大值，则必有（ ）
(A) 0()0f x '= (B) 0()0f x ''<
(C) 0()0f x '= 且 0()0f x ''< (D) 0()0f x '= 或不存在
计算与应用题
1.
求极限：
(1)11lim(
)1ln x x x x →--; (2) 011lim()1
x x x e →--; (3) sin 0lim x
x x +→; (4)1
0lim (1sin )x x x +→+.
2.
设某产品价格与销量的关系为10P Q =-（Q 为销量），求： (1) 销量为 30 时的总收益； (2) 销量为 30时的平均收益； (3) 销量为 30时的边际收益；
3、设某糕点加工厂生产 A 类糕点的总成本函数和总收入函数分别是
2
2
()10020.02()70.01C x x x R x x x
=++=+ (1) 求边际利润函数； (2) 当产量分别200公斤，250 公斤和 300公斤时的边际利润，并说明其经济意义。
4. 某商品的成本函数 为 4
1000)(2
Q Q C C +==，求：
(1) 20Q =时的总成本，平均成本及边际成本；
(2) 产量 Q 为多少时，平均成本最小？并求最小平均成本。 (3) 求平均成本最小时,价格上涨一个单位,成本的增加为多少?
5.给定函数23()193f x x x x =--+，求其单调区间，极值，凹向区间及拐点。 证明题
1.证明当0x >时，1x e x >+
2．证明当0x >时，ln(1)x x +<；
3. 证明当0x >时，1ln(1)ln 1x x x +->
+
第五章 不定积分
一、知识结构：
二、例题：
判断题
1. ()()F x dx F x C '=+? ；
2. ?+=C x f dx x f dx
d
)()( ； 3.
若 )(x f 可导，则 ?=)()(x f x df ；
4. sin x 是 cos x 的一个原函数；
5. 若 3(),f x dx x C =+? 则 2()f x x = ；
6. 设()1f x '=且(0)0f =,则21
()2
f x dx x x C =-+? ；
7.
cos sin 2cos x xdx x x x C =++? ；
填空题
1. =+?dx x 11
____ ；
2. 设 sin x e x + 是 )(x f 的一个原函数，则 ()f x ' = _____；
3. 1
ln dx x x =? ______ ；
4. 2
2(ln cos )x d x x e dx ++=?_______ ；
5.
函数 ________ 的原函数是 ln(5)x ；
6. 若 ()arcsin 2f x dx x C =+? ，则 (0)f = ______ ；
7. dx '
?= ；
选择题
1.
若 )()(x g x f '=' ，则必有 ( )
(A) )()(x g x f = (B) dx x g dx x f )()(??=
(C) dx x g d dx x f d )(')('??= (D) dx x g d dx x f d )()(??=
2.
设 )()(x G x F '='，则 ( )
(A) )()(x G x F = 为常数 (B) )()(x G x F -为常数
(C) 0)()(=-x G x F (D)
dx x G dx d
dx x F dx d )()(?
?= 3. 下列等式中，正确的是 ( )
(A) ()()d f x dx f x =? (B) ()()d
f x dx f x dx dx
=?
(C) ()()d
f x f x C dx
=+? (D) ()()d f x dx f x dx =?
4. 已知函数 ()sin f x x = ，则 ()f x 的所有原函数是 ( )
(A) cos x (B) cos x C -+ (C) sin x (D) sin x C + 5. 下列计算过程正确的是 ( )
(A) 21sin 1
cos (cos )222x x dx dx x x C -==++??
(B) 21cos 1
cos (sin )222x x dx dx x x C +==++??
(C) 21cos 1
cos (sin )222x x dx dx x x C -==-+??
(D) 21sin 1
cos (cos )222
x x dx dx x x C +==-+??
6. 若 22()x f x dx x e C =+? ，则 ()f x =( )
(A) 22x xe (B) 222x x e (C) 2x xe (D) 22(1)x xe x +
计算与应用题
1
313()x x x +?d x 2 4
2
1x x
+?d x 3
2
5)x -d x 4 2
x
5 3e x x ?d x
6 2cos 2
x ?d x
7 2cos 2x ?d x 8 1d 25
x x +?
9
x ?x
10 5e d t t ?
11
d x 12 d 12x
x
-?
13 3(32)x -?d x 14
15 t 16 2
x xe dx -?
17
x 18 3
sin d cos x
x x
?
19 3
43d 1x x x
-? 20 cos d x x x ?
21 ln d x x ? 22 e d x x x ?
23 arctan d x x x ? 24 sin d x x x ? 25 e d x x x -?
高等数学知识点总结 (1)
高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ， ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： （三） 空间直线及其方程 1、 一般式方程：?????=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程： p z z n y y m x x 0 00-=-=-
高等数学(上册)-第一章教案
第一章：函数、极限与连续 教学目的与要求 1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形。 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6.掌握极限的性质及四则运算法则。 7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 所需学时：18学时（包括：6学时讲授与2学时习题） 第一节：集合与函数 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。
高等数学考研知识点总结
高等数学考研知识点总结 一、考试要求 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，会建立应用问题的函数关系。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。 5、理解（了解）极限的概念，理解（了解）函数左、右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。 6、掌握（了解）极限的性质，掌握四则运算法则。 7、掌握（了解）极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握（会）利用两个重要极限求极限的方法。 8、理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。1
1、掌握（会）用洛必达法则求未定式极限的方法。 二、内容提要 1、函数（1）函数的概念: y=f(x)，重点：要求会建立函数关系、（2）复合函数: y=f(u), u=，重点：确定复合关系并会求复合函数的定义域、（3）分段函数: 注意，为分段函数、（4）初等函数：通过有限次的四则运算和复合运算且用一个数学式子表示的函数。（5）函数的特性：单调性、有界性、奇偶性和周期性* 注： 1、可导奇(偶)函数的导函数为偶(奇)函数。特别：若为偶函数且存在，则 2、若为偶函数，则为奇函数；若为奇函数，则为偶函数； 3、可导周期函数的导函数为周期函数。特别：设以为周期且存在，则。 4、若f(x+T)=f(x), 且，则仍为以T为周期的周期函数、 5、设是以为周期的连续函数，则， 6、若为奇函数，则；若为偶函数，则 7、设在内连续且存在，则在内有界。 2、极限 (1) 数列的极限： (2) 函数在一点的极限的定义： (3)
《高等数学》 各章知识点总结——第6章
第6章 微分方程总结 1.可分离变量微分方程 一阶微分方程y '=?(x , y ) 或M(x)N(y )dx +P(x)Q(y )dy =0能写成 g (y )dy =f (x )dx 两边积分可得通解。 2.齐次微分方程 dy y ()dx x =φ，令x y u =, 即y =ux , 有)(u dx du x u ?=+, 得??=-x dx u u du )(?。 3.一阶线性微分方程 （1）齐次线性 0)(=+y x P dx dy 用分离变量法可求得通解P(x)dx y Ce -?=。 （2）非齐次线性方程)()(x Q y x P dx dy =+ 由齐次方程常数变易法可得通解 ])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +??=?-。 4.伯努利方程 n y x Q y x P dx dy )()(=+ (n ≠0, 1)，以y n 除方程的两边, 得 )()(1x Q y x P dx dy y n n =+-- 令z =y 1-n , 得线性方程 )()1()()1(x Q n z x P n dx dz -=-+. 5.可降阶的高阶微分方程 （1）y (n )=f (x ) ：积分n 次 1)1()(C dx x f y n +=?-, 21)2(])([C dx C dx x f y n ++=??-，? ? ?. （2）y ''= f (x , y ')：设y '=p(x) , 则方程化为 p '=f (x , p )。 （3）y ''=f (y , y ')：设y '=p(y), dy dp p dx dy dy dp dx dp y =?==''，原方程化为 ),(p y f dy dp p = 6.二阶常系数线性微分方程 （1）二阶常系数齐次线性微分方程： y ''+py '+qy =0 （2）二阶常系数非齐次线性微分方程： y ''+py '+qy =f (x )
高数知识点总结
高数重点知识总结 1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限：()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如：()33lim 10 031lim -? ? ? ? ?-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||x y =连续但不可导。 6、导数的定义：()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导： [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如：x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx 例如：y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+- =?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若?? ?==) ()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如：计算 ?31sin
考研数学知识点总结
考研数学考点与题型归类分析总结 1高数部分 1.1高数第一章《函数、极限、连续》 求极限题最常用的解题方向： 1.利用等价无穷小； 2.利用洛必达法则 型和 ∞ ∞ 型直接用洛必达法则 ∞ 0、0∞、∞1型先转化为 型或 ∞ ∞ 型，再使用洛比达法则； 3.利用重要极限，包括1 sin lim = → x x x 、e x x x = + → 1 ) 1( lim、e x x x = + ∞ → ) 1(1 lim； 4.夹逼定理。 1.2高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》 第三章《不定积分》提醒：不定积分?+ =C x F dx x f) ( ) (中的积分常数C容易被忽略，而考试时如果在答案中少写这个C会失一分。所以可以这样加深印象：定积分?dx x f) (的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，把它折弯后就是?+ =C x F dx x f) ( ) (中的那个C,漏掉了C也就漏掉了这1分。 第四章《定积分及广义积分》解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章： 对于?-a a dx x f) (型定积分，若f(x)是奇函数则有?-a a dx x f) (=0； 若f(x)为偶函数则有?-a a dx x f) (=2?a dx x f ) (； 对于?20)( π dx x f型积分，f(x)一般含三角函数，此时用x t- = 2 π 的代换是常用方法。 所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u和利用性质0 = ?-a a奇函数、? ?= - a a a0 2偶函数 偶函数。在处理完积分上下限的问题后就使用第三章不定积分的套路化方法求解。这种思路对于证明定积分等式的题目也同样有效。 1.3高数第五章《中值定理的证明技巧》 用以下逻辑公式来作模型：假如有逻辑推导公式A?E、(A B)?C、(C D E)?F,由这样一组逻辑关系可以构造出若干难易程度不等的证明题，其中一个可以是这样的：条件给出A、B、D，求证F。 为了证明F成立可以从条件、结论两个方向入手，我们把从条件入手证明称之为正方向，把从结论入手证明称之为反方向。 正方向入手时可能遇到的问题有以下几类：1.已知的逻辑推导公式太多，难以从中找出有用的一个。如对于证明F成立必备逻辑公式中的A?E就可能有A?H、A?(I K)、(A B) ?M等等公式同时存在，
高等数学重点总结
高等数学 主要内容有：二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分、无穷级数、常微分方程等。 第十章重积分 教学目标：理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质。掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，了解三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。会用重积分求解一些几何量(如体积、曲面面积等)。 重点：二重积分、三重积分的概念和思想，二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），三重积分的计算。 难点：二重积分的计算方法，三重积分的计算方法， CH10重积分 10.1二重积分概念及性质 10.2二重积分计算方法 10.3三重积分的概念及计算 10.4重积分应用 第十一章曲线积分与曲面积分 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。会计算两类曲线积分。掌握格林(Green)公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。了解两类曲面积分的概念及高斯(Guass)、斯托克斯(Stokes)公式并会计算两类曲面积分。 重点：两类曲线和曲面积分的概念及计算，格林公式，高斯公式。 难点：格林公式，高斯公式。 CH11曲线积分与曲面积分 11.1对弧长的曲线积分
11.2对坐标的曲线积分 11.3格林公式及其应用 11.4对面积的曲面积分 11.5对坐标的曲面积分 11.6高斯公式 11.7斯托克斯公式（*） 第十二章 无穷级数 教学目标：理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。掌握几何级数和p -级数的收敛性。了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。了解交错级数的莱布尼兹定理，会估计交错级数的截断误差。了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法(区间端点的收敛性可不作要求)。了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。会利用,sin ,cos ,ln(1)x e x x x +和()1x μ+的马克劳林(Maclaurin)展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。了解幂级数在近似计算上的简单应用。了解函数展开为傅里叶(Fourier)级数的狄利克雷(Dirichlet)条件，会将定义在(,)ππ-和(,)l l -上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在(0,)l 上的函数展开为正弦或余弦级数。 重点：无穷级数收敛、发散以及和的概念，几何级数和p -级数的收敛性，正项级数的比值审敛法，莱布尼兹判别法，比较简单的幂级数的收敛域和和函数的求法，用间接法展开函数为幂级数。 难点：正项级数的比较审敛法，交错级数的莱布尼兹定理，求幂级数的收敛域及和函数，函数展开为泰勒级数，函数展开为
《高等数学》 各章知识点总结——第9章
第9章 多元函数微分学及其应用总结 一、多元函数的极限与连续 1、n 维空间 2R 为二元数组),(y x 的全体，称为二维空间。3R 为三元数组),,(z y x 的全体，称为三 维空间。 n R 为n 元数组),,,(21n x x x 的全体，称为n 维空间。 n 维空间中两点1212(,,,),(,,,)n n P x x x Q y y y 间的距离： ||PQ = 邻域: 设0P 是n R 的一个点，δ是某一正数，与点0P 距离小于 δ的点P 的全体称为点0P 的δ 邻域，记为),(0δP U ，即00(,){R |||}n U P P PP δδ=∈< 空心邻域: 0P 的 δ 邻域去掉中心点0P 就成为0P 的δ 空心邻域,记为 0(,)U P δ =0{0||}P PP δ<<。 内点与边界点：设E 为n 维空间中的点集，n P ∈R 是一个点。如果存在点P 的某个邻域 ),(δP U ，使得E P U ?),(δ，则称点P 为集合E 的内点。 如果点P 的任何邻域内都既有 属于E 的点又有不属于E 的点，则称P 为集合E 的边界点, E 的边界点的全体称为E 的边界． 聚点：设E 为n 维空间中的点集，n P ∈R 是一个点。如果点P 的任何空心邻域内都包含E 中的无穷多个点，则称P 为集合E 的聚点。 开集与闭集: 若点集E 的点都是内点，则称E 是开集。设点集n E ?R , 如果E 的补集 n E -R 是开集，则称E 为闭集。 区域与闭区域：设D 为开集，如果对于D 内任意两点，都可以用D 内的折线（其上的点都属于D ）连接起来, 则称开集D 是连通的．连通的开集称为区域或开区域．开区域与其边界的并集称为闭区域． 有界集与无界集: 对于点集E ，若存在0>M ，使得(,)E U O M ?，即E 中所有点到原点的距离都不超过M ，则称点集E 为有界集，否则称为无界集． 如果D 是区域而且有界，则称D 为有界区域．
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则
考研数学知识点总结(不看后悔)
考研英语作文万能模板考研英语作文万能模板函数 极限数列的极限特殊——函数的极限一般 极限的本质是通过已知某一个量自变量的变化趋势去研究和探索另外一个量因变量的变化趋势 由极限可以推得的一些性质局部有界性、局部保号性……应当注意到由极限所得到的性质通常都是只在局部范围内成立 在提出极限概念的时候并未涉及到函数在该点的具体情况所以函数在某点的极限与函数在该点的取值并无必然联系连续函数在某点的极限等于函数在该点的取值 连续的本质自变量无限接近因变量无限接近导数的概念 本质是函数增量与自变量增量的比值在自变量增量趋近于零时的极限更简单的说法是变化率 微分的概念函数增量的线性主要部分这个说法有两层意思一、微分是一个线性近似二、这个线性近似带来的误差是足够小的实际上任何函数的增量我们都可以线性关系去近似它但是当误差不够小时近似的程度就不够好这时就不能说该函数可微分了不定积分导数的逆运算什么样的函数有不定积分 定积分由具体例子引出本质是先分割、再综合其中分割的作用是把不规则的整体划作规则的许多个小的部分然后再综合最后求极限当极限存在时近似成为精确 什么样的函数有定积分 求不定积分定积分的若干典型方法换元、分部分部积分中考虑放到积分号后面的部分不同类型的函数有不同的优先级别按反对幂三指的顺序来记忆 定积分的几何应用和物理应用高等数学里最重要的数学思想方法微元法 微分和导数的应用判断函数的单调性和凹凸性 微分中值定理可从几何意义去加深理解 泰勒定理本质是用多项式来逼近连续函数。要学好这部分内容需要考虑两个问题一、这些多项式的系数如何求二、即使求出了这些多项式的系数如何去评估这个多项式逼近连续函数的精确程度即还需要求出误差余项当余项随着项数的增多趋向于零时这种近似的精确度就是足够好的考研英语作文万能模板考研英语作文万能模板多元函数的微积分将上册的一元函数微积分的概念拓展到多元函数 最典型的是二元函数 极限二元函数与一元函数要注意的区别二元函数中两点无限接近的方式有无限多种一元函数只能沿直线接近所以二元函数存在的要求更高即自变量无论以任何方式接近于一定点函数值都要有确定的变化趋势 连续二元函数和一元函数一样同样是考虑在某点的极限和在某点的函数值是否相等导数上册中已经说过导数反映的是函数在某点处的变化率变化情况在二元函数中一点处函数的变化情况与从该点出发所选择的方向有关有可能沿不同方向会有不同的变化率这样引出方向导数的概念 沿坐标轴方向的导数若存?诔浦际?通过研究发现方向导数与偏导数存在一定关系可用偏导数和所选定的方向来表示即二元函数的两个偏导数已经足够表示清楚该函数在一点沿任意方向的变化情况高阶偏导数若连续则求导次序可交换 微分微分是函数增量的线性主要部分这一本质对一元函数或多元函数来说都一样。只不过若是二元函数所选取的线性近似部分应该是两个方向自变量增量的线性组合然后再考虑误差是否是自变量增量的高阶无穷小若是则微分存在 仅仅有偏导数存在不能推出用线性关系近似表示函数增量后带来的误差足够小即偏导数存在不一定有微分存在若偏导数存在且连续则微分一定存在 极限、连续、偏导数和可微的关系在多元函数情形里比一元函数更为复杂 极值若函数在一点取极值且在该点导数偏导数存在则此导数偏导数必为零
考研高数各章重点总结
一、一元函数微分学 求给定函数的导数与微分(包括高阶导数)，隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论; 利用洛比达法则求不定式极限; 讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式; 利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，如“证明在开区间内至少存在一点满足……”，此类问题证明经常需要构造辅助函数; 几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间; 利用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。 二、一元函数积分学 计算题：计算不定积分、定积分及广义积分; 关于变上限积分的题：如求导、求极限等; 有关积分中值定理和积分性质的证明题; 定积分应用题：计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，旋转面面积，压力，引力，变力作功等; 综合性试题。 三、函数、极限与连续 求分段函数的复合函数; 求极限或已知极限确定原式中的常数; 讨论函数的连续性，判断间断点的类型; 无穷小阶的比较; 讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。 四、向量代数和空间解析几何
计算题：求向量的数量积，向量积及混合积; 求直线方程，平面方程; 判定平面与直线间平行、垂直的关系，求夹角; 建立旋转面的方程; 与多元函数微分学在几何上的应用或与线性代数相关联的题目。 五、多元函数的微分学 判定一个二元函数在一点是否连续，偏导数是否存在、是否可微，偏导数是否连续; 求多元函数(特别是含有抽象函数)的一阶、二阶偏导数，求隐函数的一阶、二阶偏导数; 求二元、三元函数的方向导数和梯度; 求曲面的切平面和法线，求空间曲线的切线与法平面，该类型题是多元函数的微分学与前面向量代数与空间解析几何的综合题，应结合起来复习; 多元函数的极值或条件极值在几何、物理与经济上的应用题;求一个二元连续函数在一个有界平面区域上的最大值和最小值。这部分应用题多要用到其他领域的知识，考生在复习时要引起注意。 六、多元函数的积分学 二重、三重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序; 第一型曲线积分、曲面积分计算; 第二型(对坐标)曲线积分的计算，格林公式，斯托克斯公式及其应用; 第二型(对坐标)曲面积分的计算，高斯公式及其应用; 梯度、散度、旋度的综合计算; 重积分，线面积分应用;求面积，体积，重量，重心，引力，变力作功等。数学一考生对这部分内容和题型要引起足够的重视。 七、无穷级数 判定数项级数的收敛、发散、绝对收敛、条件收敛;
考研高等数学知识点总结
高等数学知识点总结 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 222 2 12211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-='? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+= -++-=-+=++-=++=+=+-=? ???????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 22 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0π π
高等数学(下)知识点总结
主要公式总结 第八章空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111 C B A n =ρ ，),,(2222C B A n =ρ ， 22 22 22 21 21 21 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏210212121=++C C B B A A ；? ∏∏21//2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三） 空间直线及其方程
高等数学大一上总结
第一章函数与极限 主要内容:函数的定义；函数的几种特性；复合函数、反函数与初等函数的概念；数列与函数极限的定义；极限的运算法则；无穷小与无穷大的概念；两个重要极限；无穷小的比较；函数在点与区间的连续性及间断性；闭区间上连续函数的性质。 内容要点： 1.函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 2.复合函数和反函数的概念。 3.基本初等函数的性质及其图形。 4.立简单实际问题中的函数关系式。 5.极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。 6.子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。 7.极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、单调有界数列必有极限的原理, 柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、密性定理)。会用两个重要极限求极限。 8.无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。 9.函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。 10.初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性)。 一、求函数的定义域 ①分式的分母不等于零；②偶次方根式中，被开方式大于等于零；③含有对数的式子，真数式大于零；④反正弦、反余弦符号内的式子绝对值小于等于1；⑤分段函数的定义域是各段 函数定义域的并集；(6)若已知y=f(x)的定义域是[a,b]，求y=f[t(x)]的定义域，方法是 解a≦t(x)≦b 二、判断两个函数是否相同 一个函数的确定取决于其定义域和对应关系的确定，因此判断两个函数是否相同必须判断其定义域是否相同，且要判断函数表达式是否统一即可。 三、判断函数奇偶性 判断函数的奇偶性，主要的方法就是利用定义，其次是利用奇偶的性质，即奇(偶)函数之和仍是奇(偶)函数；两个奇函数之积是偶函数；两个偶函数之积仍是偶函数；一奇一偶之积是奇函数。 四、数列极限的求法 利用数列极限的四则运算法则、性质以及已知极限求极限。(1)若数列分子分母同时含n，则同除n的最高次项。（2）若通项中含有根式，一般采用先分子或分母有理化，再求极限的方法。(3)所求数列是无穷项和，通常先用等差或等比数列前n项求和公式求出，再求极限。（4）利用两边夹逼定理求数列极限，方法是将极限式中的每一项放大或缩小，并使放大、缩小后的数列具有相同的极限。通式为形如1的无穷次方的不定式，一般采用两个重要极限中等于e的那个式子求解。 五、函数极限的求法 1.用数列求极限方法， 2.在一点处连续，则在此处极限等于此处函数值， 3.分段函数，在某点极限存在，则此处左右极限都存在且相等。
考研数学备考：概率论各章节知识点梳理.doc
考研数学备考：概率论各章节知识点梳理考研备考时间已然快要过半，还在为了备考方法焦灼？不用担心！老司机带你上车，下面由我为你精心准备了“考研数学备考：概率论各章节知识点梳理”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！ 考研数学备考：概率论各章节知识点梳理 众所周知，概率论的知识点又多又杂，需要我们系统的归类并掌握，这样才能获得高分。为此我整理了相关内容，希望对大家有所帮助。 第一部分：随机事件和概率 (1)样本空间与随机事件 (2)概率的定义与性质(含古典概型、几何概型、加法公式) (3)条件概率与概率的乘法公式 (4)事件之间的关系与运算(含事件的独立性) (5)全概公式与贝叶斯公式 (6)伯努利概型 其中：条件概率和独立为本章的重点，这也是后续章节的难点之一，请各位研友务必重视起来。 第二部分：随机变量及其概率分布 (1)随机变量的概念及分类 (2)离散型随机变量概率分布及其性质 (3)连续型随机变量概率密度及其性质 (4)随机变量分布函数及其性质 (5)常见分布 (6)随机变量函数的分布
其中：要理解分布函数的定义，还有就是常见分布的分布律抑或密度函数必须记好且熟练。 第三部分：二维随机变量及其概率分布 (1)多维随机变量的概念及分类 (2)二维离散型随机变量联合概率分布及其性质 (3)二维连续型随机变量联合概率密度及其性质 (4)二维随机变量联合分布函数及其性质 (5)二维随机变量的边缘分布和条件分布 (6)随机变量的独立性 (7)两个随机变量的简单函数的分布 其中：本章是概率的重中之重，每年的解答题定会有一道与此知识点有关，每个知识点都是重点，务必重视! 第四部分：随机变量的数字特征 (1)随机变量的数字期望的概念与性质 (2)随机变量的方差的概念与性质 (3)常见分布的数字期望与方差 (4)随机变量矩、协方差和相关系数 其中：本章只要清楚概念和运算性质，其实就会显得很简单，关键在于计算。 第五部分：大数定律和中心极限定理 (1)切比雪夫不等式 (2)大数定律 (3)中心极限定理
《高等数学》-各章知识点总结——第1章
第1章 函数与极限总结 1、极限的概念 (１）数列极限的定义 给定数列{x n }，若存在常数a ，对于任意给定的正数ε (不论它多么小)， 总存在正整数N ， 使得对于n >N 时的一切n , 恒有 |x ｎ-ａ ｜<ε 则称a 是数列｛x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为 a x n n =∞ →lim 或xn →ａ (ｎ→∞)． (2)函数极限的定义 设函数f （ｘ)在点x 0的某一去心邻域内（或当0x M >>)有定义,如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε (不论它多么小)， 总存在正数δ,（或存在X ） 使得当ｘ满足不等式0<|x －ｘ0|<δ 时，(或当x X >时） 恒有 |f (ｘ)－A ｜<ε , 那么常数Ａ就叫做函数f (ｘ)当0x x →（或x →∞)时的极限， 记为 A x f x x =→)(lim 0 或f (x ）→A (当x →ｘ０).（ 或lim ()x f x A →∞ =) 类似的有：如果存在常数A ,对0,0,εδ?>?>当00:x x x x δ-<<(00x x x δ<<-）时,恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当0x x →时的左极限(或右极限）记作 00 lim ()(lim ())x x x x f x A f x A - +→→==或 显然有0 lim ()lim ()lim ())x x x x x x f x A f x f x A -+→→→=?== 如果存在常数A ,对0,0,X ε?>?>当()x X x X <->或时，恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当x →-∞（或当x →+∞)时的极限 记作lim ()(lim ())x x f x A f x A →-∞ →+∞ ==或 显然有lim ()lim ()lim ())x x x f x A f x f x A →∞ →-∞ →+∞ =?== ２、极限的性质 (１）唯一性 若a x n n =∞ →lim ,lim n n x b →∞ =，则a b = 若0() lim ()x x x f x A →∞→=0() lim ()x x x f x B →∞→=，则A B = (２)有界性 (i)若a x n n =∞ →lim ，则0M ?>使得对,n N + ?∈恒有n x M ≤
高数知识点总结(上册)
高数知识点总结（上册） 函数： 绝对值得性质： (1)|a+b|≤|a|+|b| (2)|a-b|≥|a|-|b| (3)|ab|=|a||b| (4)|b a |=)0(||||≠b b a 函数的表示方法： （1）表格法 （2）图示法 （3）公式法（解析法） 函数的几种性质： （1）函数的有界性 （2）函数的单调性 （3）函数的奇偶性 （4）函数的周期性 反函数： 定理：如果函数)(x f y =在区间[a,b]上是单调的，则它的反函数)(1 x f y -=存在，且是单 值、单调的。 基本初等函数： （1）幂函数 （2）指数函数 （3）对数函数 （4）三角函数 （5）反三角函数 复合函数的应用 极限与连续性： 数列的极限： 定义：设 {}n x 是一个数列，a 是一个定数。如果对于任意给定的正数ε（不管它多么小） ， 总存在正整数N ，使得对于n>N 的一切n x ，不等式 ε <-a x n 都成立，则称数a 是数列 {}n x 的 极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记做a x n n =∞ →lim ，或 a x n →（∞→n ） 收敛数列的有界性： 定理：如果数列 {}n x 收敛，则数列{}n x 一定有界 推论：（1）无界一定发散（2）收敛一定有界 （3）有界命题不一定收敛 函数的极限： 定义及几何定义 函数极限的性质： （1）同号性定理：如果A x f x x =→)(lim 0 ，而且A>0(或A<0),则必存在0x 的某一邻域，当x 在该邻域内（点0 x 可除外），有0)(>x f （或0)( 第一章 函数极限与连续 （一） 本章重点（important points ）： 1. 了解极限的定义（重点是理解极限定义中的“任意”和“存在”，以及N 与ε的相关性；动态变化性）及求法，定义要从代数及几何两方面进行理解。 2. 理解以及运用两个重要的极限公式（及其拓展形式）。 3. 无穷小理论及其运用（主要是等价无穷小代换，在求极限以及一些证明题中会经常用到，so it is also important!）。 4. 函数的连续（这是以后很多公式定理运用的条件，所以必须掌握地very good ！）。 5. 分段函数的连续性，可导性，及其极限值的求法。 （二） 知识点分析（analysis ）： 常用不等式 1） 绝对值不等式： ||x |?|y ||≤|x ±y |≤|x |+|y | 2） 三角不等式： |x ?z |=|x ?y +y ?z |≤|xy |+|yz | 3） Bernoulli Inequality(贝努力不等式)： 若 x>-1, n ∈z, 且n>=2 则(1+x )n ≥1+nx 4) Cauchy Inequality （柯西不等式）： (∑x i y i ） n i=12 ≤(∑x i 2n i=1)?(∑y i 2n i=1) 5) e x ≥1+x 6) ln(1+n)≤x 7) (1+1n )n <(1+1 n+1 )n+1 && (1+1n ) n+1 >(1+1n ) n+2 即：数列{(1+1n )n } 单调递增， 数列{(1+1n ) n+1 } 单调递减。 8） 设 x ∈z +, 则 1 x+1 高等数学知识点 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π高等数学上册第一章心得与分享
考研高等数学知识点总结(优.选)