高中数学平面向量题型归纳复习
高中数学平面向量题型归纳复习
题型一、平面向量的基本概念
要点:向量、平行(共线)向量、相等向量、零向量、单位向量等基本概念. 1、判断正误(正确的打√,错误的打?):
(1)有向线段可以表示向量但不是向量,且向量也不是有向线段( ) (2)共线的向量,起点不同,终点可以相同 ( ) (3)长度相等但方向相反的两个向量不一定共线 ( ) (4)方向相反的两个非零向量必不相等( ) (5)若直线AB//CD ,则AB //CD ( ) (6)若AB //CD ,则直线AB //CD ( )
(7)若a //b ,b //c ,则a //c ( )
2、把平面上一切单位向量的终点放在同一点,那么这些向量的起点所构成的图形是____,把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点,则这些向量的终点构成的图形是 .
3、已知A ,B ,C 是不共线的三点,向量m 与向量AB 是平行向量,与BC 是共线向量,则m =________.
4、如图所示菱形ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于O 点,∠DAB =60°,分别以A ,B ,C ,D ,O 中的不同两点为始点与终点的向量中: (1)写出与DA 平行的向量; (2)写出与DA 模相等的向量.
题型二、平面向量的加减运算
1、判断正误(正确的打√,错误的打?): (1)AB AB -=0
( )
(2)AB OB OA =- ( )
2、下列四式中不能化简为AD u u u r
的是 ( )
A .A
B u u u r +CD uuu
r +BC uuu r
B .AD u u u r +MB u u u r +B
C uuu
r +CM u u u u r
C .OC uuu r -OA u u u r +C
D uuu r
D .MB u u u r +AD u u u r -BM u u u u r
3、已知P 为ΔABC 所在平面内一点,当PA u u u r +PB u u u r =PC uuu
r 时,点P 位于ΔABC 的( )
A .A
B 边上
B .B
C 边上 C .内部
D .外部
4、若2AB AC AB AC ==-=u u u v u u u v u u u v u u u v
,则AB AC +u u u v u u u v
=__________.
5、已知长度相等的三个非零向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r
满足OA OB OC ++u u u r u u u r u u u r =0,则由A ,B ,C 三点构成的△ABC
的形状是_____三角形.
6、如图,OA ,OB ,OC 在同一平面内,∠AOB =∠BOC =∠COA = 120°
, 且OA =OB =OC =1, 求OA u u u r
+OB uuu r +OC uuu r .
7、如图,O 在平行四边形ABCD 外,已知OA u u u r =a , OB uuu r =b , OC uuu r =c , 请用a ,b ,c 表示OD uuu r
.
题型三、平面向量的数乘运算
1、判断正误(正确的打√,错误的打?): (1)若λa =0(λ∈R ),则λ=0或a =0 ( ) (2)若向量a //b ,则b =λa (λ∈R ) ( ) (3)若向量b =λa (λ∈R ),则a //b ( )
2、设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点,则
OA OB OC OD +++u u u r u u u r u u u r u u u r
等于 ( )
A . OM u u u u r
B . 2OM u u u u r
C . 3OM u u u u r
D . 4OM u u u u r 3、在ABC ?中,点D 在边AB 上,且12
BD DA =u u u v u u u v
,设
CB a =u u u v v , CA b =u u u v v ,则CD =u u u v
( )
A .1233a b +v v
B .2133a b +v v
C .3455
a b +v v
D .
4355
a b +v v 4、设P 是△ABC 所在平面内的一点,23BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r
,则( )
A .PC PA +u u u r u u u r =0
B .2P
C PA +u u u r u u u r =0 C .PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r =0
D .2PC PA +u u u r u u u r
=0
5、O 是平面上一定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足()
OP OA AB AC λ=++u u u r u u u r u u u r u u u r
,λ∈[0,
+∞),则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A .外心 B .垂心 C .内心
D .重心
6、已知O 是平面上的一定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ?? ?=++ ???
u u u u r u u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,
λ∈[0,+∞),则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A .重心 B .垂心 C .外心 D .内心
7、已知向量a ,b 不共线,若AB u u u r =a +2b ,BC u u u r =-4a -b ,CD u u u r
=-5a -3b ,则四边形ABCD 是
( ) A .梯形 B .平行四边形 C .矩形 D .菱形
8、设向量a ,b 不平行,向量a -λb 与2a +4b 平行,则实数λ=_________.
9、如图,已知两定点A 、B ,点P 是直线AB 上一点,且满足5,,8
AP AB OA OB OP =u u u v
u u u v u u u v u u u v u u u v
试用表示.
10、设O 是?ABC 内的一点,则OC OB OA ++=0?O 是?ABC 的重心.
11、若点O 在?ABC 内,且满足269BA BC OC -+u u u r u u u r u u u r
=0,设S △BOC 为?BOC 的面积,S △ABC 为?ABC 的面积,
则
BOC
ABC
S S ??=________.
题型四、平面向量基本定理
1、如图,在ABC ?中,已知12BD DC =u u u v u u u v ,P 为AD 上一点,且满足49
CP mCA CB =+u u u v u u u v u u u v
,则实数m 的
值为( ) A .2
3
B .
1
3
C .
5
9
D .
12
2、在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若2AD DB =u u u r u u u r ,CD CA CB λμ=+u u u r u u u r u u u r ,则μ
λ
的值为 ( )
A .1
B .
1
2
C .2
D .
13
3、如图,四边形ABCD 是正方形,延长CD 至点E ,使得DE =CD .若点P 为线段DC 上
的点,CP =PD .且AP mAE nAB =+u u u r u u u r u u u r
,则m -n =( )
A .1
B .2
C .-1
D .-2 4、若a ,b 是两个不共线的向量,若AB u u u r =2a +k b ,BC u u u r =a +b ,CD u u u r
=2a -b ,且A 、B 、D 三点共线,则实数k 的值等于__________.
5、在△ABC 中,中线AM ,BN 交于点O ,若OM AB AN λμ=+u u u u v u u u v u u u v
,则λ+μ=__________.
6、如图所示,已知在△ABC 中,23AE AC =u u u r u u u r ,13
BD BC =u u u r u u u r
,BE 交AD 于点F ,
AF AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v
,则λ+μ=__________.
7、在平行四边形ABCD 中,点E 为CD 的中点,BE 与AC 的交点为F ,设AB =a ,AD =b ,试用a ,b 表示向量BF .
8、在?ABC 中,D 是BC 的中点,12
AE EC =u u u v u u u v
,AD 、BE 相交于点F ,若AF FD λ=u u u v u u u v , BF FE μ=u u u v u u u v ,
试求λ+μ的值.
9、如图,在?ABC 中,已知12AN AC =u u u v u u u v ,P 是BN 上一点,若14
AP mAB AC =+u u u v u u u v u u u v
,求实数m 的值.
10、如图,平行四边形ABCD 中,点M 在AB 的延长线上,且BM =12AB ,点N 在BC 上,且BN =12
BC .求证:M 、N 、D 三点共线.
11、如图,在△ABC 中,E 为边AC 的中点,试问在边AC 上是否存在一点D ,使得1233
BD BC BE =+u u u r u u u r u u u r
?
若存在,说明点D 的位置;若不存在,请说明理由.
12、如图所示,在△ABC 中,点M 是AB 的中点,且12
AN NC =u u u v u u u v
,BN 与CM 相交于点E ,设AB =a ,AC
=b ,试用基底a ,b 表示向量AE u u u v
.
13、在△OAB 中,14
OC OA =u u u r u u u r ,12OD OB =u u u r u u u r ,AD 与BC 交于点M ,设OA u u u r =a ,OB u u u r
=b ,以a ,b 为基底表
示OM u u u u r .
14、如图所示,平行四边形ABCD 中,AB u u u r =a ,AD u u u r =b ,BC BM 3
2=,AB AN 4
1
=.
(1)试用向量a ,b 来表示DN ,AM . (2)AM 、 DN 交于点O ,求AO ∶OM 的值.
题型五、平面向量坐标的线性运算
1、已知在平行四边形ABCD 中, AD u u u r =(3,7), AB u u u r
=(-2,3),对角线AC ,BD 交于点M ,则CM 的
坐标为 ( )
A .1-,52??
??? B .1,52??
???
C .1-,-52
?? ?
??
D .1,-52??
???
2、已知向量AB 与单位向量e 同向,且A (1,-2),B (-5,232-),则e 的坐标为( ) A .??
?
?
??21,23 B .???
? ??
-
21,23 C .??
?
?
??-21,23 D .??
??
??-23,
21
3、已知A (-2,4),B (3,1),C (-3,-4),设=a ,=b ,=c . (1)求2a -b +c ;
(2)求满足a =m b +n c 的实数m ,n .
4、已知a =(1,2),b =(-3,2),当k 为何值时,k a +b 与a -3b 平行?平行时是同向还是反向?
5、已知向量=(k ,12),=(4,5),=(10,k ).当k 为何值时,A ,B ,C 三点共线?
6、已知点O (0,0),A (1,2),B (4,5)及t +=.
求:(1)t 为何值时,点P 在x 轴上?在y 轴上?在第二象限?
(2)四边形OABP 能否成为平行四边形?若能,求出相应的t 值?若不能,请说明理由.
题型六、平面向量的数量积
1、在△ABC 中,已知92
AB AC ?=u u u r u u u r ,AB =AC =3,M ,N 分别是BC 边上的三等分点,则AM AN ?u u u u r u u u r
的值是
( )
A .
11
2
B .
13
2
C .6
D .7
2、在△ABD 中,AB =2,AD ,E ,C 分别在线段AD ,BD 上,且AE =1
3AD ,BC =34
BD ,113AC BE ?=u u u r u u u r ,
则∠A = ( )
A .
4
π
B .
3
π
C .
23π D . 34
π 3、已知△ABC 中,∠A =120?,且AB =3,AC =4,若AP AB AC λ=+u u u v u u u v u u u v ,且AP BC ⊥u u u v u u u v
,则实数λ的值为
( )
A .
22
15
B .
10
3
C .6
D .
127
4、已知a ,b 均为单位向量,且(2a +b )?(a -2b )=33
-,则向量a ,b 的夹角为( ) A .
6
π
B .
4
π
C .
34π
D .
56
π 5、已知向量a 在向量b 方向上的投影为-1,向量b 在向量a 方向上的投影为1
2
-,且|b |=1,则|a +2b |=
( )
A .23
B .4
C .2
D .12
6、如图所示的矩形ABCD 中,AB =4,AD =2,E ,F 分别为线段AB ,DE 的中点,则EB CF ?u u u v u u u v
的值为_______.
7、向量a ,b 满足|a |=1,|a -b |=
2
3
,a 与b 的夹角为60?,则|b |=__________. 8、如图,在平行四边形ABCD 中,AB =3,AD =2,∠BAD =60?.
(1)求·
AB AC u u u r u u u r
的值; (2)求cos BAC ∠的值.
9、已知向量a ,b 满足|b |=5,|2a +b |=35,|a -b |=25,求|a |的值.
10、平面上三个单位向量a ,b ,c 两两夹角都是23
π
,求a -b 与a +c 的夹角.
11、如图,已知平行四边形ABCD 中,BC =2,∠BAD =45?,E 为线段BC 的中点,BF ⊥CD ,求BF AE ?的值.
12、设a ,b 是两个不共线的非零向量.
(1)若a ,t b ,
3
1
(a +b )三个向量的起点相同,终点在一直线上,求实数t 的值; (2)若|a |=|b |=1且a 与b 夹角为60°,求向量a +2b 与向量a -b 夹角的余弦值.
13、已知向量a =(4,-2),b =(-1,3),c =(6,8).
(1)求(a +b )?c ;(2)若a ⊥(b -λc ),求实数λ的值.
14、已知a ,b ,c 是同一平面内的三个向量,其中a =(1,2). (1)若|c |=25,且a 与c 共线,求c 的坐标; (2)若|b |=5
且a +2b 与2a -b 垂直,求a 与b 的夹角θ.
15、已知a =(1,2),b =(-3,2), 当k 为何值时:
(1)k a +b 与a -3b 垂直?(2)k a +b 与a -3b 平行? 是同向还是反向? (3)试用a ,b 表示c =(2,2).
16、已知向量a =(3,4),b =(-1,2). (1)求向量a 与b 夹角的余弦值;
(2)若向量a -λb 与a +2b 平行,求λ的值.
17、已知A (-1,2),B (2,8).
(1)若13
AC AB =u u u r u u u r ,23DA AB --u u u r u u u
r ,求CD u u u r 的坐标;
(2)设G (0,5),若AE BG ⊥u u u r u u u r ,//BE BG u u u r u u u r
,求E 点坐标.
18、已知a ,b ,c 是同一平面内的三个向量,其中a =(1,2). (1)若|c |=52且c //a ,求c 的坐标;
(2)若b =(1,m )(m <0)且a +2b 与a -2b 垂直,求a 与b 的夹角θ.
19、已知向量a =(
53,54
),|b ,a 与b 的夹角为45?. (1)求向量a 在b 方向上的投影;
(2)求a -b 与a +b 的夹角的余弦值.
20、已知向量a =(1,2),b =(-2,1),k ,t 为正实数,x =a +(t 2+1)b ,y =1k -
a +1
t
b . (1)若x ⊥y ,求k 的最大值;
(2)是否存在k ,t ,使x //y ?若存在,求出k 的取值范围;若不存在,请说明理由.
参考答案:
题型一、1、(1)√(2)√(3)?(4)√(5)√(6)?(7)?2、单位圆、直线 3、0
4、 (1)AD ,,;(2)AD ,,,AB ,BA ,,,BD ,DB 题
型二、1、?(2)?
2、D
3、D
4、5、等边 6、0
7、OD uuu r
=a +c -b
题型三、1、(1)√(2)?(3)√ 2、D 3、B
4、B
5、D
6、D
7、A
8、-2 9、3588OA OB +u u u v u u u v 10、略 11、29
题型四、1、B 2、C 3、D 4、0
5、12
6、67
7、31-a +32b
8、4
9、12
10、设AB =e 1,AD =e 2,则AD BC ==e 2.∵31=
BN e 2,2121==
AB BM e 1,
∴BM BN MN -==31e 2-21e 1.又∵AM AD MD -==e 2-23e 1=3(31e 2-2
1e 1)=MN 3,∴向量MN 与MD 共线.又M 是公共点,故M 、N 、D 三点共线. 11、D 点为AC 上靠近C 的一个三等分点
12、=
52a +51
b
13、OM u u u u r =17a +3
7
b
14、(1) =
14a -b ,AM =a +2
3
b .(2) 3:11. 题型五、1、C 2、B
3、(1)(17,7)(2)???-=-=.1,1n m
4、k =31
-,反向 5、-2或11
6、(1) t =-23 , t =-13 , -23 3 (2) 四边形OABP 不能成为平行四边形 题型六、1、B 2、D 3、A 4、A 5、C 6、6- 7、12 8、(1)12;(2 9、3 10、 6π 11、1 12.(1)t = 2 1;(2)147- 13、(1)26;(2)54λ=- 14、(1)c =(2,4)或c =(-2,-4);(2)θ=π. 15、(1)19k =;(2)反向共线;(3)c = 45a -4 1 b 16、(1(2)-2. 17、(1)(1,2);(2)2232 (,)1313 - . 18、(1)(2,4)或(-2,-4);(2)θ= 2 π . 19、(1) ;(2) 20、(1)12 ;(2)不存在k ,t ,使x //y . 第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线 段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值. 第一章 集合与简易逻辑 第一节 集 合 ? 基础知识 1. 集合的有关概念 1.1.集合元素的三个特性:确定性、无序性、互异性. 1. 2.集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法. 1.3.元素与集合的两种关系:属于,记为∈;不属于,记为?. 1.4.五个特定的集合及其关系图: N *或N +表示正整数集,N 表示自然数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集. 2. 集合间的基本关系 2.1.子集:一般地,对于两个集合A ,B ,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,则称A 是B 的子集,记作A ?B(或B ?A). 2.2.真子集:如果集合A 是集合B 的子集,但集合B 中至少有一个元素不属于A ,则称A 是B 的真子集,记作AB 或B A. A B ?? ???? A ? B ,A≠B.既要说明A 中任何一个元素都属于B ,也要说明B 中存在一个元素不属于A. 2.3.集合相等:如果A ?B ,并且B ?A ,则A =B. 两集合相等:A =B ?? ??? ? A ? B ,A ?B.A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性,B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性. 2.4.空集:不含任何元素的集合.空集是任何集合A 的子集,是任何非空集合B 的真子集.记作?. ?∈{?},??{?},0??,0?{?},0∈{0},??{0}. 3. 集合间的基本运算 (1)交集:一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为A 与B 的交集,记作A∩B ,即A∩B ={x|x ∈A ,且x ∈B}. (2)并集:一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合,称为A 与B 的并集,记作A ∪B ,即A ∪B ={x|x ∈A ,或x ∈B}. (3)补集:对于一个集合A ,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,简称为集合A 的补集,记作?U A ,即?U A ={x |x ∈U ,且x ?A }. 求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”,集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素,剩下的元素构成的集合即为?U A . ? 常用结论 (1)子集的性质:A ?A ,??A ,A ∩B ?A ,A ∩B ?B . (2)交集的性质:A ∩A =A ,A ∩?=?,A ∩B =B ∩A . (3)并集的性质:A ∪B =B ∪A ,A ∪B ?A ,A ∪B ?B ,A ∪A =A ,A ∪?=?∪A =A . (4)补集的性质:A ∪?U A =U ,A ∩?U A =?,?U (?U A )=A ,?A A =?,?A ?=A . (5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集,其中有2n -1个真子集,2n -1个非空子集. (6)等价关系:A ∩B =A ?A ?B ;A ∪B =A ?A ?B . 考点一 集合的基本概念 [典例] 1. (2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|y =x },则A ∩B 中元素的个数为( ) A .3 B .2 C .1 D .0 2. 已知a ,b ∈R ,若? ?? ? ??a ,b a ,1={a 2,a +b,0},则a 2 019+b 2 019的值为( ) A .1 B .0 C .-1 D .±1 [解析] (1)因为A 表示圆x 2+y 2=1上的点的集合,B 表示直线y =x 上的点的集合,直线y =x 与圆x 2+y 2=1有两个交点,所以A ∩B 中元素的个数为2. (2)由已知得a ≠0,则b a =0,所以 b =0,于是a 2=1,即a =1或a =-1.又根据集合中元素的互异性可 知a =1应舍去,因此a =-1,故a 2 019+b 2 019=(-1)2 019+02 019=-1. [答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意. [题组训练] 高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法 一三角函数 三角函数的题有两种考法,其中10%~20%的概率考解三角形,80%~90%的概率考三角函数本身。 1.解三角形 不管题目是什么,要明白,关于解三角形,只学了三个公式——正弦定理、余弦定理和面积公式。 所以,解三角形的题目,求面积的话肯定用面积公式。至于什么时候用正弦,什么时候用余弦,如果你不能迅速判断,都尝试一下也未尝不可。 2.三角函数 然后求解需要求的。套路一般是给一个比较复杂的式子,然后问这个函数的定义域、值域、周期、频率、单调性等问题。 解决方法就是,首先利用“和差倍半”对式子进行化简。化简成: 掌握以上公式,足够了。 关于题型,见下图: 二立体几何 立体几何的相关题目,稍微复杂一些,可能会卡住一些人。 这个题目一般有2~3问,一般会考查某条线的大小或者证明某个线/面与另外一个线/面平行或垂直,以及求二面角。 这类题目的解题方法有两种:空间向量法和传统法。这两种方法各有利弊。 向量法: 使用向量法的好处在于:没有任何思维含量,肯定能解出最终答案。缺点就是计算量大,且容易出错。 使用空间向量法,首先应该建立空间直角坐标系。建系结束后,根据已知条件可用向量确定每条直线。其形式为AB=(a,b,c),然后进行后续证明与求解。 箭头指的是利用前面的方法求解。如果有些同学会觉得比较乱,以下为无箭头标注的图。 传统法: 在学立体几何的时候,有很多性质定理和判定定理。但是针对高考立体几何大题而言,解题方法基本是唯一的,除了上图中6和8有两种解题方法以外,其他都是有唯一的方法。 所以,熟练掌握解题模型,拿到题目直接按照标准解法去求解便可。2021年高中数学-平面向量专题
1.高考数学考点与题型全归纳——集合
高中数学平面向量知识点总结
高中数学各大题型详细方法总结
高中数学平面向量公式(精选课件)